2024届福建省南平三中学中考数学模试卷含解析

2024届福建省南平三中学中考数学模试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．由五个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是( )
A．B．
C．D．
2．如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠BAC的平分线交BD于E，交BC于F，BH⊥AF于H，
交AC于G，交CD于P，连接GE、GF，以下结论：①△OAE≌△OBG；②四边形BEGF是菱形；③BE＝CG；④PG
2 AE
﹣1；⑤S△PBC：S△AFC＝1：2，其中正确的有（）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
3．河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为13，则AB的长为
A．12米B．43米C．53米D．63米
4．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是( )
A．CB＝CD B．∠BCA＝∠DCA
C．∠BAC＝∠DAC D．∠B＝∠D＝90°
5．如图，甲、乙、丙图形都是由大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数．其中主视图相同的是( )
A．仅有甲和乙相同B．仅有甲和丙相同
C．仅有乙和丙相同D．甲、乙、丙都相同
6．2014年我省财政收入比2013年增长8.9%，2015年比2014年增长9.5%，若2013年和2015年我省财政收入分别为a亿元和b亿元，则a、b之间满足的关系式为（）
A．B．
C．D．
7．钟鼎文是我国古代的一种文字，是铸刻在殷周青铜器上的铭文，下列钟鼎文中，不是轴对称图形的是( ) A．B．C．D．
8．“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动．如图所示是一个陀螺的立体结构图．已知底面圆的直径AB＝8 cm，圆柱的高BC＝6 cm，圆锥的高CD＝3 cm，则这个陀螺的表面积是()
A ．68π cm 2
B ．74π cm 2
C ．84π cm 2
D ．100π cm 2
9．如图，等腰三角形ABC 底边BC 的长为4 cm ，面积为12 cm 2，腰AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交AC 于点F ，若D 为BC 边上的中点，M 为线段EF 上一点，则△BDM 的周长最小值为( )
A ．5 cm
B ．6 cm
C ．8 cm
D ．10 cm
10．下图是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A ．棱柱
B ．圆柱
C ．棱锥
D ．圆锥 11．将抛物线()2y x 13=-+向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（ ）
A ．()2y x 2=-
B ．()2y x 26=-+
C ．2y x 6=+
D ．2y x =
12．如图，已知双曲线(0)k y k x
=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为
A ．12
B ．9
C ．6
D ．4
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3h，若静水时船速为26km/h，水速为2km/h，则A 港和B港相距_____km．
14．如图，A、B是双曲线y=k
x
上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若D为OB的中点，△ADO
的面积为3，则k的值为_____．
15．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CA=4，点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段即把图形APCB （指半圆和三角形ABC组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是_____．
16．已知一组数据－3，x，－2，3，1，6的众数为3，则这组数据的中位数为______．
17．在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，A点的坐标为（a，a），如图，
若曲线y＝2
x
（x＞0）与此正方形的边有交点，则a的取值范围是_______．
18．据国家旅游局数据中心综合测算，2018年春节全国共接待游客3.86亿人次，将“3.86亿”用科学计数法表示，可记为____________．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）绵阳某公司销售统计了每个销售员在某月的销售额，绘制了如下折线统计图和扇形统计图：
设销售员的月销售额为x （单位：万元）。

销售部规定：当x<16时，为“不称职”，当 1620x ≤<时为“基本称职”，
当2025x <≤ 时为“称职”，当25x ≥ 时为“优秀”.根据以上信息，解答下列问题：
补全折线统计图和扇形统计图； 求所有“称职”和“优秀”的销售员销售额的中位数和众数； 为了调动销售员的积极性，销售部决定制定一个月销售额奖励标准，凡月销售额达到或超过这个标准的销售员将获得奖励。

如果要使得所有“称职”和“优秀”的销售员的一半人员能获奖，月销售额奖励标准应定为多少万元（结果去整数）？并简述其理由.
