2010年中考数学压轴题(8)及解答

2010年中考数学压轴题（八）及解答
193、（2010年山西省）25．（本题10分）如图1，已知正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边D E 上，连接
AE 、GC ．
（1）试猜想AE 与GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论．
（2）将正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转，使点E 落在BC 边上，如图2，连接AE 和CG 。

你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
【解答】
194、（2010年山西省）26．在直角梯形OABC 中，CB ∥OA ，∠CO A ＝90º，CB ＝3，OA ＝6，BA ＝35．分
别以OA 、OC 边所在直线为x 轴、y 轴建立如图1所示的平面直角坐标系． （1）求点B 的坐标；
（2）已知D 、E 分别为线段OC 、OB 上的点，OD ＝5，OE ＝2E B ，直
线DE 交x 轴于点F ．求直线DE 的解析式；
（3）点M 是（2）中直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内
是否存在另一个点N ．使以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱
B G
E
（第25题）
F
B
（图1）
（图2）
形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】
195、（2010年陕西省）24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线A（-1,0），B（3,0）C（0，-1）三点。

（1）求该抛物线的表达式；
（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形求所有满足条件点P的坐标。

【解答】
解：（1）设该抛物线的表达式为y=ax²+bx+c根据题意，得
a-b+c=0 a=1 3
9a+3b+c=0 解之，得 b=
2 3 -
c=-1 c=-1
∴所求抛物线的表达式为y=1
3
x²-
2
3
-x-1
（2）①AB为边时，只要PQ∥AB且PQ=AB=4即可。

又知点Q在y轴上，∴点P的横坐标为4或-4，这时符合条件的点P有两个，分别记为P1,P2 .
而当x=4时，y=5
3
；当x=-4时，y=7，
此时P1（4，5
3
）P2（-4,7）
②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可又知点Q在Y轴上，且线段AB中点的横坐标为1
∴点P的横坐标为2，这时符合条件的P只有一个记为P3 而且当x=2时y=-1 ，此时P3（2，-1）
综上，满足条件的P为P1（4，5
3
）P2（-4,7）P3（2，-1）
196、（2010年陕西省）25.问题探究
(1) 请你在图①中做一条
．．直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；
（2）如图②点M是矩形ABCD内一点，请你在图②中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分。

问题解决
（1）如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB,OB=6,CD=4开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4,2）处。

为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线l将
直角梯形OBCD分成面积相等的了部分，你认为直线l是否存在？若存在求出直线l的表达式；
若不存在，请说明理由
【解答】
解：（1）如图①
（2）如图②连结AC 、BC交与P则P为矩形对称中心。

作直线MP，直线MP即为所求。

（3）如图③存在直线l
过点D的直线只要作DA⊥OB与点A
则点P(4,2)为矩形ABCD的对称中心
∴过点P的直线只要平分△DOA的面积即可
易知，在OD边上必存在点H使得PH将△DOA 面积平分。

从而，直线PH平分梯形OBCD的面积
即直线PH为所求直线l
设直线PH的表达式为y=kx+b 且点P(4,2)
∴2=4k+b 即b=2-4k
∴y=kx+2-4k
∵直线OD的表达式为y=2x
y=kx+2-4k
24
2
k x
k
-=
-
∴解之
y=2x
48
2
k y
k
-=
-
∴点H的坐标为（
24
2
k
x
k
-
=
-
，
48
2
k
y
k
-
=
-
）
∴PH与线段AD的交点F（2,2-2k）∴0＜2-2k＜4
∴-1＜k＜1
∴S △
DHF =
12411(422)(2)242222
k k k --+∙-=⨯⨯⨯-
∴解之，得32
k -=。

（2k =舍去）
∴
b=8-∴直线l 的表达式为
8x +-
197、（2010年上海市）24．如图8，已知平面直角坐标系xOy ，抛物
线y ＝－x 2＋bx ＋c 过点A(4,0)、B(1,3) . （1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P(m,n)在第四
象限，点P 关于直线l 的对称点为E ，点E 关于y 轴的对称点为F ，若四边形OAPF 的面积为20，求m 、n 的值.
