【重难点专练】苏教版数学中考培优竞赛专题 存在性问题之相似三角形(含答案)

第26讲 存在性问题之相似三角形
相似存在性问题常涉及的思想方法为反证法，即将问题“何种情况下相似？”转化为“相似时能得到何种情况”
【例题讲解】
例题1、如图，在直角坐标系中有两点(4,0)A ，(0,2)B ，如果点C 在x 轴上(C 与A 不重合），当BOC ∆和AOB ∆相似时，C 点坐标为 ．
解：点C 在x 轴上，
90BOC ∴∠=︒两个三角形相似时，应该与90BOA ∠=︒对应，
若OC 与OA 对应，则4OC OA ==，(4,0)C -；
若OC 与OB 对应，则1OC =，(1,0)C -或者(1,0)．
C ∴点坐标为：(4,0)-，(1,0)-或(1,0)．
故答案为：(4,0)-，(1,0)-或(1,0)．
②如图，在ABC ∆中，8AB cm =，16BC cm =，动点P 从点A 开始沿AB 边运动，速度为2/cm s ；动点Q
从点B 开始沿BC 边运动，速度为4/cm s ；如果P 、Q 两动点同时运动，那么何时QBP ∆与ABC ∆相似？
解：当BPQ BAC ∆∆~时，有BP BQ BA BC =即6236
8t t -=所以2417t = 当BPQ BCA ∆∆~时，有BP BQ BC BA =即62386t t -=所以1t =所以24117t =或
例题2.将三角形纸片()ABC ∆按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B '，折痕为EF ．已
知3AB AC ==，4BC =，若以点B '、F 、C 为顶点的三角形与ABC ∆相似，那么BF 的长度是 ．
解：根据△B FC '与ABC ∆相似时的对应情况，有两种情况：
①△B FC ABC '∆∽时，
B F CF AB B
C '=， 又因为3AB AC ==，4BC =，B F BF '=， 所以
434BF BF -=， 解得
127BF =； ②△B CF ABC '∆∽时，
B F CF BA CA '=， 又因为3AB A
C ==，4BC =，B F CF '=，BF B F ='，
所以4BF B F =-'，
解得2BF =．
故BF 的长度是12
7或2． 故答案为：12
7或2．
例题3.如图，已知ABC ∆是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、 BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1/cm s ，点Q 运动的速度是2/cm s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两 点都停止运动，设运动时间为()t s ，解答下列问题：
（1）当2t =时，判断BPQ ∆的形状，并说明理由；
（2）作//QR BA 交AC 于点R ，连接PR ，当t 为何值时，APR PRQ ∆∆∽．
解：（1）BPQ ∆是等边三角形
当2t =时
212AP =⨯=，224BQ =⨯=
624BP AB AP ∴=-=-=
BQ BP ∴=
又60B ∠=︒
BPQ ∴∆是等边三角形；
（2）//QR BA
60QRC A ∴∠=∠=︒，60RQC B ∠=∠=︒
QRC ∴∆是等边三角形
62QR RC QC t ∴===- 1cos6022BE BQ t t =︒=⨯=
662EP AB AP BE t t t ∴=--=--=-
//EP QR ∴，EP QR =
∴四边形EPRQ 是平行四边形
PR EQ ∴==
又90PEQ ∠=︒， 90APR PRQ ∴∠=∠=︒
APR PRQ ∆∆∽，
∴QR PR PR AP =，
∴= 解得65t =
∴当65t =时，APR PRQ ∆∆∽．
例题4.如图，已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为(4,0)A -、(1,0)B 、(2,6)C -．
（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式；
（2）设直线BC 交y 轴于点E ，连接AE ，求证：AE CE =；
（3）设抛物线与y 轴交于点D ，连接AD 交BC 于点F ，试问以A 、B 、F 为顶点的三角形与ABC ∆相似吗？
解析：（1）设函数解析式为：2y ax bx c =++，由函数经过点A （﹣4，0）、B （1，0）、C （﹣2，6），
可得16400426a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解得：134a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式为：