20．（6分）如图1，四边形ABCD 中，AB BC ⊥，//AD BC ，点P 为DC 上一点，且AP AB =，分别过点A 和点C 作直线BP 的垂线，垂足为点E 和点F ．
()1证明：ABE ∽BCF ； ()2若34AB BC =，求BP CF 的值；
()3如图2，若AB BC =，设DAP ∠的平分线AG 交直线BP 于.G 当1CF =，74
PD PC =时，求线段AG 的长．
21．（6分）如图1，在菱形ABCD 中，AB ＝65，tan ∠ABC ＝2，点E 从点D 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA 的方向匀速运动，设运动时间为t （秒），将线段CE 绕点C 顺时针旋转一个角α（α＝∠BCD ），得到对应线段CF ．
（1）求证：BE ＝DF ；
（2）当t ＝ 秒时，DF 的长度有最小值，最小值等于 ；
（3）如图2，连接BD 、EF 、BD 交EC 、EF 于点P 、Q ，当t 为何值时，△EPQ 是直角三角形？
22．（8分）计算:2344(1)11
x x x x x ++-+÷++. 23．（8分）如图，AB 为O 的直径，4AB ＝，P 为AB 上一点，过点P 作O 的弦CD ，设BCD m ACD ∠=∠．
（1）若2m =时，求BCD ∠、ACD ∠的度数各是多少？
（2）当2323
AP PB -=+时，是否存在正实数m ，使弦CD 最短？如果存在，求出m 的值，如果不存在，说明理由； （3）在（1）的条件下，且
12AP PB =，求弦CD 的长． 24．（10分）某化工材料经销公司购进一种化工材料若干千克，价格为每千克40元，物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克40元．经市场调查发现，日销量y(千克)是销售单价x(元)的一次函数，且当x ＝70时，y ＝80；x ＝60时，y ＝1．在销售过程中，每天还要支付其他费用350元．求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；求该公司销售该原料日获利w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大利润是多少元？
25．（10分）如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，点D 为BC 边上的点，AB=BD ，反比例函数()0k y k x =≠在第一象限内的图象经过点D （m ，2）和AB 边上的点E （n ，23
）． （1）求m 、n 的值和反比例函数的表达式．
（2）将矩形OABC 的一角折叠，使点O 与点D 重合，折痕分别与x 轴，y 轴正半轴交于点F ，G ，求线段FG 的长．
26．（12分）如图，△ABD 是⊙O 的内接三角形，E 是弦BD 的中点，点C 是⊙O 外一点且∠DBC ＝∠A ，连接OE 延长与圆相交于点F ，与BC 相交于点C ．求证：BC 是⊙O 的切线；若⊙O 的半径为6，BC ＝8，求弦BD 的长．
27．（12分）一件上衣，每件原价500元，第一次降价后，销售甚慢，于是再次进行大幅降价，第二次降价的百分率是第一次降价的百分率的2倍，结果这批上衣以每件240元的价格迅速售出，求两次降价的百分率各是多少．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、D
【解题分析】
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有看到的棱都应表现在主视图中．
【题目详解】
解：从正面看第一层是二个正方形，第二层是左边一个正方形．
故选A ．
【题目点拨】
本题考查了简单组合体的三视图的知识，解题的关键是了解主视图是由主视方向看到的平面图形，属于基础题，难度不大．
2、C
【解题分析】
根据AF 是∠BAC 的平分线，BH ⊥AF ，可证AF 为BG 的垂直平分线，然后再根据正方形内角及角平分线进行角度转换证明EG ＝EB ，FG ＝FB ，即可判定②选项；设OA ＝OB ＝OC ＝a ，菱形BEGF 的边长为b ，由四边形BEGF 是菱形转换得到CF 2GF 2BF ，由四边形ABCD 是正方形和角度转换证明△OAE ≌△OBG ，即可判定①；则△GOE 是等腰直角三角形，得到GE 2OG ，整理得出a ，b 的关系式，再由△PGC ∽△BGA ，得到BG PG
＝2，从而判断得出④；得出∠EAB ＝∠GBC 从而证明△EAB ≌△GBC ，即可判定③；证明△FAB ≌△PBC 得到BF ＝CP ，即可求出PBC AFC S S ，从而判断⑤.