【解答】
（1）解：将A(4,0)、B(1,3)两点坐标代入抛物线的方程得：
22
44b 0
13
c b c ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩ 解之得：b=4，c=0
所以抛物线的表达式为：24y x x =-+
将抛物线的表达式配方得：()2
2424y x x x =-+=--+
所以对称轴为x=2，顶点坐标为（2，4） （2）点p （m ，n ）关于直线x=2的对称点坐标为点E （4-m ，n ），则点E 关于y 轴对称点为点F 坐标为（4-m,-n ）， 则四边形OAPF 可以分为：三角形OFA 与三角形OAP ，则
OFAP OFA OPA S S S ∆∆=+= 12
OFA S OA n
∆=∙∙+ 1
2
OPA S OA n ∆=
∙∙= 4n =20 所以n =5，因为点P 为第四象限的点，所以n<0，所以n= -5
代入抛物线方程得m=5
198、（2010年上海市）25．如图9，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°.半径为1的圆A 与边AB 相交于点D
，
图8
与边AC 相交于点E ，连结DE 并延长，与线段BC 的延长线交于点P . （1）当∠B ＝30°时，连结AP ，若△AEP 与△BDP 相似，求CE 的长； （2）若CE=2，BD=BC ，求∠BPD 的正切值； （3）若1
tan 3
BPD ∠=，设CE=x ，△ABC 的周长为y ，求y 关于x 的函数关系式.
图9 图10（备用） 图11（备用）
【解答】
（1）解：∵∠B ＝30°∠ACB ＝90°∴∠BAC ＝60° ∵AD=AE ∴∠AED ＝60°=∠CEP ∴∠EPC ＝30°
∴三角形BDP 为等腰三角形 ∵△AEP 与△BDP 相似
∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30° ∴AE=EP=1
∴在RT △ECP 中，EC=12EP=12
（2）过点D 作D Q ⊥AC 于点Q ，且设AQ=a ，BD=x ∵AE=1,EC=2 ∴QC=3-a
∵∠ACB ＝90°
∴△ADQ 与△ABC 相似 ∴AD AQ
AB AC
=
即
113a x =+，∴3
1
a x =
+ ∵在RT △ADQ
中DQ ∵
DQ AD
BC AB
=
∴111
x x x +=
+ 解之得x=4，即BC=4 过点C 作CF//DP
∴△ADE 与△AFC 相似，
F
Q
A
E D P
C
B
∴
AE AD
AC AF =
，即AF=AC ，即DF=EC=2, ∴BF=DF=2 ∵△BFC 与△BDP 相似，∴2142BF BC BD BP ===，即：BC=CP=4，∴tan ∠BPD=21
42
EC CP == (3)过D 点作D Q ⊥AC 于点Q ，则△DQE 与△PCE 相似,设AQ=a ，则QE=1-a ∴
QE DQ
EC CP =
且1tan 3
BPD ∠=，∴()31DQ a =- ∵在Rt △ADQ 中，据勾股定理得：222AD AQ DQ =+ 即：()2
22131a a =+-⎡⎤⎣⎦，解之得4
1()5
a a ==
舍去 ∵△ADQ 与△ABC 相似，∴4
45155AD DQ AQ AB BC AC x x ====++，∴5533,44
x x
AB BC ++== ∴三角形ABC 的周长553313344
x x
y AB BC AC x x ++=++=+++=+，即：33y x =+，其中x>0
199、（2010年天津市）25.（本小题10分）
在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，3OA =，4OB =，D 为边OB 的中点.
（Ⅰ）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；
（Ⅱ）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且2EF =，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标.
第（25）题
25.（本小题10分）
解：（Ⅰ）如图，作点D 关于x 轴的对称点D '，连接CD '与x 轴交于点E ，连接DE .
若在边OA 上任取点E '（与点E 不重合），连接CE '、D E '、DE
''. 由DE CE D E CE CD D E CE DE CE '''''''+=+>=+=+， 可知△CDE 的周长最小.
∵ 在矩形OACB 中，3OA =，4OB =，D 为OB
∴ 3BC =，2D O DO '==，6D B '=. ∵ OE ∥BC ，
∴ Rt △D OE '∽Rt △D BC '，有OE D O
BC D B
'=
'. ∴ 23
16
D O BC O
E D B '⋅⨯=
=='. ∴ 点E 的坐标为（1，0）. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（Ⅱ）如图，作点D 关于x 轴的对称点D '，在CB 边上截取2CG =，连接D G '与x 轴交于点E ，在EA
上截取2EF =.
∵ GC ∥EF ，GC EF =，
∴ 四边形GEFC 为平行四边形，有GE CF =. 又 DC 、EF 的长为定值，
∴ 此时得到的点E 、F 使四边形CDEF 的周长最小. ∵ OE ∥BC ，
∴ Rt △D OE '∽Rt △D BG ', 有 OE D O
BG D B
'=
'. ∴ ()21163D O BG D O BC CG OE D B D B ''⋅⋅-⨯=
===''. ∴ 17
233
OF OE EF =+=+=. ∴ 点E 的坐标为（13
，0），点F 的坐标为（7
3，0）. ．．．．．．．．．．．．．．．10分
200、（2010年天津市）26.（本小题10分）
在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为E .
