2022-2023学年北京市昌平临川育人学校数学九年级第一学期期末统考试题含解析
2022-2023学年北京昌平区初三第一学期数学期末试卷及答案
2022-2023学年北京昌平区初三第一学期数学期末试卷及答案一、选择题（本题共8道小题，每小题3分，共24分）1. 如图，在一块直角三角板中，，则的值是（ ）ABC 30A ∠=︒sin AB. 12【答案】B【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．【详解】解：∵，30A ∠=︒∴． 1sin sin 302A =︒=故选：B ．【点睛】本题词考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．2. 为一根轻质杠杆的支点，，，处挂着重的物体．若在O cm OA a =cm OB b =A 4N B 端施加一个竖直向上大小为的力，使杠杆在水平位置上保持静止，则和需要满足的3N a b 关系是，那么下列式子正确的是（ ） 43a b =A. B. C. D. 43a b =43a b =43a b =43b a =【答案】D 【解析】【分析】将根据等式的性质将原式进行变形，即可判断．【详解】解：由题意知， ，在下列选项中：0a b ≠、A ．将两边同除以12得：，故此选项错误； 43a b =34a b =B ．将两边同除以得：，故此选项错误； 43a b =ab 34a b=C ．将两边同除以得：，故此选项错误； 43a b =4b 34a b =B ．将两边同除以得：，故此选项正确； 43a b =3a 43b a =故选：D ． 【点睛】本题考查等式的变形，能够根据等式的性质进行正确的变形是解题的关键．3. 关于四个函数，，，的共同点，下列说法正确的是（ 22y x =-213y x =23y x =2y x =-）A. 开口向上B. 都有最低点C. 对称轴是轴D. 随增大而增大 y y x 【答案】C【解析】【分析】根据a 值得函数图象的开口方向，从而判定A ；根据a 值得函数图象的开口方向，即可得出函数有最高点或电低点，从而判定B ；根据函数的对称轴判定C ；根据函数的增减性判定D ．【详解】解：A ．函数与的开口向下，函数与开口向上， 22y x =-2y x =-213y x =23y x =故此选项不符合题意；B ．函数与的开口向下，有最高点；函数与开口向上，有22y x =-2y x =-213y x =23y x =最低点， 故此选项不符合题意；C ．函数，，，的对称轴都是y 轴，故此选项符合题意； 22y x =-213y x =23y x =2y x =-D ．函数与，当时，y 随x 增大而增大，当时，y 随x 增大而减22y x =-2y x =-0x <0x >小；函数与，当时，y 随x 增大而减小，当时，y 随x 增大而213y x =23y x =0x <0x >增大；故此选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查函数图象性质，熟练掌握函数的图象性质是解题的关2(0)y ax a =≠键．4. 为做好校园防疫工作，每日会对教室进行药物喷酒消毒，药物喷洒完成后，消毒药物在教室内空气中的浓度和时间满足关系（），已知测得当()3mg/m y ()min t ky t=0k ≠时，药物浓度，则的值为（ ）10min t =35mg/m y =kA. 50B. C. 5 D. 1550-【答案】A【解析】 【分析】把，代入即可． 10min t =35mg/m y =k y t=【详解】解：∵当时，药物浓度，10min t =35mg/m y =∴代入得， k y t =510k =解得：50k =故选：A ．【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．5. 如图，是直径，，点，是圆上点，，，点是AB O 10AB =C D 6AC = AD BC=E 劣弧上的一点（不与，重合），则的长可能为（ ）BD B D AEA. 7B. 8C. 9D. 10【答案】C【解析】 【分析】先依次求出、的长，即可根据得到的范围，最后判BC AD AD AE AB <<AE 断即可．【详解】解：连接、，BC AD∵是直径，AB O ∴，90C ∠=︒∵，10AB =6AC =∴，8BC ==∵， AD BC=∴，8AD BC ==∴810AE <<∴的长可能为，AE 9故选：C ．【点睛】本题考查圆周角定理，弧弦之间的关系，解题的关键是根据得到 AD BC=．AD BC =6. 怎样平移抛物线就可以得到抛物线（ ）22y x =()2211y x =+-A. 左移1个单位长度、上移1个单位长度B. 左移1个单位长度、下移1个单位长度C. 右移1个单位长度、上移1个单位长度D. 右移1个单位长度、下移1个单位长度【答案】B【解析】【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可判断．【详解】解：由抛物线， 左移1个单位长度，下移1个单位长度，可得到抛物线22y x =，()2211y x =+-故选：B ．【点睛】此题考查了抛物线的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的规律是解题的关键．7. 如图，为测楼房BC 的高，在距离楼房30米的A 处测得楼顶的仰角为α，则楼高BC 为（ ）A. 30tanα米B. 米C. 30sinα米D. 30tan α30sin α米【答案】A【解析】 【详解】在Rt△ABC 中，，∴BC＝AC·tanα，即BC ＝30tanα米． tan BC ACα=故选A ． 8. 我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，ABCDEF 若的内接正六边形为正六边形，则的长为（ ）O ABCDEF BFA. 12B. C. D.【答案】C【解析】 【分析】根据题意可得，则，再根据平分弧的直径垂直平分这条弧所AB AF = AB AF =对的弦可得，，再根据可得90OMB ∠=︒12BM FM BF ==60OA OB AOB =∠=︒，是等边三角形，则，最后结合三角函数即可求解．OAB 6OB AB ==【详解】解：连接，交于点M ，连接，OA BF OB∵六边形是的内接正六边形，ABCDEF O ∴，， AB AF =1360606AOB ∠=⨯︒=︒∴，AB AF =∵经过圆心O ， OA∴，， =OA BF 12BM FM BF ==∴， 90OMB ∠=︒∵，60OA OB AOB =∠=︒，∴是等边三角形，OAB ∴，6OB AB ==∵在中，，，， Rt OBM △90OMB ∠=︒60AOB ∠=︒sin BM AOB OB∠=∴， sin 606BM OB =︒==∴22BF BM ==⨯=故选C ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、三角函数综合和圆周角定理，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．二、填空题（本题共8道小题，每小题3分，共24分）9. 写出一个开口向上，过的抛物线的函数表达式______．()0,2【答案】(答案不唯一)22y x =+【解析】【分析】根据开口向上，所以，又经过点，则，即可写出一个a 为正数，0a >()0,22c =的解析式即可．2c =【详解】解：∵开口向上，∴，0a >又经过点，()0,2∴抛物线解析式为：(答案不唯一)，22y x =+故答案为：(答案不唯一)22y x =+【点睛】本题考查二次函数图象与系数关系，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键．10. 在半径为的圆中，的圆心角所对弧的弧长是______．1cm 60︒cm 【答案】3π【解析】 【分析】根据弧长公式进行计算即可求解．【详解】解：半径为的圆中，的圆心角所对弧的弧长是． 1cm 60︒6011803ππ⨯=故答案为：．3π【点睛】本题考查了求弧长，掌握弧长公式：是解题的关键． 180n r l π=11. 如图，中，，以为直径作，交于，交于．若ABC AC AB =AB O BC D AC E ，则______．25BAD ∠=︒EDC ∠=【答案】##50度50︒【解析】【分析】在等腰三角形中，根据三线合一可求得，然后利用圆内接四ABC 50BAC ∠=︒边形的性质可求得即可EDC BAC ∠=∠【详解】解：∵为的直径，AB O ∴，90ADB ∠=︒即，AD BC ⊥∵，AB AC =∴是等腰三角形，ABC ∴，250BAC BAD ∠=∠=︒∵，180BAC BDE ∠=︒-∠∴，18050EDC BDE ∠=︒-∠=︒故答案为：50︒【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和等腰三角形三线合一，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键12. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A ，B 两点．若点A ，B 的纵xOy y x =m y x=坐标分别为，则的值为_______．12,y y 12y y +【答案】0【解析】【分析】根据“正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称”即可求解.【详解】解：∵正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O 对称，∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称，∴，120y y +=故答案为：0.【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数的图像性质，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称这个特点即可解题.13. 我国古代著名数学著作《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些问题的算法要比欧洲同类算法早1500年．其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图，为CD O 的直径，弦于点，寸，寸（注：1尺＝10寸），则可得直径AB CD ⊥E 1CE =10AB =CD 的长为______寸．”【答案】26【解析】【分析】根据垂径定理得出的长，设半径为r 寸，再利用勾股定理求解．AE 【详解】解：连接OA ，，AB CD ⊥由垂径定理知，点E 是AB 的中点，∴ ∴152AE AB OE OC CE OA CE ===-=-，，设半径为r 寸，由勾股定理得，，()22222++OA AE OE AE OA CE ==- 即，()2225+1r r =-解得：， 13r =，∴226CD r ==即圆的直径为26寸．故答案为：26．【点睛】本题利用了垂径定理和勾股定理，正确构造直角三角形求出半径长是解题关键．14. 如图，在中，，，，则的长为______． ABC 3AB =2sin 3B =45C ∠=︒AC【答案】【解析】【分析】过点作于点，解，得出，进而解，即A AD BC ⊥D Rt △ABD 2AD =Rt ADC 可求解．【详解】解：如图，过点作于点，A AD BC ⊥D∵， 3AB =2sin 3B =∴， 2sin 323AD B AB =⨯=⨯=∵，45C ∠=︒AD DC ⊥∴ sin AD AC C==故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角形的边角关系是解题的关键．15. 如图，，分别与相切于点，，为的直径，，PA PB O A B AC O 4AC =，则______． 60C ∠=︒PA =【答案】【解析】【分析】根据已知条件得出，，根据含30度角的直角三角形的90ABC ∠=︒30CAB ∠=︒性质得出，勾股定理求得2BC =AB =PAB 是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．【详解】解：∵为的直径，，，AC O 4AC =60C ∠=︒∴，，90ABC ∠=︒30CAB ∠=︒∴， 122BC AC ==∴AB ==∵是的切线，PA O ∴90CAP ∠=︒∴，903060BAP CAP CAB ∠=∠-∠=︒-︒=︒∵，分别与相切于点，，PA PB O A B ∴PA PB =∴是等边三角形，PAB∴,PA AB ==故答案为：【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，切线的性质，切线长定理，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．16. 某快递员负责为，，，，五个小区取送快递，每送一个快递收益1元，每A B C D E 取一个快递收益2元，某天5个小区需要取送快递数量下表． 小区 需送快递数量 需取快递数量A 15 6B 105 C 85 D 47E 13 4 （1）如果快递员一个上午最多前往3个小区，且要求他最少送快递30件，最少取快递15件，写出一种满足条件的方案______（写出小区编号）；（2）在（1）的条件下，如果快递员想要在上午达到最大收益，写出他的最优方案______（写出小区编号）．【答案】 ①. A ，B ，C(答案不唯一) ②. A ，B ，E【解析】【分析】（1）根据三个小区需送快递总数量，需取快递总数量，求解即可；30≥15≥（2）先求出第个小区总收益，再比较，选择收益最多的，且又满足需送快递总数量，30≥需取快递总数量的三个小区即可．