234y x x =--+ （2）设直线BC 的函数解析式为y=kx+b ，由题意得：026k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得：22k b =-⎧⎨=⎩，即直线BC 的解析式
为22y x =-+．故可得点E 的坐标为（0，2），从而可得：
AE ==
CE=
=，故可得出AE=CE ；
（3）相似．理由如下：设直线AD 的解析式为y=kx+b ，则
404k b b -+=⎧⎨=⎩，解得：14k b =⎧⎨=⎩，即直线AD 的解析式为4y x =+．联立直线AD 与直线BC 的函数解析式可得：224y x y x =-+⎧⎨=+⎩，解得：23103x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪
⎩，即点F 的坐标为210(,)33-
，则BF ==，又∵AB=5
，BC ==
BF AB AB BC =，∴BF AB AB BC =，又∵∠ABF=∠CBA ，∴△ABF ∽△CBA ．故以A 、B 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似
例题5.如图，抛物线212y x mx n =++与直线132y x =-+交于A ，B 两点，交x 轴与D ，C 两点，连接AC ，BC ，已知(0,3)A ，(3,0)C ．
（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan BAC ∠的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下，P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ PA ⊥交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与ACB ∆相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）把(0,3)A ，(3,0)C 代入
212y x mx n =++，得 31902n mx n =⎧⎪⎨⨯++=⎪⎩， 解得：523m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩．
∴抛物线的解析式为215322y x x =-+． 联立213215322y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，
解得：03x y =⎧⎨=⎩或41x y =⎧⎨=⎩，
∴点B 的坐标为(4,1)．
过点B 作BH x ⊥轴于H ，如图1．(3,0)C ，(4,1)B ，
1BH ∴=，3OC =，4OH =，431CH =-=，1BH CH ∴==．
90BHC ∠=︒，45BCH ∴∠=︒，BC =．
同理：45ACO ∠=︒，AC =
180454590ACB ∴∠=︒-︒-︒=︒，
1tan
3BC BAC AC ∴∠===；
（Ⅱ）（1）存在点P ，使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与ACB ∆相似．
过点P 作PG y ⊥轴于G ，则90PGA ∠=︒．
设点P 的横坐标为x ，由P 在y 轴右侧可得0x >，则PG x =．
PQ PA ⊥，90ACB ∠=︒，90APQ ACB ∴∠=∠=︒．
若点G 在点A 的下方，
①如图2①，当PAQ CAB ∠=∠时，则PAQ CAB ∆∆∽．
90PGA ACB ∠=∠=︒，PAQ CAB ∠=∠，PGA BCA ∴∆∆∽， ∴13PG BC AG AC ==．
33AG PG x ∴==．
则(,33)P x x -．把(,33)P x x -代入215322y x x =-+，得：21533322x x x -+=-，
整理得：20x x +=，解得：10x =（舍去），21x =-（舍去）．
②如图2②，当PAQ CBA ∠=∠时，则PAQ CBA ∆∆∽． 同理可得：
1133AG PG x ==，则1(,3)3P x x -， 把1(,3)3P x x -代入215322y x x =-+，得：2151332
23x x x -+=-， 整理得：21303x x -=，解得：10x =（舍去），2133x =，13(3P ∴，14)9；
若点G 在点A 的上方，
①当PAQ CAB ∠=∠时，则PAQ CAB ∆∆∽，
同理可得：点P 的坐标为(11,36)．
②当PAQ CBA ∠=∠时，则PAQ CBA ∆∆∽．
同理可得：点P 的坐标为17(3P ，44)9．
综上所述：满足条件的点P 的坐标为(11,36)、13(3，14)9、17(3，44)9．
【巩固练习】