（Ⅰ）若2b =，3c =，求此时抛物线顶点E 的坐标；
（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC 中满足S △BCE = S △ABC ，求
此时直线BC 的解析式；
（Ⅲ）将（Ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形A B E C 中满足
S △BCE = 2S △AOC ，且顶点E 恰好落在直线43y x =-+上，求此时抛物线的解析式.
26.（本小题10分）
解：（Ⅰ）当2b =，3c =时，抛物线的解析式为223y x x =-++，即2(1)4y x =--+.
∴ 抛物线顶点E 的坐标为（1，4）． ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 （Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，则顶点E 在对称轴1x =上，有2b =，
∴ 抛物线的解析式为22y x x c =-++（0c >）．
∴ 此时，抛物线与y 轴的交点为0( )C c ，，顶点为1( 1)E c +，． ∵ 方程220x x c -++=
的两个根为11x =
21x = ∴ 此时，抛物线与x
轴的交点为10()A
，10()B ． 如图，过点E 作EF ∥CB 与x 轴交于点F ，连接CF ，则S △BCE = S △BCF ． ∵ S △BCE = S △ABC ， ∴ S △BCF = S △ABC ． ∴
BF AB == 设对称轴1x =与x 轴交于点D ，
则1
2DF AB BF =+=
由EF ∥CB ，得EFD CBO ∠=∠． ∴ Rt △EDF ∽Rt △COB ．有ED CO
DF OB
=
． ∴
=
．结合题意，解得 54
c =
． ∴ 点54(0 )C ，，5
2
( 0)B ，．
设直线BC 的解析式为y mx n =+，则 5,450.2n m n ⎧=⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩ 解得 1,2
5.4
m n ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴ 直线BC 的解析式为15
24y x =-+. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（Ⅲ）根据题意，设抛物线的顶点为( )E h k ，，（0h >，0k >）
则抛物线的解析式为2()y x h k =--+， 此时，抛物线与y 轴的交点为2(0 )C h k -+，，
x
与x 轴的交点为0()A h ，0()B h .0h >） 过点E 作EF ∥CB 与x 轴交于点F ，连接CF ， 则S △BCE = S △BCF . 由S △BCE = 2S △AOC ，
∴ S △BCF = 2S △AOC . 得2)BF AO h ==. 设该抛物线的对称轴与x 轴交于点D .
则 1
22
DF AB BF h =
+=. 于是，由Rt △EDF ∽Rt △COB ，有ED CO
DF OB
=
．
∴2
=2220h k -+=．
结合题意，解得 h =
① ∵ 点( )E h k ，在直线43y x =-+上，有43k h =-+． ②
∴ 1=． 有1k =，1
2
h =
． ∴ 抛物线的解析式为23
4
y x x =-++
． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
201、（2010年云南省红河州）22．（本小题满分11分）二次函数2
x y =的图像如图8所示，请将此图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位.
（1）画出经过两次平移后所得到的图像，并写出函数的解析式. （2）求经过两次平移后的图像与x 轴的交点坐标，指出当x 满足什么条件时，函数值大于0？
【解答】
解：画图如图所示： 依题意得：2)1(2
--=x y =2122
-+-x x =122--x x
∴平移后图像的解析式为：122
--x x
x
x
x
（2）当y=0时，122
--x x =0 2)1(2=-x 21±=-x
212121+=-=x x ，
∴平移后的图像与x 轴交与两点，坐标分别为（21-，0）和（21+，0） 由图可知，当x<21-或x>21+时，二次函数2)1(2--=x y 的函数值大于0.
202、（2010年云南省红河州）23.（本小题满分14分）如图9，在直角坐标系xoy 中，O 是坐标原点，点A
在x 正半轴上，OA=312cm ，点B 在y 轴的正半轴上，OB=12cm ，动点P 从点O 开始沿OA 以32cm/s 的速度向点A 移动，动点Q 从点A 开始沿AB 以4cm/s 的速度向点B 移动，动点R 从点B 开始沿BO
以2cm/s 的速度向点O 移动.如果P 、Q 、R 分别从O 、A 、B 同时移动，移动时间为t （0＜t ＜6）s. （1）求∠OAB 的度数.
