2016届高考数学(理)(人教A版)总复习课时演练 第10章 第4节 变量间的相关关系、统计案例

第十章 第四节
1．(2014·石家庄质检)设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程(如图)，以下结论中正确的是( )
A ．x 和y 正相关
B ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率
C ．x 和y 的相关系数在－1到0之间
D ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同
解析：选C 由图知，回归直线的斜率为负值，所以x 与y 是负相关，且相关系数在－1到0之间，所以C 正确.
2．(2014·杭州月考)工人月工资y (元)依劳动生产率x (千元)变化的回归方程为y ^＝50＋80x ，下列判断正确的是( )
A ．劳动生产率为1 000元时，工资为130元
B ．劳动生产率提高1 000元时，工资平均提高80元
C ．劳动生产率提高1 000元时，工资平均提高130元
D ．当月工资为210元时，劳动生产率为2 000元
解析：选B 由y ^
＝50＋80x 可知，随x 增大，y 增大，故劳动生产率提高1 000元时，工资平均提高80元.
3．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算K 2≈0.99，根据这一数据分析，下列说法正确的是( )
A ．有99%的人认为该电视栏目优秀
B ．有99%的人认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
C ．有99%的把握认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
D ．没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
解析：选D 只有K 2≥6.635才能有99%的把握认为该电视栏目是否优秀与改革有关系，而即使K 2≥6.635也只是对“该电视栏目是否优秀与改革有关系”这个论断成立的可能性大小的结论，与是否有99%的人等无关．故选D.
4．(2014·烟台诊断性测试)若回归直线方程的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是( )
A.y ^＝1.23x ＋4
B.y ^
＝1.23x ＋5 C.y ^＝1.23x ＋0.08 D.y ^
＝0.08x ＋1.23
解析：选C 由题意设回归直线方程为y ^
＝1.23x ＋a ，把(4,5)代入回归直线方程得5＝1.23×4＋a ，解得a ＝0.08，所以回归直线方程是y ^
＝1.23x ＋0.08.故选C.
5．(2014·辽宁六校联考)某产品在某零售摊位上的零售价x (单位：元)与每天的销售量y (单位：个)的统计资料如下表所示：
x 16 17 18 19 y
50
34
41
31
由上表可得回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^
＝－4，据此模型预计零售价定为15元时，每天的销售量为( )
A ．48个
B ．49个
C ．50个
D ．51个
解析：选B 由题意知x －
＝17.5，y －
＝39，代入回归直线方程得a ^＝109，所以y ^
＝－4x ＋109，当x ＝15时，y ^
＝109－15×4＝49，故选B.
6．(2014·临沂模拟)春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：
做不到“光盘”
能做到“光盘”
男 45 10 女
30
15
附：
P (K 2≥k )
0.10 0.05 0.025 k
2.706
3.841
5.024
K 2
＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
参照附表，得到的正确结论是( )
A ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
B ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
C ．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
D ．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
解析：选C 由公式可计算K 2
的观测值k ＝n (ad －bc )2
(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
＝
100(45×15－30×10)2
55×45×75×25≈3.03>2.706，所以有90%以上的把握认为“该市民能否做到‘光盘’
与性别有关”，故选C.
7．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算K 2的观测值k ＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的(有关，无关)．
解析：有关 由观测值k ＝27.63与临界值比较，k >6.635，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为打鼾与患心脏病有关系.
8．某化工厂为预测某产品的回收率y ，需要研究它和原料有效成分含量x 之间的相关关系，现取8
对观测值，计算得∑
i ＝18
x i ＝52，∑
i ＝18
y i ＝228，∑
i ＝18
x 2
i ＝478，∑i ＝1
8
x i y i ＝1
849，则y 对x
的回归直线方程是________．(精确到0.01)
解析：y ^＝2.62x ＋11.47 由回归系数的计算公式，得b ^
＝
∑i ＝18
x i y i －8x －y
－
∑
i ＝1
8
x 2
i －8x －2 ≈2.62，a ^＝y －
－b ^
x －
＝
11.47，
故所求的回归直线方程为y ^
＝2.62x ＋11.47.
9．(2014·成都外国语学校月考)为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：
理科 文科 合计 男 13 10 23 女 7 20 27 合计
20
30
50
已知P (K 2≥3.841)≈0.05，P (K 2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到K 2的观测值k ＝50×(13×20－10×7)2
23×27×20×30
≈4.844，则认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为________．
解析：5% 由K 2的观测值k ≈4.844>3.841，故认为选修文科与性别有关系出错的可能
性约为5%.
