平乡县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

平乡县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设m 是实数，若函数f （x ）=|x ﹣m|﹣|x ﹣1|是定义在R 上的奇函数，但不是偶函数，则下列关于函数f （x ）的性质叙述正确的是（ ）
A ．只有减区间没有增区间
B ．是f （x ）的增区间
C ．m=±1
D ．最小值为﹣3　2． 已知表示数列
的前项和，若对任意的
满足
，且
，则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3． 已知函数f （x ）=是R 上的增函数，则a 的取值范围是（
）
A ．﹣3≤a ＜0
B ．﹣3≤a ≤﹣2
C ．a ≤﹣2
D ．a ＜0
4． 曲线y=x 3﹣3x 2+1在点（1，﹣1）处的切线方程为（ ）
A ．y=3x ﹣4
B ．y=﹣3x+2
C ．y=﹣4x+3
D ．y=4x ﹣5
5． 已知a n =（n ∈N *），则在数列{a n }的前30项中最大项和最小项分别是（ ）
A ．a 1，a 30
B ．a 1，a 9
C ．a 10，a 9
D ．a 10，a 30
6． 若命题“p ∧q ”为假，且“¬q ”为假，则（ ）
A ．“p ∨q ”为假
B ．p 假
C ．p 真
D ．不能判断q 的真假
7． 已知变量满足约束条件，则的取值范围是（ ）
,x y 20
170
x y x x y -+≤⎧⎪
≥⎨⎪+-≤⎩
y x A ． B ．
C ．
D ．9[,6]59(,][6,)5
-∞+∞ (,3][6,)-∞+∞ [3,6]
8． 函数y=e cosx （﹣π≤x ≤π）的大致图象为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
9． 执行如图所示的程序，若输入的，则输出的所有的值的和为（ ）
3x x A ．243 B ．363 C ．729 D ．1092
【命题意图】本题考查程序框图的识别和运算，意在考查识图能力、简单的计算能力．10．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是（ ）
A ． =1.23x+4
B ． =1.23x ﹣0.08
C ． =1.23x+0.8
D ． =1.23x+0.08
11．“互联网”时代，倡导读书称为一种生活方式，调查机构为了解某小区老、中、青三个年龄阶+段的阅读情况，拟采用分层抽样的方法从该小区三个年龄阶段的人群中抽取一个容量为50的样本进行调查，已知该小区有老年人600人，中年人600人，青年人800人，则应从青年人抽取的人数为（ ）A ．10
B ．20
C ．30
D ．40
12．定义在R 上的奇函数f （x ），满足，且在（0，+∞）上单调递减，则xf （x ）＞0的解集为（
）A ．B ．
C ．
D ．
二、填空题
13有两个不等实根，则的取值范围是
．
()23k x =-+
14．已知正四棱锥的体积为，O ABCD -2则该正四棱锥的外接球的半径为_________
15．函数f （x ）=a x +4的图象恒过定点P ，则P 点坐标是 ．16．命题：“∀x ∈R ，都有x 3≥1”的否定形式为 ．　17．在数列
中，则实数a= ，b= ．
18．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前面两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性．比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…．人们称该数列{a n }为“斐波那契数列”．若把该数列{a n }的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{b n }，在数列{b n }中第2016项的值是 ．　
三、解答题
19．【南师附中2017届高三模拟一】已知是正实数，设函数.,a b ()()ln ,ln f x x x g x a x b ==-+（1）设 ，求 的单调区间；
()()()h x f x g x =-()h x
（2）若存在，使且成立，求的取值范围.0x 03,45a b a b x ++⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
()()00f x g x ≤b a 20．已知函数
，且．（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若对于任意，都有
，求
的最小值；
（Ⅲ）证明：函数
的图象在直线
的下方．
21．武汉市为增强市民交通安全意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）分别求第3，4，5组的频率；
（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（3）在（2）的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．
22．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}．
（1）求A∪B；
（2）求（∁U A）∩B；
（3）求∁U（A∩B）．
23．已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，，过A作AE⊥CD，垂足为E，G 、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC．
（1）求证：FG∥面BCD；
