向量和向量的基本运算
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向量及向量的基本运算
一、教学目标:1 •理解向量的有矢概念'掌握向量的加法与减法、实数与向量的积、向
量的数量积及其运算法则,理解向量共线的充要条件
2 •会用向量的代数运算法则、三角形法则、平行四边形法则解决有尖问题.不断培养并
深化用数形结合的思想方法解题的自觉意识
二、教学重点:向量的概念和向量的加法和减法法则.
三、教学过程:
(一)主要知识:
1 )向量的有尖概念
①向量:既有大小又有方向的量。
向量一般用a,b,c……来表示,或用有向线段的起点与终
点的大写字母表示,如:AB。
向量的大小即向量的模(长度)
②零向量:长度为0的向量,记为0,其方向是任意的,0与任意向量平行。
v注意与o的区别〉
③单位向量:模为1个单位长度的向量。
④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上。
相反向量:我们把与向量a长度相等,方向相反的向量叫做a的相反向量。
记作・a。
⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量。
相等向量经过平移后总可以重合,记为 a = bo
2)向量加法
①求两个向量和的运算叫做向量的加法。
设AB = a,BC二b,则a + b = AB BC=AC。
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”说明:d) 0, a=a, 0 = a :
(2)向量加法满足交换律与结合律;
3)向量的减法
①相反向量:与a长度相等、方向相反的向量,叫做a的相反向量°记作零向量
的相反向量仍是零向量。
尖于相反向量有:仃).(乜)=a ; (ii)
3 4- (1 3) = ( a)+a = 0;
(iii)若a、b是互为相反向量,则a=-b,b = -a,a + b =0。
②向量减法:向量a加上b的相反向量叫做a与b的差,记作:a-b=a, (-b)。
求两个向量差的运算,叫做向量的减法。
a・b的作图法:a七可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(a、b有共同起点)。
注:
(D用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那
条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量。
(2)三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。
4)实数与向量的积
①实数入与向量a的积是一个向量,记作入a,它的长度与方向规定如下:
(I) I点二国.a ;
(n)当/ ,0时,入a的方向与a的方向相同;当0时,入a的方向与a的方向相反;当,=0时,=0,方向是任意的。
②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。
实数与向量的积的运算律:设入、卩为实数,则
①入(a )=(入口)a
②(入+1) a=A a +1 a
—»—r
3 (a + b )=入^+入匕
5)两个向量共线定理
向量b与非零向量a共线:二有且只有一个实数■,使得b = ao
6)平面向量的基本定理
如果e《2是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数⑴z使:a二・pe2其中不共线的向量ei,e2nq做表示这一平面内所有向量的
—组基底。
7)特别注意:
(1)向量的加法与减法是互逆运算。
(2)相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件。
(3)向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线(即重合),而向量平行则包括共线(重合)的情况。
(4 )向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无矢,只与其相对位置有矢。
(二)主要方法:
1 •充分理解向量的概念和向量的表示;
2 •数形结合的方法的应用;
3. 用基底向量表示任一向量唯一性;
4. 向量的特例0和单位向量,要考虑周全.
(三)例题分析:
例1、判断卜列各命题是否正确
(1)零向量没有方向(2)(3)单位向量都相等(4)(5)两相等向量若共起点,则终点也相同若a = b,则a = b
向量就是有向线段
若a=b , b=c ‘贝U a=c ;
AB 二CD,BC = DA
(9)已知A( 3, 7), B( 5, 2),将AB按向量a=( 1, 2)平移后得到的向量"0的坐标为
(3,_ 3) (10) a=b的充要条件是|a|=|b|且a//b ;
解:⑴不正确,零向量方向任意,⑵确,单位向量的模为1,方向很多(4) 正确,笛)正确,向量相等有传递性不正确,说明模相等,还有方向(3)不正不正
确,有向线段是向量的一种表示形式(5)
(7)不正确‘因若b=o ‘则不共线的向量a,c
也有a//0, 0//c。
(8)不正确,如图J 7—c ______________________
二AB=CD,BC = DA (9)不正
・"X” = x+1
确,・・・a=( 1, 2),・••平移公式是丿,将A(3, 7), B( 5, 2)分别代入可求得
y = y+2
A (4,9),
B (6,4),故AB = (6,4 )-( 4,9 ) = (2, - 5 )。
(10)不正确,当a // b,且方向相反时,即使I a |=| b I,也不能得到a = b :
[点评]正确理解向量的有尖概念
例2、如图平行四边形ABCD的对角线OD,AB相交于点C,线段BC上有一点M满足
线段CD上有一点N满足CD= 3CN,设OA二a5OB =b试用a5b表示OM,ON,MN
1 1
解:;BM = I BC 二」BA
3
-OM =OB BM = a b .
