2017-2018年北京市昌平区临川育人学校高二上学期期中数学试卷及参考答案(文科)
北京市昌平区2017-2018学年高二上学期期末考试数学理试卷 Word版含答案
昌平区2017-2018学年高二上学期期末考试数学（理）本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分 （选择题 共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知抛物线的方程是22=y x ，则它的焦点坐标是（A ）1(,0)2（B ）1(,0)2-（C ）1(0,)2（D ）1(0,)2-命题意图：考查抛物线的定义。
基础题（2）已知平面α的法向量为(2,4,2)--，平面β的法向量为(1,2,)-k ，若αβ//，则=k﹙A ﹚2- （B ）1- ﹙C ﹚1（D ﹚2命题意图：考查两个平行平面的法向量的关系。
知道空间向量平行的条件就可得出答案。
基础题（3）圆224+=x y 与圆22430+-+=x y y 的位置关系是（A ）相离 （B ）相交 （C ）外切（D ）内切命题意图：考查圆的一般方程与标准方程，圆与圆的位置关系。
用画图或者两圆心间的距离判断可知答案。
（4）如图，在四面体ABCD 中，设G 是CD 的中点，则1()2++AB BD BC 等于GDACB（A ） AD （B ） BG （C ） CD（D ） AG命题意图：考查空间向量的加法。
熟悉三角形法则平行四边形法则就可得出答案。
（5）“直线l 与平面α无公共点”是“直线l 与平面α平行”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件命题意图：考查直线与平面平行的定义，充要条件。
理解直线与平面平行的定义，理解充要条件才不会错选。
（6）若方程224+=y x m表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是 （A ）(01), （B ）(02), （C ）(12),（D ）(1)+∞,命题意图：考查椭圆的定义，标准方程，性质。
2017-2018学年北京市昌平区临川育人学校高二(上)12月月考数学试卷(理科)
2017-2018学年北京市昌平区临川育人学校高二（上）12月月考数学试卷（理科）一、选择题（每题只有一个正确选项，每题5分，共60分）1．（5分）已知向量=（1，，2），=（2，﹣1，k），且与互相垂直，则k 的值是（）A．﹣1 B．C．1 D．﹣2．（5分）已知平面α的法向量是（2，3，﹣1），平面β的法向量是（4，λ，﹣2），若α⊥β，则λ的值是（）A．﹣6 B．6 C．﹣D．3．（5分）若=（1，λ，﹣1），=（2，﹣1，2），且与的夹角的余弦为，则||=（）A．B．C．D．4．（5分）已知向量=（1，﹣3，2），=（﹣2，1，1），则|2+|=（）A．50 B．14 C．5D．5．（5分）已知空间向量，满足||=4，||=2，与的夹角是120°则|﹣2 |=（）A．4B．2C．2D．66．（5分）椭圆+=1的离心率是（）A．B．C．D．7．（5分）已知双曲线=1的左右焦点分别为F1，F2，若双曲线左支上有一点M到右焦点F2距离为18，N为F2中点，O为坐标原点，则|NO|等于（）A．B．1 C．2 D．48．（5分）点P是抛物线y2=4x上一点，P到该抛物线焦点的距离为4，则点P 的横坐标为（）A．2 B．3 C．4 D．59．（5分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C 上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）双曲线x2﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±3x C．y=±x D．y=±2x 11．（5分）过椭圆4x2+2y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一焦点F2构成△ABF2，那么△ABF2的周长是（）A．2 B．C．D．112．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）设双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），则C的方程为．14．（5分）抛物线y2=4x下列抛物线的焦点坐标．15．（5分）已知向量=（2，4，10），=（3，x，15）分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则x=．16．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于M、N两点，直线l2与C交于P、Q两点，则|MN|+|PQ|的最小值为．三、.解答题（写出必要的推理或计算过程，共70分）17．（10分）直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为．18．（12分）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AB=，BC=1，AD=AA1=3．（Ⅰ）证明：AC⊥B1D；（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．（1）证明：AE⊥PD；（2）若PA=AB=2，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．20．（12分）已知椭圆C的两焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），长轴长为6．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C与A、B两点，求△OAB的面积．21．（12分）直线l过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|=8，求直线l的方程．22．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2=1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足=．（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线x=﹣3上，且•=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l 过C的左焦点F．2017-2018学年北京市昌平区临川育人学校高二（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题只有一个正确选项，每题5分，共60分）1．（5分）已知向量=（1，，2），=（2，﹣1，k），且与互相垂直，则k 的值是（）A．﹣1 B．C．1 D．﹣【分析】由条件利用两个向量垂直的性质，求得k的值．【解答】解：∵已知向量=（1，，2），=（2，﹣1，k），且与互相垂直，∴1×2+（﹣1）+2k=0，解得k=﹣，故选：D．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．2．（5分）已知平面α的法向量是（2，3，﹣1），平面β的法向量是（4，λ，﹣2），若α⊥β，则λ的值是（）A．﹣6 B．6 C．﹣D．【分析】由题意可得平面的法向量垂直，由数量积为0可解λ．【解答】解：由题意可知：平面α和β的法向量分别是（2，3，﹣1）和（4，λ，﹣2），由平面α⊥β，可得它们的法向量垂直，故（2，3，﹣1）•（4，λ，﹣2）=8+3λ+2=0，解得λ=，故选：C．【点评】本题考查向量的数量积和向量垂直的关系，属基础题．3．（5分）若=（1，λ，﹣1），=（2，﹣1，2），且与的夹角的余弦为，则||=（）A．B．C．D．【分析】由题意可得：==，化简解出即可得出．【解答】解：由题意可得：==，化为：λ2=，∴||==．故选：C．【点评】本题考查了数量积运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（5分）已知向量=（1，﹣3，2），=（﹣2，1，1），则|2+|=（）A．50 B．14 C．5D．【分析】利用向量的坐标运算及其模的计算公式即可得出．【解答】解：∵2+=2（1，﹣3，2）+（﹣2，1，1）=（0，﹣5，5）．∴|2+|==5．故选：C．【点评】本题考查了向量的坐标运算及其模的计算公式，属于基础题．5．（5分）已知空间向量，满足||=4，||=2，与的夹角是120°则|﹣2 |=（）A．4B．2C．2D．6【分析】计算（）2，再开方即可得出答案．【解答】解：=4×2×cos120°=﹣4，∴（）2=﹣4+4=16+16+16=48，∴||=4．故选：A．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．6．（5分）椭圆+=1的离心率是（）A．B．C．D．【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可．【解答】解：椭圆+=1，可得a=3，b=2，则c==，所以椭圆的离心率为：=．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．7．（5分）已知双曲线=1的左右焦点分别为F1，F2，若双曲线左支上有一点M到右焦点F2距离为18，N为F2中点，O为坐标原点，则|NO|等于（）A．B．1 C．2 D．4【分析】利用ON是△MF1F2的中位线，ON=MF1，再由双曲线的定义求出MF1，进而得到|ON|的值．【解答】解：∵双曲线=1的左、右焦点分别为F1、F2，左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N是MF2的中点，连接MF1，ON是△MF1F2的中位线，∴ON∥MF1，ON=MF1，∵由双曲线的定义知，MF2﹣MF1=2×5，∴MF1=8．∴ON=4，故选：D．【点评】本题以双曲线的标准方程为载体，考查双曲线的定义，考查三角形中位线的性质，属于基础题．8．（5分）点P是抛物线y2=4x上一点，P到该抛物线焦点的距离为4，则点P 的横坐标为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，已知P到该抛物线焦点的距离|MF|=4，则M到准线的距离也为2，即点M的横坐标x+=4，将p的值代入，进而求出x．【解答】解：∵抛物线y2=4x=2px，∴p=2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴P到该抛物线焦点的距离|MF|=4=x+=4，∴x=3，故选：B．【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．9．（5分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C 上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．【解答】解：|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选：D．【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键，考查理解与应用能力，属于中档题．10．（5分）双曲线x2﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±3x C．y=±x D．y=±2x【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得a、b的值以及焦点的位置，由双曲线的渐近线方程分析可得答案．【解答】解：双曲线x2﹣=1的焦点在x轴上，其中a=1，b=，则其渐近线方程为y=±x；故选：A．【点评】考查双曲线的几何性质，注意分析双曲线焦点的位置．11．（5分）过椭圆4x2+2y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一焦点F2构成△ABF2，那么△ABF2的周长是（）A．2 B．C．D．1【分析】把椭圆的方程化为标准方程，求出a的值，由△ABF2的周长是（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=2a+2a 求出结果．【解答】解：椭圆4x2+2y2=1 即，∴a=，b=，c=．△ABF2的周长是（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=2a+2a=4a=2，故选：B．【点评】本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，利用椭圆的定义是解题的关键．12．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，可得原点到直线的距离=a，化简即可得出．【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，∴原点到直线的距离=a，化为：a2=3b2．∴椭圆C的离心率e===．故选：A．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）设双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），则C的方程为x2﹣y2=1．【分析】利用双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），可得c=，a=1，进而求出b，即可得出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），∴c=，a=1，∴b=1，∴C的方程为x2﹣y2=1．故答案为：x2﹣y2=1．【点评】本题考查双曲线方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题．14．（5分）抛物线y2=4x下列抛物线的焦点坐标（1，0）．【分析】根据题意，由抛物线的方程分析抛物线的开口方向以及p的值，进而可得其焦点坐标．【解答】解：根据题意，抛物线y2=4x的开口向右，其中p=2，则其焦点坐标为（1，0）；故答案为：（1，0）【点评】本题考查抛物线的标准方程，注意抛物线标准方程的形式．15．（5分）已知向量=（2，4，10），=（3，x，15）分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则x=6．【分析】l1∥l2，可得存在实数k使得=k，即可得出．【解答】解：∵l1∥l2，则存在实数k使得=k，∴，解得x=6．故答案为：6．【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于M、N两点，直线l2与C交于P、Q两点，则|MN|+|PQ|的最小值为16．【分析】根据题意可判断当P与M，N与Q关于x轴对称，即直线MN的斜率为1，|MN|+|PQ|的最小值，根据弦长公式计算即可．【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于M、N两点，直线l2与C交于P、Q两点，要使|MN|+|PQ|最小，则P与M，N与Q关于x轴对称，即直线MN的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y=x﹣1，联立方程组，则y2﹣4y﹣4=0，∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，∴|MN|=•|y1﹣y2|=×=8，P与M，N与Q关于x轴对称时，|MN|=|PQ|∴|MN|+|PQ|的最小值为16．故答案为：16【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍，属于中档题．三、.解答题（写出必要的推理或计算过程，共70分）17．（10分）直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为．【分析】画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC的中点为O，连结ON，MN，OB，∴MN OB，∴MN0B是平行四边形，∴BM与AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB==，在△ANO中，由余弦定理得：cos∠ANO===．故答案为：．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．（12分）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AB=，BC=1，AD=AA1=3．（Ⅰ）证明：AC⊥B1D；（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）以方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标；通过计算，证明AC⊥B1D．（Ⅱ）求出平面ACD1的法向量，设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ，求出，利用向量的数量积求解直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．【解答】（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：以方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．∴，∴，∴AC⊥B1D…（4分）的法向量为，，（Ⅱ）解：设平面ACD则，∴…（8分）设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ，∵，∴，∴直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为…（12分）【点评】本题考查利用向量法证明直线与直线的垂直，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．（1）证明：AE⊥PD；（2）若PA=AB=2，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．【分析】（1）由已知条件推导出AE⊥AD，AE⊥PA，由此能证明AE⊥平面PAD，从而得到AE⊥PD．（2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣AF ﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点，∴△ABC是等边三角形，∴AE⊥BC，∴AE⊥AD，∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴AE⊥PA，∵AE∩AD=A，∴AE⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴AE⊥PD．（2）解：由（1）知AE、AD、AP两两垂直，∴以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵E，F分别为BC，PC的中点，PA=AB=2，∴A（0，0，0），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），∴，设平面AEF的一个法向量为，则取z1=﹣1，得=（0，2，﹣1），∵BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，∴BD⊥平面AFC，∴为平面AFC的一法向量．又，∴cos＜＞==．∵二面角E﹣AF﹣C为锐角，∴所求二面角的余弦值为．【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（12分）已知椭圆C的两焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），长轴长为6．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C与A、B两点，求△OAB的面积．【分析】（1）根据题意，由椭圆的焦点坐标分析可得椭圆的焦点在x轴上，且c=，由长轴长可得a的值，计算可得b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案；（2）根据题意，求出直线AB的方程，与椭圆方程联立可得4x2+12x+3=0，由弦长公式以及根与系数的关系分析可得|AB|的值，由点到直线的距离公式可得O 到直线AB的距离，由三角形面积公式计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，椭圆C的两焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），则椭圆的焦点在x轴上，且c=，又由椭圆的长轴长为6，即2a=6，则a=3，则b2=a2﹣c2=3，则椭圆C的方程为+=1，（2）根据题意，直线AB过点（0，2）且斜率为1，则直线AB的方程为y=x+2，椭圆的方程变形可得x2+3y2﹣9=0与椭圆的方程联立可得4x2+12x+3=0，则有O到直线AB的距离d==，则△OAB的面积S=．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系以及椭圆的几何性质，关键是求出椭圆的标准方程．21．（12分）直线l过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|=8，求直线l的方程．【分析】根据题意，求出抛物线的焦点坐标，分直线的斜率是否存在两种情况讨论，求出直线的方程，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），若l与x轴垂直，则|AB|=4，不符合题意，∴可设所求直线l的方程为y=k（x﹣1）．由，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，则由根与系数的关系，得x1+x2=．又AB过焦点，由抛物线的定义可知|AB|=x1+x2+p=+2=8，∴=6，解得k=±1．∴所求直线l的方程为y+x﹣1=0或x﹣y﹣1=0．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，注意分析直线的斜率是否存在，分情况讨论．22．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2=1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足=．（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线x=﹣3上，且•=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l 过C的左焦点F．【分析】（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），设P（x，y），运用向量的坐标运算，结合M满足椭圆方程，化简整理可得P的轨迹方程；（2）设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），运用向量的数量积的坐标表示，可得m，即有Q的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得OQ，PF 的斜率，由两直线垂直的条件：向量数量积为0，即可得证．【解答】解：（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），设P（x，y），由点P满足=．可得（x﹣x0，y）=（0，y0），可得x﹣x0=0，y=y0，即有x0=x，y0=，代入椭圆方程+y2=1，可得+=1，即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2；（2）证明：设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），•=1，可得（cosα，sinα）•（﹣3﹣cosα，m﹣sinα）=1，即为﹣3cosα﹣2cos2α+msinα﹣2sin2α=1，当α=0时，上式不成立，则0＜α＜2π，解得m=，即有Q（﹣3，），椭圆+y2=1的左焦点F（﹣1，0），由•=（﹣1﹣cosα，﹣sinα）•（﹣3，）=3+3cosα﹣3（1+cosα）=0．可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．另解：设Q（﹣3，t），P（m，n），由•=1，可得（m，n）•（﹣3﹣m，t﹣n）=﹣3m﹣m2+nt﹣n2=1，又P在圆x2+y2=2上，可得m2+n2=2，即有nt=3+3m，又椭圆的左焦点F（﹣1，0），•=（﹣1﹣m，﹣n）•（﹣3，t）=3+3m﹣nt=3+3m﹣3﹣3m=0，则⊥，可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标转移法和向量的加减运算，考查圆的参数方程的运用和直线的斜率公式，以及向量的数量积的坐标表示和两直线垂直的条件：向量数量积为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。