（2）设四棱锥D﹣ABCE的体积为V，其外接球体积为V′，求V：V′的值．
24．已知函数y=x+有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数．
（1）已知函数f（x）=x+，x∈[1，3]，利用上述性质，求函数f（x）的单调区间和值域；
（2）已知函数g（x）=和函数h（x）=﹣x﹣2a，若对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得h （x2）=g（x1）成立，求实数a的值．
平乡县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：若f（x）=|x﹣m|﹣|x﹣1|是定义在R上的奇函数，
则f（0）=|m|﹣1=0，则m=1或m=﹣1，
当m=1时，f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣1|=0，此时为偶函数，不满足条件，
当m=﹣1时，f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|，此时为奇函数，满足条件，
作出函数f（x）的图象如图：
则函数在上为增函数，最小值为﹣2，
故正确的是B，
故选：B
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，根据条件求出m的值是解决本题的关键．注意使用数形结合进行求解．
2．【答案】C
【解析】
令得，所以，即，所以是以1为公差的等差数列，首项为
，所以，故选C
答案：C
3．【答案】B
【解析】解：∵函数是R上的增函数
设g（x）=﹣x2﹣ax﹣5（x≤1），h（x）=（x＞1）
由分段函数的性质可知，函数g（x）=﹣x2﹣ax﹣5在（﹣∞，1]单调递增，函数h（x）=在（1，+∞）单调递增，且g（1）≤h（1）
∴
∴
解可得，﹣3≤a≤﹣2
故选B
4．【答案】B
【解析】解：∵点（1，﹣1）在曲线上，y′=3x2﹣6x，
∴y′|x=1=﹣3，即切线斜率为﹣3．
∴利用点斜式，切线方程为y+1=﹣3（x﹣1），即y=﹣3x+2．
故选B．
【点评】考查导数的几何意义，该题比较容易．
5．【答案】C
【解析】解：a n==1+，该函数在（0，）和（，+∞）上都是递减的，
图象如图，
∵9＜＜10．
∴这个数列的前30项中的最大项和最小项分别是a10，a9．
故选：C．
【点评】本题考查了数列的函数特性，考查了数形结合的解题思想，解答的关键是根据数列通项公式画出图象，是基础题．
6．【答案】B
【解析】解：∵命题“p ∧q ”为假，且“¬q ”为假，∴q 为真，p 为假；则p ∨q 为真，故选B ．
【点评】本题考查了复合命题的真假性的判断，属于基础题．　
7． 【答案】A 【解析】
试题分析：作出可行域，如图内部（含边界），
表示点与原点连线的斜率，易得，ABC ∆y x (,)x y 59(,)22
A ，，，所以．故选A ．(1,6)
B 9
9
2552
OA
k ==661OB k ==965y x ≤≤
考点：简单的线性规划的非线性应用．8． 【答案】C
【解析】解：函数f （x ）=e cosx （x ∈[﹣π，π]）
∴f （﹣x ）=e cos （﹣x ）=e cosx =f （x ），函数是偶函数，排除B 、D 选项．令t=cosx ，则t=cosx 当0≤x ≤π时递减，而y=e t 单调递增，
由复合函数的单调性知函数y=e cosx 在（0，π）递减，所以C 选项符合，故选：C ．
【点评】本题考查函数的图象的判断，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．　
9． 【答案】D
【解析】当时，是整数；当时，是整数；依次类推可知当时，是整数，则
3x =y 2
3x =y 3(*)n
x n N =∈y 由，得，所以输出的所有的值为3，9，27，81，243，729，其和为1092，故选D ．
31000n
x =≥7n ≥x 10．【答案】D
【解析】解：设回归直线方程为=1.23x+a
∵样本点的中心为（4，5），∴5=1.23×4+a ∴a=0.08
∴回归直线方程为=1.23x+0.08
故选D ．
【点评】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．　
11．【答案】B 【解析】
试题分析：设从青年人抽取的人数为，故选B ．800,,2050600600800
x x x ∴=∴=++考点：分层抽样．12．【答案】B
【解析】解：∵函数f （x ）是奇函数，在（0，+∞）上单调递减，且f （）=0，∴f （﹣）=0，且在区间（﹣∞，0）上单调递减，∵当x ＜0，当﹣＜x ＜0时，f （x ）＜0，此时xf （x ）＞0当x ＞0，当0＜x ＜时，f （x ）＞0，此时xf （x ）＞0综上xf （x ）＞0的解集为故选B
二、填空题
13．【答案】53,124⎛⎤
⎥⎝⎦
【解析】试题分析：作出函数和的图象，如图所示，函数
的图象是一个半圆，y =()23y k x =-
+y =直线的图象恒过定点，结合图象，可知，当过点时，，当直线()23y k x =-+()2,3()2,0-303224
k -==+
，解得，所以实数的取值范围是.111]()23y k x =-+2
512k =53,124⎛⎤ ⎥⎝⎦考点：直线与圆的位置关系的应用．
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、两点间的斜率公式，以及函数的图像的应用等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想和学生的分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中把方程的根转化为直线与半圆的交点是解答的关键.