——丄BA二丄・OB = [ a —b
—BM 6 6 6
1 4 2
CN = CD, ON = CD = OD
3 3 3
亠,・1」・MN=ON—OM
D
26
ON OD OA OB a b
3 3
[点评]根据向量的几何加减法则,能对图形中的向量进行互相表示
练习:
一■ 2 一
AB,DE 〃BC交AC于E,AM是BC边上中线交DE于N.设AB二a, AC二b,
3
ABC 用a,b分别表示向量AE,BC,DE,DN, AM 5AN •如图
解:AE=2b BC=b-a DE = 2G—a) DN = n b-a) 3,
AM 二一b a, AN 二一b a
2 3 A
例3、一条渔船距对岸4km,以2km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到
达对岸时,船的实际航程为8km,求河水的流速.
解:设AB表示垂直于对岸的速度,BC表示水流速度,则AC为实际速度航行时间为M
3 1 3
b
B
只D
在厶ABC 中AB = 2 |AC =4 BC = 2 屈所以,河水的流速为2 3km/h
[点评]求合力或分力,合速或分速问题用向量解是一种常见问题和三角形
要善于运用平行四边形法则
例4、在厶ABC中,DE分别为ABAC的中点,用向量的方法证明:
DE平行且等于0.5BC
1 -
分析:要证明DE平行且等于0.5BC,只要DE = 1 BC
2
解:如图DE = AE ・ AD, BC = Ac ・ AB
又D,E为中点
1 1 —
AD AB, AE AC 女2
即DE = AE _ AD 二1 AC _ AB = 1 BC
22
1
所以DE平行且等于一0.5BC
2
[点评]几何问题可以转化为向量问题的证明,往往会变的简单明了练习:已知G是厶ABC的重心,求证:GA GB • GC =0
证明:以向量GB,GC为邻边作平行四边形GBEC则GB+GC=GE = 2GD,又由G
ABC的重心知AG =2GD,从而GA - -2GD,二GA GB GC 二・2GD 2GD 二0。
例5、设3©是不共线的向量,已知向量AB二2© ■ ke2,CB = q ■ 3e2,CD = 2© - e2,
若A,B,D三点共线,求k的值
分析使AB —BD
解:BD 二CD ・ CB = q ・ 4e2,使AB =, BD 2q ke2 = ■⑥・4e2)
得-2, k —4, = k —8
[点评]共线或平行问题,用向量或坐标平行的充要条件解决
例3 •经过「QAB重心G的直线与OA,OB分别交于点P , Q ,
设OP=mOA,OQ= nOB , m, n R , 解:设
OA=a,OB=b,贝UOG」(a
3
1 1
PG =OG -OP 十・m)a —b
3 3
A
呻* i 屮1
PG ‘ 即 nb-ma 二-(m)a b 3
(m) Q
从而
3
,消去■得:
1 a n =
3
(四) 巩固练习:
1.已知梯形ABCD 中,|ABA2|5C|,
M ,N 分别是DC 、AB 的中点,
AD = e2,用 ei » e2表示 DC 、BC 、MN .
TTTT —!—I —I — t [T ・ 1 ・
(2) BC = BA AC 二AB AC = AD DC -AB = AD --AB =e 2 ei
22
—I —i T —I 1 i —* 1 T 1 T T 1 4 T MN = MD DA AN AB ・ AD 一 AB AB - AD e ・ e2 4 2 4 4 (1
)设两个非零向量ei
亦不共线,如果
AB =2A 3e 2, BC =6e (23e 2,CD =4A -8q ,求证:代 B, D 三点共线.
$丄设
◎ — 一 e 驾匕两个*不吻共线的向量,已知
A BJ 容<kj C 3
B 2A
e
:,若A,(B,CD 三点共线,求ek 的 (1)证明:因为B 片
…
6e ] 2 处,CD =46i —862
所以B 匕10'
又因为A 盟2e3佥 得 BD 二 5AB 即 BD//AB 又因为公共点B 所以代B,D 三点共线;
—A T — T-4 44 -4 -I
(2)解:_DB =CB_CD =e +3A _20 + 仓=4八 _e
AB =2q ke2 因为雪,D 共线 所以AB//DB
设 DB —AB
=2
由P,G,Q 共线,得
存在实数,,使得PQm
1
所以< 1 即丘二一丄;
四、小结:
1) 向量的有尖概念:①向量②零向量③单位向量④平行向量(共线向量)⑤相等向量
2) 向量加法减法:
3) 实数与向量的积
4) 两个向量共线定理
5) 平面向量的基本定理,基底
五、作业:。