三角形的中位线及平行四边形综合

八年级（下）数学提高讲义
第八讲 三角形的中位线及平行四边形综合
知识点分析
1、三角形的中位线概念：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

2、平行四边知识回顾：
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

性质：（1）对边平行且相等；（2）对角相等；邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）中心对称图形。

面积：高底平行四边形⨯=S
判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形。

边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形。

说明：平行线的性质：
（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等。

例题精析
例1、（1）如图，△ABC 的周长为26，点D 、E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC=10，则PQ 的长为（ ） A.
23 B.2
5
C.3
D.4
（2）如图，平行四边形ABCD的周长为36，对角线AC.BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE 的周长为（）
A．15 B．18 C．21 D．24
例2、如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD=∠ABC=90°，E、F分别为AC、CD的中点，∠D=α，则∠BEF的度数为（用含α的式子表示）．
例3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB.AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F。

（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；
（2）若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度。

例4、如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AB=OB ，点E 、点F 分别是OA 、OD 的中点，连接EF ，∠CEF=45°，EM⊥BC 于点M ，EM 交BD 于点N ，FN=，求线段BC 的长。

例5、如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AE 平分∠BAD，分别交BC 、BD 于点E 、P ，连接OE ，∠ADC=60°，AB=BC=1，则下列结论：①∠CAD=30°；②BD=
；③S 平行四边形ABCD =AB•AC；④OE=AD ；
⑤8
3
=
∆BEO S ，正确的个数是（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
例6、如图，在四边形ABCD中，BC、AD不平行，且∠BAD+∠ADC=270°，E、F分别是AD、BC的中点，已知EF=4，求AB2+CD2的值。

例7、已知两个共有一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．
（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；
（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME
例8、如图1，已知ABCD，AB∥x轴，AB＝6，点A的坐标为（1，﹣4），点D的坐标为（﹣3，4），点B在第四象限，点P是ABCD边上的一个动点。

（1）若点P在边BC上，PD＝CD，求点P的坐标；
（2）若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y＝x﹣1上，求点P的坐标；
（3）若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标。

（直接写出答案）
提高训练
1、如图，△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点，AB=10，则MD的长为（）
A.10
B.8
C.6
D.5
2、在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的坐标分别为A（﹣1，0）、B（0，2）、C（3，2）、
D（2，0），点P是AD边上的一个动点，若点A关于BP的对称点为A'，则A'C的最小值为（）A．B．3﹣C．﹣1 D．1
8，C，D是AB上两点，且AC=2，BD=4，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等腰3、已知线段AB=2
三角形APE和等腰三角形PBF，M为线段EF的中点，若∠AEP=∠BFP，则当点P由点C移动到点D时，点M 移动的路径长度为_______________。

4、如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是。

5、如图，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于点F，AB=12，AC=7，求DF的长。

6、如图，已知四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，并且点E，F，G，H不在同一条直线上。

求证：EF与GH互相平分。

7、如图，AP是△ABC的角平分线，D，E分别是AB、AC上的点，且BD=CE。

又G、H分别为BC、DE的中点。

求证：HG//AP。

8、如图，P为△ABC内一点，∠PAC=∠PBC，PM⊥AC于M，PN⊥BC于N。

D是AB的中点。

求证：DM=DN。