15≥【详解】解：（1）∵A 小区需送快递数量15，需取快递数量6，B 小区需送快递数量10，需取快递数量5，C 小区需送快递数量8，需取快递数量5，∴若前往A 、B 、C 小区，需取快递数量为，151083330++=>需取快递数量为，6551615++=>∴前往A ，B ，C 小区满足条件，故答案为：A ，B ，C(答案不唯一)；（2）前往A 小区收益为：(元)，1516228⨯+⨯=前往B 小区收益为：(元)，1015220⨯+⨯=前往C 小区收益为：(元)，815218⨯+⨯=前往D 小区收益为：(元)，417218⨯+⨯=前往E 小区收益为：(元)，1314221⨯+⨯=∵，，，28212018>>>15101330++>65415++=∴他的最优方案是前往A 、B 、E 小区收益最大，故答案为∶A，B ，E ．【点睛】本题考查有理数混合运算，有理数比较大小，属基础题目，难度不大．三、解答题（本题共52分，第17-20题，每小题5分，第21-23题，每小题6分，第24-25题，每小题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17. ．22cos45sin 60︒︒︒+-【答案】 14【解析】【分析】先将特殊角的三角函数值代入，再进行化简．22+-34=14=【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的运算，掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键．18. 如图，矩形中，点在边上，，连接并延长，交的延ABCD P AD 2PD AP =CP BA 长线于点，连接交于点．E BD CP Q（1）写出图中两对相似的三角形（相似比不为1）（2）求的值． BE CD【答案】（1），（答案不唯一）EAP EBC ∽EQB CQD ∽（2） 32BE CD =【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质求出，，再证明三角形相似即可；AB CD AD BC ∥（2）先根据求出，再根据矩形的性质求解． EAP EBC ∽BE AB【小问1详解】∵四边形是矩形，ABCD ∴，，AB CD AD BC ∥∴，；E QCD ∠=∠EAP EBC ∠=∠∵，，EAP EBC ∠=∠E E ∠=∠∴；EAP EBC ∽∵，，E QCD ∠=∠EQB CQD ∠=∠∴．EQB CQD ∽【小问2详解】∵，2PD AP =∴，3AD AP =∵四边形是矩形，ABCD ∴，，AD BC =AB CD =∴，3BC AP =∵，EAP EBC ∽∴， 3BE BC AE AP==∴，3BE AE =∴，2AB AE =∴， 32BE AB =即， 32BE AB =∵，AB CD =∴． 32BE CD =【点睛】本题考查了矩形的性质和相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．19. 已知二次函数．2=23y x x --（1）求二次函数图象的顶点坐标；2=23y x x --（2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；xOy 2=23y x x --（3）结合图象直接写出自变量时，函数的最大值和最小值．03x ≤≤【答案】（1）()1,4-（2）见解析 （3）函数最大值为0，最小值为．4-【解析】【分析】（1）利用配方法把一般式转化为顶点式，由此求得顶点坐标；（2）根据题意画出函数的图象即可；（3）观察图象写出函数y 的取值范围．【小问1详解】解：∵．()222314y x x x ---==-∴抛物线的顶点坐标是．()1,4-【小问2详解】解：二次函数的图象如图所示： 2=23y x x --【小问3详解】解：观察图象得，当自变量时03x ≤≤当时，取最小值，此时，1x =y 4y =-当时，取最大值，此时，3x =y 0y =∴当时，．03x ≤≤40y -≤≤即：函数最大值为0，最小值为．4-【点睛】本题考查的是二次函数的性质，画二次函数图像，解题的关键是正确的画出函数图像．20. 我们在课上证明圆周角定理时，需要讨论圆心与圆周角的三种不同位置分别证明，下面给出了情形（1）的证明过程，请你在情形（2）和情形（3）中选择其一证明即可． 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．已知：如图，在中，弧所对的圆周角是，圆心角是O AB ACB ∠．AOB ∠求证：． 12ACB AOB ∠=∠情形（1）证明：如图（1），当圆心在的边上时O ACB ∠∵，OC OB =∴．C B ∠=∠∵是中的外角，AOB ∠OBC △COB ∠∴．AOB C B ∠=∠+∠∴．2AOB C ∠=∠即． 12∠=∠C AOB 请你选择情形（2）或情形（3），并证明．【答案】见解析【解析】【分析】情形（2）：延长交于点，连接，利用同弧所对的圆周角相等及三AO O D BD 角形外角的性质求解即可求得答案；情形（3）：延长交于点，连接，利用同弧所对的圆周角相等及三角形外角AO O D BD 的性质求解即可求得答案．【详解】情形（2）：如图2，当圆心在的内部时，延长交于点，连O ACB ∠AO O D 接，BD则（同弧或等弧所对的圆周角都相等），D C ∠=∠，OB OD = ，D OBD ∴∠=∠（三角形的一个外角等于与它不相等的两个内角的和）， AOB D OBD ∠=∠+∠ ，22AOB D C ∴∠=∠=∠即． 12∠=∠C AOB 情形（3）：如图3，当圆心在的外部时，延长交于点，连接，O ACB ∠AO O D BD则（同弧或等弧所对的圆周角都相等），D C ∠=∠，OB OD = ，D OBD ∴∠=∠（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， AOB D OBD ∠=∠+∠ ，22AOB D C ∴∠=∠=∠即． 12∠=∠C AOB 【点睛】此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质及三角形外角性质是解此题的关键．21. 已知：如图，过正方形的顶点，，且与边相切于点．点是O ABCD A B CD E F BC 与的交点，连接，，，点是延长线上一点，连接，且O OB OF AF G AB FG ． 1902G BOF ∠+∠=︒（1）求证：是的切线；FG O （2）如果正方形边长为2，求的长．BG 【答案】（1）见解析 （2） 98BG =【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得出，结合已知条件得出12BAF BOF ∠=∠，即可得证；90G BAF ∠+∠=︒（2）连接并延长交于点，根据题意得出，设,则EO AB H OH AB ⊥AO r =，在中，，求得，根据2OH r =-Rt AOH △222AH OH AO +=54r =，求得的长，进而即可求解． cos cos AB AF FAB FAB AF AG∠==∠=AG 【小问1详解】证明：∵， BFBF =∴， 12BAF BOF ∠=∠∵ 1902G BOF ∠+∠=︒∴90G BAF ∠+∠=︒∴，90AFG ∠=︒∵四边形是正方形，ABCD ∴，90ABF ∠=︒为的直径，AF ∴O 即点在上，O AF ∴，OF FG ⊥∴是的切线；FG O 【小问2详解】解：如图，连接并延长交于点，EO ABH∵过正方形的顶点，，且与边相切于点，O ABCD A B CD E ∴，OH AB ⊥∴，1AH HB ==设,则，AO r =2OH r =-在中，Rt AOH △222AH OH AO +=()22212r r +-=解得： 54r =∴ 52AF =∵，FG AF ⊥FB AB ⊥∴ cos cos AB AF FAB FAB AF AG∠==∠=即, 52252AG =解得：, 258AG =∴． 259288BG AG AB =-=-=【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，余弦的定义，勾股定理，掌握正方形的性质以及圆的性质是解题的关键．22. 小张在学校进行定点处投篮练习，篮球运行的路径是抛物线，篮球在小张头正上方M 出手，篮球架上篮圈中心的高度是3.05米，当球运行的水平距离为米时，球心距离地面x 的高度为米，现测量第一次投篮数据如下：y/m x 0 2 4 6 …/m y 1.8 3 3.4 3 …请你解决以下问题：（1）根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；（2）若小吴在小张正前方1米处，沿正上方跳起想要阻止小张投篮（手的最大高度不小于球心高度算为成功阻止），他跳起时能摸到的最大高度为2.4米，请问小昊能否阻止此次投篮？并说明理由；（3）第二次在定点处投篮，篮球出手后运行的轨迹也是抛物线，并且与第一次抛物线的M 形状相同，篮球出手时和达到最高点时，球的位置恰好都在第一次的正上方，当篮球运行的水平距离是6.5米时恰好进球（恰好进球时篮圈中心与球心重合），问小张第二次篮球刚出手比第一次篮球刚出手时的高度高多少米？【答案】（1）见解析 （2）小昊不能阻止此次投篮（3）0.275米【解析】【分析】（1）先描出点，，，，再用平滑曲线连接即可；()0,1.8()2,3()4,3.4()6,3（2）先求出抛物线解析式，再求出当的y 值与2.4比较即可；1x =（3）求出当时的y 值，再用即可．6.5x = 3.05y -【小问1详解】解：如图所示，【小问2详解】解：小昊不能阻止此次投篮．理由：设抛物线解析式为，把，，代入，得 2y ax bx c =++()0,1.8()2,3()6,3，解得：，1.84233663c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩0.10.81.8a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴，20.10.8 1.8y x x =-++当时，则，1x = 2.5y =∵，2.5 2.4>∴小昊不能阻止此次投篮．【小问3详解】解：对于抛物线，20.10.8 1.8y x x =-++当时，，6.5x =20.1 6.50.8 6.5 1.8 2.775y =-⨯+⨯+=(米)，3.05 2.7750.275-=∵第二次在定点处投篮，篮球出手后运行的轨迹也是抛物线，并且与第一次抛物线的形M 状相同，篮球出手时和达到最高点时，球的位置恰好都在第一次的正上方，∴小张第二次篮球刚出手比第一次篮球刚出手时的高度高0.275米．【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式和二次函数的图象性质是解题的关键．23. 在平面直角坐标系中，点，，（点，不重合）xOy ()11,A y -()23,B a y ()32,C y B C 在抛物线（）上． 212y x x a=-0a ≠（1）当时，求二次函数的顶点坐标；1a =（2）①若，则的值为______；23y y =a ②已知二次函数的对称轴为，当时，求的取值范围．t 132y y y >>t 【答案】（1）()1,1-（2）①；②或 2a =-1223t <<2t <-【解析】【分析】（1）先将代入抛物线，然后再化成顶点式即可解答； 1a =212y x x a=-（2）①先分别求得，再根据得到关于a 的分式方程求得a 的值，再看是否32y y 、23y y =与B 、C 重合即可解答；先求得抛物线的对称轴为，然后分和两种情况，分t a =0a >a<0别根据二次函数的增减性和对称性即可解答．【小问1详解】解：将代入抛物线可得：． 1a =212y x x a=-()22211y x x x =-=--所以二次函数的顶点坐标为．()1,1-【小问2详解】解:①将代入可得： ()23,B a y 212y x x a =-2963a y a a =-=将代入可得： ()32,C y 212y x x a =-344y a =-∵23y y =∴ 434a a=-解得： 1222,3a a =-=经检验：是分式方程的解 1222,3a a =-=∴当时， 23a =()22,B y ∵()32,C y ∴点B 与点C 重合，故，即； 23a ≠2a =-②二次函数的对称轴为，即 212y x x a =-212x a a-=-=⨯t a =当时，，二次函数图像开口向上，当 时，y 随x 的增大而增大 0a >10a>0a >由轴对称可得点关于的对称点为()11,A y -x a =()121,a y +∵132y y y >>∴，即2123a a +>>1223a <<当时，，二次函数图像开口向下，当 时，y 随x 的增大而增大 a<010a<a<0由轴对称可得点关于的对称点为()32,C y x a =()322,a y -∵132y y y >>∴，即1223a a ->->2a <-综上，或，即或． 1223a <<2a <-1223t <<2t <-【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的性质、二次函数的增减性和对称性等知识点，灵活应用二次函数的性质成为解答本题的关键．24. 如图，在中，，点在上，，连接，点是ABC 90ACB ∠=︒D AB AD AC =CD E CB 上一点，，过点作的垂线分别交，于，．CE DB =E CD CD AB F G（1）依题意补全图形；（2），求的大小（用含的式子表示）；BCD α∠=CAB ∠α（3）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．AG AC BC 【答案】（1）见解析 （2）2CAB α∠=（3）AG AC BC +=【解析】【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）先求出，再在中根据等腰三角形性质求出即可；ACD ∠ACD CAB ∠（3）设，，再证明，求出的长即可．