山东省菏泽市郓城高级中学2018-2019学年高一数学理下学期期末试卷含解析

山东省菏泽市郓城高级中学2018-2019学年高一数学理
下学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为
，则直线的倾斜角的取值范围是（）
参考答案：
D
2. 已知函数是定义在上的偶函数，在上是单调函数，且
，则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
参考答案：
D
3. 若为第三象限角，则2不可能在第象限。

参考答案：
略
4. 如果函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上是减函数，那么实数a的取值范围是( )．
A．a≤2B．a＞3 C．2≤a≤3 D．a≥3
参考答案：
D
5. 若，则有()
A．B．C．D．
参考答案：
D
6. 如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）
A．异面直线AC1与CB所成的角为45°
B．BD∥平面CB1D1
C．平面A1BD∥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为45°
参考答案：
A
【考点】棱柱的结构特征．
【分析】利用正方体的性质，利用线线平行的判定，线面平行、垂直的判定和性质，逐一分析研究各个选项的正确性．
【解答】解：对于A，异面直线AC1与CB所成的角为∠DAC1，不等于45°，不正确；
由正方体的性质得，BD∥B1D1，所以，BD∥平面CB1D1；故B正确；
对于C，∵A1D∥B1C，A1B∥D1C，
A1D∩A1B=A1，
A1D?平面A1BD，A1B?平面A1BD，
B1C?平面CB1D1，D1C?平面CB1D1，
∴平面A1BD∥平面CB1D1．故C正确．
对于D，异面直线AD与CB1所成角就是BC与CB1所成角，故∠BCB1为异面直线AD与CB1所成角，
等腰直角三角形BCB1中，∠BCB1=45°，故D正确．
故选：A．
7. 三个数50.4 ，0.45 ，log0.45的大小顺序是（）
A．0.45＜log0.45＜50.4 B. 0.45＜50.4＜log0.45
C. log0.45＜50.4＜0.45
D. log0.45＜0.45＜
50.4
参考答案：
D
略
8. 下列向量组中,可以把向量表示出来的是（）
A．
B．
C．
D．
参考答案：
D
试题分析：由题意得，设，即，解得
，即，故选D．
考点：平面向量的基本定理．
9. 如图，在△AOB中，点，点E在射线OB上自O开始移动，设,过
E作OB的垂线l，记△AOB在直线l左边部分的面积S，则函数的图象是
（）
A. B.
C. D.
参考答案：
D
10. 设，，则下列各式中成立的是（）
A． B．
C． D．
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知正三棱柱的底面边长为,高为,则一质点自点出发,沿着,三棱柱的侧面绕行两周到达的最短路线的长为__________.
参考答案：
13
略
12. （10分）已知函数f（x）=log a（a﹣a x）（a＞1），求f（x）的定义域和值域．
参考答案：
（﹣∞，1）;（﹣∞，1）.
考点：函数的定义域及其求法；函数的值域．
专题：函数的性质及应用．
分析：由对数函数的真数大于0，求解指数不等式可得函数的定义域；根据a x＞0，得到0＜a﹣a x＜a，再由a＞1，求解对数不等式得到函数的值域．
解答：由a﹣a x＞0，得：a x＜a，再由a＞1，解得x＜1．
所以，函数f（x）=log a（a﹣a x）（a＞1）的定义域为（﹣∞，1）．
令a﹣a x=t，则y=f（x）=log a（a﹣a x）=log a t．
因为a x＞0，所以0＜a﹣a x＜a，即0＜t＜a．
又a＞1，所以y=log a t＜log a a=1．
即函数f（x）=log a（a﹣a x）（a＞1）的值域为（﹣∞，1）．
点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了指数函数和对数函数的性质，是基础题．
13. 若表示直线上方的平面区域，则的取值范围是 .
参考答案：
（1,2）
略
14. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
根据上表可得回归方程中的为9．4，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为万元．
参考答案：
103.1
略
15. 若一个三角形的三边为连续自然数，且最大角是最小角的两倍，则此三角形的面积为_．
参考答案：
【分析】
设三角形三边是连续的三个自然数，三个角分别为，由正弦定
理，求得，再由余弦定理，化简可得，解得，得到三角形的三边边长分别为，进而可求解三角形的面积．
【详解】设三角形三边是连续的三个自然数，三个角分别为，由正弦定理可得，所以，
再由余弦定理可得，化简可得，解得或（舍去），
所以，故三角形的三边边长分别为，
又由余弦定理可得的，所以，
所以三角形的面积为．
【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理，以及二倍角公式的应用，其中解答中根据正弦、余弦定理建立三角形的边角关系，求得三角形的边长是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
16. 已知函数f（x）=，若a＜b＜c且f（a）=f（b）=f（c），则（ab+2）c的取值范围是．
参考答案：
（27，81）
【考点】分段函数的应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】利用a＜b＜c且f（a）=f（b）=f（c），得出ab=1，3＜c＜4即可求出（ab+2）c的取值范围．