北京市2017-2018学年上学期高二年级期中考试理科数学试题
……外……………装…………○___姓名：___________班级……内……………装…………○绝密★启用前 北京市2017-2018学年上学期高二年级期中考试理科数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．三条直线l 1，l 2，l 3的位置如图所示，它们的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3的大小关系是（ ） A ． k 1>k 2>k 3 B ． k 1> k 3> k 2 C ． k 3> k 2> k 1 D ． k 2> k 3> k 1 2．如图所示，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，若AB a =， AD b =， 1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ） A ． 1122a b c -++ B ． 1122a b c ++ C ． 1122a b c --+D ． 11a b c -+○…………外……………装…………○…※※要※※在※※装※※订○…………内……………装…………○…3．过点（-l ，3）且与直线x-2y+3=0平行的直线方程是（ ） A ． x-2y-5=0 B ． x-2y+7=0 C ． 2x+y-1=0 D ． 2x+y-5=0 4．已知球O O 的表面积为（ ） A ． B ． 2π C ． 4π D ． 6π 5．在下列命题中： ①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行； ②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量,,a b c ，则对于空间的任意一个向量p ，总存在实数x ，y ，z ，使得p xa yb zc =++。
2017-2018学年北京市昌平区临川育人学校高二(上)期中数学试卷(文科)
2017-2018学年北京市昌平区临川育人学校高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每题5分，共60分）1．（5分）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A．抽签法B．系统抽样法（C．分层抽样法D．随机数法2．（5分）重庆市2013年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如下则这组数据中的极差是（）A．19 B．24 C．21.5 D．233．（5分）一个人在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．两次都不中靶D．只有一次中靶4．（5分）在区间[﹣1，2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．C．D．7．（5分）“﹣2＜x＜1”是“﹣5＜x＜5”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不是充分条件，也不是必要条件D．充要条件8．（5分）椭圆的左右焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为（）A．32 B．16 C．8 D．49．（5分）椭圆上的点M到左焦点F1的距离是2，N是MF1的中点，O为坐标原点，则|ON|为（）A．4 B．2 C．8 D．10．（5分）抛物线y=x2的准线方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣2 11．（5分）过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（）A．B．2C．2D．312．（5分）已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（）A．3 B．6 C．9 D．12二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为x，则a=．14．（5分）如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为．15．（5分）假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：（☆P22 8）由资料可知y对x呈（正，负，不）相关．16．（5分）一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人，为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别为．三、解答题（第17题10分，18～22题每题12分，共70分）17．（10分）某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．（1）求直方图中的a；（2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为．18．（12分）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．（1）若从这6个国家中任选2个，求共有多少种选法和这2个国家都是亚洲国家的概率；（2）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．19．（12分）双曲线的离心率等于，且与椭圆=1有公共焦点．（1）求此双曲线的方程；（2）写出其顶点、焦点坐标，指出实轴、虚轴，写出渐近线方程．20．（12分）已知斜率为1的直线l过椭圆+y2=1的右焦点F交椭圆于A、B 两点，求弦AB的长．21．（12分）已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，与抛物线相交于A，B两点．（1）若|AF|=4，求点A的坐标和△AOF的面积为（2）若|AF|=4，求弦AB的中点到准线的距离．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．2017-2018学年北京市昌平区临川育人学校高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1．（5分）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A．抽签法B．系统抽样法（C．分层抽样法D．随机数法【分析】根据总体由差异明显的几部分组成时，应采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：对于总体由差异明显的几部分组成时，应适用分层抽样的方法进行抽样；由此知三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，应利用分层抽样法．故选：C．【点评】本题考查了常用的抽样方法：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的应用问题，是基础题．2．（5分）重庆市2013年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如下则这组数据中的极差是（）A．19 B．24 C．21.5 D．23【分析】由已知中的茎叶图，求出数据的最值，相减可得答案．【解答】解：由已知中的茎叶图可得：这组数据中的最小值为8，最大值为32，故极差为：32﹣8=24，故选：B．【点评】本题考查的知识点是茎叶图，极差，难度不大，属于基础题．3．（5分）一个人在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．两次都不中靶D．只有一次中靶【分析】利用互斥事件的定义直接求解．【解答】解：一个人在打靶中连续射击两次，在A中，至多有一次中靶和事件“至少有一次中靶”能同时发生，二者不是互斥事件，故A错误；在B中，两次都中靶和事件“至少有一次中靶”能同时发生，二者不是互斥事件，故B错误；在C中，两次都不中靶和事件“至少有一次中靶”不能同时发生，二者是互斥事件，故C正确；在D中，只有一次中靶和事件“至少有一次中靶”能同时发生，二者不是互斥事件，故D错误．故选：C．【点评】本题考查互斥事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件的定义的合理运用．4．（5分）在区间[﹣1，2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为（）A．B．C．D．【分析】本题利用几何概型求概率．先解绝对值不等式，再利用解得的区间长度与区间[﹣1，2]的长度求比值即得．【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度．∵|x|≤1得﹣1≤x≤1，∴|x|≤1的概率为：P（|x|≤1）=．故选：D．【点评】本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．5．（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数【分析】利用平均数、标准差、最大值、中位数的定义和意义直接求解．【解答】解：在A中，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标，故A不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在B 中，标准差能反映一个数据集的离散程度，故B可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在C中，最大值是一组数据最大的量，故C不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在D中，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的“中等水平”，故D不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度．故选：B．【点评】本题考查可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的量的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、标准差、最大值、中位数的定义和意义的合理运用．6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．C．D．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2，当k=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S=，当k=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S=，当k=3时，不满足进行循环的条件，故输出结果为：，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7．（5分）“﹣2＜x＜1”是“﹣5＜x＜5”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不是充分条件，也不是必要条件D．充要条件【分析】“﹣2＜x＜1”⇒“﹣5＜x＜5”，反之不成立．即可判断出结论．【解答】解：“﹣2＜x＜1”⇒“﹣5＜x＜5”，反之不成立．∴“﹣2＜x＜1”是“﹣5＜x＜5”成立的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（5分）椭圆的左右焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为（）A．32 B．16 C．8 D．4【分析】先由椭圆方程求得长半轴，而△ABF2的周长为AB+BF2+AF2，由椭圆的定义求解即可．【解答】解：∵椭圆∴a=4，b=，c=3根据椭圆的定义∴AF1+AF2=2a=8∴BF1+BF2=2a=8∵AF1+BF1=AB∴△ABF2的周长为4a=16故选：B．【点评】本题主要考查椭圆的定义的应用，应用的定义的基本特征，是与焦点有关．9．（5分）椭圆上的点M到左焦点F1的距离是2，N是MF1的中点，O为坐标原点，则|ON|为（）A．4 B．2 C．8 D．【分析】先作出椭圆的焦点△MF1F2，则ON为△MF1F2的中位线，易知，，再由椭圆定义及MF1的长度得|MF2|，从而得|ON|的值．【解答】解：设椭圆的右焦点为F2，连结MF2，ON，如右图所示．由椭圆方程，得a=5，由椭圆定义，得|MF1|+|MF2|=2a=2×5=10，又|MF1|=2，∴|MF2|=10﹣2=8，∵N为MF1的中点，O为F1F2的中点，∴在△MF1F2中，有=．故选：A．【点评】本题考查了椭圆的定义，关键是充分挖掘图形的几何特征，将ON的长度转化为焦点三角形的边长问题来解决．10．（5分）抛物线y=x2的准线方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣2【分析】先化为抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=4，再直接代入即可求出其准线方程．【解答】解：抛物线y=x2的标准方程为x2=4y，焦点在y轴上，2p=4，∴=1，∴准线方程y=﹣=﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．11．（5分）过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（）A．B．2C．2D．3【分析】利用已知条件求出M的坐标，求出N的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），且斜率为的直线：y=（x ﹣1），过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l可知：，解得M（3，2）．可得N（﹣1，2），NF的方程为：y=﹣（x﹣1），即，则M到直线NF的距离为：=2．故选：C．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力．12．（5分）已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（）A．3 B．6 C．9 D．12【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出A，B坐标，即可求解所求结果．【解答】解：椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点（c，0）与抛物线C：y2=8x的焦点（2，0）重合，可得c=2，a=4，b2=12，椭圆的标准方程为：，抛物线的准线方程为：x=﹣2，代入椭圆方程，解得y=±3，所以A（﹣2，3），B（﹣2，﹣3）．∴|AB|=6．故选：B．【点评】本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为x，则a=4．【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得其焦点的位置，进而可得其渐近线方程，结合题意可得=，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线（a＞0）的焦点在x轴上，其渐近线方程为y=±x，又由其一条渐近线方程为x，则有=，解可得a=4，故答案为：4．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意分析双曲线的焦点位置．14．（5分）如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为0.18．【分析】根据几何槪型的概率意义，即可得到结论．【解答】解：正方形的面积S=1，设阴影部分的面积为S，∵随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，∴几何槪型的概率公式进行估计得，即S=0.18，故答案为：0.18．【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用豆子之间的关系建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．15．（5分）假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：（☆P22 8）由资料可知y对x呈正（正，负，不）相关．【分析】根据表中所给的数据知变量y与x成正相关关系．【解答】解：根据表中所给的数据知，变量y随x的增大而增大，根据最小二乘法原理知变量y与x成正相关关系．故答案为：正．【点评】本题考查了线性相关关系的判断问题，是基础题．16．（5分）一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人，为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别为8，16，10，6．【分析】先求得比例，然后各层的总人数乘上这个比例，即得到样本中各层的人数．【解答】解：因为=，故各层中依次抽取的人数分别是：=8，=16，=10，=6，故选D．【点评】本题主要考查分层抽样方法．属于基础题．三、解答题（第17题10分，18～22题每题12分，共70分）17．（10分）某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．（1）求直方图中的a；（2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为6000．【分析】（1）利用频率和为1，求得a．（2）由消费金额在区间[0.5，0.9]内的频率，求得消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数【解答】解：（1）由频率分布直方图及频率和等于1可得：0.2×0.1+0.8×0.1+1.5×0.1+2×0.1+2.5×0.1+a×0.1=1，解得a=3．（2）消费金额在区间[0.5，0.9]内频率为0.2×0.1+0.8×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6，所以消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为0.6×10000=6000．故答案为：3，6000．【点评】本题考查频数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用18．（12分）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．（1）若从这6个国家中任选2个，求共有多少种选法和这2个国家都是亚洲国家的概率；（2）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．