高中数学第3章统计案例章末复习课学案北师大版选修2_3

第3章 统计案例
【例1】 下表是一位母亲给儿子作的成长记录：
(2)如果年龄(3周岁～16周岁之间)相差5岁，其身高有多大差异？ (3)如果身高相差20 cm ，其年龄相差多少？
[解] (1)设年龄为x ，身高为y ，则x ＝1
14
(3＋4＋…＋15＋16)＝9.5，
y ＝114
(90.8＋97.6＋…＋167.5＋173.0)≈131.985 7，
∑14
i ＝1
x 2
i ＝1 491，∑14
i ＝1y 2
i ＝252 958.2，∑14
i ＝1
x i y i ＝18 990.6，14x y ≈17 554.1， ∴∑14
i ＝1x 2
i －14(x )2
＝227.5，∑14
i ＝1
y 2
i －14(y )2
≈9 075.05， ∑14
i ＝1
x i y i －14x y ＝1 436.5，
∴r ＝
∑14
i ＝1
x i y i －14x y
∑14
i ＝1
x 2
i －14(x )
2
∑14
i ＝1
y 2
i －14(y )
2
＝
1 436.5
227.5×9 075.05
≈0.999 7.
因此，年龄和身高之间具有较强的线性相关关系．
(2)由(1)得b ＝
∑14
i ＝1
x i y i －14x y
∑14
i ＝1
x 2i －14(x )
2
＝1 436.5227.5
≈6.314， a ＝y －b x ＝131.985 7－6.314×9.5≈72，
∴x 与y 的线性回归方程为y ＝6.314x ＋72.
因此，如果年龄相差5岁，那么身高相差6.314×5＝31.57(cm)． (3)如果身高相差20 cm ，年龄相差20
6.314≈3.168≈3(岁)．
解决回归分析问题的一般步骤
(1)画散点图.根据已知数据画出散点图.
(2)判断变量的相关性并求回归方程.通过观察散点图，直观感知两个变量是否具有相关关系；在此基础上，利用最小二乘法求回归系数，然后写出回归方程.
(3)实际应用.依据求得的回归方程解决实际问题.
1．某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下：
(2)求出回归直线方程；
(3)计算相关系数并进行相关性检验； (4)试预测该运动员训练47次及55次的成绩．
[解] (1)作出该运动员训练次数x 与成绩y 之间的散点图，如图所示，由散点图可知，
它们之间具有线性相关关系．
(2)列表计算：
由上表可求得x ＝39.25，y ＝40.875，
∑i ＝1
8
x 2i ＝12 656， ∑i ＝1
8
y 2
i ＝13 731，∑i ＝1
8
x i y i ＝13 180，
∴b ＝
∑i ＝1
8
x i y i －8x y
∑i ＝1
8
x 2i －8x 2
≈1.041 5，
a ＝y －
b x ＝－0.003 88，
∴回归直线方程为y ＝1.041 5x －0.003 88.
(3)计算相关系数r ＝0.992 7，因此运动员的成绩和训练次数两个变量有较强的相关关系． (4)由上述分析可知，我们可用回归直线方程y ＝1.041 5x －0.003 88作为该运动员成绩的预报值．
将x ＝47和x ＝55分别代入该方程可得y ≈49和y ≈57.故预测该运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57.
黄烟中，经过药物处理的黄烟有25株发生青花病，60株没有发生青花病；未经过药物处理的
有185株发生青花病，200株没有发生青花病．试推断经过药物处理跟发生青花病是否有关系．
[解] 由已知得到下表：
根据2×2列联表中的数据，可以求得χ2
＝470×(25×200－185×60)
2
210×260×85×385
≈9.788.
因为χ2
＞6.6.35，
所以我们有99%的把握认为经过药物处理跟发生青花病是有关系的．
独立性检验问题的基本步骤 (1)找相关数据，作列联表. (2)求统计量χ2
.
(3)判断可能性，注意与临界值做比较，得出事件有关的可信度.
2．某学校高三年级有学生1 000名，经调查研究，其中750名同学经常参加体育锻炼(称为A 类同学)，另外250名同学不经常参加体育锻炼(称为B 类同学)．现用分层抽样方法(按A 类、B 类分两层)从该年级的学生中共抽查100名同学，如果以身高达165 cm 作为达标的标准，对抽取的100名学生，得到以下列联表：
体育锻炼与身高达标2×2列联表
(2)请问体育锻炼与身高达标是否有关系(χ2
值精确到0.01)?
参考公式：χ2
＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
.
[解] (1)
χ2
＝100×(40×15－35×10)2
75×25×50×50
≈1.33＜2.706，
所以没有充分的理由说明体育锻炼与身高达标有关系．。