【题目详解】
解：∵AF 是∠BAC 的平分线，
∴∠GAH ＝∠BAH ，
∵BH ⊥AF ，
∴∠AHG ＝∠AHB ＝90°，
在△AHG 和△AHB 中
GAH BAH AH AH
AHG AHB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AHG ≌△AHB （ASA ），
∴GH ＝BH ，
∴AF 是线段BG 的垂直平分线，
∴EG ＝EB ，FG ＝FB ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠BAF ＝∠CAF ＝12
×45°＝22.5°，∠ABE ＝45°，∠ABF ＝90°， ∴∠BEF ＝∠BAF+∠ABE ＝67.5°，∠BFE ＝90°﹣∠BAF ＝67.5°，
∴∠BEF ＝∠BFE ，
∴EB ＝FB ，
∴EG ＝EB ＝FB ＝FG ，
∴四边形BEGF 是菱形；②正确；
设OA ＝OB ＝OC ＝a ，菱形BEGF 的边长为b ，
∵四边形BEGF 是菱形，
∴GF ∥OB ，
∴∠CGF ＝∠COB ＝90°，
∴∠GFC ＝∠GCF ＝45°，
∴CG ＝GF ＝b ，∠CGF ＝90°，
∴CF
GF
BF ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴OA ＝OB ，∠AOE ＝∠BOG ＝90°，
∵BH ⊥AF ，
∴∠GAH+∠AGH ＝90°＝∠OBG+∠AGH ，
∴∠OAE ＝∠OBG ，
在△OAE 和△OBG 中
OAE OBG OA OB
AOE BOG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△OAE ≌△OBG （ASA ），①正确；
∴OG ＝OE ＝a ﹣b ，
∴△GOE 是等腰直角三角形，
∴GE
OG ，
∴b
（a ﹣b ），
整理得a
＝22
+， ∴AC ＝2a ＝（
）b ，AG ＝AC ﹣CG ＝（
）b ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴PC ∥AB ， ∴BG PG ＝AG C G
＝
， ∵△OAE ≌△OBG ，
∴AE ＝BG ， ∴AE PG
＝
， ∴
PG AE
＝1
，④正确； ∵∠OAE ＝∠OBG ，∠CAB ＝∠DBC ＝45°，
∴∠EAB ＝∠GBC ，
在△EAB 和△GBC 中
EAB GBC AB BC
ABE BCG 45︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩
， ∴△EAB ≌△GBC （ASA ），
∴BE ＝CG ，③正确；
在△FAB 和△PBC 中
FAB PBC AB BC
ABF BCP 90︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩
， ∴△FAB ≌△PBC （ASA ），
∴BF ＝CP ， ∴PBC AFC S S ＝1212
BC CP AB CF ⋅⋅＝CP CF
＝2，⑤错误； 综上所述，正确的有4个，
故选：C ．
【题目点拨】
本题综合考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形，菱形的判定与性质等四边形的综合题．该题难度较大，需要学生对有关于四边形的性质的知识有一系统的掌握．
3、A
【解题分析】
试题分析：在Rt △ABC 中，BC=6
米，BC AC =，∴
.
∴
AB 12===（米）.故选A. 【题目详解】
请在此输入详解！
4、B
【解题分析】
由图形可知AC ＝AC ，结合全等三角形的判定方法逐项判断即可.
【题目详解】
解：在△ABC 和△ADC 中
∵AB ＝AD ，AC ＝AC ，
∴当CB ＝CD 时，满足SSS ，可证明△ABC ≌△ACD ，故A 可以；
当∠BCA ＝∠DCA 时，满足SSA ，不能证明△ABC ≌△ACD ，故B 不可以；
当∠BAC ＝∠DAC 时，满足SAS ，可证明△ABC ≌△ACD ，故C 可以；
当∠B＝∠D＝90°时，满足HL，可证明△ABC≌△ACD，故D可以；
故选：B.
【题目点拨】
本题考查了全等三角形的判定方法，熟练掌握判定定理是解题关键.
