北师大版高中数学选修3-3球面上的几何§1 直线、平面与球面的位置关系
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r。
思考
过球面外一点P，引球的 所有切线有什么性质？
B P
O A
归纳
由上图可以容易得出，过球面外 一点 p 做球的切线，所有的切线（切 点与 p 的距离 ）都相等，它们构成一 个圆锥面．
（二）球幂定理
想一想
观察下图，想一想我们学过的一
些关于圆的定理。
E
A
D
QC
O
F
P
B
之前在平面几何中学过切线长定理、 切割线定理、相交弦定理，这些定理统 称为圆幂定理。
很明显，地球表面上任意一点由 经度和纬度唯一确定。
第二种：平面与球面相离
O
a
P
平面与球面相离时，它们没有交点，
此时球心到平面的距离大于球的半径r。
第三种：平面与球面相切
O
a
P
平面与球面相切，有且只有一个交
点，球心到平面的距离等于球的半径r。
（一）直线与球面的位置关系
我们可以参考平面与球面的位 置关系，来学习直线与球面的位置 关系。因为我们可以把平面看成是 由无数条直线组成。
想一想
你能仿照定理1的证明过程， 证明定理2和定理3吗？
我们学过的圆它是对称图形，既是
轴对称图形，又是中心对称图形，球面 是一个旋转曲面，与圆一样，球面也有 对称性。
由右图可以看出：
1.球面关于球心对称；
2.球面关于球的任意一条直
O
径对称；
3.球面关于球的大圆对称。
球的这种对称性有很多应用，对 我们研究球面几何具有很大的帮助。
想一想
你还能发现其他一些球的对称性吗？
课堂小结
1. 平面与球面的位置关系
相交
位置 关系
相离 相切
2. 直线与球面的位置关系和球幂定理
相交
位置 关系
相离 相切
球幂定理 定理1，2，3
3. 球面的对称性
类比圆幂定理，可以发现下面几个 定理：
定理1 从球面外一点p向球面引割线，交
球面与Q，R两点；再从点p引球面的任一 切线，切点为S，则
PS 2=PQ ·PR
证明：如下图，连结SQ，SR． 由于两条相交直线PS，RP 唯一确定
a平面，设平面a与球面的截面的圆心为O。 由圆幂定理可知
PS 2=PQ ·PR
R
Q O
P
S
定理2 从球面外一点p向球面引两条割
线，它们分别与球面相交于Q，R，S，
T四点，则
PQ·PR=PS·PT
R Q
P
O
S T
定理3 设 p 是球面内一点，过点 做
两条直线，它们分别与球面交于Q，R， S，T四点，则
PQ·PR=PS·PT
Q S
P
O
T
R
定理1、定理2、定理3统称为球幂定理
O
2.如果球面被不经过球心的平面所截 得的圆叫小。
O
当我们把地球看作一个球时，经线就 是球面上从北极到南极的半个大圆。
国际上，以过格林 尼治天文台的经线为 0°经线，向东叫做东 经，向西叫做西经。地 球球面上一点的经线的 经度是过该点的经度所 在的半平面与0°经线 所在的半平面所成的二 面角的大小。
1.直线与球面相交
O
P
l
直线与球面有两个交点，此直面相离
O Pl
直线与球面没有公共点，球心到直
线的距离大于球的半径r。
3.直线与球面相切
O
P
l
直线与球面有且
只有一个公共点，这 个公共点叫做切点， 该直线叫做球面的切 线，此时球心到直线 的距离等于球的半径
欧几里得
旧知回顾
我们以前学 习的平面几何和 立体几何统称欧 几里得几何（简 称欧氏几何）。
新课导入
本讲我们从欧氏几何的角度，即把平面 和球面都放到三维欧氏空间中，利用已学过 的立体几何知识研究平面、直线与球面的位 置关系及其几何性质，主要介绍平面与球面 的位置关系、直线与球面的位置关系、球幂 定理以及球面的对称性。
类似平面与球面的位置关系：
位置关系
相交 相离 相切
第一种：平面与球面相交
O P
a
如上图所示，平面与球面相交，截面是 圆面，平面与球面的交线是一个圆。当球面 与平面相交时，球心到平面的距离小于球的
半径r。