AD AC a ==CE DB b ==BCD BGE BG 【小问1详解】解：补齐图形如下：【小问2详解】∵，，BCD α∠=90ACB ∠=︒∴，90ACD α∠=︒-∵，AD AC =∴，90ACD ADC α∠=∠=︒-∴()1801802902CAB ACD ADC αα∠=︒-∠-∠=︒-︒-=【小问3详解】设，，AD AC a ==CE DB b ==∴，AB AD BD a b =+=+∴BC ===∴，BE BC CE b =-=∵ CD EF ⊥∴，90ADC EGD ∠+∠=︒∴，EGD BCD α∠==∠∴BCD BGE ∴ BG BE BC BD==∴2BG b a ==+-∴ (2AG AB BG a b b a a =-=+-+=-∵，BC =AC a =∴AG BC AC =-即AG AC BC +=【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，数形结合，用代数式表示线段长，准确的计算是本题的关键．25. 已知：对于平面直角坐标系中的点和，的半径为4，交轴于点A ，xOy P O O x ，对于点给出如下定义：过点的直线与交于点，，点为线段的中B P C O M N P MN 点，我们把这样的点叫做关于的“折弦点”．P MN（1）若()2,0C -①点，，中是关于的“折弦点”的是______； ()10,0P ()21,1P -()32,2PMN②若直线（）上只存在一个关于的“折弦点”，求的值；y kx =+0k ≠MN k （2）点在线段上，直线上存在关于的“折弦点”，直接写出的取值C AB y x b =+MN b 范围．【答案】（1）①点、点；②k 1P 2P （2）.-44b ≤≤【解析】【分析】（1）①根据题意P 点是弦MN 的中点，则，因此.分别计算OP MN ⊥CP CO ≤，，的长度，与OC 的长作比较即可判断.1OP 2OP 3OP②将C 点坐标代入 中求出值即可.y kx =+k （2）分别计算过A 点和B 点时b 的值，即可写出b 的取值范围.y x b =+【小问1详解】解：①如图，∵P 为MN 的中点，∴，OP MN ⊥∴，CP CO ≤即.2C P ≤∵，()10,0P ∴12CP =此时，P 点是直径MN 的中点，符合题意. ∵，()21,1P -∴， 22CP ==<∴符合题意.()21,1P -∵，()32,2P∴， 32CP ==>∴不符合题意.()32,2P ∴、点是折弦点.1P 2P 故答案为：点、点1P 2P②把代入中得 ()2,0C -y kx =，-20k +=解得， k =此时直线MN 是定直线，它只有一个折弦点.【小问2详解】解：把代入中得， (4,0)A -y x b =+4b =把代入中得，(4,0)B y x b =+4b =-∴b 的范围是-44b ≤≤【点睛】本题主要考查了垂径定理，能够读懂题意，会画图分析是解题的关键.。
2022-2023学年北京市昌平区昌平区第二中学数学九年级第一学期期末考试试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）1．已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 2．如图，是抛物线2y ax bx c =++的图象，根据图象信息分析下列结论：①20a b +=；②0abc >；③240b ac ->；④420a b c ++<.其中正确的结论是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④3．已知将二次函数y=x²+bx+c 的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x²-4x-5，则b ，c 的值为（ ）A ．b=1，c=6B ．b=1．c= -5C ．b=1．c= -6D ．b=1,c=54．如图，将一副三角板如图放置，如果2DB =，那么点E 到BC 的距离为( )A 31B ．33-C ．32D 315．如图，已知点A （m ，m+3），点B （n ，n ﹣3）是反比例函数y ＝k x（k ＞0）在第一象限的图象上的两点，连接AB ．将直线AB 向下平移3个单位得到直线l ，在直线l 上任取一点C ，则△ABC 的面积为（ ）A．92B．6 C．152D．96．池塘中放养了鲤鱼2000条，鲢鱼若干条，在几次随机捕捞中，共捕到鲤鱼200条，鲢鱼300条，估计池塘中原来放养了鲢鱼（）A．10000条B．2000条C．3000条D．4000条7．一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于6的概率为（）A．16B．15C．14D．138．下列四对图形中，是相似图形的是( )A．任意两个三角形B．任意两个等腰三角形C．任意两个直角三角形D．任意两个等边三角形9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tan B的值是( )A．13B．3C．24D．2210．如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为（）A．3 B．33C．23D．211．下图中①表示的是组合在一起的模块，在②③④⑤四个图形中，是这个模块的俯视图的是（）A．②B．③C．④D．⑤12．下列计算正确的是（ ）A ．2a+5b ＝10abB ．（﹣ab ）2＝a 2bC ．2a 6÷a 3＝2a 3D ．a 2•a 4＝a 8二、填空题（每题4分，共24分）13．在直角坐标系中，点A （-7，5）关于原点对称的点的坐标是_____．14．如图，抛物线21322y x x =--的图象与坐标轴交于点A 、B 、D ，顶点为E ，以AB 为直径画半圆交y 轴的正半轴于点C ，圆心为M ，P 是半圆AB 上的一动点，连接EP ，N 是PE 的中点，当P 沿半圆从点A 运动至点B 时，点N 运动的路径长是__________．15．已知y ＝x 2+（1﹣a ）x+2是关于x 的二次函数，当x 的取值范围是0≤x≤4时，y 仅在x ＝4时取得最大值，则实数a 的取值范围是_____．16．如图，已知OP 平分∠AOB ，CP ∥OA ，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ．CP ＝254，PD ＝1．如果点M 是OP 的中点，则DM 的长是_____．17．如图，在平面直角坐标系中，函数y kx =与2y x =-的图象交 于,A B 两点，过A 作y 轴的垂线，交函数4y x=的图象于点C ,连接BC ，则ABC ∆的面积为_______.18．如图，P 为O 外一点，PA 切O 于点A ，若3PA =，45APO ∠=︒，则O 的半径是______.三、解答题（共78分）19．（8分）如图，已知O 是坐标原点，B 、C 两点的坐标分别为()3,1-，()2,1，将BOC ∆绕点O 逆时针旋转90度，得到11B OC ∆，画出11B OC ∆，并写出B 、C 两点的对应点1B 、1C 的坐标，20．（8分）5G 网络比4G 网络的传输速度快10倍以上，因此人们对5G 产品充满期待.华为集团计划2020年元月开始销售一款5G 产品.根据市场营销部的规划，该产品的销售价格将随销售月份的变化而变化.若该产品第x 个月（x 为正整数）销售价格为y 元/台，y 与x 满足如图所示的一次函数关系：且第x 个月的销售数量p （万台）与x 的关系为1p x =+.（1）该产品第6个月每台销售价格为______元；（2）求该产品第几个月的销售额最大？该月的销售价格是多少元/台？（3）若华为董事会要求销售该产品的月销售额不低于27500万元，则预计销售部符合销售要求的是哪几个月？ （4）若每销售1万台该产品需要在销售额中扣除m 元推广费用，当68x ≤≤时销售利润最大值为22500万元时，求m 的值.21．（8分）已知关于x 的一元二次方程()222110k x k x +-+=． （1）若方程有实数根，求k 的取值范围；（2）若方程的两个实数根的倒数的平方和等于14，求k 的值．22．（10分）运城菖蒲酒产于山西垣曲.莒蒲洒远在汉代就已名噪酒坛，为历代帝王将相所喜爱，并被列为历代御膳香醪.菖蒲酒在市场的销售量会根据价格的变化而变化.菖蒲酒每瓶的成本价是35元，某超市将售价定为55元时，每天可以销售60瓶，若售价每降低2元，每天即可多销售10瓶(售价不能高于55元)，若设每瓶降价x 元()1用含x 的代数式表示菖蒲酒每天的销售量.()2每瓶菖蒲酒的售价定为多少元时每天获取的利润最大？最大利润是多少？23．（10分）如图，以40m /s 的速度将小球沿与地面30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一段抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位:m ）与飞行时间t （单位:s ）之间的函数关系式为h=20t －25t 2cm (t ≥0)． 回答问题:(1)小球的飞行高度能否达到19.5m ；(2) 小球从最高点．．．到落地需要多少时间? 24．（10分）如图，平面直角坐标中，把矩形OABC 沿对角线OB 所在的直线折叠，点A 落在点D 处，OD 与BC 交于点E ．OA 、OC 的长是关于x 的一元二次方程x 2﹣9x +18＝0的两个根（OA ＞OC ）．（1）求A、C的坐标．（2）直接写出点E的坐标，并求出过点A、E的直线函数关系式．（3）点F是x轴上一点，在坐标平面内是否存在点P，使以点O、B、P、F为顶点的四边形为菱形？若存在请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．25．（12分）如图，在△ABC和△ADE中，AB BC ACAD DE AE==，点B、D、E在一条直线上，求证：△ABD∽△ACE．26．用配方法把二次函数y=﹣2x2+6x+4化为y=a（x+m）2+k的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【分析】设内切圆的半径为r，根据公式：12rC S三角形三角形，列出方程即可求出该三角形内切圆的半径．【详解】解：设内切圆的半径为r 11262r解得：r=1故选D．【点睛】此题考查的是根据三角形的周长和面积，求内切圆的半径，掌握公式：12rC S三角形三角形是解决此题的关键．2、D【分析】采用数形结合的方法解题，根据抛物线的开口方向，对称轴，与x 、y 轴的交点，通过推算进行判断． 【详解】①根据抛物线对称轴可得12b x a=-= ，20a b +=，正确； ②当x=0 ，c 0y =< ，根据二次函数开口向下和12b a -=得，0a < 和0b > ，所以0abc >，正确； ③二次函数与x 轴有两个交点，故240b ac =-> ，正确；④由题意得，当x 0= 和x=2 时，y 的值相等，当x 0=，y 0< ，所以当x=2，y 420a b c =++< ，正确； 故答案为：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质和判断，掌握二次函数的性质是解题的关键．3、C【分析】首先抛物线平移时不改变a 的值，其中点的坐标平移规律是上加下减，左减右加，利用这个规律即可得到所求抛物线的顶点坐标，然后就可以求出抛物线的解析式．【详解】解：∵y=x 2-4x-5=x 2-4x+4-9=（x-2）2-9，∴顶点坐标为（2，-9），∴由点的平移可知：向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得（1，-2），则原二次函数y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为（1，-2），∵平移不改变a 的值，∴a=1，∴原二次函数y=ax 2+bx+c=x 2-2，∴b=1，c=-2．故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次函数图象与平移变换，首先根据平移规律求出已知抛物线的顶点坐标，然后求出所求抛物线的顶点坐标，最后就可以求出原二次函数的解析式．4、B【分析】作EF ⊥BC 于F ，设EF ＝x ，根据三角函数分别表示出BF,CF ，根据BD ∥EF 得到△BCD ∽△FCE ，得到EF FC DB BC=,代入即可求出x ． 【详解】如图，作EF ⊥BC 于F ，设EF ＝x ，又∠ABC=45°，∠DCB=30°，则BF=EF÷tan45°=x,FC=EF÷tan30°=3x ∵BD∥EF∴△BCD∽△FCE，∴EF FCDB BC=,即323x xx x=+解得x=33-，x=0舍去故EF＝33-，选B．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定及解直角三角形的应用．5、A【分析】由点A（m，m+3），点B（n，n﹣3）在反比例函数y＝kx（k＞0）第一象限的图象上，可得到m、n之间的关系，过点A、B分别作x轴、y轴的平行线，构造直角三角形，可求出直角三角形的直角边的长，由平移可得直角三角形的直角顶点在直线l上，进而将问题转化为求△ADB的面积．【详解】解：∵点A（m，m+3），点B（n，n﹣3）在反比例函数y＝kx（k＞0）第一象限的图象上，∴k＝m（m+3）＝n（n﹣3），即：（m+n）（m﹣n+3）＝0，∵m+n＞0，∴m﹣n+3＝0，即：m﹣n＝﹣3，过点A、B分别作x轴、y轴的平行线相交于点D，∴BD＝x B﹣x A＝n﹣m＝3，AD＝y A﹣y B＝m+3﹣（n﹣3）＝m﹣n+6＝3，又∵直线l是由直线AB向下平移3个单位得到的，∴平移后点A与点D重合，因此，点D在直线l上，∴S△ACB＝S△ADB＝12AD•BD＝92，故选：A．【点睛】本题主要考察反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是熟练掌握计算法则.6、C【分析】根据题意求出鲤鱼与鲢鱼的比值，进而利用池塘中放养了鲤鱼2000条除以鲤鱼与鲢鱼的比值即可估计池塘中原来放养了鲢鱼的条数．