1、如图，在△ABC 中，AB=4，AC=3，点D 、E 分别为AB 、AC 边上一动点，AD=1，当AE 的长为多少时，
A 、D 、E 三点组成的三角形和△ABC 相似？；
2.如图，直线12y kx =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点(1,)C a 、(,2)D b -是直线与双曲线
2m y x =的两
个交点，过点C 作CE y ⊥轴于点E ，且BCE ∆的面积为1．
（1）求双曲线的函数解析式；
（2）若在y 轴上有一动点F ，使得以点F 、A 、B 为顶点的三角形与BCE ∆相似，求点F 的坐标．
3.如图，矩形ABCD 中，2AB =，4AD =，动点E 在边BC 上，与点B 、C 不重合，过点A 作DE 的垂线，交直线CD 于点F ．设DF x =，EC y =．
（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围．
（2）当1CF =时，求EC 的长．
（3）若直线AF 与线段BC 延长线交于点G ，当DBE ∆与DFG ∆相似时，求DF 的长．
4.阅读理解：
如图1，在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E （点E 不与点A 、点B 重合），分别连接ED ，EC ，可以 把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上 的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的强相似点．
解决问题：
（1）如图1，55A B DEC ∠=∠=∠=︒，试判断点E 是否是四边形ABCD 的边AB 上的相似点，并说明理由；
（2）如图2，在矩形ABCD 中，5AB =，2BC =，且A ，B ，C ，D 四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1)的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD 的边AB 上的一
个强相似点E；
拓展探究：
（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．
5.如图，已知二次函数
1
(2)()
48
y x ax b
=++
的图象过点(4,3)
A-，(4,4)
B．
（1）求二次函数的解析式：
（2）求证：ACB
∆是直角三角形；
（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D为顶点的三角形与ABC
∆相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6.如图，某抛物线顶点坐标为(2,1)-与y 轴交于点(0,3)C ，与x 轴交于A 、B 两点
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，连接AC 、AD ，求ACD ∆的面积．
（3）点E 为直线BC 上一动点，过点E 作y 轴的平行线EF ，与抛物线交于点F ，问是否存在点E ，使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与BCO ∆相似？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
7.如图，直线3y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、C ，经过A 、C 两点的抛物线2y ax bx c =++
与x 轴的负半轴上另一交点为B ，且tan 3CBO ∠=．
（1）求该抛物线的解析式及抛物线的顶点D 的坐标；
（2）若点P 是射线BD 上一点，且以点P 、A 、B 为顶点的三角形与ABC ∆相似，求点P 的坐标．
8.如图，已知二次函数2(y x bx c b =-++，c 为常数）的图象经过点(3,1)A ，点(0,4)C ，顶
点为点M ，过点A 作//AB x 轴，交y 轴于点D ，交该二次函数图象于点B ，连结BC ．
（1）求该二次函数的解析式及点M 的坐标；
（2）若将该二次函数图象向下平移(0)m m >个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点
落在ABC ∆的内部（不包括ABC ∆的边界），求m 的取值范围；
（3）点P 是直线AC 上的动点，若点P ，点C ，点M 所构成的三角形与BCD ∆相似，请直接写出所有点P 的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．
9.如图所示，已知抛物线(3)(1)(0)y a x x a =+-≠，与x 轴从左至右依次相交于A 、B 两点，与y 轴相交于