5、B
【解题分析】
试题分析：根据分析可知，甲的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，2；乙的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，1；丙的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，2；则主视图相同的是甲和丙．
考点：由三视图判断几何体；简单组合体的三视图．
6、C
【解题分析】
根据2013年我省财政收入和2014年我省财政收入比2013年增长8.9%，求出2014年我省财政收入，再根据出2015年比2014年增长9.5%，2015年我省财政收为b亿元，
即可得出a、b之间的关系式．
【题目详解】
∵2013年我省财政收入为a亿元，2014年我省财政收入比2013年增长8.9%，
∴2014年我省财政收入为a（1+8.9%）亿元，
∵2015年比2014年增长9.5%，2015年我省财政收为b亿元，
∴2015年我省财政收为b=a（1+8.9%）（1+9.5%）；
故选C．
【题目点拨】
此题考查了列代数式，关键是根据题意求出2014年我省财政的收入，是一道基础题．
7、A
【解题分析】
根据轴对称图形的概念求解．
解：根据轴对称图形的概念可知：B，C，D是轴对称图形，A不是轴对称图形，
故选A．
“点睛”本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
8、C
【解题分析】
试题分析：∵底面圆的直径为8cm，高为3cm，∴母线长为5cm，∴其表面积=π×4×5+42π+8π×6=84πcm2，故选C．
考点：圆锥的计算；几何体的表面积．
9、C
【解题分析】
连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【题目详解】
如图，连接AD．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=1
2
BC•AD=
1
2
×4×AD=12，解得：AD=6（cm）．
∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM+MD的最小值，∴△BDM
的周长最短=（BM+MD）+BD=AD+1
2
BC=6+
1
2
×4=6+2=8（cm）．
故选C．
【题目点拨】
本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．10、D
【解题分析】
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【题目详解】
由俯视图易得几何体的底面为圆，还有表示锥顶的圆心，符合题意的只有圆锥．
故选D．
【题目点拨】
本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力以及对立体图形的认识．11、D
【解题分析】
根据“左加右减、上加下减”的原则，
将抛物线()2y x 13=-+向左平移1个单位所得直线解析式为：()22y x 113y x 3=-++⇒=+；
再向下平移3个单位为：22y x 33y x =+-⇒=．故选D ．
12、B
【解题分析】
∵点(6,4)A -，D 是OA 中点
∴D 点坐标(3,2)-
∵(3,2)D -在双曲线(0)k y k x =
<上，代入可得23k =- ∴6k =-
∵点C 在直角边AB 上，而直线边AB 与x 轴垂直
∴点C 的横坐标为-6
又∵点C 在双曲线6y x -=
∴点C 坐标为(6,1)-
∴3AC == 从而1136922
AOC S AC OB ∆=⨯⨯=⨯⨯=，故选B
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、1．
【解题分析】
根据逆流速度=静水速度-水流速度，顺流速度=静水速度+水流速度，表示出逆流速度与顺流速度，根据题意列出方程，求出方程的解问题可解．
【题目详解】
解：设A 港与B 港相距xkm ，
根据题意得：
3262262
x x +=+- ， 解得：x=1，
则A 港与B 港相距1km ．
故答案为：1．
【题目点拨】
此题考查了分式方程的应用题，解答关键是在顺流、逆流过程中找出等量关系构造方程．
14、1．
【解题分析】
过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，根据D 为OB 的中点可知CD 是△OBE 的中位线，即CD=
BE ，设A （x ，），则B （2x ，），故CD=，AD=﹣，再由△ADO 的面积为1求出k 的值即可得出结论．
解：如图所示，
过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，
∵D 为OB 的中点，
∴CD 是△OBE 的中位线，即CD=
BE ． 设A （x ，），则B （2x ，），CD=
，AD=﹣， ∵△ADO 的面积为1， ∴AD•O C=3，（﹣）•x=3，解得k=1，
故答案为1．
15、4
【解题分析】
连接OP OB 、，把两部分的面积均可转化为规则图形的面积，不难发现两部分面积之差的绝对值即为BOP △的面积的2倍．
【题目详解】
解：连接OP 、OB ，
∵图形BAP 的面积=△AOB 的面积+△BOP 的面积+扇形OAP 的面积，
图形BCP 的面积=△BOC 的面积+扇形OCP 的面积−△BOP 的面积，
又∵点P 是半圆弧AC 的中点，OA =OC ，
∴扇形OAP 的面积=扇形OCP 的面积，△AOB 的面积=△BOC 的面积，
∴两部分面积之差的绝对值是2 4.BOP S OP OC =⋅=
点睛：考查扇形面积和三角形的面积，把不规则图形的面积转化为规则图形的面积是解题的关键.