（2）以OB 为直径的⊙O ‘与AB 交于点M ，当t 为何值时，PM 与⊙O ‘
相切？
（3）写出△PQR 的面积S 随动点移动时间t 的函数关系式，并求s 的最小值及相应的t 值. （4）是否存在△APQ 为等腰三角形，若存在，求出相应的t 值，若不存在请说明理由. 【解答】
解：（1）在Rt △AOB 中： tan ∠OAB=
3
3
31212=
=OA OB ∴∠OAB=30°
（2）如图10，连接O ‘P ，O ‘
M. 当PM 与⊙O ‘相切时，有∠PM O ‘=∠PO O ‘
=90°，
△PM O ‘≌△PO O ‘
由（1）知∠OBA=60°
∵O ‘M= O ‘
B
∴△O ‘
BM 是等边三角形
∴∠B O ‘
M=60°
可得∠O O ‘P=∠M O ‘
P=60°
x
∴OP= O O ‘·tan ∠O O ‘
P =6×tan60°=36
又∵OP=32t ，∴32t=36，t=3 ，即：t=3时，PM 与⊙O ‘
相切. （3）如图9，过点Q 作QE ⊥x 于点E ∵∠BAO=30°，AQ=4t ， ∴QE=
21AQ=2t ， AE=AQ ·cos ∠OAB=4t ×t 322
3= ∴OE=OA-AE=312-32t ，∴Q 点的坐标为（312-32t ，2t ） S △PQR = S △OAB -S △OPR -S △APQ -S △BRQ
=
)32312(22
1
2)32312(21)212(32213121221t t t t t t -⋅-⋅---⋅⋅-⋅⋅ =372336362
+-t t =318)3(362+-t （60＜＜t ） 当t=3时，S △PQR 最小=318 （4）分三种情况：如图11.
○
1当AP=AQ 1=4t 时， ∵OP+AP=312 ∴32t+4t=312
∴t=
2
336+
或化简为t=312-18 ○
2当PQ 2=AQ 2=4t 时 过Q 2点作Q 2D ⊥x 轴于点D ， ∴PA=2AD=2A Q 2·cosA=34t 即32t+34t =312 ，∴t=2 ○
3当PA=PQ 3时，过点P 作PH ⊥AB 于点H AH=PA ·cos30°=（312-32t ）·
2
3
=18-3t AQ 3=2AH=36-6t ，得36-6t=4t ， ∴t=3.6
综上所述，当t=2，t=3.6，t=312-18时，△APQ 是等腰三角形.
203、（2010年云南省昆明市）24．（9分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB = 90°，E是AD 的中点，点P是BC边上的动点（不与点B重合），EP与BD相交于点O.
（1）当P点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE；
（2）设（1）中的相似比为k，若AD︰BC = 2︰3. 请探究：
当k为下列三种情况时，四边形ABPE是什么四边形？
①当k= 1时，是；②当k= 2时，
是；③当k= 3时，
是. 并证明
．．．k= 2时的结论.
【解答】
24．（9分）（1）证明：∵AD∥BC
∴∠OBP = ∠ODE……………1分
在△BOP和△DOE中
∠OBP = ∠ODE
∠BOP = ∠DOE …………………2分
∴△BOP∽△DOE (有两个角对应相等的两
三角形相似)……………3分
（2）①平行四边形…………………4分
②直角梯形…………………5分
③等腰梯形…………………6分
证明：∵k = 2时，BP
2 DE
=
∴ BP = 2DE = AD
又∵AD︰BC = 2︰3 BC = 3
2 AD
PC = BC - BP =3
2
AD - AD =
1
2
AD = ED
ED∥PC , ∴四边形PCDE是平行四边形，∵∠DCB = 90°
∴四边形PCDE是矩形…………………7分
∴∠EPB = 90°…………………8分
又∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC, AB与DC不平行
∴ AE∥BP, AB与EP不平行
四边形ABPE是直角梯形…………9分
204、（2010年云南省昆明市）25．（12分）在平面直角坐标
系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3
，
三点.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P
作⊙M的切线l ，且l与x轴的夹角为30°，若存
在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理
由.（注意：本题中的结果可保留根号）
A
B
D
E
O
【解答】
25．(12分) 解：（1）设抛物线的解析式为：2(0)y ax bx c a =++≠
由题意得：0164093⎧
⎪=⎪⎪
++=⎨⎪
⎪++=⎪⎩
c a b c a b c ……………1分
解得：0a b c =
== ………………2分
∴抛物线的解析式为：2y x =
………………3分 （2）存在 ………………4分
抛物线2y =
的顶点坐标是(2,，作抛物线和⊙M （如图）
， 设满足条件的切线 l 与 x 轴交于点B ，与⊙M 相切于点C ，连接MC ，过C 作CD ⊥ x 轴于D ∵ MC = OM = 2, ∠CBM = 30°, CM ⊥BC ∴∠BCM = 90° ，∠BMC = 60° ，BM = 2CM = 4 , ∴B (-2, 0)， 在Rt △CDM 中，∠DCM = ∠CDM - ∠CMD = 30° ∴DM = 1,
CD =
∴
C (1,
设切线 l 的解析式为:(0)y kx b k =+?，点B 、C 在 l 上，可得：
20
k b k b ⎧+=⎪
⎨
-+=⎪⎩ 解得：
k b ==∴切线BC
的解析式为：33