【分析】（1）从这6个国家中任选2个，基本事件总数n==15，这2个国家都是亚洲国家包含的基本事件个数m==3，由此能求出这2个国家都是亚洲国家的概率．（2）从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，利用列举法能求出这2个国家包括A1但不包括B1的概率【解答】解：（1）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．从这6个国家中任选2个，基本事件总数n==15，这2个国家都是亚洲国家包含的基本事件个数m==3，∴这2个国家都是亚洲国家的概率P==．（2）从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，包含的基本事件个数为9个，分别为：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），这2个国家包括A1但不包括B1包含的基本事件有：（A1，B2），（A1，B3），共2个，∴这2个国家包括A1但不包括B1的概率P=【点评】本题考查概率的求法，涉及到古典概型、排列、组合、列举举等知识点，考查运算求解能力，考查集合思想，是基础题．19．（12分）双曲线的离心率等于，且与椭圆=1有公共焦点．（1）求此双曲线的方程；（2）写出其顶点、焦点坐标，指出实轴、虚轴，写出渐近线方程．【分析】（1）求出椭圆的焦点坐标，利用双曲线与椭圆有相同的焦点坐标，通过离心率求解双曲线方程．（2）利用双曲线的简单性质求解即可．【解答】解：（1）椭圆=1的焦点（，0），双曲线的离心率等于，可得，双曲线与椭圆=1有公共焦点．可得c=，所以a=2，则b=1，双曲线的焦点坐标在x轴上，所求的双曲线方程为：；（2）双曲线方程为：，顶点（﹣2，0），（2，0），焦点，实轴长为：4、虚轴长为：2渐近线方程：．【点评】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．20．（12分）已知斜率为1的直线l过椭圆+y2=1的右焦点F交椭圆于A、B 两点，求弦AB的长．【分析】设出A、B的坐标，由椭圆方程求出椭圆右焦点坐标，得到A、B所在直线方程，与椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系可得A、B横坐标的和与积，代入弦长公式求弦AB的长．【解答】解：设A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）．由椭圆的方程知a2=4，b2=1，c2=3，∴F（，0）．直线l的方程为y=x﹣．联立，得5x2﹣8x+8=0，∴x1+x2=，x1x2=，∴|AB|===．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，是中档题．21．（12分）已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，与抛物线相交于A，B两点．（1）若|AF|=4，求点A的坐标和△AOF的面积为（2）若|AF|=4，求弦AB的中点到准线的距离．【分析】（1）利用抛物线的定义，求出A的坐标，再计算△AOF的面积．（2）求出直线AB的方程，与抛物线的方程联立，利用韦达定理求出AB的中的横坐标，然后求解即可．【解答】解：（1）抛物线y2=4x的准线l：x=﹣1．∵|AF|=4，∴点A到准线l：x=﹣1的距离为4，∴1+x A=4∴x A=3，∴y A=±2，A（3，），∴△AOF的面积为•1•2=．∴S=．△POF（2）不妨A（3，2），AF的方程为：y=（x﹣1），与抛物线y2=4x联立消去y可得：3x2﹣10x+3=0，A（3，2），B（x2，y2），3+x2=，AB中的横坐标为：．抛物线的准线方程x=﹣1．则弦AB的中点到准线的距离：．【点评】本题考查抛物线的定义，三角形的面积的计算，直线与抛物线的位置关系的应用，确定A的坐标是解题的关键．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．【分析】（Ⅰ）根据椭圆一个顶点为 A （2，0），离心率为，可建立方程组，从而可求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，从而可求|MN|，A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离，利用△AMN的面积为，可求k的值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，∴∴b=∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，∴|MN|==∵A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离为∴△AMN的面积S=∵△AMN的面积为，∴∴k=±1．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，解题的关键是正确求出|MN|．。
北京市昌平区2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年北京市昌平区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．复数i+i2在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．抛物线y2=2x的准线方程是（）A． B． C．D．3．椭圆+=1的长轴长是（）A．2 B．3 C．4 D．64．小明用流程图把早上上班前需要做的事情做了如图方案，则所用时间最少是（）A．23分钟B．24分钟C．26分钟D．31分钟5．圆x2+y2=4与圆x2+y2﹣4y+3=0的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．外切 D．内切6．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（）A．相交 B．平行 C．异面 D．无法确定7．“b≠0”是“复数a+bi（a，b∈R）是纯虚数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若l⊥α，l⊥β，则α∥β9．设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，分别过A，B向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k=（）A．±1B．C． D．10．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SB⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=1，AD=3，CD=2．若点E是线段AD上的动点，则满足∠SEC=90°的点E的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11．命题“∀x ∈R ，e x ＞0”的否定是 ．12．复数= ．13．已知（5，0）是双曲线=1（b ＞0）的一个焦点，则b= ，该双曲线的渐近线方程为 ．14．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥最长的棱长为 ．15．设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上的点．若PF 1⊥F 1F 2，∠F 1PF 2=60°，则椭圆的离心率为 ．16．已知曲线C 的方程是，且m≠0）．给出下列三个命题：①若m ＞0，则曲线C 表示椭圆；②若m ＜0，则曲线C 表示双曲线；③若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的值越大，椭圆的离心率越大．其中，所有正确命题的序号是 ．三、解答题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．已知直线l 过点A （1，﹣3），且与直线2x ﹣y+4=0平行．（Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）若直线m与直线l垂直，且在y轴上的截距为3，求直线m的方程．18．已知圆C的圆心为点C（﹣2，1），且经过点A（0，2）．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线y=kx+1与圆C相交于M，N两点，且，求k的值．19．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形．过AB的平面与侧棱CC1，DD1分别交于点E，F．（Ⅰ）求证：EF∥AB；（Ⅱ）求证：A1C1⊥平面DBB1D1．20．已知椭圆C：x2+4y2=4，直线与椭圆C交于不同的两点A，B．（Ⅰ）求椭圆C的焦点坐标；（Ⅱ）求实数b的取值范围；（Ⅲ）若b=1，求弦AB的长．21．如图，正方形ABCD与梯形AMPD所在的平面互相垂直，AD⊥PD，MA∥PD，MA=AD=PD=1．（Ⅰ）求证：MB∥平面PDC；（Ⅱ）求证：PM⊥平面MDC；（Ⅲ）求三棱锥P﹣MDC的体积．22．椭圆C： =1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y2=8x焦点相同，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点M（m，0）在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．2017-2018学年北京市昌平区高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．复数i+i2在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由i+i2=﹣1+i，知i+i2在复平面内对应的点（﹣1，1），由此能得到结果．【解答】解：∵i+i2=﹣1+i，∴i+i2在复平面内对应的点（﹣1，1）在第二象限．故选B．2．抛物线y2=2x的准线方程是（）A． B． C．D．【考点】抛物线的标准方程．【分析】利用抛物线y2=2px的准线方程为即可得出．【解答】解：由抛物线y2=2x，可得准线方程x=﹣，即．故选：C．3．椭圆+=1的长轴长是（）A．2 B．3 C．4 D．6【考点】椭圆的简单性质．【分析】直接利用椭圆的标准方程求解实轴长即可．【解答】解：椭圆+=1的实轴长是：2a=6．故选：D．4．小明用流程图把早上上班前需要做的事情做了如图方案，则所用时间最少是（）A．23分钟B．24分钟C．26分钟D．31分钟【考点】流程图的作用．【分析】根据题干，起床穿衣﹣煮粥﹣吃早餐，同时完成其他事情共需26分钟，由此即可解答问题．【解答】解：根据题干分析，要使所用的时间最少，可设计如下：起床穿衣﹣煮粥﹣吃早饭．所用时间为：5+13+8=26（分钟），故选：C．5．圆x2+y2=4与圆x2+y2﹣4y+3=0的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．外切 D．内切【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心的距离d，然后求出R﹣r和R+r的值，判断d与R﹣r及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系．【解答】解：把圆x2+y2﹣4y+3=0化为标准方程得：x2+（y﹣2）2=1，圆心坐标为（0，2），半径为R=1，圆x2+y2=4，圆心坐标为（0，0），半径为r=2∵圆心之间的距离d=2，R+r=3，R﹣r=1，∴R﹣r＜d＜R+r，则两圆的位置关系是相交．故选：B．6．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（）A．相交 B．平行 C．异面 D．无法确定【考点】异面直线及其所成的角．【分析】连结CD1，则直线A1B与直线EF均在平面A1BCD1上，由A1B∥CD1，EF与CD1相交可判断结论．【解答】解：连结CD1，∵BC A1D1，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∵A1B⊂平面A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，∴A1B与EF共面，∵A1B∥CD1，EF与CD1相交，∴直线A1B与直线EF相交．故选：A．7．“b≠0”是“复数a+bi（a，b∈R）是纯虚数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】复数a+bi（a，b∈R）是纯虚数⇒b≠0，a=0，反之不成立．【解答】解：复数a+bi（a，b∈R）是纯虚数⇒b≠0，a=0，反之不成立．∴“b≠0”是“复数a+bi（a，b∈R）是纯虚数”的必要不充分条件．故选：B．8．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若l⊥α，l⊥β，则α∥β【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：若l∥α，l∥β，则α与β相交或平行，故A错误；若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故B错误；若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故C错误；若l⊥α，l⊥β，则由平面与平面平行的判定定理知α∥β，故D正确．故选：D．9．设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，分别过A，B向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k=（）A．±1B．C． D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】将直线方程与椭圆方程联立，得（1+2k2）x2=2．分别过A、B向x轴作垂线，垂足恰为椭圆的两个焦点，说明A，B的横坐标是±1，即方程（1+2k2）x2=2的两个根为±1，代入求出k的值．【解答】解：将直线与椭圆方程联立，，化简整理得（1+2k2）x2=2（*）因为分别过A、B向x轴作垂线，垂足恰为椭圆的两个焦点，故方程的两个根为±1．代入方程（*），得k=±．故选：B．10．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SB⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=1，AD=3，CD=2．若点E是线段AD上的动点，则满足∠SEC=90°的点E的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】棱锥的结构特征．【分析】如图所示，连接BE，由于SB⊥底面ABCD，∠SEC=90°，可得：CE⊥BE．设E（0，t）（0≤t≤3），由=0，解出即可判断出结论．【解答】解：如图所示，连接BE，∵SB⊥底面ABCD，∠SEC=90°，∴CE⊥BE．设E（0，t）（0≤t≤3），B（﹣1，3），C（﹣2，0），则=（2，t）•（1，t﹣3）=2+t（t﹣3）=0，解得t=1或2．∴E（0，1），或（0，2）．∴满足∠SEC=90°的点E的个数是2．故选：C．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11．命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是∃x∈R，e x≤0．【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题．所以，命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是：∃x∈R，e x≤0．故答案为：∃x∈R，e x≤0．12．复数= ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解： =．故答案为：．13．已知（5，0）是双曲线=1（b＞0）的一个焦点，则b= 3 ，该双曲线的渐近线方程为y=±x ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得c=5，即16+b2=25，解得b，进而得到双曲线的方程，即可得到渐近线方程．【解答】解：由题意可得c=5，即16+b2=25，解得b=3，即有双曲线的方程为﹣=1，可得渐近线方程为y=±x ．故答案为：3，y=±x ．14．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥最长的棱长为 ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】四棱锥的底面为正方形，一条侧棱与底面垂直，求出四条侧棱的长比较大小即可．【解答】解：由三视图可知三棱锥的底面ABCD 是正方形，对角线AC=2，侧棱PA⊥平面ABCD ，PA=1，∴四棱锥的底面边长AB=，PB=PD==，PC==．∴三棱锥最长棱为．故答案为：．15．设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上的点．若PF 1⊥F 1F 2，∠F 1PF 2=60°，则椭圆的离心率为 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），由题意可得x P =﹣c ，代入椭圆方程求得P 的坐标，再由解直角三角形的知识，结合离心率公式，解方程可得所求值．【解答】解：设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），由题意可得x P =﹣c ，代入椭圆方程，解得y P =±b =±， 在直角三角形F 1PF 2中，tan60°==，即有b 2=2ac ，即为a 2﹣2ac ﹣c 2=0，由e=，可得e 2+2e ﹣=0，解得e=（负的舍去）．故答案为：．16．已知曲线C 的方程是，且m≠0）．给出下列三个命题：①若m ＞0，则曲线C 表示椭圆；②若m ＜0，则曲线C 表示双曲线；③若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的值越大，椭圆的离心率越大．其中，所有正确命题的序号是 ②③ ．【考点】曲线与方程．【分析】据椭圆、双曲线方程的特点，列出等式求出离心率e ，判断正误．【解答】解：①若m ＞0，且m≠1，则曲线C 表示椭圆，不正确；②若m ＜0，则曲线C 表示双曲线正确，；③若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则当m ＞1时，椭圆的离心率e==，m 的值越大，椭圆的离心率越大，正确．故答案为：②③．三、解答题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．已知直线l 过点A （1，﹣3），且与直线2x ﹣y+4=0平行．（Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）若直线m 与直线l 垂直，且在y 轴上的截距为3，求直线m 的方程．【考点】待定系数法求直线方程；直线的截距式方程．【分析】（I ）利用相互平行的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出；（II ）利用相互垂直的直线斜率之间的关系、斜截式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由直线l 与直线2x ﹣y+4=0平行可知l 的斜率为2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又直线l 过点A （1，﹣3），则直线l 的方程为y+3=2（x ﹣1），即2x ﹣y ﹣5=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由直线m 与直线l 垂直可知m 的斜率为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又直线m 在y 轴上的截距为3，则直线m 的方程为即x+2y ﹣6=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．已知圆C 的圆心为点C （﹣2，1），且经过点A （0，2）．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若直线y=kx+1与圆C 相交于M ，N 两点，且，求k 的值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）求出圆的半径，即可求圆C 的方程；（Ⅱ）若直线y=kx+1与圆C 相交于M ，N 两点，且，可得圆心C 到直线y=kx+1的距离为，利用点到直线的距离公式求k 的值．【解答】解：（Ⅰ）圆C 的半径﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 由圆心为点C （﹣2，1），所以圆C 的方程为（x+2）2+（y ﹣1）2=5﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）圆心为点C （﹣2，1），半径为，，所以圆心C 到直线y=kx+1的距离为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得k 2=1，k=±1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．如图，在四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形．过AB 的平面与侧棱CC 1，DD 1分别交于点E ，F ．（Ⅰ）求证：EF∥AB；（Ⅱ）求证：A 1C 1⊥平面DBB 1D 1．【考点】直线与平面垂直的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）由底面ABCD 为菱形，可得AB∥CD，易证AB∥平面D 1DCC 1，结合AB ⊂平面ABEF ，平面ABEF∩平面D 1DCC 1=EF ，可得EF∥AB．