16、2
【解题分析】
分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．
详解：∵－3，x ，－1， 3，1，6的众数是3，
∴x=3，
先对这组数据按从小到大的顺序重新排序-3、-1、1、3、3、6位于最中间的数是1,3， ∴这组数的中位数是
132+=1． 故答案为： 1．
点睛：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数.
171a ≤≤
【解题分析】
因为A 点的坐标为（a ，a ），则C （a ﹣1，a ﹣1），根据题意只要分别求出当A 点或C 点在曲线上时a 的值即可得到答案.
【题目详解】
解：∵A 点的坐标为（a ，a ），
∴C （a ﹣1，a ﹣1），
当C 在双曲线y=
2x 时，则a ﹣1=21a -，
解得；
当A 在双曲线y=2x 时，则a=2a
，
解得
∴a+1．
+1．
【题目点拨】
本题主要考查反比例函数与几何图形的综合问题，解此题的关键在于根据题意找到关键点，然后将关键点的坐标代入反比例函数求得确定值即可.
18、3.86×108
【解题分析】
根据科学记数法的表示（a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数）形式可得：
3.86亿=386000000=3.86×108.
故答案是：3.86×108.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、（1）补全统计图如图见解析；（2）“称职”的销售员月销售额的中位数为：22万，众数：21万；“优秀”的销售员月销售额的中位数为：26万，众数：25万和26万；（3）月销售额奖励标准应定为22万元.
【解题分析】
（1）根据称职的人数及其所占百分比求得总人数，据此求得不称职、基本称职和优秀的百分比，再求出优秀的总人数，从而得出销售26 万元的人数，据此即可补全图形．
（2）根据中位数和众数的定义求解可得；
（3）根据中位数的意义求得称职和优秀的中位数即可得出符合要求的数据．
【题目详解】
（1）依题可得：
“不称职”人数为：2+2=4（人），
“基本称职”人数为：2+3+3+2=10（人），
“称职”人数为：4+5+4+3+4=20（人），
∴总人数为：20÷50%=40（人），
∴不称职”百分比：a=4÷40=10%，
“基本称职”百分比：b=10÷40=25%，
“优秀”百分比：d=1-10%-25%-50%=15%，
∴“优秀”人数为：40×15%=6（人），
∴得26分的人数为：6-2-1-1=2（人），
补全统计图如图所示：
（2）由折线统计图可知：“称职”20万4人，21万5人，22万4人，23万3人，24万4人，
“优秀”25万2人，26万2人，27万1人，28万1人；
“称职”的销售员月销售额的中位数为：22万，众数：21万；
“优秀”的销售员月销售额的中位数为：26万，众数：25万和26万；
（3）由（2）知月销售额奖励标准应定为22万.
∵“称职”和“优秀”的销售员月销售额的中位数为：22万，
∴要使得所有“称职”和“优秀”的销售员的一半人员能获奖，月销售额奖励标准应定为22万元.