y x =
+ ∵点P 为抛物线与切线的交点
由2y x x y x ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
解得：11122
x y ⎧
=-⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
226
x y =⎧⎪⎨=
⎪⎩
l ′
∴点P 的坐标为：11(,)22P -
，
2(6,3
P ………………8分 ∵
抛物线299
y x x =
-的对称轴是直线2=x 此抛物线、⊙M 都与直线2=x 成轴对称图形 于是作切线 l 关于直线2=x 的对称直线 l ′(如图) 得到B 、C 关于直线2=x 的对称点B 1、C 1
l ′满足题中要求，由对称性，得到P 1、P 2关于直线2=x 的对称点：
39(2P
，4(P -即为所求的点. ∴这样的点P 共有4
个：11(2P -
，2P
，39(2P
，4(P - ………12分
205、（2010年云南省曲靖市）23.（10分）如图，有一块等腰梯形的草坪，草坪上底长48米，下底长108米，上下底相距40米，现要在草坪中修建一条横、纵向的“H ”型甬道，甬道宽度相等，甬道面积是整
个梯形面积的
2
13
.设甬道的宽为x 米. （1）求梯形ABCD 的周长；
（2）用含x 的式子表示甬道的总长；
（3）求甬道的宽是多少米？
【解答】
解：（1）在等腰梯形ABCD 中，48AD EF ==，
(
)
1
2
1
(10848)23050AE BC DF BC BE CF BC EF AB CD ⊥⊥==-=-=∴===，，
，
，
∴梯形ABCD 的周长=501085048256AB BC CD DA +++=+++=(米). ·
················· 2分 （2）甬道的总长：402482(1282)x x ⨯+-=-米. ····························································· 4分 （3）根据题意，得21
(1282)40(48108)132
x x -=
⨯⨯+. ····················································· 7分 整理，得，2
642400x x -+=，解之得12460x x ==，.因6048>，不符合题意，舍去. 答：甬道的宽为4米. ················································································································ 10分
A D
C
F
E
B
206、（2010年云南省曲靖市）24.（12分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，抛物线2y x =向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2()y x h k =-+.所得抛物线与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为D . （1）求h k 、的值；
（2）判断ACD △的形状，并说明理由；
（3）在线段AC 上是否存在点M ，使AOM △与ABC △相似.若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.
【解答】 解：（1）
2y x =的顶点坐标为（0，0）
， 2()y x h k ∴=-+的顶点坐标(14)D -，
， 1h k ∴=-，=-4. ························································································································ 3分
（2）由（1）得2(1)4y x =+-. 当0y =时，2(1)40x +-=. 1231x x =-=，.
(30)10A B ∴-，，(，). ···················································································································· 4分 当0x =时，22(1)4(01)43y x =+-=+-=-，
C ∴点坐标为()03，- ，又顶点坐标()14
D --，， ·
······················································· 5分 作出抛物线的对称轴1x =-交x 轴于点E . 作DF y ⊥轴于点F .
在Rt AED △中，2
2
2
2420AD =+=； 在Rt AOC △中，2
2
2
3318AC =+=； 在Rt CFD △中，2
2
2
112CD =+=；
222AC CD AD +=，
ACD ∴△是直角三角形. ………7分
（3）存在.
由（2）知，AOC △为等腰直角三角形，45BAC ∠=︒， 连接OM ，过M 点作MG AB ⊥于点G
，AC =①若AOM ABC △∽△，则
AO AM AB AC =
，即34AM ===
MG AB ⊥，222AG MG AM ∴+=
.94
AG MG ∴===， 93344OG AO AG =-=-
=.M 点在第三象限，3944M ⎛⎫
∴-- ⎪⎝⎭
，. ······························ 10分 ②若AOM ACB △∽△，则
x
x
AO AM AC AB =
4AM AM ===，
2AG MG ∴===，
321OG AO AG =-=-=.
M 点在第三象限，()12M ∴--，.