【解答】解：由题意，∵f（a）=f（b）=f（c），
∴﹣log3a=log3b=﹣c+4
∴ab=1，0＜﹣c+4＜1
∴3＜c＜4
即（ab+2）c的取值范围是（27，81）．
故答案为：（27，81）．
【点评】本题考查分段函数的运用，考查学生的计算能力，正确运用分段函数是关键．
17. 函数在上是减函数,则实数的取值范围是
________.
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f（x）=log2（1+x）+alog2（1﹣x）（a∈R）的图象关于y轴对称．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求a的值；
（3）若函数g（x）=x﹣2f（x）﹣2t有两个不同的零点，求实数t的取值范围．
参考答案：
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】（1）由对数函数的定义即可求出函数的定义域，
（2）根据偶函数的性质，即可求出a的值，
（3）解法一：根据函数零点定理可得关于t的方程组，解得即可，解法二：分别作出函数y=x2+x﹣1（﹣1＜x＜1）和y=2t的图象，由图象可得．
【解答】解：（1）由解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为（﹣1，1）．
（2）依题意，可知f（x）为偶函数，所以f（﹣x）=f（x），即log2（1﹣x）+alog2（1+x）=log2（1+x）+alog2（1﹣x），
即（a﹣1）[log2（1+x）﹣log2（1﹣x）]=0，即在（﹣1，1）上恒成立，所以a=1．
（3）解法一：由（2）可知，
所以g（x）=x2+x﹣1﹣2t，它的图象的对称轴为直线．
依题意，可知g（x）在（﹣1，1）内有两个不同的零点，
只需，解得．
所以实数t的取值范围是．
解法二：由（2）可知，
所以g（x）=x2+x﹣1﹣2t．
依题意，可知g（x）在（﹣1，1）内有两个不同的零点，即方程2t=x2+x﹣1在（﹣1，
1）内有两个不等实根，
即函数y=2t和y=x2+x﹣1在（﹣1，1）上的图象有两个不同的交点．
在同一坐标系中，分别作出函数y=x2+x﹣1（﹣1＜x＜1）和y=2t的图象，如图所示．
观察图形，可知当，即时，两个图象有两个不同的交点．所以实数t的取值范围是．
19. 如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，AP⊥平面ABC，且AP=AB，点D是PB的中点，点E是PC上的一点，
（1）当DE∥BC时，求证：直线PB⊥平面ADE；
（2）当DE⊥PC时，求证：直线PC⊥平面ADE；
（3）当AB=BC时，求二面角A﹣PC﹣B的大小．
参考答案：
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．
【专题】计算题；规律型；空间位置关系与距离；空间角．
【分析】（1）证明AP⊥BC，AB⊥BC，推出BC⊥平面PAB，得到BC⊥PB，DE⊥PB，即可证明PB⊥平面ADE．
（2）证明BC⊥AD，AD⊥PC，结合DE⊥PC，即可证明PC⊥平面ADE．
（3）说明∠AED是二面角A﹣PC﹣B的平面角，设AP=a，则AB=BC=a，在Rt△ADE中，可求得∠AED=60°，得到二面角A﹣PC﹣B的大小．
【解答】（1）证：∵AP=AB，点D是PB的中点，∴AD⊥PB，
∵AP⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴AP⊥BC，∵AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，
∵PB?平面PAB，∴BC⊥PB，
∵DE∥BC，∴DE⊥PB，∴PB⊥平面ADE．（4′）
（2）证：∵BC⊥平面PAB，AD?平面PAB，∴BC⊥AD，
又AD⊥PB，∴AD⊥平面PBC，∵PC?平面PBC，
∴AD⊥PC，
又DE⊥PC，∴PC⊥平面ADE．（7′）
（3）解：由（2）可知，当DE⊥PC时，PC⊥平面ADE，
∴∠AED是二面角A﹣PC﹣B的平面角．（8′）
设AP=a，则AB=BC=a，，，（9′）
∵AD⊥平面PBC，DE?平面PBC，∴AD⊥DE，
在Rt△ADE中，可求得，，，（10′）
∴，∴∠AED=60°，
∴二面角A﹣PC﹣B的大小为600．（12′）
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
20. 如图，四棱锥，底面是等腰梯形，
交于. ks5u
（1）若平面，求证：面平面；
（2）点分别在上，，求证：平面.
参考答案：
解题思路：（1）只要证明即可；ks5u
（2）连交于，只要证明，就能得到，本题即得证.
略
21. 假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：
（Ⅰ）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；
（Ⅱ）这两种品牌产品中，，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率参考答案：
（1）；（2）.
点评：此题主要考察随机事件，随机事件的概率，用频率估计概率，考察数据处理能力和运算能力.
22. 某地为增强居民的传统文化意识，活跃节日氛围，在元宵节举办了猜灯谜比赛，现从参加比赛的选手中随机抽取200名后按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45），得到的频率分布直方图如图所示．
（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取12名选手参加传统知识问答比赛，则应从第3，4，5组各抽取多少名选手？
（2）在（1）的条件下，该地决定在第4，5组的选手中随机抽取2名选手介绍比赛感想，求第5组至少有一名选手被抽中的概率．
参考答案：
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．
【分析】（1）先分别求出这3组的人数，再利用分层抽样的方法即可得出答案；
（2）利用古典概型的概率计算公式、互斥事件及相互独立事件的概率计算公式即可得出．
【解答】解：（1）第3组的人数为0.3×200=60，第4组的人数为0.2×200=40，第5组的人数为0.1×200=20，则第3，4，5组共有120名志愿者，所以利用分层抽样的方法在120
名志愿者中抽取12名志愿者，每组抽取的人数分别为第3组；第4组
；第5组，所以应从第3，4，5组中分别抽取6人，4人，2人．（2）记第4组的4名志愿者为a，b，c，d，第5组的2名志愿者为A，B，则从6名志愿者中抽取2名志愿者有ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB，共15种，其中第5组的2名志愿者A，B中至少有一名志愿者被抽中的有aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB，共9种，所以第5组至少有一名志愿者被抽中的概率
为．。