【题目点拨】
考查频数分布直方图、 扇形统计图、 中位数、 众数等知识， 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
20、（1）证明见解析；（2）
32
BP CF =；（3）3AG =. 【解题分析】 ()1由余角的性质可得ABE BCF ∠∠=，即可证ABE ∽BCF ； ()2由相似三角形的性质可得AB BE 3BC CF 4==，由等腰三角形的性质可得BP 2BE =，即可求BP CF 的值；
()3由题意可证DPH ∽CPB ，可得HP PD 7BP PC 4==，可求32AE 2=，由等腰三角形的性质可得AE 平分BAP ∠，可证1EAG BAH 452∠∠==，可得AEG 是等腰直角三角形，即可求AG 的长． 【题目详解】
证明：()1AB BC ⊥，
ABE FBC 90∠∠∴+=
又CF BF ⊥，
BCF FBC 90∠∠∴+=
ABE BCF ∠∠∴=
又AEB BFC 90∠∠==，
ABE ∴∽BCF
()
2ABE ∽BCF ， AB BE 3BC CF 4∴
== 又AP AB =，AE BF ⊥，
BP 2BE ∴=
BP 2BE 3CF CF 2
∴== ()3如图，延长AD 与BG 的延长线交于H 点
AD //BC ，
DPH ∴∽CPB ∴HP PD 7BP PC 4
== AB BC =，由()1可知ABE ≌BCF
CF BE EP 1∴===，
BP 2∴=， 代入上式可得7HP 2=，79HE 122
=+= ABE ∽HAE ，
BE AE AE HE ∴=，1AE 9AE 2
=， ∴32AE 2
= AP AB =，AE BF ⊥，
AE ∴平分BAP ∠
又AG 平分DAP ∠，
1EAG BAH 452
∠∠∴==， AEG ∴是等腰直角三角形．
∴AG 3==.
【题目点拨】
本题考查的知识点是全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题关键是添加恰当辅助线构造相似三角形．
21、（1）见解析；（2）t ＝（
），最小值等于12；（3）t ＝6秒或
△EPQ 是直角三角形
【解题分析】
（1）由∠ECF ＝∠BCD 得∠DCF ＝∠BCE ，结合DC ＝BC 、CE ＝CF 证△DCF ≌△BCE 即可得；
（2）作BE ′⊥DA 交DA 的延长线于E ′．当点E 运动至点E ′时，由DF ＝BE ′知此时DF 最小，求得BE ′、AE ′即可得答案；
（3）①∠EQP ＝90°时，由∠ECF ＝∠BCD 、BC ＝DC 、EC ＝FC 得∠BCP ＝∠EQP ＝90°，根据AB ＝CD ＝
tan ∠ABC ＝tan ∠ADC ＝2即可求得DE ；
②∠EPQ ＝90°时，由菱形ABCD 的对角线AC ⊥BD 知EC 与AC 重合，可得DE ＝
【题目详解】
（1）∵∠ECF ＝∠BCD ，即∠BCE +∠DCE ＝∠DCF +∠DCE ，
∴∠DCF ＝∠BCE ，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴DC ＝BC ，
在△DCF 和△BCE 中，
CF CE DCF BCE CD CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
,
∴△DCF ≌△BCE （SAS ），
∴DF ＝BE ；
（2）如图1，作BE ′⊥DA 交DA 的延长线于E ′．
当点E运动至点E′时，DF＝BE′，此时DF最小，
在Rt△ABE′中，AB＝65，tan∠ABC＝tan∠BAE′＝2，∴设AE′＝x，则BE′＝2x，
∴AB＝5x＝65，x＝6，
则AE′＝6
∴DE′＝65+6，DF＝BE′＝12，
时间t=65+6，
故答案为：65+6，12；
（3）∵CE＝CF，
∴∠CEQ＜90°，
①当∠EQP＝90°时，如图2①，
∵∠ECF＝∠BCD，BC＝DC，EC＝FC，
∴∠CBD＝∠CEF，
∵∠BPC＝∠EPQ，
∴∠BCP＝∠EQP＝90°，
∵AB＝CD＝5tan∠ABC＝tan∠ADC＝2，
∴DE＝6，
∴t＝6秒；
②当∠EPQ＝90°时，如图2②，
∵菱形ABCD 的对角线AC ⊥BD ，
∴EC 与AC 重合，
∴DE ＝5
∴t ＝5
综上所述，t ＝6秒或5△EPQ 是直角三角形．
【题目点拨】
此题是菱形与动点问题，考查菱形的性质，三角形全等的判定定理，等腰三角形的性质，最短路径问题，注意（3）中的直角没有明确时应分情况讨论解答.
