四川省棠湖中学2021-2022高二数学下学期第一次在线月考试题 文(含解析)

四川省棠湖中学2021-2022高二数学下学期第一次在线月考试题文
（含解析）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
第Ⅰ卷选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
y=-的倾斜角是（）
1.直线1
A. 30
B. 45
C. 60
D. 90
【答案】C
【解析】
【分析】
根据直线方程得出直线的斜率，进而可得出直线的倾斜角.
y=-，该直线的倾斜角为60.
【详解】直线1
故选：C.
【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，求出直线的斜率是关键，考查计算能力，属于基础题.
2.命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是（）
A. 所有奇数的立方不是奇数
B. 不存在一个奇数，它的立方是偶数
C. 存在一个奇数，它的立方是偶数
D. 不存在一个奇数，它的立方是奇数
【答案】C
【解析】
【分析】
利用全称命题的否定解答即可.
【详解】由于命题“所有奇数的立方是奇数”是一个全称命题，
所以命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是“存在一个奇数，它的立方是偶数”. 故选：C
【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3.椭圆22
1259
x y +=的焦距为 （ ）
A. 5
B. 3
C. 4
D. 8
【答案】D 【解析】
因为根据22
1259
x y +=的方程可知，a=5,b=3,c=4,故焦距为2c=8，选 D
4.命题“()0,x ∀∈+∞，e ln x x >”的否定是（ ） A. ()0,x ∀∈+∞，e ln x x ≤ B. ()0,x ∃∈+∞，e ln x x > C. ()0,x ∃∈+∞，e ln x x ≤ D. ()0,x ∃∈+∞，e ln x x <
【答案】C 【解析】 【分析】
根据全称命题的否定为特称命题，写出答案即可.
【详解】命题“()0,x ∀∈+∞，e ln x x >”的否定是()0,x ∃∈+∞，e ln x x ≤. 故选：C.
【点睛】全程命题p ：x M ∀∈，()p x ，它的否定p ⌝：0x M ∃∈，()p x ⌝. 5.直线1y x =+被圆2
2
2x y +=截得的弦长为（ ）
A. 2
B.
D. 【答案】C 【解析】 【分析】
由圆的方程求出圆心和半径，求出圆心到直线1y x =+的距离d ，再根据弦长公式求得弦长.
【详解】解：由圆22
2x y +=，可得圆心(0,0)，
可得圆心到直线1y x =+的距离2
d =
=
故弦长为= 故选：C.
【点睛】本题主要考查直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题.
6.已知直线l 和平面α内的两条直线,m n ，则“l α⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
根据线面垂直的判定与性质分别检验命题的充分性与必要性，可得答案. 【详解】解：由直线l 和平面α内的两条直线,m n ，可得：
充分性：因为“l α⊥”，所以l 必垂直于平面内的所以直线，所以“l m ⊥且l n ⊥”； 必要性：由“l m ⊥且l n ⊥”，若m n ，则l 不一定垂直与平面α， 综上可得, “l α⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的充分不必要条件， 故选:C.
【点睛】本题主要考查线面垂直的判定与性质和充要条件的判断，属于基础题型. 7.已知直线l 与平面α，β，则下列说法正确的是（ ） A. 若//l α，//αβ，则l β// B. 若l α⊥，αβ⊥，则l β// C. 若l α⊂，l β//，则//αβ D. 若l α⊂，l β⊥，则αβ⊥
【答案】D 【解析】 【分析】
结合空间中点、线、面的位置关系，对四个选项逐个分析，即可选出答案.
【详解】A 、B 选项中，直线l 都可以在平面β内，故错误；
C 选项中，α内要有两条相交直线均与β平行，才有//αβ，故错误；
D 选项中，α内有一条直线与β垂直，则αβ⊥. 故选：D.
【点睛】本题考查点、线、面的位置关系，考查学生的空间想象能力，属于基础题. 8.已知P Q 、分别为直线1:3440l x y +-=与2:3410l x y ++=上的两个动点，则线段PQ 的长度的最小值为（ ） A.
35
B. 1
C.
65
D. 2
【答案】B 【解析】 【分析】
易得直线1l 与2l 平行，当PQ 的长度为两平行线间的距离时最短，利用两平行线间的距离公式计算可得答案.
【详解】解：由直线1:3440l x y +-=与2:3410l x y ++=，可得直线1l 与2l 平行， 当PQ
长度为两平行线间的距离时，线段PQ 的长度的最小值，
可得1l 与2l
1=，即线段PQ 的长度的最小值为1，
故选：B.
【点睛】本题主要考查两平行线间的距离公式，相对简单.
9.不等式组6003x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
表示的平面区域的面积为（ ）
A. 36
B.