点C ，经过点A 的直线y b =+与抛物线的另一个交点为D ．
（1）若点D 的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；
（2）若在第三象限内的抛物线上有点P ，使得以A 、B 、P 为顶点的三角形与ABC ∆相似，求点P 的坐标；
10.如图，已知抛物线的方程
11:(2)()(0)C y x x m m m =-+->与x 轴相交于点B 、C ，与y 轴相交于点E ，
且点B 在点C 的左侧． （1）若抛物线1C 过点(2,2)M ，求实数m 的值；
（2）在第四象限内，抛物线1C 上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与BCE ∆相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．
11、如图，已知抛物线211(1)(444b y x b x b =-++是实数且2)b >与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．
（1）点B 的坐标为 (,0)b ，点C 的坐标为 （用含b 的代数式表示）；
（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且PBC ∆是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得QCO ∆，QOA ∆和QAB ∆中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．
参考答案
1.解：①如图1，∵∠A=∠A ，∴当
AD AE AB AC = 时，△ADE 和△ABC 相似， ∴14
3AE = ，解得：AE=34 ； ②如图2，∵∠A=∠A ，∴当
AD AE AC AB = 时，△ADE 和△ACB 相似， ∴ 1
34AE =，解得：AE=43 ，综合上述：AE 的长为34 或4
3
；
2.解：（1）当0x =时，2y =，
(0,2)B ∴．
点(1,)C a ，
11|2|1122BCE S BE CE a ∆∴==⨯-⨯=， 解得：4a =或0a =（舍去），
(1,4)C ∴．
点(1,4)C 在双曲线2m y x =上，
144m ∴=⨯=，
∴双曲线的函数解析式为24
y x =．
（2）BCE ∆为直角三角形，点F 在y 轴上，
∴点F 在点B 的下方，ABF CBE ∠=∠，
∴有存在两种情况（如图所示）:
①当90AFB ∠=︒时，点F 与点O 重合，
∴此时点F 的坐标为(0,0)；
②当90FAB ∠=︒时，设点F 的坐标为(0,)n ．
点(1,4)C 在直线12y kx =+上，
4k x ∴=+，2k =，
∴直线122y x =+．
当0y =时，1x =-，
(1,0)A ∴-．
(0,2)B ，(1,4)C ，
(0,4)E ∴，2BE =
，AB
BC ，2BF n =-．
FAB CEB ∆∆∽， ∴BF AB
BC BE =
=
， 解得：1
2n =-，
此时点F 的坐标为1(0,)2-．
综上可知：点F 的坐标为(0,0)或1(0,)2-．
3.解（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴DC=AB=2，
∠ADC=∠BCD=90°． 又∵AF ⊥DE ，∴∠ADF=∠DCE=90°，∠DAF=
∠EDC=90°-∠DFA ，
∴△ADF ∽△DCE ，∴AB DF CD CE =∴42x y =，即12y x =
∵点E 在线段BC 上，与点B 、C 不重合，
∴0<y<4，∴0<1042x <<即0<x<8，∴1
2y x =（0<x<8）；
（2）①当点F 线段DC 上时，
∵CF=1，∴DF=x=2-1=1，此时
1122CE y x ===； ②当点F 线段DC 延长线上时，
∵CF=1，∴DF=x=2+1=3，此时1322CE y x ===
∴当CF=1时，EC 的长为
1322或．
（3）在Rt ADF ∆中，=
在Rt DCE ∆中，==∵AD//BC ∴△ADF ∽△GCF ∴AF DF GF CF =∴2CF AF FG DF x -==∵90DEC ADF EDC ∠=∠=︒-∠∴BED DFG ∠=∠∴当△DBE 与△DFG 相似时,可分以下两种情况：
①△DEB∽△GFD ，如图，有
ED FG EB FD =∴ED FD FG EB = 221)2x x x x -=-解得85x =
②△DEB∽△DFG, 如图，有ED FD EB FG =∴ED FG FD EB =2221(4)2x x x x x -=-解得
4
3x =
综上所述：DF 的长为85或4
3