综上①、②所述，存在点M 使AOM △与ABC △相似，且这样的点有两个，其坐标分别为
()391244⎛⎫
---- ⎪⎝⎭
，
，，. ·············································································································· 12分
207、（2010年云南省玉溪市）22. 平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系. （1）如图a ，若AB∥CD，点P 在AB 、CD 外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD 是
△POD 的外角，故∠BOD=∠BPD +∠D，得∠BPD=∠B－∠D．将点P 移到AB 、CD 内部，如图b ，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D 之间有何数量关系？请证明你的结论；
（2）在图b 中，将直线AB 绕点B 逆时针方向旋转一定角度交直线CD 于点Q ，如图c ，则∠BPD﹑∠B
﹑∠D﹑∠BQD 之间有何数量关系？（不需证明）；
（3）根据（2）的结论求图d 中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数．
【解答】
解：（1）不成立，结论是∠BPD=∠B+∠D.
延长BP 交CD 于点E,
∵AB ∥CD. ∴∠B=∠BED. 又∠BPD=∠BED+∠D ，
∴∠BPD=∠B+∠D. …………4分 （2）结论： ∠BPD=∠BQD+∠B+∠D. …………7分 （3）由（2）的结论得：∠AGB=∠A+∠B+∠E. 又∵∠AGB=∠CGF.
∠CGF+∠C+∠D+∠F=360°
∴∠A+∠B+∠C+∠D ∠E+∠
F=360°. …………11分
图c 图
d
图a
O
图b
208、（2010年云南省玉溪市）23．如图10，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1
，△AOB
（1）求点B 的坐标；
（2）求过点A 、O 、B 的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△AOC
的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在（2）中x 轴下方的抛物线上是否存在一点P ，过点
P 作x 轴的垂线，交直线AB 于点D ，线段OD 把△AOB 分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形BPOD 面积比为2：3 ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】
解：（1）由题意得: 2.OB 33OB 2
1=∴=⋅，
∴B （－2，0） …………3分
（2）设抛物线的解析式为y=ax(x+2)，代入点A （
，得a =
，
∴2y x =
+ …………6分 （3）存在点C.过点A 作AF 垂直于x 轴于点F ，抛物线
的对称轴x= - 1交x 轴于点E.当点C 位于对称轴 与线段AB 的交点时，△AOC 的周长最小.
∵ △BCE ∽△BAF,
).
3
3
C(-1,.3
3BF AF
BE CE .AF
CE
BF BE ∴=⋅=
∴= …………9分 （4）存在. 如图，设p(x,y)，直线AB 为y=kx+b,则
20.k k b k b b ⎧=⎪⎧+⎪⎪⎨⎨
-+=⎪⎩⎪
=⎪⎩
解得，
∴直线AB
为y =
+ BO D BPO BPO D S S S ∆∆+=四 = 12|OB||Y P |+1
2
|OB||Y D |=|Y P |+|Y D |
=
2x ∵S △AOD = S △AOB -S △BOD =3-
21×2×∣33x+332∣=-33x+3
3
. ∴OD
B OD S S
P A 四∆=3
3233-33-33332+
+-
x x x =32. ∴x 1=-
2
1
, x 2=1(舍去). ∴p(-21,-4
3) .
又∵S △BOD =
33x+3
3
2, ∴OD
B BOD S S
P 四∆ =3
3233333
3
2332+--+
x x x = 3
2. ∴x 1=-
2
1
, x 2=-2. P(-2,0)，不符合题意. ∴ 存在，点P 坐标是（-
21，-4
3）. …………12分
209、（2010年云南省昭通市）22．（11分）在如图8所示的方
格图中，每个小正方形的顶点称为“格点”，且每个小正方形的边长均为1个长度单位，以格点为顶点的图形叫做“格点图形”，根据图形解决下列问题：
（1） 图中格点A B C '''△是由格点ABC △通过怎样变换得
到的？
（2） 如果建立直角坐标系后，点A 的坐标为（5-，2），点
B 的坐标为(50)-，，请求出过A 点的正比例函数的解析
式，并写出图中格点DEF △各顶点的坐标．
【解答】
22．解：（1）格点A B C '''△是由格点ABC △先绕点B 逆时针旋转90°，然后向右平移13个长度单位（或格）得到的． ······························································································································· 4分 （注：先平移后旋转也行）
（2）设过A 点的正比例函数解析式为y kx =， 将(52)A -，代入上式得，25k =-，2
5
k =-
． ∴过A 点的正比例函数的解析式为2
5
y x =-． ····································································· 8分 DEF △各顶点的坐标为：
(24)(08)(77)D E F ---，，，，，． ······················································································· 11分
210、（2010年云南省昭通市）23．（14分）如图9，已知直线l 的解析式为6y x =-+，它与x 轴、y 轴