22、22
x x -+ 【解题分析】
【分析】括号内先进行通分，进行分式的加减法运算，然后再与括号外的分式进行分式乘除法运算即可.
【题目详解】原式=()
22311112x x x x x ⎛⎫-+-⨯ ⎪+++⎝⎭ =()()()2x 2211
2x x x x +-+⨯++ =
22x x -+. 【题目点拨】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握有关分式的运算法则是解题的关键.
23、（1）30ACD ∠=︒，60BCD ∠=︒ ;（2）见解析；（3）77
DC =
． 【解题分析】
（1）连结AD 、BD,利用m 求出角的关系进而求出∠BCD 、∠ACD 的度数;
（2）连结OD ,由所给关系式结合直径求出AP ，OP ，根据弦CD 最短，求出∠BCD 、∠ACD 的度数，即可求出m 的值．
（3）连结AD 、BD ，先求出AD ，BD ，AP ，BP 的长度，利用△APC ∽△DPB 和△CPB ∽△APD 得出比例关系式，得出比例关系式结合勾股定理求出CP ，PD ，即可求出CD ．
【题目详解】
解：（1）如图1，连结AD 、BD ．
AB 是O 的直径
90ACB ∴∠=︒，90ADB ∠=︒
又2BCD ACD ∠=∠，ACB BCD ACD ∠=∠+∠
30ACD ∴∠=︒，60BCD ∠=︒
（2）如图2，连结OD ． 2323
AP PB -=+，4AB =， 23423AP AP -∴=-+(((2342323AP AP =-， 解得23AP a =
023P AP ∴=-=要使CD 最短，则CD AB ⊥于P
3cos OP POD OD ∴∠==， 30POD ∴∠=︒
15ACD ∴∠=︒，75BCD ∠=︒
5BCD ACD ∴∠=∠
5m ∴=，
故存在这样的m 值，且5m =；
（3）如图3，连结AD 、BD ．
由（1）可得30ABD ACD ∠=∠=︒，4AB =
2AD ∴=，23BD = 12
AP PB =， 43AP ∴=，83
BP =， APC DPB ∠=∠，ACD ABD ∠=∠ APC DPB ∴∆∆∽
AC AP PC DB DP BP
∴==， 48333AC DP AP DB ∴⋅=⋅=⋅= 4832339
PC DP AP BP ⋅=⋅=⋅=② 同理CPB APD ∆∆∽
BP BC DP AD
∴=， 816233
BC DP BP AD ∴⋅=⋅=⋅=③， 由①得833AC DP
=，由③得163BC DP = 83163:3AC BC ∴=
=， 在ABC ∆中，4AB =，
2
2
2831643DP ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭⎝⎭，
DP ∴=
由②329PC DP PC ⋅==，得PC =
7DC CP PD ∴=+=
． 【题目点拨】
本题考查了相似三角形的判定与性质和锐角三角函数关系和圆周角定理等知识，掌握圆周角定理以及垂径定理是解题的关键．
24、 (1) y ＝﹣2x+220(40≤x≤70)；(2) w ＝﹣2x 2+300x ﹣9150；(3) 当销售单价为70元时，该公司日获利最大，为2050元．
【解题分析】
（1）根据y 与x 成一次函数解析式，设为y ＝kx+b （k≠0），把x 与y 的两对值代入求出k 与b 的值，即可确定出y 与x 的解析式，并求出x 的范围即可；
（2）根据利润＝单价×销售量，列出w 关于x 的二次函数解析式即可；
（3）利用二次函数的性质求出w 的最大值，以及此时x 的值即可．
【题目详解】
(1)设y ＝kx+b(k≠0)，
根据题意得708060100k b k b +=⎧⎨+=⎩
， 解得：k ＝﹣2，b ＝220，
∴y ＝﹣2x+220(40≤x≤70)；
(2)w ＝(x ﹣40)(﹣2x+220)﹣350＝﹣2x 2+300x ﹣9150＝﹣2(x ﹣75)2+21；
(3)w ＝﹣2(x ﹣75)2+21，
∵40≤x≤70，