14
．【答案】11
8
【解析】因为正四棱锥的体积为
，所以锥高为2，设外接球的半径为，依轴O ABCD -2R 截面的图形可知：22211(2)8
R R R =-+∴=15．【答案】　（0，5）　．
【解析】解：∵y=a x 的图象恒过定点（0，1），
而f （x ）=a x +4的图象是把y=a x 的图象向上平移4个单位得到的，
∴函数f （x ）=a x +4的图象恒过定点P （0，5），
故答案为：（0，5）．
【点评】本题考查指数函数的性质，考查了函数图象的平移变换，是基础题．　
16．【答案】　∃x 0∈R ，都有x 03＜1　．
【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题．所以，命题：“∀x ∈R ，都有x 3≥1”的否定形式为：命题：“∃x 0∈R ，都有x 03＜1”．
故答案为：∃x 0∈R ，都有x 03＜1．
【点评】本题考查全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．
17．【答案】a=　
　，b= ．
【解析】解：由5，10，17，a ﹣b ，37知，
a ﹣b=26，
由3，8，a+b ，24，35知，
a+b=15，
解得，a=
，b=；故答案为：，．【点评】本题考查了数列的性质的判断与归纳法的应用．
18．【答案】　0　．
【解析】解：1，1，2，3，5，8，13，…除以4所得的余数分别为1，1，2，3，1，0，；1，1，2，3，1，0…，
即新数列{b n }是周期为6的周期数列，
∴b 2016=b 336×6=b 6=0，
故答案为：0．
【点评】本题主要考查数列的应用，考查数列为周期数性，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增.（2）0,b e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,b e ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭
7b e a ≤<【解析】【试题分析】（1）先对函数求导得，再解不()()ln ln ,0,h x x x x b a x =-+∈∞()'ln 1ln h x x b =+-等式得求出单调增区间；解不等式得求出单调减区间；（2）先依据题设()'0h x >b x e >
()'0h x <b x e
<得，由（1）知，然后分、、三种345a b a b ++<7b a <()min 0h x ≤345a b b a b e ++≤≤4b a b e +<35
b a b e +>情形，分别研究函数的最小值，然后建立不等式进行分类讨论进行求解出()()ln ln ,0,h x x x x b a x =-+∈∞
其取值范围：7b e a
≤<解：（1），由得，在()()()ln ln ,0,,'ln 1ln h x x x x b a x h x x b =-+∈∞=+-()'0h x >b x e >
()'h x ∴0,b e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在上单调递增.,b e ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭
（2）由得，由条件得. 345a b a b ++<7b a <()min 0h x ≤①当，即时，，由得345a b b a b e ++≤≤345e b e e a e ≤≤--()min b b h x h a e e ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭
0b a e -+≤.3,5b b e e e a a e
≥∴≤≤-②当时，在上单调递增，4b a b e +<()4,e a b h x a ->∴3,4
5a b a b ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦()min ln ln ln ln 4444a b a b a b a b b h x h b a b a e ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+≥-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，矛盾，不成立.43·3044e b b a b e e b e
--+-=>=>∴由得.0b a e -+≤③当，即时，，在上单调递减，35b a b e +>35b e a e >-53e a b e ->()h x ∴3,4