10．假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)，有如下的统计资料：
使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由资料可知y 和x 呈相关关系，由表中数据算出线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^
＝1.23，据此估计，使用年限为10年时的维修费用大约是________万元．
(参考公式：b ^
＝
∑i ＝1n
x i y i －nx －y
－
∑
i ＝1
n
x 2
i －n x －2 ，a ^＝y －
－b ^x －
)
解析：12.38 x －＝4，y －＝5，故样本中心点是(4,5)，故a ^＝y －－b ^
x －
＝5－1.23×4＝0.08，所以y ^
＝1.23x ＋0.08，所以使用年限为10年时的维修费用大约是1.23×10＋0.08＝12.38.
11．(2014·石家庄模拟)为了调查某大学学生在周日上网的时间，随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查．得到了如下的统计结果：
表1：男生上网时间与频数分布表 上网时间(分钟) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80] 人数 5
25
30
25
15
表2：女生上网时间与频数分布表 上网时间(分钟) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80] 人数 10
20
40
20
10
(1)若该大学共有女生750人，试估计其中上网时间不少于60分钟的人数；
(2)完成下面的2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“大学生周日上网时间与性别有关”？
表3
上网时间少于60分钟
上网时间不少于60分钟
合计
男生 女生
合计
附：K 2
＝n (ad －bc )2
(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
P (K 2≥k 0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0 0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.84
5.024
6.635
7.879
10.83
解：(1)设估计上网时间不少于60分钟的人数为x ， 依题意有x 750＝30
100，
解得x ＝225，
所以估计其中上网时间不少于60分钟的人数是225. (2)根据题目所给数据得到如下列联表：
上网时间少于60分钟
上网时间不少于60分钟
合计 男生 60 40 100 女生 70 30 100 合计
130
70
200
其中K 2
＝200(60×30－40×70)2100×100×130×70
＝200
91≈2.198<2.706，
因此，没有90%的把握认为“大学生周日上网时间与性别有关”.
12．(2012·福建高考)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x (元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y (件)
90
84
83
80
75
68
(1)求回归直线方程y ^
＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －
－bx －
；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
解：(1)由于x －
＝1
6
(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，
y －
＝1
6
(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80， 所以a ＝y －
－bx －
＝80＋20×8.5＝250，
从而回归直线方程为y ^
＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得 L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250) ＝－20x 2＋330x －1 000 ＝－20⎝⎛⎭⎫x －33
42＋361.25， 所以当x ＝8.25时，L 取得最大值．
故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润.
1．(2013·福建高考)已知x 与y 之间的几组数据如下表：
x 1 2 3 4 5 6 y
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^
.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )
A.b ^>b ′，a ^>a ′
B.b ^>b ′，a ^
<a ′ C.b ^<b ′，a ^>a ′ D.b ^<b ′，a ^
<a ′ 解析：选C x －
＝1＋2＋3＋4＋5＋66＝7
2
，
y －
＝0＋2＋1＋3＋3＋46＝13
6
，
b ^
＝
∑i ＝1n
x i y i －nx －y
－
∑
i ＝1
n
x 2
i －n x －2
＝57，a ^＝y －－b ^x －＝－13
， 所以b ′＝2－02－1＝2>b ^，a ′＝－2<a ^
.故选C.
2．(2014·揭阳模拟)一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高，现对10名成年人的脚掌长x 与身高y 进行测量，得到数据(单位均为cm)如下表，作出散点图，发现散点在一条直线附近，经计算得到一些数据：∑i ＝1
10
(x i －x －
)(y i －y －
)＝577.5，∑i ＝1
10
(x i －x －
)2＝82.5.某刑侦人员在
某案发现场发现一对裸脚 印，量得每个脚印长为26.5 cm ，则估计案发嫌疑人的身高为________cm.
身高 141 146 154 160 169 176 181 188 197 203
解析：185.5 回归方程的斜率b ＝
∑i ＝1
10
(x i －x －)(y i －y －
)∑i ＝1
10
(x i －x －
)2
＝577.582.5
＝7，x －＝24.5，y －
＝171.5，截距a ＝y －
－bx －
＝0，即回归方程为y ^＝7x ，当x ＝26.5时，y ^
＝185.5.
3．(2014·梅州模拟)在2013年8月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：
价格x 9 9.5 m 10.5 11 销售量y
11
n
8
6
5
由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是：y ^
＝－3.2x ＋40，且m ＋n ＝20，则其中的n ＝________.
解析：10 x －
＝9＋9.5＋m ＋10.5＋115＝8＋m
5
，
y －
＝11＋n ＋8＋6＋55＝6＋n
5
，
线性回归直线一定经过样本中心(x －
，y －
)， 所以6＋n
5
＝－3.2⎝⎛⎭⎫8＋m 5＋40，即3.2m ＋n ＝42， 又m ＋n ＝20，由⎩⎪⎨⎪⎧ 3.2m ＋n ＝42，m ＋n ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝10，n ＝10，
故n ＝10.。