（Ⅱ）由AA 1⊥平面ABCD ，可得BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，可证BB 1⊥A 1C 1，又底面A 1B 1C 1D 1为菱形，可得B 1D 1⊥A 1C 1，可得A 1C 1⊥平面DBB 1D 1，【解答】（本小题12分）解：（Ⅰ）∵底面ABCD 为菱形，∴AB∥CD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又AB ⊄平面D 1DCC 1，CD ⊂平面D 1DCC 1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴AB∥平面D 1DCC 1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又∵AB ⊂平面ABEF ，平面ABEF∩平面D 1DCC 1=EF ，﹣﹣﹣﹣﹣∴EF∥AB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）∵AA 1⊥平面ABCD ，∴BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，∴BB 1⊥A 1C 1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又∵底面A 1B 1C 1D 1为菱形，∴B 1D 1⊥A 1C 1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵B 1D 1∩BB 1=B 1，BB 1⊂平面DBB 1D 1，B 1D 1⊂平面DBB 1D 1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴A 1C 1⊥平面DBB 1D 1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣20．已知椭圆C ：x 2+4y 2=4，直线与椭圆C 交于不同的两点A ，B ．（Ⅰ）求椭圆C 的焦点坐标；（Ⅱ）求实数b 的取值范围；（Ⅲ）若b=1，求弦AB 的长．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）将椭圆方程化为标准方程，求得a ，b ，c ，即可得到所求焦点；（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，消去y ，得到x 的方程，再由判别式大于0，解不等式即可得到所求范围； （Ⅲ）若b=1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆方程x 2+4y 2=4得， 可知 a 2=4，b 2=1，c 2=3，所以椭圆C 的焦点坐标；（Ⅱ）直线方程与椭圆C 的方程联立，得方程组，消y ，整理得x 2+2bx+2b 2﹣2=0，①，由直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，则有△=4b 2﹣4（2b 2﹣2）＞0，解得；（Ⅲ）若b=1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由（Ⅱ）中的①式得x1+x2=﹣2，x1x2=0，且k=，可得弦长．21．如图，正方形ABCD与梯形AMPD所在的平面互相垂直，AD⊥PD，MA∥PD，MA=AD=PD=1．（Ⅰ）求证：MB∥平面PDC；（Ⅱ）求证：PM⊥平面MDC；（Ⅲ）求三棱锥P﹣MDC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（I）由AB∥CD，MA∥PD可得平面MAB∥平面PDC，故MB∥平面PDC；（II）由平面ABCD⊥平面AMPD可得CD⊥平面AMPD，故CD⊥PM，由勾股定理计算MP，MD，可得MP2+MD2=PD2，即PM⊥MD，于是MP⊥平面MDC；（III）以△MDC为棱锥的底面，则PM为棱锥的高，代入体积公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，又∵MA∥PD，AB∩MA=A，CD∩PD=D，AB⊂平面ABM，MA⊂平面ABMCD⊂平面PDC，PD⊂平面PDC，∴平面ABM∥平面PDC，∵MB⊂平面ABM，∴MB∥平面PDC．（Ⅱ）∵平面ABCD⊥平面AMPD，平面ABCD∩平面AMPD=AD，CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥平面AMPD，∵PM⊂平面AMPD，∴CD⊥PM．∵在直角梯形AMPD中，由，得，∴PM2+MD2=PD2，∴MD⊥PM，又CD∩MD=D，CD⊂平面MDC，MD⊂平面MDC，∴PM⊥平面MDC．（Ⅲ）由（Ⅱ）知PM是三棱锥P﹣MDC的高，．∴三棱锥P﹣MDC的体积．22．椭圆C： =1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y2=8x焦点相同，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点M（m，0）在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）求得抛物线的焦点，可得c=2，由离心率公式可得a=4，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设P（x，y）为椭圆上的动点，求得向量MP的坐标，再由模的公式，及二次函数的最值的求法，可得m的范围．【解答】解：（Ⅰ）由抛物线y2=8x焦点为（2，0），得c=2，由，得a=4，则b2=a2﹣c2=12，所以椭圆C的方程为；（Ⅱ）设P（x，y）为椭圆上的动点，由于椭圆方程为，故﹣4≤x≤4．因为，所以=因为当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，即当x=4时，取得最小值，而﹣4≤x≤4，故有4m≥4，解得m≥1，又点M在椭圆C的长轴上，即﹣4≤m≤4，故实数m的取值范围为1≤m≤4．。
北京市昌平临川育人学校高二上学期期末考试数学(文)试
北京临川学校2017--2018学年上学期期末考试高二文科数学一、选择题（每题只有一个正确选项，每题5分，共60分）1．若命题p:∃x0>0,|x0|≤1,则命题p的否定是A. ∀x>0,|x|>1B. ∀x>0,|x|≥1C. ∀x≤0,|x|<1D.∀x≤0,|x|≤12．已知i是虚数单位，复数iz4=对应的点在第（）象限3+A.四B. 三C. 二D. 一3.设x∈R，则“52-<<x”的<x”是“81<（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件4.某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）（A）160 （B）140 （C）120 （D）565.执行如题（5）图所示的程序框图，则输出s的值为（）C.36B.19.10A.17D6.椭圆22194x y +=的离心率是（ ）A B C ．23D ．597.双曲线的一个焦点坐标为（ ）A ．B ．C ．（2，0）D ．（0，2）8.设函数y ＝f (x )＝x 5，当自变量x 由1变为3时，函数的平均变化率为( ) A ．25 B ．60 C ．120 D ．125 9.函数x x x f 2)(2-=的单调递增区间是（ ）A ．(1,2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1)和(2，＋∞)10.函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调减区间是( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1)和(2，＋∞)11.已知()y f x =的导函数为()y f x '=，且在1x =处的切线方程为3y x =-+，则()()11f f '-=（ ）A. 2B. 3C. 4D. 512.已知双曲线3y 2－mx 2＝3m (m >0)的一个焦点与抛物线y ＝18x 2的焦点重合，则此双曲线的离心率为( )A.2D.51()ln x f x x x-=-二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为2，则P 到另一焦点距离为 .14.抛物线x y 82=下列抛物线的焦点坐标 .15.已知曲线y ＝f (x )＝x 2 +1上一点A (2,5)，则点A 处的切线方程为 . 16.若曲线y=xlnx 上点P 处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P 的坐标是 .三、解答题（写出必要的推理计算过程，17题10分，其他每题12分，共70分） 17.设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛. （I ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数;（II ）将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为123456,,,,,A A A A A A ,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛. （i ）用所给编号列出所有可能的结果;（ii ）设A 为事件“编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件A 发生的概率.18.求下列函数的导数（1）f (x )＝x 3＋x ； （2）f (x )＝sin x ＋x ；（3）f (x )＝e xcos x ； （4）[].3,1,612)(2;612)(1.1933的最大值和最小值）求函数（的递增区间）求函数（-∈+-=+-=x x x x f x x x f20. 已知函数ex e x f x -=)(．（ 71828.2≈e ）（1）求曲线()y f x =在点)10，（处的切线方程； （2）求证：当0>x 时，0)(≥x f .21.已知中心在原点的椭圆C 的左焦点F （﹣，0），右顶点A （2，0）．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）斜率为的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求弦长|AB |的最大值及此时l 的直线方程．22.已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．北京临川学校2017--2018学年第一学期期末考试高二文科数学参考答案一、选择题（每题只有一个正确选项，每题5分，共60分）1cos +=x y )sin (cos sin cos x x e x e x e y x x x -=-=二、填空题（每小题5分，共20分）13. 8 14.（2,0） 15.034=--y x 16. (e,e) 三、解答题（写出必要的推理或计算过程，共70分） 17.（II ）（i ）从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛,所有可能的结果为{}12,A A ,{}13,A A ,{}14,A A ,{}15,A A ,{}16,A A ,{}23,A A ,{}24,A A ,{}25,A A ,{}26,A A ,{}34,A A ,{}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共15种.（ii ）编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到的结果为{}15,A A ,{}16,A A ,{}25,A A ,{}26,A A , {}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共9种,所以事件A发生的概率()93.155P A == 18.（1）f ′(x )＝(x 3＋x )′＝(x 3)′＋(x )′＝3x 2＋1 （2）（3）(4)()22111x f x x x x-'=-=19..10-)2(17)1-(2.22--)(220)()2)(2(3)4(3123)(122==∞+∞=-==-+=-=-=f f x f x x x f x x x x x f 最小值为，）最大值为（），），（，在递增区间为（所以，函数，或，得令）解：（，， 20..1(0)1()(,10)(,10)()()2(01)1)(1(,,,时，等号成立）当且仅当，得令，得，令解：==≥<<>>-==+--x f x f x x f x x f e e x f y x e x21.解：（1）由题意可知：c=，a=2，∴b 2=a 2﹣c 2=1．∵焦点在x 轴上，∴椭圆C 的方程为：．（2）设直线l 的方程为y=x +b ，由，可得x 2+2bx +2b 2﹣2=0，∵l 与椭圆C 交于A 、B 两点， ∴△=4b 2﹣4（2b 2﹣2）≥0，即b 2≤2． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则x 1+x 2=﹣2b ，x 1x 2=2b 2﹣2． ∴弦长|AB |==，∵0≤b 2≤2，∴|AB |=≤，∴当b=0，即l 的直线方程为y=x 时，弦长|AB |的最大值为．22.解：本题主要考查导数的基本知识，利用导数判断函数单调性、求极值． (1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4.故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x(x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12.令f ′(x )＝0得，x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．。
北京市昌平临川育人学校2017-2018学年高二上学期期中
北京临川学校2017-2018学年上学期期中考试高二数学理科试卷时间：120分钟 满分：150分一、选择题（每题5分，共60分）1.一个单位有职工800人，其中具有高级职称的为160人，具有中级职称的为320人，具有初级职称的为200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是( )A ．12,24,15,9B ．9,12,12,7C ．8,15,12,5D ．8,16,10,62.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）.若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x 和y 的值分别为A. 3，5B. 5，5C. 3，7D. 5，73．某入伍新兵的打靶练习中，连续射击2次，则事件“至少有1次中靶”的互斥事件是( )A ．至多有1次中靶B ．2次都中靶C ．2次都不中靶D ．只有1次中靶4.在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为 A ．21B ．101 C ．203D ．235.为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数6.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．37. 从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A.110 B. 15 C. 310 D. 258.“－2<x <1”是“55<<-x ”成立的A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件学校_____________班级_______________座号________________姓名______________C ．既不是充分条件，也不是必要条件D ．既是充分条件，也是必要条件9.椭圆221259x y +=上的点M 到焦点F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，则|ON |为 A ．4 B.2 C.8 D.2310.下列曲线中离心率为62的是( ) A .x 22－y 24＝1 B. x 24－y26＝1 C. x 24－y 22＝1 D .x 24－y210＝111.过抛物线2:4C y x =的焦点F ，C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥,则M 到直线NF 的距离为A. B. C. 12. P 是椭圆22195x y +=上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线，垂足为M ，则PM 的中点的轨迹方程是（ ）A ．224195x y += B ．224195x y += C ．221920x y += D ．221365x y += B 二、填空题（每题5分，共20分）13.命题“若x －2＋(y ＋1)2＝0，则x ＝2且y ＝－1”的否命题： . 14.如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为___________.15.已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________.16．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1 (a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率 等于______．三、解答题（第17题10分，18～22题每题12分，共70分）0.01频率组距17.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[)40,50，[)50,60…[]90,100后画出如下部分频率分布直方图. 观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，；（3）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；18.某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1,A 2,A 3和3个欧洲国家B 1,B 2,B 3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率.19.，且与椭圆22194x y+=有公共焦点.(1)求此双曲线的方程； (2）写出其顶点、焦点坐标，指出实轴、虚轴，写出渐近线方程.20.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的弦长（含m）和截得的最长弦所在的直线方程．21.已知椭圆C：22221x ya b+=过点A（2,0），B（0,1）两点.（I）求椭圆C的方程及离心率；（2）若抛物线y2=2px的焦点与（1）中椭圆的右焦点重合，求该抛物线的准线方程；（3）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.22.已知抛物线C：22=的焦点为F，平行于x轴的两条直线12,l l分别交C于,A By x两点，交C的准线于P Q，两点．（1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR FQ；∆的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.（2）若PQF∆的面积是ABF北京临川学校2017-2018学年上学期期中考试高二数学理科试卷参考答案 时间：120分钟 满分：150分一、选择题（每题5分，共60分）13.若x －2＋(y ＋1)2≠0，则x ≠2或y ≠－114.0.18 15. 2 18.255三、解答题（第17题10分，18～22题每题12分，共70分） 17.解 （1）0.3 （2）0.75 71 18.解所选两个国家都是亚洲的事件所包含的基本事件有：{}{}{}121323,,,,,A A A A A A ,共3个，所以所求事件的概率为31155p ==； （2）从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：{}{}{}{}{}{}{}{}111213212223313233,,{,},,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B 共9个，包含1A 但不包括1B 的事件所包含的基本事件有{}{}1213,,,A B A B 共2个， 所以所求事件的概率为29P =.19.解：(1)1422=-y x (2)顶点（-2,0） （2,0） 焦点)0,5(± 实轴4 虚轴2渐近线方程x y 21±=20.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0. 解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 由(1)知，5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－2m5，x 1x 2＝15(m 2－1)．设弦长为d ，且y 1－y 2＝(x 1＋m )－(x 2＋m )＝x 1－x 2， ∴d ＝x 1－x 22y 1－y 22＝2x 1－x 22＝2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m 225－45m 2－1 ＝2510－8m 2. ∴当m ＝0时，d 最大，此时直线方程为y ＝x .21解（1）椭圆C的方程为2214x y +=．离心率c e a ==（2）x y 82=（3）设()00,x y P （00x <，00y <），则220044x y +=．又()2,0A ，()0,1B ，所以，直线PA 的方程为()0022y y x x =--． 令0x =，得0022y y x M =--，从而002112y y x M BM =-=+-．直线PB 的方程为0011y y x x -=+． 令0y =，得001x x y N =--，从而00221x x y N AN =-=+-．所以四边形ABNM 的面积12S =AN ⋅BM 00002121212x y y x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭()22000000000044484222x y x y x y x y x y ++--+=--+ 00000000224422x y x y x y x y --+=--+2=．从而四边形ABNM 的面积为定值．22.解 由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---. 记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分 （1）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=， 所以ARFQ . ......5分（2）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ， 则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆. 由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12分。
