广东省广州市天河区2018届九年级上学期期末考试数学试题(解析版)

2017-2018学年第一学期天河区期末考试
九年级数学
一､选择题(本题有十个小题，每小题三分，满分30分，下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.)
1. 下列图形是中心对称而不是轴对称的图形是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知选项A是中心对称图形，不是轴对称图形；选项B是中心对称图形，也是轴对称图形；选项C是中心对称图形，也是轴对称图形；选项D是不中心对称图形，是轴对称图形，故选A.
2. 下列事件是必然事件的是( )
A. 抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上
B. 打开电视频道，正在播放《今日在线》
C. 射击运动员射击一次，命中十环
D. 方程x²-x=0必有实数根
【答案】D
【解析】解：A．抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上，随机事件，故本选项错误；
B．打开电视频道，正在播放《今日在线》，随机事件，故本选项错误；
C．射击运动员射击一次，命中十环，随机事件，故本选项错误；
D．因为在方程x²-x=0中△=1﹣0=1＞0，必然事件，故本选项正确．
故选D．
3. 对于二次函数y=(x-1)²+2的图像，下列说法正确的是( )
A. 开口向下
B. 对称轴是x=-1
C. 顶点坐标是(1，2)
D. 与x轴有两个交点
【答案】C
【解析】试题分析：二次函数y=（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．
故选C．
考点：二次函数的性质．
4. 若函数的图像y=经过点(2，3)，则该函数的图像一定经过( )
A. (1，6)
B. (-1，6)
C. (2，-3)
D. (3，-2)
【答案】A
【解析】解：k=2×3．
A．∵1×6=6，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；
B．∵－1×6=－6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
D．∵3×（－2）=－6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误．
故选A．
5. Rt△ABC中，∠C=90º，AC=8cm，BC=6cm，以点C为圆心，5cm为半径的圆与直线AB的位置关系是( )
A. 相切
B. 相交
C. 相离
D. 无法确定
【答案】B
【解析】解：过C点作CD⊥AB，垂足为D．∵∠C=90°，BC=6，AC=8，由勾股定理得：AB==10，根据三角形计算面积的方法可知：BC×AC=AB×CD，∴CD==4.8＜5，∴⊙C与直线AB相交．故选B．
点睛：本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
6. 下列一元二次方程中，两个实数根之和为1的是( )
A. x²+x+2=0
B. x²+x-2=0
C. x²-x+2=0
D. x²-x-2=0
【答案】D
【解析】解：A．△=1－4×1×2=－7＜0，∴方程无实数根，故错误；
B．两根之和=－1，故错误；
C．△=1－4×1×2=－7＜0，∴方程无实数根，故错误；
D．两根之和=1，故正确．
故选D．
7. 一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元，设两次降价的百分率都为x，则x满足等式( )
A. 16(1+2x)=25
B. 25(1-2x)=16
C. 25(1-x)²=16
D. 16(1+x)²=25
【答案】C
【解析】解：第一次降价后的价格为：25×（1﹣x），第二次降价后的价格为：25×（1﹣x）2．
∵两次降价后的价格为16元，∴25（1﹣x）2=16．故选C．
8. 如图，已知CD为圆O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若角D=50º，则角C的度数是( )
A. 50º
B. 25º
C. 30º
D. 40º
【答案】B
【解析】解：∵OA∥DE，∴∠D=∠AOD=50°．∵OA=OC，∴∠ACO=∠OAC=∠AOD=25°．故选B．
9. 已知a≠0，函数y=与函数y=-ax²+a在同一直角坐标系的大致图像可能是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：当a＞0时，函数的图象位于一、三象限，y=﹣ax2+a的开口向下，交y轴的正半轴，没有符合的选项；
当a＜0时，函数的图象位于二、四象限，y=﹣ax2+a的开口向上，交y轴的负半轴，D选项符合．故选D．
点睛：本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象的知识，解题的关键是根据比例系数的符号确定其图象的位置，难度不大．