分别相交于A 、B 两点，平行于直线l 的直线n 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒，运动过程中始终保持n l ∥，直线n 与x 轴，y 轴分别相交于C 、D 两点，线段CD 的中点为P ，以P 为圆心，以CD 为直径在CD 上方作半圆，半圆面积为S ，当直
线n 与直线l 重合时，运动结束． （1） 求A 、B 两点的坐标；
（2） 求S 与t 的函数关系式及自变量t 的取值范围； （3） 直线n 在运动过程中，
①当t 为何值时，半圆与直线l 相切？ ②是否存在这样的t 值，使得半圆面积1
2
ABCD S S =
梯形？若存在，求出t 值，若不存在，说明理由． 【解答】 23．解：（1）
6y x =-+，
令0y =，得06x =-+，6x =，(60)A ∴，
． 令0x =，得6y =，(06)B ∴，． ····························································································· 2分
图9（1）
图9（2）备用图
（2）
6OA OB ==，
AOB ∴△是等腰直角三角形． n l ∥，
45CDO BAO ∴∠=∠=°， COD ∴△为等腰直角三角形， OD OC t ∴==．
CD ===．
122
PD CD ∴==，
2
22
111πππ2224
S PD t ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭·，
21
π(06)4
S t t ∴=<≤． ·········································································································· 8分
（3）①分别过D 、P 作DE AB ⊥于E 、PF AB ⊥于F ．
6AD OA OD t =-=-，
在Rt ADE △中，sin DE EAD AD ∠=
，(6)DE t =-，
)PF DE t ∴==
-． 当PF PD =时，半圆与l 相切．
即
)22
t -=，3t =． 当3t =时，半圆与直线l 相切． ····························································································· 11分
②存在．2111
6618222
AOB COD ABCD S S S t t t =-=⨯⨯-⨯=-△△梯形·．
2
1π4
S t =
． 若12ABCD S S =
梯形，则22111π18422t t ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，2(π1)36t +=，
236
1t π=
+， 6t ==<．
∴存在π1
t =
+，使得12ABCD S S =梯形．········································································· 14分
211、（2010年重庆市）25．今年我国多个省市遭受严重干旱，受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈
上升趋势，其前四周每周的平均销售价格变化如下表：
/千克）从5月第1周的2.8元/千
克下降至第2周的2.4元/千克，且y 与周数x 的变化情况满足二次函数y ＝－ 1
20 x 2＋bx ＋c . （1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出4月份y 与x
的函数关系式，并求出5月份y 与x 的函数关系式；
（2）若4月份此种蔬菜的进价m （元/千克）与周数x 所满足的函数关系为m ＝ 1
4 x ＋1.2，5月份此种
蔬菜的进价m （元/千克）与周数x 所满足的函数关系为m ＝5
1
x ＋2．试问4月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？
（3）若5月份的第2周共销售100吨此种蔬菜．从5月份的第3周起，由于受暴雨的影响，此种蔬菜的
可供销量将在第2周销量的基础上每周减少a %，政府为稳定蔬菜价格，从外地调运2吨此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜的销售价格比第2周仅上涨0.8 a %．若在这一举措下，此种蔬菜在第3周的总销售额与第2周刚好持平，请你参考以下数据，通过计算估算出a 的整数值． （参考数据：372＝1369，382＝1444，392＝1521，402＝1600，412＝1681） 【解答】
212、（2010年重庆市）26．已知：如图（1），在平面直角坐标xOy中，边长为
2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC＝AC，∠C＝120°．现有两动点P、Q 分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止.
（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；
（2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；
（3）如图（2），现有∠MCN＝60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、
N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否
发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．
【解答】
213、（2010年重庆市潼南县）26.（12分）如图, 已知抛物线c bx x y ++=
2
2
1与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，-1）. （1）求抛物线的解析式；
（2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积最大时，求点D
的坐标；
（3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说
明理由.