北京市北京昌平临川育人学校2017-2018学年高二上学期
北京临川学校2017-2018学年上学期第一次月考高二数学时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，先采用分层抽取容量为45人的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15、5、25 B．15、15、15 C．10、5、30 D．15、10、202．重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A．19 B．20 C．21.5 D．233．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（）A．8 B．15 C．16 D．324．下列四个图象中，两个变量具有正相关关系的是（）A． B．C．D．5.从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么对立的两个事件是（）A．至少有1个白球，至少有1个红球B．至少有1个白球，都是红球C．恰有1个白球，恰有2个白球D．至少有1个白球，都是白球6．将骰子抛2次，其中向上的数之和是5的概率是（）A．B．C．D．978．如右图所示的程序框图的运行结果是（）A．B．C．D．39．根据如图框图，当输入x为6时，输出的y=（）A．1 B．2 C．5 D．1010．设x∈R，则“1＜x＜2”是“1＜x＜3”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1 C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1 12．中秋节前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒内间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．表示随机事件发生的可能性大小的数叫做该事件的．14．如图所示，在边长为2的正方形内有一扇形(见阴影部分)，点P随意等可能落在正方形内，则这点落在扇形外且在正方形内的概率为．15．若a2+b2=0，则a=0b=0；（用适当的逻辑联结词“且”“或”“非”）．16．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为.三、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．（1）抛掷一个骰子(各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，记出现奇数点为事件A，求P(A)；（2）同时抛掷两个骰子(各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，求向上的数相同的概率．18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数.19．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得，，，．（1）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．20．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．（1）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；（2）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．（a）用所给编号列出所有可能的结果；（b）设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A 发生的概率．21．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|m﹣3≤x≤m+3}，m∈R（1）若m=3，求A∩B；（2）已知p：x∈A，q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数m的取值范围．22．命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（其中a＞0）；命题q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．北京临川学校2017-2018学年高二上学期第一次月考数学参考答案一、选择题（每题5分，共60分）二、填空题（每题5分，共20分）13.概率 14.1－π4 15.且16.12三、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）17.（1）21；（2）16. 18.解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x +0.005+0.0025）×20=1，解方程可得x=0.0075，∴直方图中x 的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a ，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a ﹣220）=0.5可得a=224， ∴月平均用电量的中位数为224；19.解：（1）由题意可知n=10，===8，===2， 故l xx ==720﹣10×82=80，l xy ==184﹣10×8×2=24， 故可得b=═=0.3，a==2﹣0.3×8=﹣0.4，故所求的回归方程为：y=0.3x﹣0.4；（2）由（Ⅰ）可知b=0.3＞0，即变量y随x的增加而增加，故x与y之间是正相关；（3）把x=7代入回归方程可预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）．20.解：（1）由题意可得抽取比例为=，27×=3，9×=1，18×=2，∴应甲、乙、丙三个协会中分别抽取的运动员的人数为3、1、2；（2）（a）从6名运动员中随机抽取2名的所有结果为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，A5），（A1，A6），（A2，A3），（A2，A4），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A4），（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6）），（A5，A6），共15种；（b）设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，则事件A包含：（A1，A5），（A1，A6），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6）），（A5，A6）共9个基本事件，∴事件A发生的概率P==21.解：（1）A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，B={x|m﹣3≤x≤m+3}，若m=3，则B={x|0≤x≤6}，则A∩B={x|0≤x≤3}；（2）若q是p的必要条件，则A⊆B，即，即，解得0≤m≤2．22.解：（Ⅰ）由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，又a＞0，所以a＜x＜3a，当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．（2分）由得解得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．（4分）若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是（2，3）．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知p：a＜x＜3a，则¬p：x≤a或x≥3a，（8分）q：2＜x≤3，则¬q：x≤2或x＞3，（10分）¬p是¬q的充分不必要条件，则¬p⇒¬q，且¬q⇏¬p，∴解得1＜a≤2，故实数a的取值范围是（1，2]．。
2017-2018学年北京市育才中学高二上学期期中数学试卷与解析(理科)
2017-2018学年北京市育才中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，8道题，共40分）1．（5分）抛物线x2=my的焦点坐标为（）A．B．C．D．2．（5分）圆x2+y2﹣ax+2=0与直线l相切于点A（3，1），则直线l的方程为（）A．2x﹣y﹣5=0 B．x﹣2y﹣1=0 C．x﹣y﹣2=0 D．x+y﹣4=03．（5分）若双曲线的离心率是2，则实数k=（）A．3 B．﹣3 C．D．4．（5分）“x＞3”是“x2＞4”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（）A．20πB．25πC．50πD．200π6．（5分）一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm），则该几何体的表面积及体积为（cm2\cm3）（）A．24π，12πB．15π，12πC．24π，36πD．以上都不正确7．（5分）下列说法不正确的是（）A．α∥β，a⊂α⇒a∥βB．α∥β，γ∩α=a，γ∩β=b⇒a∥bC．夹在平行平面间的平行线段相等D．若平面外的一条直线上有两点到这个平面的距离相等，则这条直线和这个平面平行8．（5分）AB为过椭圆中心的弦，F（c，0）为椭圆的左焦点，则△AFB的面积最大值是（）A．b2B．bc C．ab D．ac二、填空题（每小题5分，6道题，共30分）9．（5分）命题“∀x∈R，x2＞0”的否定是．10．（5分）已知点A（2，1），抛物线y2=4x的焦点是F，若抛物线上存在一点P，使得|PA|+|PF|最小，则最小值为；此时P点的坐标为．11．（5分）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线过点（4，﹣2），则它的离心率为．12．（5分）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为．13．（5分）下列说法中正确的是．①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②“a＞b”是“a+c＞b+c”的充要条件；③“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2+b2≠0”④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真；⑤“¬p为假命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件．14．（5分）下列命题正确的是．①两条直线没有公共点，则这两条直线平行或互为异面直线；②如果两个平面有三个公共点，那么它们重合；③一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行；④两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；⑤过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行．三、解答题（6道题，共80分）15．（13分）已知命题p：|x﹣4|≤6，q：x2﹣2x+（1+a）（1﹣a）≥0（a＞0）．（1）分别写出p真、q真时不等式的解集．（2）若¬p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．16．（13分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC上一点，若AD⊥BC．（1）若底面边长为a，侧棱长为b，求该正三棱柱的表面积、体积．（2）求证：A1B∥平面ADC1．17．（13分）已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切．（1）求圆C的标准方程．（2）求直线L：x﹣2y+1=0与圆C相交的弦长．18．（13分）四棱锥P﹣ABCD中底面ABCD是平行四边形，E是PD中点，过EAB 的平面与PC交于F．（1）求证：CD∥平面EAB．（2）求证：F是PC中点．19．（14分）一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为52米，拱顶距离水面6.5米．（1）建立如图所示的平面直角坐标系xoy，试求拱桥所在抛物线的方程；（2）若一竹排上有一4米宽6米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥？20．（14分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F1，F2，且这两条直线互相垂直，求证：为定值．2017-2018学年北京市育才中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，8道题，共40分）1．（5分）抛物线x2=my的焦点坐标为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，抛物线x2=my焦点在y轴上，坐标为．故选：B．2．（5分）圆x2+y2﹣ax+2=0与直线l相切于点A（3，1），则直线l的方程为（）A．2x﹣y﹣5=0 B．x﹣2y﹣1=0 C．x﹣y﹣2=0 D．x+y﹣4=0【解答】解：将点A（3，1）代入圆的方程得a=4，∴圆心坐标为O（2，0），K OA==1，∴切线l的斜率K=﹣1．∴直线l的方程为：y﹣1=﹣（x﹣3），即：y+x﹣4=0，故选：D．3．（5分）若双曲线的离心率是2，则实数k=（）A．3 B．﹣3 C．D．【解答】解：依题意可知，k＜0，故a=1，b=，∴c=，∴==2，求得k=﹣3．故选：B．4．（5分）“x＞3”是“x2＞4”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：①∵x＞3，x2＞9，∴x2＞4成立．②当x2＞4时得x＜﹣2或x＞2，∴x＞3不一定成立，故x＞3是x2＞4的充分不必要条件．故选：B．5．（5分）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（）A．20πB．25πC．50πD．200π【解答】解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线，则（2R）2=32+42+52=50，∴R=．∴S=4π×R2=50π．球故选：C．6．（5分）一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm），则该几何体的表面积及体积为（cm2\cm3）（）A．24π，12πB．15π，12πC．24π，36πD．以上都不正确【解答】解：由三视图可得该几何体为圆锥，且底面直径为6，即底面半径为r=3，圆锥的母线长l=5，则圆锥的底面积S=π•r2=9π底面侧面积S=π•r•l=15π，侧面故几何体的表面积S=9π+15π=24πcm2，又由圆锥的高h==4，•h=12πcm3．故V=•S底面故选：A．7．（5分）下列说法不正确的是（）A．α∥β，a⊂α⇒a∥βB．α∥β，γ∩α=a，γ∩β=b⇒a∥bC．夹在平行平面间的平行线段相等D．若平面外的一条直线上有两点到这个平面的距离相等，则这条直线和这个平面平行【解答】解：在A中，α∥β，a⊂α，由面面平行的性质定理得a∥β，故A正确；在B中，α∥β，γ∩α=a，γ∩β=b，由面面平行的性质定理得a∥b，故B正确；在C中，由面面平行的性质定理得夹在平行平面间的平行线段相等，故C正确；在D中，平面外的一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线可能平行于这个平面，也可能与此平面相交，故D错误．故选：D．8．（5分）AB为过椭圆中心的弦，F（c，0）为椭圆的左焦点，则△AFB 的面积最大值是（）A．b2B．bc C．ab D．ac【解答】解：方法一：设A（x0，y0），则B（﹣x0，﹣y0），直线AB的方程为：y=x；∴|AB|=2，F到AB的距离为d==；∴△FAB的面积为：S=|AB|•d=×2•=c|y0|；∵﹣b≤y0≤b，∴|y0|=b时，S取最大值bc．方法二：解：△ABF面积等于△AOF 和△BOF 的面积之和，设A到x轴的距离为h，由AB为过椭圆中心的弦，则B到x轴的距离也为h，∴△AOF 和△BOF 的面积相等，故：△ABF面积等于×c×2h=ch，又h的最大值为b，∴△ABF面积的最大值是bc，故选：B．二、填空题（每小题5分，6道题，共30分）9．（5分）命题“∀x∈R，x2＞0”的否定是．．【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题得：命题“∀x∈R，x2＞0”的否定是：．故答案为：．10．（5分）已知点A（2，1），抛物线y2=4x的焦点是F，若抛物线上存在一点P，使得|PA|+|PF|最小，则最小值为3；此时P点的坐标为．【解答】解：由抛物线定义，到P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，设点P到准线x=﹣1的距离为PQ，则所求的|PA|+|PF|最小值，即为|PA|+|PQ|的最小值，当P、A、Q三点共线时，|PA|+|PQ|最小，∴|PA|+|PQ|最小值为A到准线l的距离此时最小值为3，P的纵坐标为1，代入抛物线中，解出P的横坐标为，得．故答案为：3；11．（5分）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线过点（4，﹣2），则它的离心率为．【解答】解：∵中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线过点（4，﹣2），∴==，∴e===．故答案为：．12．（5分）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为4．【解答】解：一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形，所以菱形的边长为：1，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，底面边长为1，侧面的底边长为1，斜高为1，侧棱长为：=，所以几何体的表面积为：=4．故答案为：4．13．（5分）下列说法中正确的是②④⑤．①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②“a＞b”是“a+c＞b+c”的充要条件；③“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2+b2≠0”④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真；⑤“¬p为假命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件．【解答】解：①逆命题与否命题真假性相同，但无法判断其逆否命题真假，错误．②由“a＞b”可推出，“a+c＞b+c”，“a+c＞b+c”也可推出，“a＞b”，正确．③原命题的逆否命题为“若a、b不全为0，则a2+b2≠0”，错误．④否命题与逆命题真假性相同，正确．⑤“¬p”为假命题，那么p为真命题，可推出p∨q，反之不成立，正确．故答案为：②④⑤．14．（5分）下列命题正确的是①．①两条直线没有公共点，则这两条直线平行或互为异面直线；②如果两个平面有三个公共点，那么它们重合；③一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行；④两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；⑤过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行．【解答】解：对于①，根据空间两直线位置关系的分类，可判定①正确．对于②，如果两个平面有三个公共点共线时，可能两个平面相交，故②错．对于③，当一条直线与平面内所有直线均无公共点时，直线与平面平行，故③错．对于④，两条直线都和同一个平面平行，两直线可能相交、异面，故④错．对于⑤，如图：异面直线a、b，过b上任一点作a的平行线c则相交直线b、c确定一个平面，且与a平行，即过两条异面直线中的一条只能作1个平面与另一条直线平行．故⑤错；故答案为：①．三、解答题（6道题，共80分）15．（13分）已知命题p：|x﹣4|≤6，q：x2﹣2x+（1+a）（1﹣a）≥0（a＞0）．