4.解析：（1）点E 是四边形ABCD 的边AB 上的相似点．
理由：∵∠A=55°，∴∠ADE+∠DEA=125°．
∵∠DEC=55°，∴∠BEC+∠DEA=125°∴∠ADE=∠BEC ．∵∠A=∠B ，∴△ADE ∽△BEC ．∴点E 是四边形ABCD 的AB 边上的相似点．
（2）作图如下：
（3）∵点E 是四边形ABCM 的边AB 上的一个强相似点，∴△AEM ∽△BCE ∽△ECM ，
∴∠BCE=∠ECM=∠AEM ．
由折叠可知：△ECM≌△DCM∴∠ECM=∠DCM ，CE=CD ∴∠BCE=∠BCD=30°∴BE=CE=AB
在Rt△BCE 中，tan ∠BCE=BE BC
=tan30°∴BE BC =
，∴
AB BC =
5.解：（1）由题意得，函数图象经过点(4,3)A -，(4,4)B ， 故可得：13(42)(4)4814(42)(4)48a b a b ⎧=-+-+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩，
解得：1320a b =⎧⎨=-⎩， 故二次函数关系式为：
1(2)(1320)48y x x =+-． （2）由（1）所求函数关系式可得点C 坐标为(2,0)-，点D 坐标为20
(
13，0)， 又点(4,3)A -，(4,4)B ，
AB ∴
AC
BC =
满足222AB AC BC =+， ACB ∴∆是直角三角形．
（3）存在点P 的坐标，点P 的坐标为
50(13-，35)13或122(13-，284)13．
设点P 坐标为(x ，1(2)(1320))48x x +-，则1(2)(1320)48PH x x =+-，
2013HD x =-+， ①若DHP BCA ∆∆∽，则PH DH AC BC =
120(2)(1320)x x x +--+= 解得：5013x =-或2013x =（因为点P 在第二象限，故舍去）； 代入可得3513PH =，即1P 坐标为
50(13-，35)13； ②若PHD BCA ∆∆∽，则PH HD BC AC =
120(2)(1320)x x x +--+= 解得：12213x =-或2013x =（因为点P 在第二象限，故舍去）． 代入可得28413PH =，即2P 坐标为：122(13-，284)13．
综上所述，满足条件的点P 有两个，即
150(13P -，35)13、
2122(13P -，284)13．
6.解：（1）依题意，设抛物线的解析式为
2(2)1y a x =--，将(,3)C O 代入， 得：2(02)13a --=，解得1a =，
所以抛物线的解析式：2(2)1y x =--，即
243y x x =-+；
（2）243y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点，
(1,0)A ∴、(3,0)B ；
设直线BC 的解析式为：3y kx =+，代入点B 的坐标后，得：
330k +=，解得1k =-，
∴直线:3BC y x =-+；
抛物线
243y x x =-+的对称轴为：2x =，则(2,1)D ；
AD ∴=
，AC =
CD =
即：222AC AD CD =+，
ACD ∴∆是直角三角形，且AD CD ⊥；
11
222ACD S AD CD ∆∴==⨯；
（3）由题意知：//EF y 轴，则FED OCB ∠=∠，若OCB ∆与FED ∆相似，则有：
①90DFE ∠=︒，即//DF x 轴； 将点D 纵坐标代入抛物线的解析式中，得：
2431x x -+=，解得2x =
当2x =31y x =-+=
当2x =31y x =-+=+；
所以1(2E 1、2(2E -，1．
②90EDF ∠=︒；
易知，直线:1AD y x =-，联立抛物线的解析式有：
2431x x x -+=-，
2540x x -+=，
解得11x =、24x =；
当1x =时，32y x =-+=；
当4x =时，31y x =-+=-；
所以3(1,2)E 、4(4,1)E -．
综上，存在符合条件的点E ，且坐标为：(2+1、(2-1+、(1,2)、(4,1)-．
7.解：（1）令0y =，则30x +=，
解得3x =-，
令0x =，则3y =，
∴点(3,0)A -，(0,3)C ，
3OA OC ∴==，
tan 3OC CBO OB ∠==，
1OB ∴=，
∴点(1,0)B -，
把点A 、B 、C 的坐标代入抛物线解析式得，93003a b c a b c c -+=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，
解得143a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，
∴该抛物线的解析式为243y x x =++，
2243(2)1y x x x =++=+-，