【详解】解：由题意可知鲤鱼与鲢鱼的比值为：2002 3003=，所以池塘中原来放养了鲢鱼：23 20002000300032÷=⨯=（条）.故选：C.【点睛】本题考查的是通过样本去估计总体，熟练掌握通过样本去估计总体的方法，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．7、A【解析】画树状图得出所有的情况，根据概率的求法计算概率即可.【详解】画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于6的有2种情况，∴两次摸出的小球标号之和等于6的概率21. 126故选A．【点睛】考查概率的计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比.8、D【分析】根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，对题中条件一一分析，排除错误答案．【详解】解：A、任意两个三角形，形状不确定，不一定是相似图形，故A错误；B、任意两个等腰三角形，形状不确定，不一定是相似图形，故B错误；C 、任意两个直角三角形，直角边的长度不确定，不一定是相似图形，故C 错误；D 、任意两个等边三角形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似形的定义，故D 正确；故选：D.【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键要联系实际，根据相似图形的定义得出．9、D【分析】先求出AC ，再根据正切的定义求解即可.【详解】设BC=x ，则AB=3x ，由勾股定理得，AC=，tanB=AC BC 故选D ．考点：1．锐角三角函数的定义；2．勾股定理．10、A【详解】解：∵AB=BC ，∴∠BAC=∠C ．∵∠ABC=120°，∴∠C=∠BAC=10°．∵∠C 和∠D 是同圆中同弧所对的圆周角，∴∠D=∠C=10°．∵AD 为直径，∴∠ABD=90°．∵AD=6，∴AB=12AD=1． 故选A ．11、A【详解】②是该几何体的俯视图；③是该几何体的左视图和主视图；④、⑤不是该几何体的三视图.故选A.【点睛】从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，看不到的线画虚线.12、C【分析】分别对选项的式子进行运算得到：2a+5b 不能合并同类项，（﹣ab ）2＝a 2b 2，a 2•a 4＝a 6即可求解．【详解】解：2a+5b 不能合并同类项，故A 不正确；（﹣ab ）2＝a 2b 2，故B 不正确；2a 6÷a 3＝2a 3，正确a 2•a 4＝a 6，故D 不正确；故选：C ．【点睛】本题考查了幂的运算，解题的关键是掌握幂的运算法则．二、填空题（每题4分，共24分）13、（7，．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．【详解】解：点A （-7关于原点对称的点的坐标是：（7，．故答案为：（7，．【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．14、π【分析】先求出A 、B 、E 的坐标，然后求出半圆的直径为4，由于E 为定点，P 是半圆AB 上的动点，N 为EP 的中点，所以N 的运动路经为直径为2的半圆，计算即可. 【详解】解：22131(1)2222y x x x ， ∴点E 的坐标为（1，-2），令y=0，则213022x x =--， 解得，11x =-，23x =，∴A （-1，0），B （3,0），∴AB=4，由于E 为定点，P 是半圆AB 上的动点，N 为EP 的中点，所以N 的运动路经为直径为2的半圆，如图，∴点N 运动的路径长是12=2ππ⨯⨯.【点睛】本题属于二次函数和圆的综合问题，考查了运动路径的问题，熟练掌握二次函数和圆的基础是解题的关键.15、a ＜1【分析】先求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的增减性列出不等式，求解即可．【详解】解：∵0≤x≤4时，y 仅在x ＝4时取得最大值， ∴﹣121a -⨯＜042， 解得a ＜1．故答案为：a ＜1．【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的增减性和对称轴公式是解题的关键．16、2．【分析】由角平分线的性质得出∠AOP=∠BOP ，PC=PD=1，∠PDO=∠PEO=90°，由勾股定理得出2274CE CP PE =-=，由平行线的性质得出∠OPC=∠AOP ，得出∠OPC=∠BOP ，证出254CO CP ==，得出OE=CE+CO=8，由勾股定理求出2210OP OE PE =+=，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．【详解】∵OP 平分∠AOB ，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ，∴∠AOP ＝∠BOP ，PC ＝PD ＝1，∠PDO ＝∠PEO ＝90°， ∴222257446CE CP PE ⎛⎫⎪⎭-⎝=-==， ∵CP ∥OA ，∴∠OPC ＝∠AOP ，∴∠OPC ＝∠BOP ，∴254 CO CP==，∴725448 OE CE CO=+=+=，∴22228610 OP OE PE=+=+=，在Rt△OPD中，点M是OP的中点，∴125 DM OP==；故答案为：2．【点睛】本题考查了勾股定理的应用、角平分线的性质、等腰三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、平行线的性质等知识；熟练掌握勾股定理和直角三角形斜边上的中线性质，证明CO=CP是解题的关键．17、6【分析】根据正比例函数y=kx与反比例函数2yx=-的图象交点关于原点对称，可得出A、B两点坐标的关系，根据垂直于y轴的直线上任意两点纵坐标相同，可得出A、C两点坐标的关系，设A点坐标为（x，-2x），表示出B、C两点的坐标，再根据三角形的面积公式即可解答．【详解】∵正比例函数y=kx与反比例函数2yx=-的图象交点关于原点对称，∴设A点坐标为(x,−2x),则B点坐标为(−x,2x),C(−2x,−2x)，∴S ABC=12×(−2x−x)⋅(−2x−2x)=12×(−3x)⋅(−4x)=6.故答案为6.【点睛】此题考查正比例函数的性质与反比例函数的性质，解题关键在于得出A、C两点.18、1【分析】由题意连接OA，根据切线的性质得出OA⊥PA，由已知条件可得△OAP是等腰直角三角形，进而可求出OA 的长，即可求解．【详解】解：连接OA，∵PA切⊙O于点A，∴OA ⊥PA ，∴∠OAP=90°，∵∠APO=45°，∴OA=PA=1，故答案为：1．【点睛】本题考查切线的性质即圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，连接过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．三、解答题（共78分）19、详见解析；点1B ，1C 的坐标分别为()1,3，()1,2-【分析】利用网格特点和旋转的性质画出B 、C 的对应点B 1、C 1即可．【详解】解：如图，11B OC ∆为所作，点1B ，1C 的坐标分别为()1,3，()1,2-【点睛】本题考查了画图−性质变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．20、（1）4500元；（2）7，4000；（3）4、5、6、7、8、9、10；（4）90007. 【解析】（1）利用待定系数法将(2,6500),(4,5500)代入y=kx+b 求k,b 确定表达式，求当x=6时的y 值即可； （2）求销售额w 与x 之间的函数关系式，利用二次函数的最大值问题求解；（3）分三种情况讨论假设6月份，7月份，8月份的最大销售为22500万元时，求相应的m 值，再分别求出此时另外两月的总利润，通过比较作出判断.【详解】设y=kx+b,根据图象将(2,6500),(4,5500)代入得，2650045500k b k b ， 解得，5007500k b ，∴y= -500x+7500，当x=6时，y= -500×6+7500=4500元；（2）设销售额为z 元，z=yp=( -500x+7500 )(x+1)= -500x 2+7000x+7500= -500(x-7)2+32000,∵z 与x 成二次函数，a= -500<0,开口向下，∴当x=7时，z 有最大值，当x=7时，y=-500×7+7500=4000元.答：该产品第7个月的销售额最大，该月的销售价格是4000元/台.（3）z 与x 的图象如图的抛物线当y=27500时，-500(x-7)2+32000=27500，解得，x 1=10，x 2=4∴预计销售部符合销售要求的是4,5,6,7,8,9,10月份.（4）设总利润为W= -500x 2+7000x+7500-m(x+1)= -500x 2+(7000-m)x+7500-m,第一种情况：当x=6时，-500×62+(7000-m) ×6+7500-m=22500，解得，m=90007, 此时7月份的总利润为-500×72+(7000-90007) ×7+7500-90007≈17714<22500, 此时8月份的总利润为-500×82+(7000-90007) ×8+7500-90007≈19929<22500, ∴当m=90007时，6月份利润最大，且最大值为22500万元. 第二种情况：当x=7时，-500×72+(7000-m) ×7+7500-m=22500，解得，m=1187.5 ,此时6月份的总利润为-500×62+(7000-1187.5) ×6+7500-1187.5=23187.5>22500,∴当m=1187.5不符合题意，此种情况不存在.第三种情况：当x=8时，-500×82+(7000-m) ×8+7500-m=22500，解得，m=1000 ,此时7月份的总利润为-500×72+(7000-1000) ×7+7500-1000=24000>22500,∴当m=1000不符合题意，此种情况不存在.∴当68x ≤≤时销售利润最大值为22500万元时，此时m=90007. 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，最大利润问题，利用二次函数的最值性质是解决实际问题的重要途径.21、（1）12k ≤且0k ≠；（2）1k =- 【分析】(1)根据方程有实数根得出()2221484]0k k k ∆=--=-+≥[，且20k ≠解之可得；(2)利用根与系数的关系可用k 表示出221211x x +的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍．【详解】解： (1)由于是一元二次方程且有实数根，所以20k ≠，即0k ≠，且()2221484]0k k k ∆=--=-+≥[ ∴12k ≤且0k ≠ (2)设方程的两个根为12x x 、，则1222(1)k x x k -+=-，1221x x k ⋅= ∴222222121212222222121212()2114(1)22(42)14x x x x x x k k k k x x x x x x ++-⋅+===--=-+= 整理，得2(2)9k -=解得1215k k =-=，根据(1)中12k ≤且0k ≠，得11k =-. 【点睛】此题主要考查了根的判别式和根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．22、（1）605x +；（2）售价定为51元时，有最大利润，最大利润为1280元.【分析】 ⑴ 依据题意列出式子即可；⑵ 依据题意可以得到y=-5（x-4）2+1280 解出x=4时，利润最大，算出售价及最大利润即可.【详解】解： ()1莒蒲酒每天的销售量为10606052x x +⋅=+. ()2设每天销售菖蒲酒获得的利润为y 元由题意，得()()()25535605541280y x x x =--+=--+.当4x =时，利润有最大值，即售价定为51元时，有最大利润，最大利润为1280元.【点睛】此题主要考查了一元二次方程实际生活中的应用，找准等量关系列出一元二次方程是解题的关键.23、（1）19.5m ；（2）2s【分析】（1）根据抛物线解析式，先求出抛物线的定点，判断小球最高飞行高度，从而判断能否达到19.5m ；（2）根据定点坐标知道，小球飞从地面飞行至最高点需要2s ，根据二次函数的对称性，可知从最高落在地面，也需要2s ．【详解】（1）h=20t －()2255220t t =--+由二次函数可知：抛物线开口向下，且顶点坐标为(2，20)，可知小球的飞行高度为h =20m >19.5m所以小球的飞行高度能否达到19.5m ；（2）根据抛物线的对称性可知，小球从最高点落到地面需要的时间与小球从地面上到最高点的时间相等． 因为由二次函数的顶点坐标可知当t =2s 时小球达到最高点，所以小球从最高点到落地需要2s ．【点睛】本题考查二次函数的实际运用，解题关键是将二次函数转化为顶点式，得出顶点坐标，然后分析求解．24、（1）A （6，0），C （0，3）；（2）E （94，3），y ＝﹣45x +245；（3）满足条件的点P 坐标为（6﹣3）或（3）或（94，3）或（6，﹣3）． 【解析】（1）解方程求出OA 、OC 的长即可解决问题；（2）首先证明EO ＝EB ，设EO ＝EB ＝x ，在Rt △ECO 中，EO 2＝OC 2＋CE 2，构建方程求出x ，可得点E 坐标，再利用待定系数法即可解决问题；（3）分情形分别求解即可解决问题；【详解】（1）由x 2﹣9x ＋18＝0可得x ＝3或6，∵OA、OC的长是关于x的一元二次方程x2﹣9x＋18＝0的两个根（OA＞OC），∴OA＝6，OC＝3，∴A（6，0），C（0，3）．