（1）分别写出p真、q真时不等式的解集．（2）若¬p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．【解答】解：（1）p真时：|x﹣4|≤6⇒﹣6≤x﹣4≤6⇒﹣2≤x≤10．q真时：x2﹣2x+（1+a）（1﹣a）≥0⇒[x﹣（1+a）][x﹣（1﹣a）]≥0⇒x≤1﹣a 或x≥1+a（a＞0）．（2）由题知，¬p为真时，x＜﹣2或x＞10，若¬p是q的充分不必要条件，则，解出a≤3．16．（13分）正三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，D是BC上一点，若AD⊥BC．（1）若底面边长为a，侧棱长为b，求该正三棱柱的表面积、体积．（2）求证：A1B∥平面ADC1．【解答】解：（1）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等边三角形，，正三棱柱面积=，体积．（2）证明：连接A1C，交AC1于O点，连接OD，∵在△A1CB中，O，D分别为A1C，BC中点，∴OD∥A1B，∴OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1．17．（13分）已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切．（1）求圆C的标准方程．（2）求直线L：x﹣2y+1=0与圆C相交的弦长．【解答】解：（1）设圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=22=4，圆心（a，b）到直线3x+4y+4=0的距离，∵圆心在x轴正半轴上，b=0，代入解出a=2或（舍），∴圆为（x﹣2）2+y2=4．（2）圆心（2，0）到直线L距离，弦长．18．（13分）四棱锥P﹣ABCD中底面ABCD是平行四边形，E是PD中点，过EAB 的平面与PC交于F．（1）求证：CD∥平面EAB．（2）求证：F是PC中点．【解答】证明：（1）∵在平行四边形ABCD中，CD∥AB，∵AB⊂平面PAB，CD⊄平面PAB，∴CD∥平面PAB．（2）设平面PDC∩平面PAB=直线l，则AB∥l，EF∥l，∴CD∥EF，∴AB∥EF，∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴EF∥CD，又∵E是PD中点，，∴F是PC中点．19．（14分）一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为52米，拱顶距离水面6.5米．（1）建立如图所示的平面直角坐标系xoy，试求拱桥所在抛物线的方程；（2）若一竹排上有一4米宽6米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥？【解答】解：（1）设抛物线方程x2=﹣2py．（2分）由题意可知，抛物线过点（26，﹣6.5），代入抛物线方程，得262=13p，解得p=52，所以，抛物线方程为x2 =﹣104y．（6分）（2）把x=2代入，求得y=﹣．（9分）而6.5﹣6=0.5＞，所以木排能安全通过此桥．（12分）20．（14分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F1，F2，且这两条直线互相垂直，求证：为定值．【解答】（Ⅰ）解：由已知，得．所以a2=2b2．所以C：，即x2+2y2=2b2．因为椭圆C过点，所以，得b2=4，a2=8．所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知椭圆C的焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0）．根据题意，可设直线MN的方程为y=k（x+2），由于直线MN与直线PQ互相垂直，则直线PQ的方程为．设M（x1，y1），N（x2，y2）．由方程组消y得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣8=0．则，．所以|MN|===．同理可得|PQ|=．所以==．。
2017-2018学年北京市昌平区临川育人学校高二(上)期末数学试卷(理科)
2017-2018学年北京市昌平区临川育人学校高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每题只有一个正确选项，每题5分，共60分）1．（5分）若命题p：∃x0＞0，|x0|≤1，则命题p的否定是（）A．∀x＞0，|x|＞1 B．∀x＞0，|x|≥1 C．∀x≤0，|x|＜1 D．∀x ≤0，|x|≤12．（5分）已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人得分的中位数之和是（）A．62 B．63 C．64 D．653．（5分）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A．56 B．60 C．120 D．1405．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A．10 B．17 C．19 D．366．（5分）已知椭圆mx2+4y2=1的离心率为，则实数m等于（）A．2 B．2或C．2或6 D．2或8 7．（5分）函数f（x）=lnx﹣x的单调增区间为（）A．（1，+∞）B．（0，1）C．（﹣∞，1）D．（0，+∞）8．（5分）若函数y=x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是（）A．[﹣，+∞）B．（﹣∞，﹣]C．[，+∞）D．（﹣∞，]9．（5分）若函数f（x）=﹣lnx，则（）A．f（7）＞f（5）＞f（6）B．f（6）＞f（7）＞f（9）C．f（9）＞f（7）＞f（6）D．f（7）＞f（9）＞f（6）10．（5分）设函数f'（x）是奇函数f（x）x∈R的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＜0则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（0，1）C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）11．（5分）已知椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），则m=（）A．2 B．3 C．4 D．912．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）双曲线x2﹣=1的渐近线方程为．14．（5分）求曲线f（x）=e x cosx﹣x在点（0，f（0））处的切线方程．15．（5分）已知向量=（2，4，10），=（3，x，15）分别是直线l1，l2的方向向量，若l1⊥l2，则x=．16．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交抛物线C于A，B两点，则|AB|=．三、解答题（写出必要的推理计算过程，17题10分，其他每题12分，共70分）17．（10分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18．现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．（1）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；（2）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6．现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．①用所给编号列出所有可能的结果；②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．18．（12分）已知中心在原点的椭圆C的左焦点F（﹣，0），右顶点A（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦长|AB|的最大值及此时l 的直线方程．19．（12分）已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．（1）求a、b的值；（2）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．21．（12分）如图，椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为．（I）求椭圆E的方程；（II）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A），问直线AP与AQ的斜率之和是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．22．（12分）已知函数f（x）=ln，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x）＞；（Ⅲ）设实数k使得f（x）对x∈（0，1）恒成立，求k的最大值．2017-2018学年北京市昌平区临川育人学校高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题只有一个正确选项，每题5分，共60分）1．（5分）若命题p：∃x0＞0，|x0|≤1，则命题p的否定是（）A．∀x＞0，|x|＞1 B．∀x＞0，|x|≥1 C．∀x≤0，|x|＜1 D．∀x ≤0，|x|≤1【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：∵特称命题的否定是全称命题．∴命题p：∃x0＞0，|x0|≤1的否定是：∀x＞0，|x|＞1故选：A．【点评】本题考查命题的否定，注意量词的变化，基本知识的考查．2．（5分）已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人得分的中位数之和是（）A．62 B．63 C．64 D．65【分析】由茎叶图知甲的数据有12个，中位数是中间两个数字的平均数，乙的数据有13个，中位数是中间一个数字36，做出两个数字之和．【解答】解：由茎叶图知甲的数据有12个，中位数是中间两个数字的平均数=27乙的数据有13个，中位数是中间一个数字36∴甲和乙两个人的中位数之和是27+36=63故选：B．【点评】本题考查茎叶图和中位数，本题解题的关键是先看出这组数据的个数，若个数是一个偶数，中位数是中间两个数字的平均数，若数字是奇数个，中位数是中间一个数字．3．（5分）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由2﹣x≥0得x≤2，由|x﹣1|≤1得﹣1≤x﹣1≤1，得0≤x≤2．则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及不等式的性质是解决本题的关键．4．（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A．56 B．60 C．120 D．140【分析】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22.5小时的频率，进而可得自习时间不少于22.5小时的频数．【解答】解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，故自习时间不少于22.5小时的频数为：0.7×200=140，故选：D．【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A．10 B．17 C．19 D．36【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，循环可得结论．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：k=2，s=0满足条件k＜10，第一次循环，s=2，k=3，满足条件k＜10，第二次循环，s=5，k=5，满足条件k＜10，第二次循环，s=10，k=9，满足条件k＜10，第二次循环，s=19，k=17，不满足条件k＜10，退出循环，输出s的值为19．故选：C．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．6．（5分）已知椭圆mx2+4y2=1的离心率为，则实数m等于（）A．2 B．2或C．2或6 D．2或8【分析】利用已知条件判断m的父亲，然后分类讨论求出m的值即可．【解答】解：椭圆mx2+4y2=1，显然m＞0且m≠4．当0＜m＜4时，椭圆长轴在x轴上，则，解得m=2；当m＞4时，椭圆长轴在y轴上，则，解得m=8，故选：D．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，注意椭圆的两种情况，考查计算能力．7．（5分）函数f（x）=lnx﹣x的单调增区间为（）A．（1，+∞）B．（0，1）C．（﹣∞，1）D．（0，+∞）【分析】利用导数判断函数的单调性求得单调区间即可．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞）f′（x）=﹣1=，由＞0得0＜x＜1，故函数的单调递增区间是（0，1）．故选：B．【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间知识，属基础题．8．（5分）若函数y=x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，+∞）B．（﹣∞，﹣]C．[，+∞）D．（﹣∞，]【分析】由已知中函数的解析式，结合二次函数的图象和性质，可以判断出函数y=x2+（2a﹣1）x+1图象的形状，分析区间端点与函数图象对称轴的关键，即可得到答案．【解答】解：∵函数y=x2+（2a﹣1）x+1的图象是方向朝上，以直线x=为对称轴的抛物线又∵函数在区间（﹣∞，2]上是减函数，故2≤解得a≤﹣故选：B．【点评】本题考查的知识点是函数单调性的性质，其中熟练掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键．9．（5分）若函数f（x）=﹣lnx，则（）A．f（7）＞f（5）＞f（6）B．f（6）＞f（7）＞f（9）C．f（9）＞f（7）＞f（6）D．f（7）＞f（9）＞f（6）【分析】根据导数求出函数f（x）的单调性，根据函数的单调性判断函数值的大小即可．【解答】解：f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：x＞4，故f（x）在（4，+∞）递增，故f（9）＞f（7）＞f（6），故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．10．（5分）设函数f'（x）是奇函数f（x）x∈R的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＜0则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（0，1）C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【分析】构造函数g（x）=，利用g（x）的导数判断函数g（x）的单调性与奇偶性，再画出函数g（x）的大致图象，结合图形求出不等式f（x）＞0的解集．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数，又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的大致图象如图所示：数形结合可得，不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，即或，解得0＜x＜1或x＜﹣1．∴f（x）＞0成立的x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．故选：A．【点评】本题考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式的应用问题，是综合题．11．（5分）已知椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），则m=（）A．2 B．3 C．4 D．9【分析】利用椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），可得25﹣m2=16，即可求出m．【解答】解：∵椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），∴25﹣m2=16，∵m＞0，∴m=3，故选：B．【点评】本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，比较基础．12．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）双曲线x2﹣=1的渐近线方程为y=±x．【分析】由双曲线的方程﹣=1的渐近线方程为y=±x，求得a，b，即可得到渐近线方程．【解答】解：双曲线x2﹣=1的a=1，b=，可得渐近线方程为y=±x，即有y=±x．故答案为：y=±x．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线的性质，考查运算能力，属于基础题．14．（5分）求曲线f（x）=e x cosx﹣x在点（0，f（0））处的切线方程y=1．【分析】根据题意，求出函数的导数以及f（0）的值，进而由直线的点斜式方程计算可得答案；【解答】解：根据题意，函数f'（x）=（cosx﹣sinx）e x﹣1，则f'（0）=0，又f（0）=1，则切线的方程为：y﹣1=0•x，即切线方程为y=1．故答案为：y=1．【点评】本题考查利用导数分析计算函数的最值以及切线的斜率，关键是掌握导数的集合意义．15．（5分）已知向量=（2，4，10），=（3，x，15）分别是直线l1，l2的方向向量，若l1⊥l2，则x=﹣39．【分析】利用向量垂直的性质直接求解．【解答】解：∵向量=（2，4，10），=（3，x，15）分别是直线l1，l2的方向向量，l1⊥l2，∴=6+4x+150=0，解得x=﹣39．故答案为：﹣39．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．16．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交抛物线C于A，B两点，则|AB|=12．【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B 两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于x的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点横坐标的和，代入抛物线过焦点的弦长公式得答案．【解答】解：由y2=3x，得2p=3，p=，则F（，0），∴过A，B的直线方程为y=（x﹣），联立，得16x2﹣168x+9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∴|AB|=．故答案为：12．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题．三、解答题（写出必要的推理计算过程，17题10分，其他每题12分，共70分）17．（10分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18．现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．（1）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；（2）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6．现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．①用所给编号列出所有可能的结果；②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．【分析】（1）由题意计算三个乒乓球协会全部人数，即可得抽取比例，进而计算可得相应的人数；（2）列举可得从6名运动员中随机抽取2名的所有结果共15种；事件A包含上述9个，由概率公式可得．【解答】解：（1）根据题意，甲、乙、丙三个乒乓球协会一共有27+9+18=54人，从中抽取6人，则甲乒乓球协会应当抽取27×=3人，乙乒乓球协会应当抽取9×=1人，丙乒乓球协会应当抽取18×=2人，则应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3，1，2；（2）根据题意，将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6．①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种；②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种．因此，事件A发生的概率P（A）==．【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及分层抽样方法，注意列举事件的可能结果要做到不重不漏．18．（12分）已知中心在原点的椭圆C的左焦点F（﹣，0），右顶点A（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦长|AB|的最大值及此时l 的直线方程．【分析】（I）由题意可设椭圆的标准方程为：+=1（a＞b＞0）．可得c=，a=2，b=．即可得出椭圆C的标准方程．（II）设直线l的方程为：y=x+t，A（x1，y1），B（x2，y2）．与椭圆方程联立化为：x2+2tx+2t2﹣2=0，利用|AB|=即可得出．【解答】解：（I）由题意可设椭圆的标准方程为：+=1（a＞b＞0）．则c=，a=2，b==1．∴椭圆C的标准方程为=1．