10. 把一副三角板如图放置其中∠ACB=∠DEC=90º，∠A=40º，∠D=30º，斜边AB=4，CD=5，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15º得到三角形D1CE (如图二)，此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为( )
A. B. C. D. 4
【答案】A
【解析】解：如图乙所示，∵∠3=15°，∠D1CE1=90°-30°=60°，∴∠BCO=60°-15°=45°．又
∵∠ACB=90°，∴∠ACO=45°，∴∠AOC=∠AOD1=90°．∵∠B=∠CAO=45°，∴AO=OB=OC=
AB=2（cm）．∵∠ACB=90°，∴CO=AB=×4=2（cm）．又
∵CD1=5（cm），∴OD1=CD1﹣OC=5﹣2=3（cm）．在Rt△AD1O中，
AD1===（cm）．故选A．
点睛：本题主要考查了勾股定理和旋转的性质，能熟练应用勾股定理，并且掌握旋转前后的两个图形完全相等．
二､填空题(本题有6个小题，每小题三分，共18分)
11. 如图，在△ABC中∠BAC=60º，将△ABC绕着点A顺时针旋转20º后，得到△ADE，则∠BAE=_____
【答案】80°
【解析】已知将△ABC绕着点A顺时针旋转40°后得到△ADE，那么∠BAD=40°，△ABC≌△ADE，已知
∠BAC=60°，所以∠BAE=40°+60°=100°．
解答：解：∵△ABC绕着点A顺时针旋转40°后得到△ADE，
∴∠BAD=40°，△ABC≌△ADE，
∴∠DAE=∠BAC
∵∠BAC=60°
∴∠BAE=40°+60°=100°．
故填空答案：100．
12. 已知方程x²+mx+3=0的一个根是1，则它另一个根是____
【答案】3
【解析】试题分析：设方程的另一个解是a，则1×a=3，
解得：a=3．
故答案是：3．
考点：根与系数的关系．
13. 袋中装有六个黑球和n个白球，经过若干次试验发现，若从中任摸一个球，恰好是白球的概率为，白球个数大约是___
【答案】2个
【解析】解：∵袋中装有六个黑球和n个白球，∴袋中一共有球（6+n）个．∵从中任摸一个球，恰好是白球的概率为，∴，解得：n=2．故答案为：2．
14. 如图，已知圆锥的母线长为2，高所在直线与母线的夹角为30º，则圆锥的侧面积为___
【答案】
【解析】解：∵AB=2，∠BAO=30°，∴BO=AB=1，∴圆锥的侧面积=．故答案为：2π．15. 如图点P(1，2)在反比例函数的图像上，当x<1时，y的取值范围是___
【答案】y>2或y<0
【解析】解：根据题意，反比例函数的图象在第一象限，y随x的增大而减小．
∵其图象过点（1，2），∴当0＜x＜1时，y的取值范围时y＞2．当x＜0时，y＜0．
故答案为：y＞2或y＜0．
点睛：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，体现了数形结合的思想，直接观察图象，根据反比例函数的图象作答即可．
16. 如图是二次函数y=ax²+bx+c 图像的一部分，图像过点A(－3，0)，对称轴为直线x=－1，给出以下五个结论:
①abc<0; ②b²-4ac>0; ③4b+c<0;
④若B(，y1)，C(y2)，y1，y2为函数图像上的两点，则y1>y2;
⑤当-3≤x≤1时，y≥0;
其中正确的结论是(填写代表正确结论的序号)_____
【答案】②③⑤.
【解析】由图象可知，a＜0，b＜0，c＞0，
∴abc＞0，故①错误．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，故②正确．
∵抛物线对称轴为x=-1，与x轴交于A（-3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
∴a+b+c=0，-=-1，
∴b=2a，c=-3a，
∴4b+c=8a-3a=5a＜0，故③正确．
∵B（-，y1）、C（-，y2）为函数图象上的两点，
又点C离对称轴近，
∴y1，＜y2，故④错误，
由图象可知，-3≤x≤1时，y≥0，故⑤正确．
∴②③⑤正确，
故答案是：②③⑤．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是灵活应用图中信息解决问题．
三.解答题(本题有9个小题，共102分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤)
17. (1).解方程:x²-8x+1=0 ;
(2).若方程x²-4x-5=0的两根分别为x1，x2，求x1²+x2²的值;
【答案】(1); ；（2）26.
【解析】试题分析：（1）根据公式法求解即可；
（2）利用根与系数的关系得出：和的值．由即可得到答案．
试题解析：解：
（1）∵a=1，b=-8，c=1，△=64－4=60＞0，∴x==，∴，；
（2）由根与系数的关系得：，，∴=16-2×（－5）=16+10=26．18. 如图，若等腰三角形△ABC中AB=AC，O是底边BC的中点，圆O与腰AB相切于点D，求证:AC与圆O相切.
【答案】证明见解析.