（2）如图1中，∵OA∥BC，∴∠EBC＝∠AOB，根据翻折不变性可知：∠EOB＝∠AOB，∴∠EOB＝∠EBO，∴EO＝EB，设EO＝EB＝x，在Rt△ECO中，∵EO2＝OC2＋CE2，∴x2＝32＋（6﹣x）2，解得x＝154，∴CE＝BC﹣EB＝6﹣154＝94，∴E（94，3），设直线AE的解析式为y＝kx＋b，则有6093 4k bk b⎧⎪⎨⎪⎩＋＝＋＝，解得45245kb⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝，∴直线AE的函数解析式为y＝﹣45x＋245．（3）如图，OB2236＋5①当OB为菱形的边时，OF1＝OB＝BP1＝35P1（6﹣53），OF3＝P3F3＝BP3＝5P3（6＋53）．②当OB为菱形的对角线时，∵直线OB的解析式为y＝12x，∴线段OB的垂直平分线的解析式为y＝﹣2x＋152，可得P2（94，3），③当OF4问问对角线时，可得P4（6，﹣3）综上所述，满足条件的点P坐标为（6﹣35，3）或（6＋35，3）或（94，3）或（6，﹣3）．【点睛】本题考查的是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数是解题的关键.25、证明见解析；【分析】根据三边对应成比例的两个三角形相似可判定△ABC∽△ADE，根据相似三角形的性质可得∠BAC=∠DAE，即可得∠BAD=∠CAE，再由AB ACAD AE=可得AB ADAC AE=，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判定△ABD∽△ACE．【详解】∵在△ABC和△ADE中，AB BC AC AD DE AE==,∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∵AB AC AD AE=，∴AB AD AC AE=，∴△ABD∽△ACE．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定方法是解决本题的关键．26、开口向下，对称轴为直线32x=，顶点317,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】试题分析:先通过配方法对二次函数的一般式进行配方成顶点式,再根据二次函数图象性质写出开口方向,对称轴,顶点坐标.试题解析:2264y x x =-++, =29923442x x ⎛⎫--+++ ⎪⎝⎭, =22317317222222x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+=-+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 开口向下,对称轴为直线32x =,顶点317,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.。
2023-2024学年北京市昌平区九年级(上)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年北京市昌平区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，这是一张海上日出照片，如果把太阳看作一个圆，把海平面看作一条直线，那么这个圆与这条直线的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.不确定2.如果，那么下列比例式成立的是()A.B.C.D.3.将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的表达式为()A. B.C.D.4.如图，点A ，B ，C ，D 在上，AC 是的直径，，则的度数是() A. B. C.D.5.在平面直角坐标系xOy 中，若点和在反比例函数图象上，则下列关系式正确的是()A.B.C. D.6.如图，一艘轮船航行至O 点时，测得某灯塔A 位于它的北偏东方向，且它与灯塔A 相距13海里，继续沿正东方向航行，航行至点B 处时，测得灯塔A 恰好在它的正北方向，则AB 的距离可表示为()A.海里B.海里C.海里D.海里7.如图，在等腰中，，于点D，，则的值()A.B.2C.D.8.如图，是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且，连接BD，AE相交于点F，则下列说法正确的是()①≌；②；③∽；④若，则A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.写出一个开口向下且过的抛物线的表达式______.10.如图，M为反比例函数的图象上的一点，轴，垂足为A，的面积为3，则k的值为______.11.在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫.如图，作出“雪花”图案正六边形的外接圆，已知正六边形ABCDEF的边长是4，则长为______.12.如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，DE，AC交于点F，则和的面积比为______.13.如图，在中，半径OC垂直弦AB于点D，若，，则CD的长为______.14.小明同学测量一个圆形零件的半径时，他将直尺、三角板和这个零件如图放置于桌面上，零件与直尺，三角板均相切，测得点A与其中一个切点B的距离为3cm，则这个零件的半径是______15.如图，AB是直径，点C是上一点，且，点D是的中点，点P是直径AB上一动点，则的最小值为______.16.已知抛物线为常数，的对称轴是直线其部分图象如图，则以下四个结论中：①；②；③；④，其中，正确结论的序号是______.三、解答题：本题共12小题，共68分。
2022年北京市昌平区北京人大附中昌平校区九年级数学第一学期期末学业质量监测试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）1．一次函数(0)y ax b a =+≠与二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）． A ． B ． C ． D ．2．如图，∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角,则tan ∠AOB （ ）A ．33B ．3C ．1D ．253．小明沿着坡度为1：2的山坡向上走了10m ，则他升高了（ ）A ．5mB ．25mC ．53mD ．10m 4．如图，P 为线段AB 上一点，AD 与BC 交与点E ，CPD A B ∠=∠=∠，BC 交PD 与点F ，AD 交PC 与点G ，则下列结论中错误的是（ ）A ．CGE CBP ∆∆B ．APD PGD ∆∆C ．APG BFP ∆∆D ．PCF BCP ∆∆5．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．关于x 的方程210ax x -+=是一元二次方程，则a 的取值范围是（ ）A ．0a ≠B ．1a ≠C ．0a ≤D ．0a ≥7．微信红包是沟通人们之间感情的一种方式，已知小明在2016年”元旦节”收到微信红包为300元，2018年为363元，若这两年小明收到的微信红包的年平均增长率为x ，根据题意可列方程为（ ）A ．363（1+2x ）=300B ．300（1+x 2）=363C ．300（1+x ）2=363D ．300+x 2=3638．如图，AB 是⊙O 的直径，AC ，BC 分别与⊙O 交于点D ，E ，则下列说法一定正确的是（ ）A ．连接BD ，可知BD 是△ABC 的中线B ．连接AE ，可知AE 是△ABC 的高线 C ．连接DE ，可知DE CE AB BC= D ．连接DE ，可知S △CDE ：S △ABC ＝DE ：AB 9．若方程（m ﹣1）x 2﹣4x ＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≠1B ．m ＝1C ．m ≠0D ．m ≥110．已知正方形的边长为4cm ，则其对角线长是（）A ．8cmB ．16cmC ．32cmD ．42cm 11．如图，已知O 的周长等于6cm π ，则它的内接正六边形ABCDEF 的面积是（ ）A 93B 273C 273D ．312．在一个不透明的盒子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.3，由此可估计盒中红球的个数约为（ ） A ．3 B ．6 C ．7 D ．14二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，直线l ：13y x b =-+（0b <）与x ，y 轴分别交于A ，B 两点，以AB 为边在直线l 的上方作正方形ABCD ，反比例函数11k y x=和22k y x =的图象分别过点C 和点D .若13k =，则2k 的值为______.14．如图，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝bx+c 的两个交点坐标分别为A(﹣2，4)，B(1，1)，则不等式ax 2＜bx+c 的解集是______.15．一个正n 边形的一个外角等于72°，则n 的值等于_____．16．某小区2019年的绿化面积为3000m 2，计划2021年的绿化面积为4320m 2，如果每年绿化面积的增长率相同，设增长率为x ，则可列方程为______．17．如果向量、、满足关系式2﹣（﹣3）＝4，那么＝_____（用向量、表示）．18．如图，在ABC 中，点E 是边BC 的中点，⊙O 经过A 、C 、E 三点，交AB 于点D ，CD 是⊙O 的直径，F 是EC 上的一个点，且24B ∠=︒，则AFC ∠=___________︒．三、解答题（共78分）19．（8分）佩佩宾馆重新装修后,有50间房可供游客居住，经市场调查发现，每间房每天的定价为140元，房间会全部住满，当每间房每天的定价每增加10元时,就会有一间房空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每间房每天支出40元的各项费用．设每间房每天的定价增加x 元，宾馆获利为y 元．(1)求y 与x 的函数关系式(不用写出自变量的取值范围) ;(2)物价部门规定，春节期间客房定价不能高于平时定价的2倍,此时每间房价为多少元时宾馆可获利8000元? 20．（8分）如图1，点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG，连接BF，点M是线段BF 中点，射线EM与BC交于点H，连接CM．（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系；（2）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°，此时点F恰好落在线段CD上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由；（3）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90°，此时点E、G恰好分别落在线段AD、CD上，如图3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．21．（8分）如图，已知△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，点A的对称点为点A′，请你用尺规作图的方法，找出对称中心O，并作出△A′B′C′．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．22．（10分）（1）计算：4sin260°+tan45°-8cos230°（2）在Rt△ABC中，∠C=90°．若∠A=30°，b=53，求a、c．23．（10分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O．延长BC到点E，使CE BC=，连结DE．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）若52BO=，4sin5CAD∠=，请直接写出平行四边形ACED的周长．24．（10分）如图，一次函数y 1＝k 1x+b 与反比例函数y 1＝2k x的图象交于点A （a ，﹣1）和B （1，3），且直线AB 交y 轴于点C ，连接OA 、OB ．（1）求反比例函数的解析式和点A 的坐标； （1）根据图象直接写出：当x 在什么范围取值时，y 1＜y 1．25．（12分）如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线分别交BC 、AC 于点D 、E ，BE 交AD 于点F ，AB ＝AD ． （1）判断△FDB 与△ABC 是否相似，并说明理由；（2）BC ＝6，DE ＝2，求△BFD 的面积．26．如图，两个班的学生分别在C 、D 两处参加植树劳动，现要在道路AO 、OB 的交叉区域内(∠AOB 的内部)设一个茶水供应点M ，M 到两条道路的距离相等，且MC ＝MD ，这个茶水供应点的位置应建在何处？请说明理由．(保留作图痕迹，不写作法)参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y 轴的位置关系，即可得出a 、b 的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论．