在平面与球面相交时，有两种情况： 1.如果球面被经过球心的平面所截，那
么所截得的圆叫做大圆。
思考
过球面外一点P，引球的 所有切线有什么性质？
B P
O A
归纳
由上图可以容易得出，过球面外 一点 p 做球的切线，所有的切线（切 点与 p 的距离 ）都相等，它们构成一 个圆锥面．
（二）球幂定理
想一想
观察下图，想一想我们学过的一
些关于圆的定理。
E
A
D
QC
O
F
P
B
之前在平面几何中学过切线长定理、 切割线定理、相交弦定理，这些定理统 称为圆幂定理。
很明显，地球表面上任意一点由 经度和纬度唯一确定。
第二种：平面与球面相离
O
a
P
平面与球面相离时，它们没有交点，
此时球心到平面的距离大于球的半径r。
第三种：平面与球面相切
O
a
P
平面与球面相切，有且只有一个交
点，球心到平面的距离等于球的半径r。
（一）直线与球面的位置关系
我们可以参考平面与球面的位 置关系，来学习直线与球面的位置 关系。因为我们可以把平面看成是 由无数条直线组成。
想一想
你能仿照定理1的证明过程， 证明定理2和定理3吗？
我们学过的圆它是对称图形，既是
轴对称图形，又是中心对称图形，球面 是一个旋转曲面，与圆一样，球面也有 对称性。
由右图可以看出：
1.球面关于球心对称；
2.球面关于球的任意一条直
O
径对称；
3.球面关于球的大圆对称。
球的这种对称性有很多应用，对 我们研究球面几何具有很大的帮助。
想一想
你还能发现其他一些球的对称性吗？
课堂小结
1. 平面与球面的位置关系
相交
位置 关系
相离 相切
2. 直线与球面的位置关系和球幂定理
相交
位置 关系
相离 相切
球幂定理 定理1，2，3
3. 球面的对称性
类比圆幂定理，可以发现下面几个 定理：
定理1 从球面外一点p向球面引割线，交
球面与Q，R两点；再从点p引球面的任一 切线，切点为S，则
PS 2=PQ ·PR
证明：如下图，连结SQ，SR． 由于两条相交直线PS，RP 唯一确定
a平面，设平面a与球面的截面的圆心为O。 由圆幂定理可知
PS 2=PQ ·PR
R
Q O
P
S
定理2 从球面外一点p向球面引两条割
线，它们分别与球面相交于Q，R，S，
T四点，则
PQ·PR=PS·PT
R Q
P
O
S T
定理3 设 p 是球面内一点，过点 做
两条直线，它们分别与球面交于Q，R， S，T四点，则
PQ·PR=PS·PT
Q S
P
O
T
R
定理1、定理2、定理3统称为球幂定理
O
2.如果球面被不经过球心的平面所截 得的圆叫小。
O
当我们把地球看作一个球时，经线就 是球面上从北极到南极的半个大圆。
国际上，以过格林 尼治天文台的经线为 0°经线，向东叫做东 经，向西叫做西经。地 球球面上一点的经线的 经度是过该点的经度所 在的半平面与0°经线 所在的半平面所成的二 面角的大小。
1.直线与球面相交
O
P
l
直线与球面有两个交点，此直面相离
O Pl
直线与球面没有公共点，球心到直
线的距离大于球的半径r。
3.直线与球面相切
O
P
l
直线与球面有且
只有一个公共点，这 个公共点叫做切点， 该直线叫做球面的切 线，此时球心到直线 的距离等于球的半径
欧几里得
旧知回顾
我们以前学 习的平面几何和 立体几何统称欧 几里得几何（简 称欧氏几何）。
新课导入
本讲我们从欧氏几何的角度，即把平面 和球面都放到三维欧氏空间中，利用已学过 的立体几何知识研究平面、直线与球面的位 置关系及其几何性质，主要介绍平面与球面 的位置关系、直线与球面的位置关系、球幂 定理以及球面的对称性。
类似平面与球面的位置关系：
位置关系
相交 相离 相切
第一种：平面与球面相交
O P
a
如上图所示，平面与球面相交，截面是 圆面，平面与球面的交线是一个圆。当球面 与平面相交时，球心到平面的距离小于球的
半径r。
在平面与球面相交时，有两种情况： 1.如果球面被经过球心的平面所截，那
么所截得的圆叫做大圆。