∴顶点(2,1)D --；
（2）(3,0)A -，(1,0)B -，
1(3)2AB ∴=---=，
OA OC =，90AOC ∠=︒，
AOC ∴∆是等腰直角三角形，
AC ∴==45BAC ∠=︒，
(1,0)B -，(2,1)D --，
45ABD ∴∠=︒，
①AB 和BP 是对应边时，ABC BPA ∆∆∽， ∴AB AC BP BA =，
即22BP
=，
解得3BP =，
过点P 作PE x ⊥轴于E ，
则
2323BE PE ===， 25133OE ∴=+=，
∴点P 的坐标为5(3-，2)3-；
②AB 和BA 是对应边时，ABC BAP ∆∆∽， ∴AB AC BA BP =，
即
22=，
解得BP =，
过点P 作PE x ⊥轴于E ，
则
3BE PE ===， 134OE ∴=+=，
∴点P 的坐标为(4,3)--，
综上所述，点P 的坐标为5(3-，2)3-或(4,3)--时，以点P 、A 、B 为顶点的三角形与ABC ∆相似．
8.解：（1）把点(3,1)A ，点(0,4)C 代入二次函数
2y x bx c =-++得，
23314b c c ⎧-++=⎨=⎩ 解得24b c =⎧⎨=⎩
∴二次函数解析式为224y x x =-++，
配方得
2(1)5y x =--+， ∴点M 的坐标为(1,5)；
（2）设直线AC 解析式为y kx b =+，把点(3,1)A ，(0,4)C 代入得，
314k b b +=⎧⎨=⎩ 解得14k b =-⎧⎨=⎩
∴直线AC 的解析式为4y x =-+，如图所示，对称轴直线1x =与ABC ∆两边分别交于点E 、点F
把1x =代入直线AC 解析式4y x =-+解得3y =，则点E 坐标为(1,3)，点F 坐标为(1,1) 153m ∴<-<，解得24m <<；
（3）连接MC ，作MG y ⊥轴并延长交AC 于点N ，则点G 坐标为(0,5)
1MG =，541GC =-=
MC ∴=
把5y =代入4y x =-+解得1x =-，则点N 坐标为(1,5)-，
NG GC =，GM GC =，
45NCG GCM ∴∠=∠=︒，
90NCM ∴∠=︒，
由此可知，若点P 在AC 上，则90MCP ∠=︒，则点D 与点C 必为相似三角形对应点
①若有PCM BDC ∆∆∽，则有
MC CD CP BD = 1BD =，3CD =，
23MC BD CP CD ⨯∴==，
3CD DA ==，
45DCA ∴∠=︒， 若点P 在y 轴右侧，作PH y ⊥轴，
45PCH ∠=︒，CP =
1
33PH ∴=
把13x =代入4y x =-+，解得113y =， 1111(,)33P ∴；
同理可得，若点P 在y 轴左侧，则把
13x =-代入4y x =-+，解得133y =
2113(,)33P ∴-； ②若有PCM CDB ∆∆∽，则有
MC BD CP CD =
CP ∴=
3PH ∴=，
若点P 在y 轴右侧，把3x =代入4y x =-+，解得1y =；
若点P 在y 轴左侧，把3x =-代入4y x =-+，解得7y =
3(3,1)P ∴；4(3,7)P -．
∴所有符合题意得点P 坐标有4个，分别为1111(,)33P ，
2113(,)33P -，3(3,1)P ，4(3,7)P -．
9.解：（1）(3)(1)y a x x =+-，
∴点A 的坐标为(3,0)-、点B 两的坐标为(1,0)，
直线y b =+经过点A ，
b ∴=-
y ∴=-
当2x =时，y =-
则点D 的坐标为(2,-，
点D 在抛物线上，
(23)(21)a ∴+-=-
解得，a =
则抛物线的解析式为23)(1)y x x =+-=-+
（2）如图1中，作PH x ⊥轴于H ，设点P 坐标(,)m n ，
当BPA ABC ∆∆∽时，BAC PBA ∠=∠，
tan tan BAC PBA ∴∠=∠，即OC PH OA HB =，
∴33
1a n m --=-+，即(1)n a m =--， ∴(1)(3)(1)n a m n a m m =--⎧⎨=+-⎩解得4m =-或1（舍弃）， 当4m =-时，5n a =，
BPA ABC ∆∆∽， ∴AC AB AB PB =，
2AB AC PB ∴=，
2249
2525a ∴=+
解得a =或（舍弃），
则5n a ==，
∴点P 坐标(4,-． 当PBA ABC ∆∆∽时，CBA PBA ∠=∠，
tan tan CBA PBA ∴∠=∠，即OC PH OB HB =，
∴31
1a n m --=-+， 3(1)n a m ∴=--，
∴3(1)(3)(1)n a m n a m m =--⎧⎨=+-⎩，
解得6m =-或1（舍弃），
当6m =-时，21n a =，
PBA ABC ∆∆∽， ∴BC AB BA PB =，即2AB BC PB =，
22247(21∴=+-
解得a =或（不合题意舍弃），