【解析】试题分析：要证AC与⊙O相切，只要证明圆心O到AC的距离等于圆的半径即可．连接OD，过点O作OE⊥AC于E点，证明OE=OD．
试题解析：证明：连接OD，过点O作OE⊥AC于E点，则∠OEC=90°．∵AB切⊙O于
D，∴OD⊥AB，∴∠ODB=90°，∴∠ODB=∠OEC．
又∵O是BC的中点，∴OB=OC．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△OBD≌△OCE，
∴OE=OD，即OE是⊙O的半径，∴AC与⊙O相切．
19. 如图，△AOB的三个顶点都在网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为一个长度单位，以点O建立平面直角坐标系，若△AOB绕点O逆时针旋转90º后，得到△A1OB1(A和A1是对应点)
(1)写出点A1，B1的坐标;
(2)求旋转过程中边OB扫过的面积(结果保留π);
【答案】（1）作图见解析；（2）.
【解析】试题分析：（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点A1、B1即可得到△A1OB1；（2）由于旋转过程中边OB扫过的部分为以O为圆心，OB为半径，圆心角为90度的扇形，于是利用扇形面积公式可求解．
试题解析：解：（1）如图，△A1OB1为所作；
（2）OB==，所以旋转过程中边OB扫过的面积==．
点睛：本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．20. 摸球活动:在一个口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1､2､3､4，随机摸取一个小球，
然后放回，再随机摸出一个小球，此活动回答以下问题
(1)求“两次取的小球标号相同”这个事件的概率;
(2)设计一个概率为的事件，并说明理由.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）根据题意画出树状图，两次取的小球的标号相同的情况有4种，再计算概率；（2）答案不唯一，如两次取的小球的标号为“一奇一偶”的概率．
试题解析：解：（1）如图：
两次取的小球的标号相同的情况有4种，概率为P=．
（2）答案不唯一，如两次取的小球的标号为“一奇一偶”的概率．
如图：
随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，共有16种等可能的结果数，其中两次取的小球的标号为“一奇一偶”的占8种，所以两次取的小球的标号为“一奇一偶”的概率P=．故答案为：．
点睛：本题考查了列表法或树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数n，再找出某事件所占有的结果数m，然后利用概率的概念求得这个事件的概率=．
21. 北方某水果商店从南方购进一种水果，其进货成本是每吨0.4万元，根据市场调查，这种水果在北方市场上的销售量为y(吨)，销售价x( 万元)之间的函数关系为y=-x+2.6.
(1)当每吨销售价为多少万元时，销售利润为0.96万元?
(2)填空当每吨销售价为万元时，可得最大利润为万元.
【答案】（1）1万元或2万元；（2）1.5；1.21
【解析】试题分析：（1）由销售量y=﹣x+2.6，而每吨的利润为x﹣0.4，所以w=y（x﹣0.4）；
（2）解出（1）中的函数是一个二次函数，对于二次函数取最值可使用配方法．
试题解析：解：（1）w=（﹣x+2.6）（x﹣0.4）=﹣x2+3x﹣1.04
（2）w=﹣x2+3x﹣1.04=﹣（x﹣1.5）2+1.21
当x=1.5时，w最大=1.21
∴每吨销售价为1.5万元时，销售利润最大，最大利润是1.21万元．
22. 如图，已知点D在双曲线y=(x大于零) 的图像上，以D为圆心的圆D与y轴相切于点C (0，4)，与x轴交于A､B两点.
(1)求点D的坐标;
(2)求点A和点B的坐标;
【答案】（1）D（5，4）；（2）A（2，0），B（8，0）.
【解析】试题分析：（1）由以D为圆心的⊙D与y轴相切于点C（0，4），得到点D的纵坐标是4．又由点D在双曲线（x＞0）的图象上，即可得到结论；
（2）如图，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，连接AD，BD．在Rt△DAE中，由勾股定理可求得AE的长，从而求的OA，OB的长，即可得到结论．
试题解析：解：（1）∵以D为圆心的⊙D与y轴相切于点C（0，4），∴点D的纵坐标是4．又∵点D在双曲线（x＞0）的图象上，∴4=，解得：x=5．故点D的坐标是（5，4）；
（2）如图，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，连接AD，BD．在Rt△DAE中，
DA=5，DE=4，∴AE==3，∴OA=OE－AE=2，OB=OA+2AE=8，∴A（2，0），B（8，0）．
23. 如图，已知二次函数y=ax²+bx+c的图像过点A(2，0 )，B(0，－1) 和C(4，5)，
与x轴的另一个交点为D.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)求三角形BDC的面积.