【解答】
26. 解：（1）∵二次函数c bx x y ++=
2
2
1的图像经过点A （2，0）C(0,－1) ∴⎩⎨
⎧-==++1
22c c b
解得： b =－
2
1
c =－1-------------------2分 ∴二次函数的解析式为12
1
212--=x x y --------3分
（2）设点D 的坐标为（m ，0） （0＜m ＜2）
∴ OD =m ∴AD =2-m 由△AD E ∽△AOC 得，OC
DE
AO AD = --------------4分 ∴
122DE
m =- ∴DE =2
2m ------------------------------------5分
∴△CDE 的面积=2
1×22m
-×m
题图
26备用图
=2
42m
m +-=41)1(412+--m
当m =1时，△CDE 的面积最大
∴点D 的坐标为（1，0）--------------------------8分 （3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为12
1
212--=
x x y 设y=0则12
1
2102--=
x x 解得：x 1=2 x 2=－1 ∴点B 的坐标为（－1，0） C （0，－1）
设直线BC 的解析式为：y =kx ＋b ∴ ⎩⎨
⎧-==+-1
b b k 解得：k =-1 b =-1
∴直线BC 的解析式为: y =－x －1
在Rt △AOC 中，∠AOC=900
OA=2 OC=1
由勾股定理得：AC=5 ∵点B(－1,0) 点C （0，－1） ∴OB=OC ∠BCO=450
①当以点C 为顶点且PC=AC=5时， 设P(k , －k －1)
过点P 作PH ⊥y 轴于H ∴∠HCP=∠BCO=450
CH=PH=∣k ∣ 在Rt △PCH 中 k 2+k 2=
()2
5 解得k 1
=
210， k 2=－2
10 ∴P 1（
210，－1210-） P 2（－210，12
10
-）---10分 ②以A 为顶点，即AC=AP=5
设P(k , －k －1)
过点P 作PG ⊥x 轴于G
AG=∣2－k ∣ GP=∣－k －1∣ 在Rt △APG 中 AG 2＋PG 2=AP 2
（2－k )2+(－k －1)2=5 解得：k 1=1,k 2=0(舍)
∴P 3(1, －2) ----------------------------------11分 ③以P 为顶点，PC=AP 设P(k , －k －1) 过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q PL ⊥x 轴于点L ∴L(k ,0)
PQ=CQ=k ，由勾股定理知，CP=PA=2k ，∴AL=∣k -2∣, PL=｜－k －1｜
在Rt △PLA 中 ，(2k)2=(k －2)2＋(k ＋1)2 解得：k =
25∴P 4(25,－2
7
) ------------------------12分 综上所述： 存在四个点：P 1（
210，－12
10
-） P 2（-
210，12
10
-） P 3(1, －2) P 4(25,－27)
214、（2010年重庆市綦江县）26．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)经过点B (12，0)和C (0，－6)，对称
轴为x ＝2．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)点D 在线段AB 上且AD ＝AC ，若动点P 从A 出发沿线段
AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一个动
点Q 以某一速度从C 出发沿线段CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ 被直线CD 垂直平分？若存在，
请求出此时的时间t (秒)和点Q 的运动速度；若存在，
请说明理由．
(3)在(2)的结论下，直线x ＝1上是否存在点M ，使△MPQ
为等腰三角形？若存在，请求出所有点M 的坐标；若存在，请说明理由．
【解答】
215、（2010年新疆乌鲁木齐市）23.（本题满分10分）已知二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象经过
(00)(1)O M ，，，1和N(n ，0)（n ≠0）三点.
（1）若该函数图象顶点恰为点M ，写出此时n 的值及y 的最大值；
（2）当2n =-时，确定这个二次函数的解析式，并判断此时y 是否有最大值； （3）由（1）、（2）可知，n 的取值变化，会影响该函数图象的开口方向.请你求出n 满足
什么条件时，y 有最小值？
23.解：（1）由二次函数图象的对称性可知2n =；y 的最大值为1. ········································ 2′
（2）由题意得：1420a b a b +=⎧⎨-=⎩，解这个方程组得：13
23a b ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
故这个二次函数的解析式为212
33
y x x =+ ··························································· 5′ ∵
1
03
> ∴y 没有最大值. ··················································································· 6′ （3）由题意，得21
0a b an bn +=⎧⎨+=⎩
，整理得：()210an a n +-= ····································· 8′
∵0n ≠ ∴10an a +-= 故()11n a -=，
而1n ≠ 若y 有最小值，则需0a > ∴10n -> 即1n <
∴1n <时，y 有最小值. ··························································································· 10′
216、（2010年新疆乌鲁木齐市）24.（本题满分12分）如图9，边长为5的正方形OABC 的顶点O 在坐标
原点处，点A C 、分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点E 是OA 边上的点（不与点A 重合），EF CE ⊥，且与正方形外角平分线AC 交于点P .
（1）当点E 坐标为(30)，
时，试证明CE EP =； （2）如果将上述条件“点E 坐标为（3，0）”改为“点E 坐标为（t ，0）（0t >）”，结论
CE EP =是否仍然成立，请说明理由； （3）在y 轴上是否存在点M ，使得四边形BMEP 是平行四边形？若存在，用t 表示点M
的坐标；若不存在，说明理由.
B
P
G 图9
O F
A
E
C y。