（II）设直线l的方程为：y=x+t，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：x2+2tx+2t2﹣2=0，△=4t2﹣4（2t2﹣2）＞0，化为：t2＜2．∴x1+x2=﹣2t，x1x2=2t2﹣2，∴|AB|===≤，当且仅当t=0时取等号．∴弦长|AB|的最大值为，此时l的直线方程为y=x．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19．（12分）已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．（1）求a、b的值；（2）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．【分析】（1）f′（x）=e x（ax+a+b）﹣2x﹣4，由于曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=4x+4，可得关于a，b的方程组，解得即可．（2）由（1）可知：f（x）=4e x（x+1）﹣x2﹣4x，f′（x）=4e x（x+2）﹣2x﹣4=4（x+2）（e x﹣）．分别由f′（x）＞0；由f′（x）＜0解得函数f（x）单调区间．进而得到函数的极大值．【解答】解：（1）f′（x）=e x（ax+a+b）﹣2x﹣4，∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=4x+4，∴，解得a=b=4．（2）由（1）可知：f（x）=4e x（x+1）﹣x2﹣4x，f′（x）=4e x（x+2）﹣2x﹣4=4（x+2）（e x﹣）．由f′（x）＞0解得x＜﹣2，x＞﹣ln2，此时函数f（x）单调递增；由f′（x）＜0解得﹣2＜x＜﹣ln2，此时函数f（x）单调递减．故当x=﹣2时，函数f（x）取得极大值，f（﹣2）=4（1﹣e﹣2）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、切线方程等基础知识与基本技能方法，属于中档题．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【分析】（1）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，进一步得到平面PAB⊥平面PAD；（2）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明PD⊥平面PAB，得为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB ﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D（），B（），P（0，0，），C（）．，，．设平面PBC的一个法向量为，由，得，取y=1，得．∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，．∴cos＜＞==．由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．21．（12分）如图，椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为．（I）求椭圆E的方程；（II）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A），问直线AP与AQ的斜率之和是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由题意可得b=1，结合椭圆的离心率及隐含条件求得a，则椭圆E 的方程可求；（Ⅱ）设出直线PQ的方程，联立直线方程和椭圆方程，然后借助于根与系数的关系整体运算得答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，b=1，结合a2=b2+c2，解得，∴椭圆的方程为；（Ⅱ）由题设知，直线PQ的方程为y=k（x﹣1）+1 （k≠2），代入，得（1+2k2）x2﹣4k（k﹣1）x+2k（k﹣2）=0，由已知△＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x2≠0，则，，从而直线AP与AQ的斜率之和：==．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查了椭圆的简单性质，涉及直线和圆锥曲线位置关系的问题，常采用联立直线方程和圆锥曲线方程，利用根与系数的关系求解，是中档题．22．（12分）已知函数f（x）=ln，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x）＞；（Ⅲ）设实数k使得f（x）对x∈（0，1）恒成立，求k的最大值．【分析】（1）利用函数的导数求在曲线上某点处的切线方程．（2）构造新函数利用函数的单调性证明命题成立．（3）对k进行讨论，利用新函数的单调性求参数k的取值范围．【解答】解答：（1）因为f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）所以又因为f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x．（2）证明：令g（x）=f（x）﹣2（x+），则g'（x）=f'（x）﹣2（1+x2）=，因为g'（x）＞0（0＜x＜1），所以g（x）在区间（0，1）上单调递增．所以g（x）＞g（0）=0，x∈（0，1），即当x∈（0，1）时，f（x）＞2（x+）．（3）由（2）知，当k≤2时，f（x）＞对x∈（0，1）恒成立．当k＞2时，令h（x）=f（x）﹣，则h'（x）=f'（x）﹣k（1+x2）=，所以当时，h'（x）＜0，因此h（x）在区间（0，）上单调递减．当时，h（x）＜h（0）=0，即f（x ）＜．所以当k＞2时，f（x ）＞并非对x∈（0，1）恒成立．综上所知，k的最大值为2．【点评】本题主要考查切线方程的求法及新函数的单调性的求解证明．在高考中属常考题型，难度适中．第21页（共21页）。
北京市昌平临川育人学校高二数学上学期期中试题
北京市昌平临川育人学校2016-2017学年高二数学上学期期中试题一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分） 1、下列说法正确的有（ ）①随机事件A 的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值。
②一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生。
③任意事件A 发生的概率P(A)满足0≤P(A)≤1。
④若事件A 的概率趋近于0，则事件A 是不可能事件。
A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个 2、一个容量为40的数据样本，分组后，组距与频数如下：﹝20.30），4；﹝30.40），7；﹝40.50），8；﹝50.60），9；﹝60.70），6；﹝70.80），6，则样本在区间﹝60 +∞）上的频率是（ ） A 、20﹪ B 、30﹪ C 、32.5﹪ D 、40﹪3、在如图的茎叶图表示的数据中， 1 2 4众数和中位数分别是（ ） 2 0 3 5 6 A 、23与26 B 、30与26 3 0 2 2 C 、32与28 D 、32与30 4 1 2 3 4、下列关系中，是相关关系的有（ ） （第3小题）①学生的学习态度与学习成绩之间的关系；②教师的执教水平与学生的学习成绩之间关系；③家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系。
A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个5、执行如图算法框图，如果输入ｍ﹦64，ｎ﹦30，则输出的ｎ是（ ） A 、、65小题） （第86、下列是某小卖部一周卖出热茶的杯数与当天气温的对比表。
若热茶数y 与气温x 近似地A 、y ＝﹣x+6 B 、y ＝﹣x +48 C 、y ＝x+42 D 、y ＝3x+787、算法框图如图，如果程序运行的结果S 的值比2013小，若使输出的S 最大，那么判断框中应填入（ ）A 、K ≥9B 、K ≤9C 、K ≥8D 、K ≤88、定义某种运算⊗，s ＝a ⊗b 的运算原理如右，则（﹣2）⊗（﹣1）的结果为（ ） A 、1 B 、-1 C 、-2 D 、29、盒子里装有3个红球，2个白球，从盒子里任取2个球，事件A:“取出的球都是白球”，则事件A 的互斥而不对立事件是（ ）A 、至少一个白球B 、最多一个白球C 、恰有一个白球D 、至少一个红球10、若连续抛掷一颗骰子两次，得到的点数分别为m 、n ， 则点（m.n ）在直线x+y=4左下方的概率为（ ）A 、121B 、61C 、41D 、3111、如图所示，算法流程图的输出结果是（ ）A 、55 B 、65 C 、78 D 、8912、在区间〔-2、3〕上任取一个实数则使直线ax+y+1=0截图X 2+Y 2=1所得弦长 d ∈〔2,545〕的概率是（ ）A 、B 、C 、D 、31二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、从一堆苹果中任取5个，称得它们的质量如下（单位：g ）125、124、121、123、127，则该样本标准差S=＿＿＿＿（g ）14、按如图所示算法框图计算，如果x =5，应该运算＿＿＿＿次才停止。
【精品】2017-2018学年北京市昌平区临川育人学校高二(上)期末数学试卷(文科)
2017-2018学年北京市昌平区临川育人学校高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（每题只有一个正确选项，每题5分，共60分）1．（5分）若命题p：?x0＞0，|x0|≤1，则命题p的否定是（）A．?x＞0，|x|＞1 B．?x＞0，|x|≥1 C．?x≤0，|x|＜1 D．?x ≤0，|x|≤12．（5分）已知i是虚数单位，复数z=3+4i对应的点在第（）象限．A．四B．三C．二D．一3．（5分）设x∈R，则“１＜x＜5”是“﹣2＜x＜8”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A．56 B．60 C．120 D．1405．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A．10 B．17 C．19 D．366．（5分）椭圆+=1的离心率是（）A．B．C．D．7．（5分）双曲线的一个焦点坐标为（）A．B．C．（2，0）D．（0，2）8．（5分）设函数y=f（x）=5x，当自变量x由1变为3时，函数的平均变化率为（）A．25 B．60 C．120 D．1259．（5分）函数y=x2﹣2x的单调递增区间是（）A．（1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（0，2）10．（5分）函数f（x）=2x3﹣9x2+12x+1的单调减区间是（）A．（1，2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1）和（2，+∞）11．（5分）已知y=f（x）的导函数为y=f'（x），且在x=1处的切线方程为y=﹣x+3，则f（1）﹣f'（1）=（）A．2 B．3 C．4 D．512．（5分）已知双曲线3y2﹣mx2=3m（m＞0）的一个焦点与抛物线y=x2的焦点重合，则此双曲线的离心率为（）A．3 B．C．D．2二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知椭圆+=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为2，则P到另一焦点距离为．14．（5分）抛物线y2=8x抛物线的焦点坐标．15．（5分）已知曲线y=f（x）=x2+1上一点A（2，5），则点A处的切线方程为．16．（5分）若曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线2x﹣y+1=0，则点P的坐标是．三、解答题（写出必要的推理计算过程，17题10分，其他每题12分，共70分）17．（10分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18．现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．（1）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；（2）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6．现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．①用所给编号列出所有可能的结果；②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．18．（12分）求下列函数的导数（1）f（x）=x3+x；（2）f（x）=sinx+x；（3）f（x）=e x cosx；（4）f（x）=﹣lnx．19．（12分）（1）求函数f（x）=x3﹣12x+6的递增区间；（2）求函数f（x）=x3﹣12x+6，x∈[﹣1，3]的最大值和最小值．20．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ex．（e≈2.71828…）（1）求曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线方程；（2）求证：当x＞0时，f（x≥0）．21．（12分）已知中心在原点的椭圆C的左焦点F（﹣，0），右顶点A（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦长|AB|的最大值及此时l 的直线方程．22．（12分）已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．（1）求a、b的值；（2）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．2017-2018学年北京市昌平区临川育人学校高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每题只有一个正确选项，每题5分，共60分）1．（5分）若命题p：?x0＞0，|x0|≤1，则命题p的否定是（）A．?x＞0，|x|＞1 B．?x＞0，|x|≥1 C．?x≤0，|x|＜1 D．?x ≤0，|x|≤1【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：∵特称命题的否定是全称命题．∴命题p：?x0＞0，|x0|≤1的否定是：?x＞0，|x|＞1故选：A．【点评】本题考查命题的否定，注意量词的变化，基本知识的考查．2．（5分）已知i是虚数单位，复数z=3+4i对应的点在第（）象限．A．四B．三C．二D．一【分析】直接写出复数z=3+4i对应的点的坐标得答案．【解答】解：复数z=3+4i对应的点的坐标为（3，4），在第一象限．故选：D．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．（5分）设x∈R，则“１＜x＜5”是“﹣2＜x＜8”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】直接根据定义即可判断．【解答】解：根据充分必要条件的定义可得出：“1＜x＜5”是“﹣2＜x＜8”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件的定义，属于容易题．4．（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A．56 B．60 C．120 D．140【分析】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22.5小时的频率，进而可得自习时间不少于22.5小时的频数．【解答】解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，故自习时间不少于22.5小时的频数为：0.7×200=140，故选：D．【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A．10 B．17 C．19 D．36【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，循环可得结论．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：k=2，s=0满足条件k＜10，第一次循环，s=2，k=3，满足条件k＜10，第二次循环，s=5，k=5，满足条件k＜10，第二次循环，s=10，k=9，满足条件k＜10，第二次循环，s=19，k=17，不满足条件k＜10，退出循环，输出s的值为19．故选：C．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．6．（5分）椭圆+=1的离心率是（）A．B．C．D．【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可．【解答】解：椭圆+=1，可得a=3，b=2，则c==，所以椭圆的离心率为：=．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．7．（5分）双曲线的一个焦点坐标为（）A．B．C．（2，0）D．（0，2）【分析】根据双曲线的方程和性质即可得到结论．【解答】解：由双曲线得a2=3，b2=1，则c2=a2+b2=4，则c=2，故双曲线的一个焦点坐标为（2，0），故选：C．【点评】本题主要考查双曲线的性质和方程，根据a，b，c之间的关系是解决本题的关键．8．（5分）设函数y=f（x）=5x，当自变量x由1变为3时，函数的平均变化率为（）A．25 B．60 C．120 D．125【分析】根据题意，由函数的解析式计算f（3）、f（1）的值，进而由变化率的计算公式计算可得答案．【解答】解：函数f（x）=5x，则f（3）=53=125，f（1）=51=5，则函数在[1，3]的平均变化率为==60，故选：B．【点评】本题考查变化率的计算，关键是掌握变化率的计算公式．9．（5分）函数y=x2﹣2x的单调递增区间是（）A．（1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（0，2）【分析】根据二次函数的解析式可得它的且它的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x=1，从而求得它的增区间．【解答】解：∵二次函数y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1 的对称轴为x=1，它的图象是开口向上的抛物线，故函数的增区间为（1，+∞），故选：A．【点评】本题主要考查二次函数的性质，属于基础题．10．（5分）函数f（x）=2x3﹣9x2+12x+1的单调减区间是（）A．（1，2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1）和（2，+∞）【分析】根据题意，对函数f（x）求导可得f′（x）=6x2﹣18x+12=6（x﹣1）（x﹣2），令f′（x）＜0，即6（x﹣1）（x﹣2）＜0，解可得x的取值范围，由导数与函数单调性的关系，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=2x3﹣9x2+12x+1，其导数为：f′（x）=6x2﹣18x+12=6（x2﹣3x+2）=6（x﹣1）（x﹣2），若f′（x）＜0，则有6（x﹣1）（x﹣2）＜0，解可得：1＜x＜2，则函数f（x）=2x3﹣9x2+12x+1的单调减区间是（1，2）；故选：A．【点评】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，关键是正确求出函数f（x）的导数．11．（5分）已知y=f（x）的导函数为y=f'（x），且在x=1处的切线方程为y=﹣x+3，则f（1）﹣f'（1）=（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】由已知切线的方程，结合导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，计算即可得到所求值．【解答】解：由f（x）在x=1处的切线方程为y=﹣x+3，可得则f（1）﹣f'（1）=3﹣1﹣（﹣1）=3．故选：B．【点评】本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，考查运算能力，属于基础题．12．（5分）已知双曲线3y2﹣mx2=3m（m＞0）的一个焦点与抛物线y=x2的焦点重合，则此双曲线的离心率为（）A．3 B．C．D．2【分析】先求出抛物线y=x2的焦点坐标，由此得到双曲线3y2﹣mx2=3m（m＞0）的一个焦点，从而求出m的值，进而得到该双曲线的离心率．【解答】解：∵抛物线y=x2的焦点是（0，2），∴c=2，双曲线3y2﹣mx2=3m可化为﹣=1∴m+3=4，∴m=1，∴e==2．故选：D．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时利用抛物线的性质进行求解．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知椭圆+=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为2，则P到另一焦点距离为8．【分析】利用椭圆的定义，求解P到另一焦点的距离即可．【解答】解：椭圆+=1，可得a=5，长轴长为10．椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为2，则P到另一焦点的距离为：10﹣2=8．故答案为：8．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．第11页（共16页）14．（5分）抛物线y 2=8x 抛物线的焦点坐标（2，0）．【分析】根据题意，由抛物线的方程分析抛物线的开口方向以及p 的值，进而可得其焦点坐标．【解答】解：根据题意，抛物线y 2=8x 的开口向右，其中p=4，则其焦点坐标为（2，0）；故答案为：（2，0）．【点评】本题考查抛物线的标准方程，注意抛物线标准方程的形式．15．（5分）已知曲线y=f （x ）=x 2+1上一点A （2，5），则点A 处的切线方程为4x ﹣y ﹣3=0．【分析】求曲线在点处的切线的斜率，就是求曲线在该点处得导数值．求出函数的导数，令x=2，即可得到切线的斜率．利用点斜式求解直线方程即可．【解答】解：∵y=f （x ）=x 2+1，∴f ′（x ）=2x ，当x=2时，f ′（2）=4，曲线的切线方程为：y ﹣5=4（x ﹣2），即：4x ﹣y ﹣3=0．故答案为：4x ﹣y ﹣3=0．【点评】本题考查了导数的几何意义．导数的几何意义是指函数y=f （x ）在点x 0处的导数是曲线y=f （x ）在点P （x 0，y 0）处的切线的斜率．它把函数的导数与曲线的切线联系在一起，使导数成为函数知识与解析几何知识交汇的一个重要载体．16．（5分）若曲线y=xlnx 上点P 处的切线平行与直线2x ﹣y+1=0，则点P 的坐标是（e ，e ）．【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义，结合直线平行的性质即可得到结论．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），。