【答案】（1）y=x2-x-1；（2）5.
【解析】试题分析：（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点坐标代入解析式得到方程组，求解即可；
（2）首先求出点D坐标，求出直线BC的解析式，求出直线BC与x轴的交点H坐标，根据S△BCD=S△DHC+S△DHB 计算即可．
试题解析：解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点坐标代入解析式得到：，解得：，∴抛物线的解析式为．
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点睛：本题考查了二次函数的图象和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用图象解决实际问题，属于中考常考题型．
24. 如图，过点A(1，0)作x轴的垂线，交反比例函数y=(x大于零)的图象交于点M，已知三角形AOM的面积为3.
(1)求k的值;
(2)设点B的坐标为(t，0)，若以AB为一边的正方形ABCD有顶点在该反比例函数的图像上，求t的值.
【答案】（1）6；（2）7或3．
【解析】试题分析：（1）根据反比例函数k的几何意义得到|k|=3，可得到满足条件的k=6，于是得到反比例函数解析式为；
（2）分两种情况讨论：①当以AB为一边的正方形ABCD的顶点D在反比例函数的图象上，则D点与M点重合，即AB=AM，再利用反比例函数图象上点的坐标特征确定M点坐标为（1，6），则AB=AM=6，所以t=1+6=7；
②当以AB为一边的正方形ABCD的顶点C在反比例函数的图象上，根据正方形的性质得AB=BC=t﹣1，则C点坐标为（t，t﹣1），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征得到t（t﹣1）=6，再解方程得到满足条件的t的值．
试题解析：解：（1）∵△AOM的面积为3，∴|k|=3，而k＞0，∴k=6，∴反比例函数解析式为；
（2）分两种情况讨论：①当以AB为一边的正方形ABCD的顶点D在反比例函数的图象上，则D点与M点重合，即AB=AM，把x=1代入得y=6，∴M点坐标为（1，6），∴AB=AM=6，∴t=1+6=7；
②当以AB为一边的正方形ABCD的顶点C在反比例函数的图象上，则AB=BC=t﹣1，∴C点坐标为（t，t﹣1），∴t（t﹣1）=6，整理为t2﹣t﹣6=0，解得t1=3，t2=﹣2（舍去），∴t=3．
综上所述：以AB为一边的正方形有一个顶点在反比例函数的图象上时，t的值为7或3．
点睛：本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式（k 为常数，k≠0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；（3）解方程，求出待定系数；（4）写出解析式．也考查了反比例函数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征和正方形的性质．
25. 已知抛物线y=x²+bx+c的顶点为D，且经过A(1，0);B(0，2) 两点，将△OAB绕点A顺时针旋转90º后，点B落到点C的位置，将该抛物线沿着对称轴上下平移，使之经过点C，此时得到的新抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D.
(1)求新抛物线的解析式；
(2)若点N在新抛物线上，满足三角形NBB1的面积是三角形NDD1面积的2倍，求点N坐标.
【答案】（1）y=x2-3x+2；（2）（1，-1）或（3，1）．
【解析】试题分析：（1）利用待定系数法，将点A，B的坐标代入解析式即可求得原抛物线解析式；（2）根据旋转的知识可得：A（1，0），B（0，2），由OA=1，OB=2，可得旋转后C点的坐标为（3，1），当x=3时，由y=x2﹣3x+2得y=2，可知抛物线y=x2﹣3x+2过点（3，2），故可知将原抛物线沿对称轴向下平移1个单位后过点C．于是得到平移后的抛物线解析式．根据三角形面积求法和二次函数图象上点的坐标特征来求点N的坐标．
试题解析：解：（1）由抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点得，∴，解
得：，所以原抛物线为：y=x2﹣3x+2=（x﹣）2﹣，则D（，﹣）；
（2）∵A（1，0），B（0，2），∴OA=1，OB=2，可得旋转后C点的坐标为（3，1），当x=3时，由
y=x2﹣3x+2得y=2，可知抛物线y=x2﹣3x+2过点（3，2），∴将原抛物线沿对称轴向下平移1个单位后过点C，∴平移后的抛物线解析式为：y=x2﹣3x+1，D1（，﹣）．
又点N在平移后的抛物线上，且△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍，∴点N到y轴的距离是到直线DD1距离的2倍，易求得N（1，﹣1），或（3，1）．
点睛：本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的图象的变换的知识点，熟练掌握图象变换等知识是解答本题的关键，此题很容易结合一次函数出现在综合题中，需要同学们注意．。