C. 72
D. 【答案】A 【解析】 【分析】
作出不等式组6003x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
表示的平面区域为直角三角形ABC 及其内部的部分，求得A 、
B 、
C 各个点的坐标，可得直角三角形ABC 的面积．
【详解】不等式组6003x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
表示的平面区域为直角三角形ABC 及其内部的部分，
联立60
x y x y -+=⎧⎨
+=⎩，解得33x y =-⎧⎨=⎩，可得点()3,3A -，同理可得()3,3B -，()3,9C ，
()()
22
333912BC =
-+--=，点A 到直线3x =的距离为336d =--=，
ABC ∆的面积为11
1263622
ABC S BC d ∆=
⨯⨯=⨯⨯=. 因此，不等式组60
03x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
表示的平面区域的面积为36.
故选：A.
【点睛】本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域，体现了数形结合思想的应用，属于基础题．
10.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则以下四种说法中正确的个数为（ ）
①甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数 ②甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数 ③甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 ④甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差 A. 1 B. 2
C. 3
D. 4
【答案】D 【解析】 【分析】
根据条形统计图，结合平均数、方差的计算公式，再根据中位数、极差的定义进行判断即可. 【详解】()15556965x =
⨯++++=乙，()1
4567865
x =⨯++++=甲，故甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数；
甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，故甲大于乙；
甲的成绩的方差为(
)
22
1221225
⨯⨯+⨯=，乙的成绩的方差为(
)
22
11331 2.45
⨯⨯+⨯=；③正确，
甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差等于4，④正确. 故选：D
【点睛】本题考查了平均数、方差的计算公式，考查了中位数和极差的定义，考查了数学运算能力.
11.已知0m >，0n >，
14
1m n
+=，若不等式22m n x x a +≥-++对已知的m ，n 及任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. [)8,+∞ B. [
)3,+∞ C. (],3-∞ D. (],8-∞
【答案】D 【解析】 【分析】
利用基本不等式求得m n +的最小值，再利用参变分离将问题转化为恒成立问题，从而求得答案.
【详解】∵()1445n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭59≥+=， 当且仅当
4n m
m n
=时等号成立， ∴229x x a -++≤，即()2
22918a x x x ≤-+=-+， ∴8a ≤. 故选：D
【点睛】本题考查基本不等式求最值、一元二次函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意参变分离法的运用.
12.设椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的两焦点为12,F F ，若椭圆上存在点P ，使12120F PF ∠=，
则椭圆的离心率e 的取值范围为( ).
A. B. 3(0,]4
C. D. 3[,1)4
【答案】C 【解析】
【详解】当
P
是椭圆的上下顶点时,
12
F PF ∠最大,
121120180,6090,F PF F PO ∴︒≤∠<︒∴︒≤∠<︒12sin 60sin sin 90,
F PF ∴︒≤∠<︒
11,,1c F P a F O c a ==≤<则椭圆的离心率e 的取值范围为⎫⎪⎪⎣⎭
,故选C. 【点睛】本题考查了椭圆的几何意义,属于中档题目.在客观题求离心率取值范围时,往往利用图形中给出的几何关系结合圆锥曲线的定义,找出a,b,c 之间的等量关系或者不等关系, 考查学生的数形结合能力,在主观题中多考查直线与圆锥曲线的位置关系,利用方程的联立和判别式解不等式求出离心率的范围.
第Ⅱ卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知双曲线()2
2210x y a a
-=>的一条渐近线方程为0x +=，则该双曲线的离心率为
________.
【答案】
3
【解析】 【分析】
根据双曲线的标准方程写出渐近线方程，对比已知所给的渐近线方程，可以求出a 的值，最后求出双曲线的离心率.
【详解】2
221x y a
-=渐近线方程为0x y x ay a =±⇒±=，所以a =
故离心率为c e a ===.
故答案为：
3
【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，考查了双曲线的离心率公式，考查了数学运算能力.
14.求过点()2,3P ，并且在两轴上的截距相等的直线方程_____． 【答案】320x y -=或50x y +-= 【解析】 【分析】
当直线经过原点时，直线的方程可直接求出；当直线不经过原点时，设直线的截距式为
x y a +=，把点P 的坐标代入即可得出．
【详解】当直线经过原点时，设直线的方程为y kx =，将点P 的坐标代入得23k =，解得3
2
k ，此时，直线的方程为3
2
y x =
，即320x y -=； 当直线不经过原点时，设直线的截距式方程为x y a +=，把点P 的坐标代入得235a =+=，此时，直线的方程为50x y +-=.
综上所述，所求直线的方程为320x y -=或50x y +-=.
故答案为：320x y -=或50x y +-=.
【点睛】本题考查了直线的截距式方程、分类讨论的思想方法，属于基础题．
15.已知三棱锥A BCD -中，AB ，AC ，AD 两两相互垂直，且3AB =，4AC =，12AD =，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为________. 【答案】169π 【解析】 【分析】
由AB ，AC ，AD 两两垂直，可将三棱锥A BCD -补成长方体，此长方体的外接球即为三棱锥的外接球，体对角线即为外接球的直径，求解即可.
【详解】由AB ，AC ，AD 两两垂直，可将三棱锥A BCD -补成如图所示的长方体，此长方体的外接球即为三棱锥的外接球，外接球直径为：2222341213R =++=， 所以三棱锥外接球的表面积为24π169πR =. 故答案为：169π.