【详解】A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，∴a<0，b<0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误；B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y 轴右侧，∴a>0，b<0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误；C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，∴a<0，b<0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确；D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，∴a<0，b<0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误．故选C ．【点睛】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键． 2、C【分析】连接AB ，分别利用勾股定理求出△AOB 的各边边长，再利用勾股定理逆定理求得△ABO 是直角三角形，再求tan ∠AOB 的值即可． 【详解】解：连接AB 如图，利用勾股定理得221310AB =+221310AO =+=，222425OB +=∵210AB =，210AO =,220OB =∴222OB AB AO =+∴利用勾股定理逆定理得，△AOB 是直角三角形∴tan ∠AOB=AB AO =10110= 故选C【点睛】本题考查了在正方形网格中，勾股定理及勾股定理逆定理的应用.3、B【详解】解：由题意得：BC ：AB =1：2，设BC =x ，AB =2x ，则AC =22AB BC +=222x x +（）=5x =10， 解得：x =25．故选B ．4、A【分析】先根据条件证明△PCF ∽△BCP ，利用相似三角形的性质：对应角相等，再证明△APD ∽△PGD ，进而证明△APG ∽△BFP 再证明时注意图形中隐含的相等的角，故可进行判断.【详解】∵∠CPD=∠B ，∠C=∠C ，∴△PCF ∽△BCP.∵∠CPD=∠A ，∠D=∠D ，∴△APD ∽△PGD.∵∠CPD=∠A=∠B ，∠APG=∠B+∠C ，∠BFP=∠CPD+∠C∴∠APG=∠BFP ，∴△APG ∽△BFP.故结论中错误的是A ，故选A.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.5、D【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【详解】A 、不是轴对称图形，故A 不符合题意；B 、不是轴对称图形，故B 不符合题意；C 、不是轴对称图形，故C 不符合题意；D 、是轴对称图形，故D 符合题意．故选D.【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．6、A【解析】根据一元二次方程的定义判断即可．【详解】∵210ax x -+=是关于x 的一元二次方程，∴0a ≠，故选：A ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．7、C【分析】这两年小明收到的微信红包的年平均增长率为x ，则2017年收到300(1+x )，2018年收到300（1+x ）2，根据题意列方程解答即可．【详解】由题意可得，300（1+x ）2=363.故选C.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用---增长率问题；本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a (1+x )n =b ，其中n 为共增长了几年，a 为第一年的原始数据，b 是增长后的数据，x 是增长率．8、B【分析】根据圆周角定理，相似三角形的判定和性质一一判断即可．【详解】解：A 、连接BD ．∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°，∴BD 是△ABC 的高，故本选项不符合题意．B 、连接AE ．∵AB 是直径，∴∠AEB ＝90°，∴BE 是△ABC 的高，故本选项符合题意．C 、连接DE ．可证△CDE ∽△CBA ，可得DE EC AB AC=，故本选项不符合题意． D 、∵△CDE ∽△CBA ，可得S △CDE ：S △ABC ＝DE 2：AB 2，故本选项不符合题意，故选：B ．【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定以及性质，辅助线的作图是解本题的关键9、A【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程可得m−1≠0，再解即可．【详解】解：由题意得：m﹣1≠0，解得：m≠1，故选：A．【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．10、D【分析】作一个边长为4cm的正方形，连接对角线，构成一个直角三角形如下图所示：由勾股定理得AC2=AB2+BC2，求出AC的值即可．【详解】解：如图所示：四边形ABCD是边长为4cm的正方形，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=22=42cm．44所以对角线的长：AC=42cm．故选D．11、C【分析】过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，由⊙O的周长等于6πcm，可得⊙O的半径，又由圆的内接多边形的性质可得∠AOB=60°，即可证明△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质可求出OH的长，根据S正六边形ABCDEF =6S △OAB 即可得出答案．【详解】过点O 作OH ⊥AB 于点H ，连接OA ，OB ，设⊙O 的半径为r ，∵⊙O 的周长等于6πcm ，∴2πr=6π，解得：r=3，∴⊙O 的半径为3cm ，即OA=3cm ，∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠AOB=16×360°=60°，OA=OB ， ∴△OAB 是等边三角形，∴AB=OA=3cm ，∵OH ⊥AB ，∴AH=12AB ， ∴AB=OA=3cm ，∴AH=32cm ，OH=22OA AH -=332cm ， ∴S 正六边形ABCDEF =6S △OAB =6×12×3×332=2732（cm2）．故选C.【点睛】此题考查了正多边形与圆的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．12、B【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，【详解】解：根据题意列出方程0.320=x ， 解得：x=6，故选B.考点：利用频率估计概率．二、填空题（每题4分，共24分）13、-1【分析】作CH⊥y轴于点H，证明△BAO≌△CBH，可得OA=BH=-3b，OB=CH=-b，可得点C的坐标为（-b，-2b），点D的坐标为（2b，-3b），代入反比例函数的解析式，即可得出k2的值．【详解】解：如图，作CH⊥y轴于点H，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠AOB=∠BHC=10°，∠ABC=10°∴∠BAO=10°-∠OBA=∠CBH，∴△BAO≌△CBH（AAS），∴OA=BH，OB=CH，∵直线l：13y x b=-+（b＜0）与x，y轴分别交于A，B两点，∴A（3b，0），B（0，b），∵b＜0，∴BH=-3b，CH=-b，∴点C的坐标为（-b，-2b），同理，点D的坐标为（2b，-3b），∵k1=3，∴（-b）×（-2b）=3，即2b2=3，∴k2=2b×（-3b）=-6b2=-1．故答案为：-1．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标的特征，直线与坐标轴的交点，正方形的性质，全等三角形的判定和性质．解题的关键是用b来表示出点C，D的坐标．14、﹣2＜x＜1【分析】直接利用函数图象结合其交点坐标得出不等式ax2＜bx+c的解集即可；【详解】解：如图所示：∵抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣2，4)，B(1，1)，∴不等式ax2＜bx+c的解集，即一次函数在二次函数图象上方时，得出x的取值范围为：﹣2＜x＜1.故答案为：﹣2＜x＜1.【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式（组），掌握二次函数的性质和不等式的解是解题的关键.15、1．【分析】可以利用多边形的外角和定理求解．【详解】解：∵正n边形的一个外角为72°，∴n的值为360°÷72°＝1．故答案为：1【点睛】本题考查了多边形外角和，熟记多边形的外角和等于360度是解题的关键．16、3000(1+ x)2=1【分析】设增长率为x，则2010年绿化面积为3000（1+x）m2，则2021年的绿化面积为3000（1+x）（1+x）m2，然后可得方程．【详解】解：设增长率为x，由题意得：3000（1+x）2=1，故答案为：3000（1+x）2=1．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．17、2﹣【解析】根据平面向量的加减法计算法则和方程解题．【详解】故答案是． 【点睛】 本题主要考查平面向量，此题是利用方程思想求得向量的值的，难度不大．18、1【分析】根据题意得到△BDC 是等腰三角形，外角和定理可得∠ADC 也就是要求的∠AFC ．【详解】连接DE ，∵CD 是⊙O 的直径，∴∠DEC ＝90°，DE ⊥BC ，∵E 是BC 的中点，∴DE 是BC 的垂直平分线，则BD ＝CD ，∴∠DCE ＝∠B ＝24°，∴∠ADC ＝∠DCE ＋∠B ＝1°，∴∠AFC ＝∠ADC ＝1°，故填：1．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、外角和定理、同弧所对的圆周角相等，综合性较强，是中考填空题、选择题的常见题型．三、解答题（共78分）19、（1）2140500010y x x =-++；（2）每间房价为240元时，宾馆可获利8000元 【分析】(1)根据题意表示出每间房间的利润和房间数，进而求得答案；(2)代入(1)求出的函数式，解方程即可，注意要符合条件的.【详解】解：()1由题意得()140405010x y x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭()1005010x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 2140500010x x =-++ 答: y 与x 的函数关系式为：2140500010y x x =-++ ()2由()1可得：()221140500020090001010y x x x =-++=--+ 令8000=y ，即()212005000800010x --+= 解得12300,100x x ==1401402x +≤⨯解得140x ≤100x ∴=此时每间房价为: 140100240+=(元)答:每间房价为240元时，宾馆可获利8000元。
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2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，四边形ABCD 是正方形，以BC 为底边向正方形外部作等腰直角三角形BCE ，连接AE ，分别交BD ，BC 于点F ，G ，则下列结论：①△AFB ∽△ABE ；②△ADF ∽△GCE ；③CG=3BG ；④AF=EF ，其中正确的有（ ）.A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④2．如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△EDC．若点A ，D ，E 在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC 的度数是( )A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°3．已知点()3,4P ，如果把点P 绕坐标原点顺时针旋转90︒后得到点1P ，那么点1P 的坐标为（ ）A ．()4,3B ．()4,3-C ．()3,4-D ．()3,4-4．一元二次方程x 2+kx ﹣3＝0的一个根是x ＝1，则另一个根是（ ）A ．﹣3B ．﹣1C ．2D ．35．在相同时刻，物高与影长成正比．如果高为1.5米的标杆影长为2.5米，那么此时高为18米的旗杆的影长为（ ） A ．20米 B ．30米 C ．16米 D ．15米6．下列关于三角形的内心说法正确的是（ ）A ．内心是三角形三条角平分线的交点B ．内心是三角形三边中垂线的交点C．内心到三角形三个顶点的距离相等D．钝角三角形的内心在三角形外7．如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，BC=5cm，⊙O是它的内切圆，小明用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（）A．13cm B．8cm C．6.5cm D．随直线MN的变化而变化8．将二次函数y＝2x2﹣4x+5的右边进行配方，正确的结果是（）A．y＝2（x﹣1）2﹣3 B．y＝2（x﹣2）2﹣3C．y＝2（x﹣1）2+3 D．y＝2（x﹣2）2+39．在同一平面直角坐标系中，函数y=x﹣1与函数1yx的图象可能是A．B．C．D．10．如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是( )A．