则点P 坐标(6,--，
综上所述，符合条件的点P 的坐标
(4,-和(6,--．
10.解：（1）依题意，将(2,2)M 代入抛物线解析式得： 12(22)(2)m m =-+-，解得4m =．
（2）分两种情形讨论：
①当BEC BCF ∆∆∽时，如解答图2所示． 则BE BC BC BF =，
EBC CBF ∴∠=∠，2BC BE BF =．
由函数解析式可得：(2,0)B -，(0,2)E ，即OB OE =， 45EBC ∴∠=︒，
45CBF ∴∠=︒，
作FT x ⊥轴于点T ，则45BFT TBF ∠=∠=︒， BT TF ∴=．
∴设(F a ，2)(0)a a -->，又点F 在抛物线上， 12(2)()a a a m m ∴--=-+-，
20a +>，
0a >，
2a m ∴=，(2,22)F m m --．
此时
1)BF m +，BE =2BC m =+，
又2BC BE BF =，
2(2)22(1)m m ∴+=+，
2m ∴=±
0m >，
2m ∴=．
②当BEC FCB ∆∆∽时，如解答图3所示． 则
BC EC BF BC =， 2BC EC BF ∴=．
BEC FCB ∆∆∽
CBF ECO ∴∠=∠，
90EOC FTB ∠=∠=︒， BTF COE ∴∆∆∽，
∴2TF OE BT OC m ==，
∴设(F b ，2(2))(0)b b m -+>
又点F 在抛物线上，
∴21(2)(2)()b b b m m m -+=-+-，
0b >，
20b ∴+>，
2b m ∴=+，
(2F m ∴+，2(4))m m -
+，EC =2BC m =+， 又2BC EC BF =，
2(2)(2m m ∴+=++整理得：016=，显然不成立．
综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与BCE ∆相似，
2m =．
11.解：（1）令0y =，即
211(1)0444b y x b x =-++=，
解得：1x =或b ， b 是实数且2b >，点A 位于点B 的左侧，
∴点B 的坐标为(,0)b ，
令0x =， 解得：
4b
y =， ∴点C 的坐标为(0,)4b ，
故答案为：(,0)b ，(0,)4b ；
（2）存在，
假设存在这样的点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且PBC ∆是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形．
设点P 的坐标为(,)x y ，连接OP ． 则112242PCO POB PCOB b S S S x b y b ∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=四边形，
416x y ∴+=．
过P 作PD x ⊥轴，PE y ⊥轴，垂足分别为D 、E ，
90PEO EOD ODP ∴∠=∠=∠=︒．
∴四边形PEOD 是矩形．
90EPD ∴∠=︒．
EPC DPB ∴∠=∠．
PEC PDB ∴∆≅∆，PE PD ∴=，即x y =．
由416x y x y =⎧⎨+=⎩解得165165x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪
⎩ 由PEC PDB ∆≅∆得EC DB =，即161654
5b b -=-， 解得128225b =>符合题意．
P ∴的坐标为16(5，16)5；
（3）假设存在这样的点Q ，使得QCO ∆，QOA ∆和QAB ∆中的任意两个三角形均相似．
QAB AOQ AQO ∠=∠+∠，
QAB AOQ ∴∠>∠，QAB AQO ∠>∠．
∴要使QOA ∆与QAB ∆相似，只能90QAO BAQ ∠=∠=︒，即QA x ⊥轴．
2b >，
AB OA ∴>，
QOA ABQ ∴∠>∠．
∴只能AOQ AQB ∠=∠．此时90OQB ∠=︒，
由QA x ⊥轴知//QA y 轴．
COQ OQA ∴∠=∠．
∴要使QOA ∆与OQC ∆相似，只能90QCO ∠=︒或90OQC ∠=︒．
()I 当90OCQ ∠=︒时，CQO QOA ∆≅∆．
4b AQ CO ∴==
． 由2AQ OA AB =得：2()14b b =-．
解得：8b =±
2b >，
8b ∴=+
∴点Q 的坐标是(1,2．
()II 当90OQC ∠=︒时，OCQ QOA ∆∆∽， ∴OQ AQ CO QO =，即2OQ OC AQ =．
又
2OQ OA OB =， OC AQ OA OB ∴=．即14b AQ b =⨯．
解得：4AQ =，此时172b =>符合题意，
∴点Q 的坐标是(1,4)．
∴综上可知，存在点(1,2Q +或(1,4)Q ，使得QCO ∆，QOA ∆和QAB ∆中的任意两个三角形均相似．。