北京市昌平区2017-2018学年高二上学期期末考试数学理试卷 Word版含答案
β（A）AD昌平区2017-2018学年高二上学期期末考试数学（理）本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知抛物线的方程是y2=2x，则它的焦点坐标是（A）(1 ,0) 2 1（C）(0,)21（B）(-,0)21（D）(0,-)2命题意图：考查抛物线的定义。
基础题（2）已知平面α的法向量为(2,-4,-2)，平面β的法向量为(-1,2,k)，若α//，则k=﹙A﹚-2﹙C﹚1（B）-1（D﹚2命题意图：考查两个平行平面的法向量的关系。
知道空间向量平行的条件就可得出答案。
基础题（3）圆x2+y2=4与圆x2+y2-4y+3=0的位置关系是（A）相离（C）外切（B）相交（D）内切命题意图：考查圆的一般方程与标准方程，圆与圆的位置关系。
用画图或者两圆心间的距离判断可知答案。
1（4）如图，在四面体ABCD中，设G是CD的中点，则AB+(B D+BC)等于2ADBGC（B）BG（C）CD（D）AG2命题意图：考查空间向量的加法。
熟悉三角形法则平行四边形法则就可得出答案。
（5）“直线 l 与平面 α 无公共点”是“直线 l 与平面 α 平行”的（A ）充分而不必要条件 （C ）充分必要条件 （B ）必要而不充分条件（D ）既不充分也不必要条件命题意图：考查直线与平面平行的定义，充要条件。
理解直线与平面平行的定义，理解充要条 件才不会错选。
（6）若方程 x 2 +（A ） (0,1)（C ） (1,2)y2 m = 4 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 m 的取值范围是（B ） (0 ,2)（D ） (1,+∞)命题意图：考查椭圆的定义，标准方程，性质。
此题若学生没有关注到方程非标准方程，错误认为1 > m,m > 0 也能得出正确答案。
北京市昌平临川育人学校2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题含答案
2017～2018学年度上学期期中测试高一数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、表示正整数集的是( ）A、QB、NC、N＊D、Z2、如图中的阴影部分表示的集合是（）A、∁∪M∩NB、M∪∁∪NC、M∩∁∪ND、∁∪M∪N3、已知集合，则下列结论正确的是（）A、B、C、D、集合M是有限集4、已知集合A={x|﹣1≤x≤2｝，B=｛x|x﹣4≤0},则A∪B=（)A、｛x|﹣1≤x＜4}B、｛x｜2≤x＜4}C、｛x｜x≥﹣1｝D、{x｜x≤4｝5、如图，可表示函数y=f（x)的图象的可能是（）A、B、 C、D、6、下列函数中与y=x为同一函数的是( )A、B、C、D、7、下列各函数中，是指数函数的是（)A、y=（﹣3）xB、y=﹣3xC、y=3x﹣1D、y=3﹣x8、将化成分数指数幂为( ）A、B、C、D、9、与的图像关于（）A、x轴对称B、y轴对称C、原点对称D、对称10、已知函数f(x+1）=3x+2，则f（x）的解析式是（）A、3x﹣1B、3x+1C、3x+2D、3x+411、为了得到函数y=2x+1的图象只需把函数y=2x上的所有点（）A、向下平移1个单位长度B、向上平移1个单位长度C、向左平移1个单位长度D、向右平移1个单位长度12、函数，满足f（x)>1的x的取值范围是（)A、(—1,1）B、C、{x｜x〉0或x<-2｝D、{x|x〉1或x<-1}二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分．13、若集合{x|a≤x≤3a﹣1｝表示非空集合，则a的取值范围是________．14、函数的定义域为________．15、已知幂函数的图象过点（2，16）和(，m)，则m=________．16、函数f(x）= 的最小值为______;函数f（x）与直线y=4三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、（本小题满分12分）已知f（x)= ,画出它的图象，并求f（f（﹣3））的值．18、（本小题满分12分)计算下列各式的值：(1)（2)．19、（本小题满分12分)问k为何值时，|3x﹣1|=k无解？有一解？有两解？20、（本小题满分12分）已知幂函数y=f（x）的图象经过点（2,4）,对于偶函数y=g（x）(x∈R），当x≥0时，g（x)=f（x）﹣2x．（1）求函数y=f(x)的解析式；（2)求当x＜0时,函数y=g（x)的解析式，并在坐标系中，画出函数y=g（x）的图象；(3）写出函数y=|g（x）｜的单调递减区间．21、（本小题满分12分）已知函数f（x)=a x﹣1（a＞0且a≠1）．（1）若函数y=f（x）的图象经过P（3,9）点,求a的值;（2）比较f（lg）与f（-1。
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2017-2018学年北京市昌平区临川育人学校高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每题5分，共60分）1．（5分）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A．抽签法B．系统抽样法（C．分层抽样法D．随机数法2．（5分）重庆市2013年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如下则这组数据中的极差是（）A．19 B．24 C．21.5 D．233．（5分）一个人在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A．至多有一次中靶 B．两次都中靶C．两次都不中靶D．只有一次中靶4．（5分）在区间[﹣1，2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．C．D．7．（5分）“﹣2＜x＜1”是“﹣5＜x＜5”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不是充分条件，也不是必要条件D．充要条件8．（5分）椭圆的左右焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为（）A．32 B．16 C．8 D．49．（5分）椭圆上的点M到左焦点F1的距离是2，N是MF1的中点，O为坐标原点，则|ON|为（）A．4 B．2 C．8 D．10．（5分）抛物线y=x2的准线方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣211．（5分）过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（）A．B．2 C．2 D．312．（5分）已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（）A．3 B．6 C．9 D．12二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为x，则a=．14．（5分）如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为．15．（5分）假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：（☆P22 8）由资料可知y对x呈（正，负，不）相关．16．（5分）一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人，为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别为．三、解答题（第17题10分，18～22题每题12分，共70分）17．（10分）某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．（1）求直方图中的a；（2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为．18．（12分）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．（1）若从这6个国家中任选2个，求共有多少种选法和这2个国家都是亚洲国家的概率；（2）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．19．（12分）双曲线的离心率等于，且与椭圆=1有公共焦点．（1）求此双曲线的方程；（2）写出其顶点、焦点坐标，指出实轴、虚轴，写出渐近线方程．20．（12分）已知斜率为1的直线l过椭圆+y2=1的右焦点F交椭圆于A、B 两点，求弦AB的长．21．（12分）已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，与抛物线相交于A，B两点．（1）若|AF|=4，求点A的坐标和△AOF的面积为（2）若|AF|=4，求弦AB的中点到准线的距离．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．2017-2018学年北京市昌平区临川育人学校高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1．（5分）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A．抽签法B．系统抽样法（C．分层抽样法D．随机数法【解答】解：对于总体由差异明显的几部分组成时，应适用分层抽样的方法进行抽样；由此知三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，应利用分层抽样法．故选：C．2．（5分）重庆市2013年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如下则这组数据中的极差是（）A．19 B．24 C．21.5 D．23【解答】解：由已知中的茎叶图可得：这组数据中的最小值为8，最大值为32，故极差为：32﹣8=24，故选：B．3．（5分）一个人在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A．至多有一次中靶 B．两次都中靶C．两次都不中靶D．只有一次中靶【解答】解：一个人在打靶中连续射击两次，在A中，至多有一次中靶和事件“至少有一次中靶”能同时发生，二者不是互斥事件，故A错误；在B中，两次都中靶和事件“至少有一次中靶”能同时发生，二者不是互斥事件，故B错误；在C中，两次都不中靶和事件“至少有一次中靶”不能同时发生，二者是互斥事件，故C正确；在D中，只有一次中靶和事件“至少有一次中靶”能同时发生，二者不是互斥事件，故D错误．故选：C．4．（5分）在区间[﹣1，2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度．∵|x|≤1得﹣1≤x≤1，∴|x|≤1的概率为：P（|x|≤1）=．故选：D．5．（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数【解答】解：在A中，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标，故A不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在B 中，标准差能反映一个数据集的离散程度，故B可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在C中，最大值是一组数据最大的量，故C不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在D中，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的“中等水平”，故D不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度．故选：B．6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．C．D．【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2，当k=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S=，当k=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S=，当k=3时，不满足进行循环的条件，故输出结果为：，故选：C．7．（5分）“﹣2＜x＜1”是“﹣5＜x＜5”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不是充分条件，也不是必要条件D．充要条件【解答】解：“﹣2＜x＜1”⇒“﹣5＜x＜5”，反之不成立．∴“﹣2＜x＜1”是“﹣5＜x＜5”成立的充分不必要条件．故选：A．8．（5分）椭圆的左右焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为（）A．32 B．16 C．8 D．4【解答】解：∵椭圆∴a=4，b=，c=3根据椭圆的定义∴AF1+AF2=2a=8∴BF1+BF2=2a=8∵AF1+BF1=AB∴△ABF2的周长为4a=16故选：B．9．（5分）椭圆上的点M到左焦点F1的距离是2，N是MF1的中点，O为坐标原点，则|ON|为（）A．4 B．2 C．8 D．【解答】解：设椭圆的右焦点为F2，连结MF2，ON，如右图所示．由椭圆方程，得a=5，由椭圆定义，得|MF1|+|MF2|=2a=2×5=10，又|MF1|=2，∴|MF2|=10﹣2=8，∵N为MF1的中点，O为F1F2的中点，∴在△MF1F2中，有=．故选：A．10．（5分）抛物线y=x2的准线方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣2【解答】解：抛物线y=x2的标准方程为x2=4y，焦点在y轴上，2p=4，∴=1，∴准线方程y=﹣=﹣1．故选：A．11．（5分）过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（）A．B．2 C．2 D．3【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），且斜率为的直线：y=（x ﹣1），过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l可知：，解得M（3，2）．可得N（﹣1，2），NF的方程为：y=﹣（x﹣1），即，则M到直线NF的距离为：=2．故选：C．12．（5分）已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（）A．3 B．6 C．9 D．12【解答】解：椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点（c，0）与抛物线C：y2=8x的焦点（2，0）重合，可得c=2，a=4，b2=12，椭圆的标准方程为：，抛物线的准线方程为：x=﹣2，代入椭圆方程，解得y=±3，所以A（﹣2，3），B（﹣2，﹣3）．∴|AB|=6．故选：B．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为x，则a=4．【解答】解：根据题意，双曲线（a＞0）的焦点在x轴上，其渐近线方程为y=±x，又由其一条渐近线方程为x，则有=，解可得a=4，故答案为：4．14．（5分）如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为0.18．【解答】解：正方形的面积S=1，设阴影部分的面积为S，∵随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，∴几何槪型的概率公式进行估计得，即S=0.18，故答案为：0.18．15．（5分）假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：（☆P22 8）由资料可知y对x呈正（正，负，不）相关．【解答】解：根据表中所给的数据知，变量y随x的增大而增大，根据最小二乘法原理知变量y与x成正相关关系．故答案为：正．16．（5分）一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人，为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别为8，16，10，6．【解答】解：因为=，故各层中依次抽取的人数分别是：=8，=16，=10，=6，故选D．三、解答题（第17题10分，18～22题每题12分，共70分）17．（10分）某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．（1）求直方图中的a；（2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为6000．【解答】解：（1）由频率分布直方图及频率和等于1可得：0.2×0.1+0.8×0.1+1.5×0.1+2×0.1+2.5×0.1+a×0.1=1，解得a=3．（2）消费金额在区间[0.5，0.9]内频率为0.2×0.1+0.8×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6，所以消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为0.6×10000=6000．故答案为：3，6000．18．（12分）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．（1）若从这6个国家中任选2个，求共有多少种选法和这2个国家都是亚洲国家的概率；（2）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．【解答】解：（1）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．从这6个国家中任选2个，基本事件总数n==15，这2个国家都是亚洲国家包含的基本事件个数m==3，∴这2个国家都是亚洲国家的概率P==．（2）从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，包含的基本事件个数为9个，分别为：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），这2个国家包括A1但不包括B1包含的基本事件有：（A1，B2），（A1，B3），共2个，∴这2个国家包括A1但不包括B1的概率P=19．（12分）双曲线的离心率等于，且与椭圆=1有公共焦点．（1）求此双曲线的方程；（2）写出其顶点、焦点坐标，指出实轴、虚轴，写出渐近线方程．【解答】解：（1）椭圆=1的焦点（，0），双曲线的离心率等于，可得，双曲线与椭圆=1有公共焦点．可得c=，所以a=2，则b=1，双曲线的焦点坐标在x轴上，所求的双曲线方程为：；（2）双曲线方程为：，顶点（﹣2，0），（2，0），焦点，实轴长为：4、虚轴长为：2渐近线方程：．20．（12分）已知斜率为1的直线l过椭圆+y2=1的右焦点F交椭圆于A、B 两点，求弦AB的长．【解答】解：设A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）．由椭圆的方程知a2=4，b2=1，c2=3，∴F（，0）．直线l的方程为y=x﹣．联立，得5x2﹣8x+8=0，∴x1+x2=，x1x2=，∴|AB|===．21．（12分）已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，与抛物线相交于A，B两点．（1）若|AF|=4，求点A的坐标和△AOF的面积为（2）若|AF|=4，求弦AB的中点到准线的距离．【解答】解：（1）抛物线y2=4x的准线l：x=﹣1．∵|AF|=4，∴点A到准线l：x=﹣1的距离为4，∴1+x A=4∴x A=3，∴y A=±2，A（3，），∴△AOF的面积为•1•2=．∴S=．△POF（2）不妨A（3，2），AF的方程为：y=（x﹣1），与抛物线y2=4x联立消去y可得：3x2﹣10x+3=0，A（3，2），B（x2，y2），3+x2=，AB中的横坐标为：．抛物线的准线方程x=﹣1．则弦AB的中点到准线的距离：．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，∴∴b=∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，∴|MN|==∵A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离为∴△AMN的面积S=∵△AMN的面积为，∴∴k=±1．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。