△AFD≌△DCE B．AF＝12ADC．AB＝AF D．BE＝AD﹣DF11．如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD＝24，则sin∠ACD的值是（）A ．1213B ．125C ．512D ．51312．某地区在一次空气质量检测中，收集到5天的空气质量指数如下：81，70，56，61，81，这组数据的中位数和众数分别是（ ）A ．70，81B ．81，81C ．70，70D ．61，81二、填空题（每题4分，共24分）13．己知一个菱形的边长为2，较长的对角线长为23，则这个菱形的面积是_____．14．已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简2()||a c b c +-+=_____．15．二次函数243y x x =+-的最小值是 ．16．如图，BD 是⊙O 的直径，∠CBD ＝30°，则∠A 的度数为_____．17．如图，等腰△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，则CD AD的值等于_____．18．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 落在坐标原点，点A 、点C 分别位于x 轴，y 轴的正半轴，G 为线段OA 上一点，将OCG ∆沿CG 翻折，O 点恰好落在对角线AC 上的点P 处，反比例函数12y x =经过点B ．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过(0,3)C 、G 、A 三点，则该二次函数的解析式为_______．（填一般式）三、解答题（共78分）19．（8分）如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC交于点D，与边AC交于点E，连接AD，且AD平分∠BAC．（1）试判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．20．（8分）如图，BM是以AB为直径的⊙O的切线，B为切点，BC平分∠ABM，弦CD交AB于点E，DE＝OE．（1）求证：△ACB是等腰直角三角形；（2）求证：OA2＝OE•DC：（3）求tan∠ACD的值．21．（8分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=32，点D是斜边AB上一动点（点D与点A、B不重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接AE，DE．（1）求△ADE的周长的最小值；（2）若CD=4，求AE的长度．22．（10分）永祚寺双塔，又名凌霄双塔，是山西省会太原现存古建筑中最高的建筑. 位于太原市城区东南向山脚畔.数学活动小组的同学对其中一塔进行了测量.测量方 法如下：如图所示，间接测得该塔底部点B 到地面上一点E 的距离为48m ，塔的顶端 为点A ，且 AB EB ⊥，在点E 处竖直放一根标杆，其顶端为 D DE EB ⊥，，在 BE 的延长 线上找一点 C ，使 C D A ，，三点在同一直线上，测得 2 CE m =．（1）方法 1，已知标杆 2.2 DE m =，求该塔的高度；（2）方法 2，测得47.5ACB ∠=︒，已知47.5 1.09tan ︒≈，求该塔的高度.23．（10分）自贡是“盐之都，龙之乡，灯之城”，文化底蕴深厚.为弘扬乡土特色文化，某校就同学们对“自贡历史文化”的了解程度进行随机抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅统计图：⑴本次共调查 名学生，条形统计图中m = ；⑵若该校共有学生1200名，则该校约有 名学生不了解“自贡历史文化”；⑶调查结果中，该校九年级（2）班学生中了解程度为“很了解”的同学进行测试，发现其中共有四名同学相当优秀，它们是三名男生，一名女生，现准备从这四名同学中随机抽取两人去市里参加“自贡历史文化”知识竞赛，用树状图或列表法，求恰好抽取一男生一女生的概率.24．（10分）西安市某中学数学兴趣小组在开展“保护环境，爱护树木”的活动中，利用课外时间测量一棵古树的高，由于树的周围有水池，同学们在低于树基3.3米的一平坝内(如图)．测得树顶A 的仰角∠ACB =60°，沿直线BC 后退6米到点D ，又测得树顶A 的仰角∠ADB =45°．若测角仪DE 高1.3米，求这棵树的高AM ．(结果保留两位小数，325．（12分）（1）计算：|﹣3|+3cos30°﹣（﹣13）﹣1﹣12+（π﹣3）0（2）若13ba b=+，求222a ba b+-•（a﹣b）的值．26．（1）（教材呈现）下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．请根据教材提示，结合图23.4.2，写出完整的证明过程．（2）（结论应用）如图，△ABC是等边三角形，点D在边AB上（点D与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交AC 于点E，连结BE，M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，顺次连结M、N、P．①求证：MN＝PN；②∠MNP的大小是．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【解析】连接AC，交BD于O，过点E作EH⊥BC于H，由正方形的性质及等腰直角三角形的性质可得∠ADF=∠ABD=∠BCE=∠CBE=45°，可得∠ABE=135°，根据外角性质可得∠AFD=∠FAB+∠ABF>45°，利用平角定义可得∠AFB<135°，即可证明∠AFB≠∠ABE，可对①进行判断；由EH⊥BC可证明EH//AB，根据平行线的性质可得∠HEG=∠FAB，根据角的和差关系可证明∠DAF=∠CEG，即可证明△ADF∽△GCE；可对②进行判断，由EH//AB 可得△HEG∽△BAG，根据相似三角形的性质即可得出BG=2HG，根据等腰直角三角形性质可得CH=BH，进而可得CG=2BG，可对③进行判断；根据正方形的性质可得OA=BE，∠AOF=∠FBE=90°，利用AAS可证明△AOF≌△EBF，可得AF=EF，可对④进行判断；综上即可得答案.【详解】如图，连接AC，交BD于O，过点E作EH⊥BC于H，∵ABCD是正方形，△BCE是等腰直角三角形，∴∠ADF=∠ABD=∠BCE=∠CBE=45°，∴∠ABE=135°，∵∠AFD=∠BAF+∠ABF=∠BAF+45°>45°，∴∠AFB=180°-∠AFD<135°，∴∠AFB≠∠ABE，∴△AFB与△ABE不相似，故①错误，∵EH⊥BC，∠ABC=90°，∴EH//AB，∴∠HEG=∠FAB，∴∠AFD=∠FAB+∠ABD=45°+∠HEG=∠CEG，又∵∠ADB=∠GCE=45°，∴△ADF∽△GCE，故②正确，∵EH//AB，∴△HEG∽△BAG，∴EH HG AB BG,∵△BCE是等腰直角三角形，∴EH=CH=BH=12BC=12AB，∴HGBG=12，即BG=2HG，∴CH=BH=3HG，∴CG=CH+HG=4HG，∴CG=2BG，故③错误，∵ABCD是正方形，△BCE是等腰直角三角形，∴∠AOF=90°，∠FBE=∠DBC+∠CBE=45°+45°=90°，OA=22AB，BE=22BC，∴∠AOF=∠FBE，OA=BE，在△AOF和△EBF中，AFO BFEAOF FBE OA BE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOF≌△EBF，∴AF=EF，故④正确，综上所述：正确的结论有②④，故选：B.【点睛】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关判定定理及性质是解题关键.2、C【分析】根据旋转的性质和三角形内角和解答即可．【详解】∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．∴∠DCE=∠ACB=20°，∠BCD=∠ACE=90°，AC=CE，∴∠ACD=90°-20°=70°，∵点A，D，E在同一条直线上，∴∠ADC+∠EDC=180°，∵∠EDC+∠E+∠DCE=180°，∴∠ADC=∠E+20°，∵∠ACE=90°，AC=CE ∴∠DAC+∠E=90°，∠E=∠DAC=45° 在△ADC 中，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°， 即45°+70°+∠ADC=180°， 解得：∠ADC=65°， 故选C ．【点睛】此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答．3、B【分析】连接OP ，OP 1，过P 作PN ⊥y 轴于N ，过P 1作P 1M ⊥y 轴于M ，根据旋转的性质，证明1NPO MOP △≌△，再根据1P 所在的象限，即可确定点1P 的坐标．【详解】如图连接OP ，OP 1，过P 作PN ⊥y 轴于N ，过P 1作P 1M ⊥y 轴于M∵点P 绕坐标原点顺时针旋转90︒后得到点1P∴190POP =︒∠∴190PNO PMO ==︒∠∠ ∴90NOP NPO +=︒∠∠，190NOP MOP +=︒∠∠∴1NPO POM =∠∠ ∵1OP OP =∴1NPO MOP △≌△∵()3,4P∴13,4PN OM ON PM ==== ∵1P 在第四象限∴点1P 的坐标为()4,3-故答案为：B ．【点睛】本题考查了坐标轴的旋转问题，掌握旋转的性质是解题的关键．4、A【分析】根据一元二次方程根与系数的关系123x x =- 即可得出答案．【详解】由根与系数的关系得123x x =-11x =23x ∴=-故选：A ．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．5、B【分析】设此时高为18米的旗杆的影长为xm ，利用“在同一时刻物高与影长的比相等”列出比例式，进而即可求解．【详解】设此时高为18米的旗杆的影长为xm ， 根据题意得：x 18=2.51.5， 解得：x =30，∴此时高为18米的旗杆的影长为30m ．故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理，是解题的关键． 6、A【分析】根据三角形内心定义即可得到答案.【详解】∵内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，∴A 正确，B 、C 、D 均错误，故选：A.【点睛】此题考查三角形的内心，熟记定义是解题的关键.7、B【分析】如图，设E 、F 、G 分别为⊙O 与BC 、AC 、MN 的切点，利用切线长定理得出BC=BD+CF ，DM=MG ，FN=GN ，AD=AF ，进而可得答案．【详解】设E 、F 、G 分别为⊙O 与BC 、AC 、MN 的切点，∵⊙O 是△ABC 的内切圆，∴BD=BE ，CF=CE ，AD=AF ，∴BD+CF=BC ，∵MN 与⊙O 相切于G ，∴DM=MG ，FN=GN ，∵△ABC 的周长为18cm ，BC=5cm ，∴AD+AF=18-BC-(BD+CF)=18-2BC=8cm ，∴△AMN 的周长=AM+AN+MG+GN=AM+DM+AN+FN=AD+AF=8cm ，故选：B.【点睛】本题考查切线长定理，从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角；熟练掌握定理是解题关键.8、C【解析】先提出二次项系数，再加上一次项系数一半的平方，即得出顶点式的形式．【详解】解：提出二次项系数得，y ＝2（x 2﹣2x ）+5，配方得，y ＝2（x 2﹣2x+1）+5﹣2，即y ＝2（x ﹣1）2+1．故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的三种形式，一般式：y=ax2＋bx ＋c ，顶点式：y=a(x-h)2+k ；两根式：y= ()12).a x x x x --（9、C【解析】试题分析：一次函数y=kx+b 的图象有四种情况：①当k 0>，b 0>时，函数y=kx+b 的图象经过第一、二、三象限；②当k 0>，b 0<时，函数y=kx+b 的图象经过第一、三、四象限；③当k 0<，b 0>时，函数y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限；④当k 0<，b 0<时，函数y=kx+b 的图象经过第二、三、四象限．因此，∵函数y=x ﹣1的k 0>，b 0<，∴它的图象经过第一、三、四象限． 根据反比例函数()k y k 0x =≠的性质：当k 0>时，图象分别位于第一、三象限；当k 0<时，图象分别位于第二、四象限． ∵反比例函数1y x=的系数1>0，∴图象两个分支分别位于第一、三象限． 综上所述，符合上述条件的选项是C ．故选C ．10、B【解析】A ．由矩形ABCD ，AF ⊥DE 可得∠C =∠AFD =90°，AD ∥BC ，∴∠ADF =∠DEC ．又∵DE =AD ，∴△AFD ≌△DCE （AAS ），故A 正确；B ．∵∠ADF 不一定等于30°，∴直角三角形ADF 中，AF 不一定等于AD 的一半，故B 错误；C ．由△AFD ≌△DCE ，可得AF =CD ，由矩形ABCD ，可得AB =CD ，∴AB =AF ，故C 正确；D ．由△AFD ≌△DCE ，可得CE =DF ，由矩形ABCD ，可得BC =AD ，又∵BE =BC ﹣EC ，∴BE =AD ﹣DF ，故D 正确； 故选B ．11、D【解析】首先利用直径所对的圆周角为90°得到△ABD 是直角三角形，然后利用勾股定理求得AD 边的长，然后求得∠B 的正弦即可求得答案．