5a b a b ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦()min 3333ln ln ln ln 5555a b a b a b a b b h x h b a b a e ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+≥-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，当时恒成立，综上所述，.52·2230553e b b a b e e b e ----=>=>∴35b e a e >-7b e a
≤<20．【答案】
【解析】【知识点】导数的综合运用利用导数研究函数的单调性
【试题解析】（Ⅰ）对
求导，得，
所以
，解得，所以
．（Ⅱ）由
，得，因为
，所以对于任意，都有．
设，则．
令，解得．
当x变化时，与的变化情况如下表：
所以当时，．
因为对于任意，都有成立，
所以．
所以的最小值为．
（Ⅲ）证明：“函数的图象在直线的下方”
等价于“”，
即要证，
所以只要证．
由（Ⅱ），得，即（当且仅当时等号成立）．所以只要证明当时，即可．
设，
所以，
令，解得．
由，得，所以在上为增函数．
所以，即．
所以．
故函数的图象在直线的下方．
21．【答案】
【解析】解：（1）由题意可知第3组的频率为0.06×5=0.3，
第4组的频率为0.04×5=0.2，
第5组的频率为0.02×5=0.1；
（2）第3组的人数为0.3×100=30，
第4组的人数为0.2×100=20，
第5组的人数为0.1×100=10；
因为第3，4，5组共有60名志愿者，
所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，
每组抽取的人数分别为：第3组=3；第4组=2；第5组=1；
应从第3，4，5组各抽取3，2，1名志愿者．
（3）记第3组3名志愿者为1，2，3；第4组2名志愿者为4，5；第5组1名志愿者为6；
在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者有：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，4），（3，5），（3，6），
（4，5），（4，6），
（5，6）；
共有15种，第4组2名志愿者为4，5；至少有一名志愿者被抽中共有9种，
所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为．
【点评】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，频率分布直方图，考查计算能力．　
22．【答案】
【解析】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}．
（1）A∪B={1，2，3，4，5，7}
（2）（∁U A）={1，3，6，7}
∴（∁U A）∩B={1，3，7}
（3）∵A∩B={5}
∁U（A∩B）={1，2，3，4，6，7}．
【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．　
23．【答案】
【解析】解：
（1）证明：取AB中点H，连接GH，FH，
∴GH∥BD，FH∥BC，
∴GH∥面BCD，FH∥面BCD
∴面FHG∥面BCD，
∴GF∥面BCD
（2）V=
又外接球半径R=
∴V′=π
∴V：V′=
【点评】本题考查的知识点是直线与平面平等的判定及棱锥和球的体积，其中根据E点三条棱互相垂直，故棱锥的外接球半径与以AE，CD，DE为棱长的长方体的外接球半径相等，求出外接球半径是解答本题的关键点．
24．【答案】
【解析】解：（1）由已知可以知道，函数f（x）在x∈[1，2]上单调递减，在x∈[2，3]上单调递增，
f（x）min=f（2）=2+2=4，又f（1）=1+4=5，f（3）=3+=；
f（1）＞f（3）所以f（x）max=f（1）=5
所以f（x）在x∈[1，3]的值域为[4，5]．
（2）y=g（x）==2x+1+﹣8
设μ=2x+1，x∈[0，1]，1≤μ≤3，则y=﹣8，
由已知性质得，
当1≤u≤2，即0≤x≤时，g（x）单调递减，所以递减区间为[0，]；
当2≤u≤3，即≤x≤1时，g（x）单调递增，所以递增区间为[，1]；
由g（0）=﹣3，g（）=﹣4，g（1）=﹣，得g（x）的值域为[﹣4，﹣3]．
因为h（x）=﹣x﹣2a为减函数，故h（x）∈[﹣1﹣2a，﹣2a]，x∈[0，1]．
根据题意，g（x）的值域为h（x）的值域的子集，
从而有，所以a=．。