∴x ＝70时，w 有最大值为w ＝﹣2×25+21＝2050元，
∴当销售单价为70元时，该公司日获利最大，为2050元．
【题目点拨】
此题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
25、（1）y=2
x
；（2
【解题分析】
（1）根据题意得出
2
2
3
2
m n
m n
⎧
=
⎪
⎨
⎪=-
⎩
，解方程即可求得m、n的值，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）设OG=x，则GD=OG=x，CG=2﹣x，根据勾股定理得出关于x的方程，解方程即可求得DG的长，过F点作FH⊥CB于H，易证得△GCD∽△DHF，根据相似三角形的性质求得FG，最后根据勾股定理即可求得．
【题目详解】
（1）∵D（m，2），E（n，2
3），
∴AB=BD=2，∴m=n﹣2，
∴
2
2
3
2
m n
m n
⎧
=
⎪
⎨
⎪=-
⎩
，解得
1
3
m
n
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴D（1，2），∴k=2，
∴反比例函数的表达式为y=2
x
；
（2）设OG=x，则GD=OG=x，CG=2﹣x，在Rt△CDG中，x2=（2﹣x）2+12，
解得x=5
4
，
过F点作FH⊥CB于H，∵∠GDF=90°，
∴∠CDG+∠FDH=90°，∵∠CDG+∠CGD=90°，∴∠CGD=∠FDH，
∵∠GCD=∠FHD=90°，∴△GCD∽△DHF，
∴DG CD
FD FH
=，即
5
1
4
2
FD
=，
∴FD=52， ∴FG=22225555244FD GD ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
【题目点拨】
本题考查了反比例函数与几何综合题，涉及了待定系数法、勾股定理、相似三角形的判定与性质等，熟练掌握待定系数法、相似三角形的判定与性质是解题的关键.
26、（1）详见解析；（2）BD=9.6.
【解题分析】
试题分析：(1)连接OB ，由垂径定理可得BE =DE ，
OE ⊥BD ，12BF DF BD == ，再由圆周角定理可得BOE A ∠=∠ ，从而得到∠ OBE ＋∠ DBC ＝90°，即90OBC ∠=︒ ，命题得证.
(2)由勾股定理求出OC ，再由△OBC 的面积求出BE ，即可得出弦BD 的长.
试题解析：(1)证明：如下图所示，连接OB .
∵ E 是弦BD 的中点，∴ BE ＝DE ，OE ⊥ BD ，12
BF DF BD ==
， ∴∠ BOE ＝∠ A ，∠ OBE ＋∠ BOE ＝90°.
∵∠ DBC ＝∠ A ，∴∠ BOE ＝∠ DBC ，
∴∠ OBE ＋∠ DBC ＝90°，∴∠ OBC ＝90°，即BC ⊥OB ，∴ BC 是⊙ O 的切线．
(2)解：∵ OB ＝6，BC ＝8，BC ⊥OB ，∴2210OC OB BC += ,
∵1122OBC S OC BE OB BC =⋅=⋅ ，∴68 4.810
OB BC BE OC -⨯=== ， ∴29.6BD BE ==.
点睛：本题主要考查圆中的计算问题，解题的关键在于清楚角度的转换方式和弦长的计算方法.
27、40%
【解题分析】
先设第次降价的百分率是x，则第一次降价后的价格为500（1-x）元，第二次降价后的价格为500（1-2x），根据两次降价后的价格是240元建立方程，求出其解即可.
【题目详解】
第一次降价的百分率为x，则第二次降价的百分率为2x，
根据题意得：500（1﹣x）（1﹣2x）＝240，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.3＝130%．
则第一次降价的百分率为20%，第二次降价的百分率为40%．
【题目点拨】
本题考查了一元二次方程解实际问题，读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程，求出符合题的解即可．。