【详解】∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°，∵⊙O 的半径是13，∴AB ＝2×13＝26，由勾股定理得：AD ＝10，∴sin ∠B ＝1052613AD AB == ∵∠ACD ＝∠B ， ∴sin ∠ACD ＝sin ∠B ＝513， 故选D ．【点睛】本题考查了圆周角定理及解直角三角形的知识，解题的关键是能够得到直角三角形并利用锐角三角函数求得一个锐角的正弦值，难度不大．12、A【分析】根据中位数的定义和众数的定义即可得出结论.【详解】解：将这5天的空气质量指数从小到大排列后为：56，61，70，81，81，故这组数据的中位数为：70根据众数的定义，出现次数最多的数据为81，故众数为81.故选：A.【点睛】此题考查的是求一组数据的中位数和众数，掌握中位数的定义和众数的定义是解决此题的关键.二、填空题（每题4分，共24分）13、23【解析】分析：根据菱形的性质结合勾股定理可求出较短的对角线的长，再根据菱形的面积公式即可求出该菱形的面积．详解：依照题意画出图形，如图所示．在Rt△AOB中，AB=2，3∴22AB OB，∴AC=2OA=2，∴S菱形ABCD=12AC•BD=12×2×33故答案为3点睛：本题考查了菱形的性质以及勾股定理，根据菱形的性质结合勾股定理求出较短的对角线的长是解题的关键．14、﹣a+b【分析】根据数轴判断出a、b、c的正负情况以及绝对值的大小，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可得解．【详解】解：由图可知：a ＜b ＜0＜c ，而且a b c >>，∴a +c ＜0，b +c <0，()||=()b c a c b c a b +-+++=-+，故答案为：a b -+．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据数轴判断出a 、b 、c 的情况是解题的关键．15、﹣1．【解析】试题分析：∵243y x x =+-=2(2)7x +-，∵a=1＞0，∴x=﹣2时，y 有最小值=﹣1．故答案为﹣1． 考点：二次函数的最值．16、60°【解析】解：∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BCD=90°（直径所对的圆周角是直角），∵∠CBD=30°，∴∠D=60°（直角三角形的两个锐角互余），∴∠A=∠D=60°（同弧所对的圆周角相等）；故答案是：60°17 【分析】先证△ABC 和△BDC 都是顶角为36°的等腰三角形，然后证明△BDC ∽△ABC ，根据相似三角形的性质即可得出结论．【详解】∵在△ABC 中，∠A =36°，AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB =72°．∵BD 平分∠ABC ，∴∠DBC =∠ABD =36°，∴AD =BD ，∴∠BDC =72°，∴BD =BC ，∴△ABC 和△BDC 都是顶角为36°的等腰三角形．设CD =x ，AD =y ，∴BC =BD =y ．∵∠C =∠C ，∠DBC =∠A =36°，∴△BDC ∽△ABC ， ∴BC DC AC BC=， ∴y x x y y=+， ∴220x xy y +-=，解得：x y =(负数舍去)，∴12CD x AD y ==．． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 18、2111324y x x =-+ 【分析】先由题意得到5AC =，再设设OG PG x ==，由勾股定理得到22(4)4x x -=+，解得x 的值，最后将点C 、G 、A 坐标代入二次函数表达式，即可得到答案.【详解】解：点(0,3)C ，反比例函数12y x =经过点B ，则点(4,3)B ， 则3OC =，4OA =，∴5AC =，设OG PG x ==，则4GA x =-，532PA AC CP AC OC =-=-=-=，由勾股定理得：22(4)4x x -=+， 解得：32x =，故点3(,0)2G ， 将点C 、G 、A 坐标代入二次函数表达式得：3930421640c a b c a b c =⎧⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩，解得：1a 211b 4c 3⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，故答案为2111324y x x =-+． 【点睛】 本题考查求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法.三、解答题（共78分）19、（1）BC 与⊙O 相切，理由见解析；（2）23π. 【解析】试题分析：（1）连接OD ，推出OD BC ⊥，根据切线的判定推出即可；（2）连接,DE OE ，求出阴影部分的面积=扇形EOD 的面积，求出扇形的面积即可．试题解析：(1)BC 与O 相切，理由：连接OD ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠DAC ，∵AO =DO ，∴∠BAD =∠ADO ，∴∠CAD =∠ADO ，//AC OD ∴，90ACD ∠=，∴OD ⊥BC ，∴BC 与O 相切；(2)连接OE ，ED ，60BAC OE OA ∠==，，∴△OAE 为等边三角形，60AOE ∴∠=，30ADE ，∴∠= 又1302OAD BAC ∠=∠=， ADE OAD ∴∠=∠，//ED AO ∴，AED AOD S S ∴=，∴阴影部分的面积=S 扇形ODE 60π42π.3603⨯⨯== 20、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）tan ∠ACD ＝23．【分析】（1）根据BM 为切线，BC 平分∠ABM ，求得∠ABC 的度数，再由直径所对的圆周角为直角，即可求证； （2）根据三角形相似的判定定理证明三角形相似，再由相似三角形对应边成比例，即可求证；（3）由图得到∠ACD ＝∠ABD ，根据各个角之间的关系求出∠AFD 的度数，用AD 表达出其它边的边长，再代入正切公式即可求得.【详解】（1）∵BM 是以AB 为直径的⊙O 的切线，∴∠ABM ＝90°，∵BC 平分∠ABM ，∴∠ABC ＝12∠ABM ＝45° ∵AB 是直径∴∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＝∠CBA ＝45°∴AC ＝BC∴△ACB 是等腰直角三角形；（2）如图，连接OD，OC∵DE＝EO，DO＝CO∴∠EDO＝∠EOD，∠EDO＝∠OCD ∴∠EDO＝∠EDO，∠EOD＝∠OCD ∴△EDO∽△ODC∴OD DE DC DO=∴OD2＝DE⋅DC∴OA2＝DE⋅DC＝EO⋅DC（3）如图，连接BD，AD，DO，作∠BAF＝∠DBA，交BD于点F，∵DO＝BO∴∠ODB＝∠OBD，∴∠AOD＝2∠ODB＝∠EDO，∵∠CAB＝∠CDB＝45°＝∠EDO+∠ODB＝3∠ODB，∴∠ODB＝15°＝∠OBD∵∠BAF＝∠DBA＝15°∴AF＝BF，∠AFD＝30°∵AB是直径∴∠ADB＝90°∴AF＝2AD，DF3∴BD＝DF+BF3+2AD∴tan ∠ACD ＝tan ∠ABD ＝AD BD ＝123+＝2﹣3 【点睛】 本题考查圆的切线、角平分线的性质，相似三角形的性质以及三角函数中正切的计算问题，属综合中档题.21、（1）6+32；（2）3﹣7或3+7【分析】（1）根据勾股定理得到AB=2AC=6，根据全等三角形的性质得到AE=BD ，当DE 最小时，△ADE 的周长最小，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，于是得到结论；（2）当点D 在CF 的右侧，当点D 在CF 的左侧，根据勾股定理即可得到结论【详解】解：（1）∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=32 ∴AB=2AC=6，∵∠ECD=∠ACB=90°， ∴∠ACE=∠BCD ，在△ACE 与△BCD 中，=AC BC ACE BCD CE CE =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△BCD （SAS ），∴AE=BD ，∴△ADE 的周长=AE+AD+DE=AB+DE ，∴当DE 最小时，△ADE 的周长最小，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，当CD ⊥AB 时，CD 最短，等于3，此时2，∴△ADE 的周长的最小值是2；（2）当点D 在CF 的右侧，∵CF=12AB=3，CD=4， ∴7∴AE=BD=BF ﹣DF=3当点D 在CF 的左侧，同理可得，综上所述：AE 的长度为3或【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质．22、（1）55m ；（2）54.5m【分析】（1）直接利用相似三角形的判定与性质得出AB BC DE CE=，进而得出答案；（2）根据锐角三角函数的定义列出AB tan ACB BC∠=，，然后代入求值即可. 【详解】解：1AB EB DE EB ⊥⊥（），90DEC ABC ∴∠=∠=︒ABC DEC ∴∽ 则AB BC DE CE= 即 4.822.22AB += 解得：55AB =答：该塔的高度为 55 m.()2在Rt ABC 中AB tan ACB BC∠=， 48247.554.5AB tan ∴=+⨯︒≈（）答：该塔的高度为54.5 m【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质及解直角三角形的应用，熟练掌握相似三角形对应边的比相等和角的正切值的求法是本题的解题关键.23、 (1)60,18;⑵240;⑶12. 【分析】（1）根据了解很少的有24人，占40%，即可求得总人数；利用调查的总人数减去其它各项的人数即可求得m 的值；（2）利用1200乘以不了解“自贡历史文化”的人所占的比例即可求解；（3）列出表格即可求出恰好抽中一男生一女生的概率．【详解】⑴. ∵2440%=60÷ ，602412618m =---= 故分别应填： 60 , 18.⑵.在样本中“不了解”的占：1220%60=，所以120020%=240⨯；故应填：240.⑶.列表如下（也可以选择“树状图”，注意是“不放回”）由上表可知：共有12种可能，其“一男一女”的可能性有6种.∴P（一男一女）=61= 122【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用以及求随机事件的概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．24、12.20米【分析】可在Rt△ABD和Rt△ABC中，利用已知角的三角函数，用AB表示出BD、BC，根据CD=BD﹣BC=6即可求出AB的长；已知HM、DE的长，易求得BM的值，由AM=AB﹣BM即可求出树的高度．【详解】设AB=x米．Rt△ABD中，∠ADB=45°，BD=AB=x米．Rt△ACB中，∠ACB=60°，BC=AB÷tan60°3=x米．CD=BD﹣BC=(13x=6，解得：x3即AB3米．∵BM=HM﹣DE=3.3﹣1.3=2，∴AM=AB﹣BM3≈12.20(米)．答：这棵树高12.20米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题．25、（1112；（2）43 【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；（2）已知等式整理得到a ＝2b ，原式约分后代入计算即可求出值．【详解】解：（1）原式31+- 112=； （2）已知等式整理得：3b a b =+，即2a b =，代入， 则原式22224()()()33a b a b b b a b a b a b a b b +++=⋅-===+-+． 【点睛】此题考查了分式的化简求值以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．26、（1）见详解；（2）①见详解；②120°【分析】教材呈现：证明△ADE ∽△ABC 即可解决问题．结论应用：（1）首先证明△ADE 是等边三角形，推出AD ＝AE ，BD ＝CE ，再利用三角形的中位线定理即可证明． （2）利用三角形的中位线定理以及平行线的性质解决问题即可．【详解】教材呈现：证明：∵点D ，E 分别是AB ，AC 的中点， ∴12AD AE AB AC ==， ∵∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ABC ，∴∠ADE ＝∠ABC ，12DE AD BC AB ==， ∴DE ∥BC ，DE ＝12BC ． 结论应用：（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ，∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∵DE ∥AB ，∴∠ABC ＝∠ADE ＝60°，∠ACB ＝∠AED ＝60°，∴∠ADE ＝∠AED ＝60°，∴△ADE 是等边三角形，∴AD ＝AE ，∴BD ＝CE ，∵EM＝MD，EN＝NB，∴MN＝12 BD，∵BN＝NE，BP＝PC，∴PN＝12 EC，∴NM＝NP．（2）∵EM＝MD，EN＝NB，∴MN∥BD，∵BN＝NE，BP＝PC，∴PN∥EC，∴∠MNE∠ABE，∠PNE＝∠AEB，∵∠AEB＝∠EBC+∠C，∠ABC＝∠C＝60°，∴∠MNP＝∠ABE+∠EBC+∠C＝∠ABC+∠C＝120°．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，，平行线的性质、相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中．熟练掌握各定理是解题的关键．。