【点睛】本题考查空间几何体的外接球，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于基础题.
16.已知O 为坐标原点，F 为抛物线C ：2
2y x =的焦点，直线l ：()21y m x =-与抛物线C
交于A ，B 两点，点A 在第一象限，若2AF BF =，则m 的值为______. 2 【解析】 【分析】
设()11,A x y ，()22,B x y ，利用焦半径的公式代入2AF BF =，并与抛物线方程联立，求得点,A B 的坐标，再代入斜率公式求得m 的值.
【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 过抛物线C 的焦点1,02F ⎛⎫
⎪⎝⎭
， ∵2AF BF =，2AF FB ∴=，所以1211222x x ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
，122y y =-， ∴123
22
x x =
-， 由2
112y x =，22
22y x =得2222
2
24342y x y x ⎧=-⎨=⎩， ∴214x =
，2
212y =
，22
y =-，
∴0221124
m +
=
=-
m =.
.
【点睛】本题考查抛物线的焦半径、直线与抛物线的位置关系、斜率公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意焦半径公式的运用. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知0a >，命题p ：2120x x --≤，命题q ：()2
22x a -≥.
（1）当3a =时，若命题()p q ∧⌝为真，求x 的取值范围； （2）若p 是q ⌝的充分条件，求a 的取值范围. 【答案】（1）14x -<≤；（2）5a > 【解析】 【分析】
（1）由命题()p q ∧⌝为真，可知,p q ⌝都是真命题，结合,p q ⌝对应的x 的范围，可求出答案；
（2）利用充分条件对应的关系列出不等式，求解即可.
【详解】（1）由题意，2120x x --≤34x ⇔-≤≤，即命题p ：34x -≤≤， 当3a =时，命题q ⌝：()2
29x -<，即q ⌝：15x -<<，
若()p q ∧⌝为真，则,p q ⌝都是真命题，则14x -<≤； （2）由题意，q ⌝：22a x a -<<+，p ：34x -≤≤， 若p 是q ⌝的充分条件，则[]()3,42,2a a -⊆-+，
即2423a a +>⎧⎨-<-⎩
，解得5a >.
故a 的取值范围是5a >.
【点睛】本题考查复合命题间的关系，考查充分性的应用，考查不等式的解法，考查学生的计算能力与推理能力，属于基础题.
18.某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.
（1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；
（2）估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；
（3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表： 广告投入x （单位：万元） 1 2 3 4 5 销售收益y （单位：万元） 1 3
4
7
表中的数据显示，x 与y 之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入上表的空白栏，并计
算y 关于x 的回归方程.
回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为1
2
2
2
1
()ˆn
i
i
i i
i x y nx y
b
x
nx ==⋅-⋅=-∑∑，ˆˆa
y bx =-. 【答案】（1）2；（2）5；（3）得空白栏5， 1.4.2ˆ0y
x =-. 【解析】 【分析】
（1）根据在频率直方图所有小矩形的面积之和为1直接求解即可； （2）根据已知所给的各组取值的方法进行求解即可；
（3）直接将（2）的结果填入上表的空白栏.根据平均数的计算公式求出x ，y 的值，再求出
51
i i
i x y =∑，5
2
1
i i x
=∑，最后根据所给的公式求出ˆb
，ˆa 的值，最后求出回归直线方程. 【详解】（1）设各小长方形的宽度为m ，可得：
()0.080.10.140.120.040.021m +++++=， 2m ∴=.
（2）可得各组中点从左向右依次是1，3，5，7，9，11，
各组中点对应的频率从左向右依次是0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04，
∴平均值10.1630.250.2870.2490.08110.045=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.
（3）得空白栏为5，
1234535x ++++=
=∴，13457
45
y ++++==，
5
1
112334455774i i
i x y
==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，5
2222221
1234555i i x ==++++=∑，
根据公式可得2
74534
ˆ 1.45553
b
-⨯⨯==-⨯，4 1.43.2ˆ0a =-⨯=-， 故回归直线方程为 1.4.2ˆ0y
x =-. 【点睛】本题考查求频率直方图中组距问题，考查了在频率直方图中求平均数问题，考查了求回归直线方程，考查了数学运算能力.
19.已知抛物线2
:4y x Γ=焦点为F ，准线与x 轴的交点为M .
（Ⅰ）抛物线Γ上的点P 满足=5PF ，求点P 的坐标；
（Ⅱ）设点A 是抛物线Γ上的动点，点B 是FA 的中点，2MC CB =，求点C 的轨迹方程. 【答案】（Ⅰ）(4,4)或(4,4)-（Ⅱ）2
4
3
y x = 【解析】 【分析】
（Ⅰ）求出抛物线的焦点坐标和准线方程, 设点P 的坐标为(,)p p P x y ,由=5PF ,可得p x 的值,代入抛物线的方程,可得点P 的坐标;
（Ⅱ）利用相关点法,设设(,)C x y ，(,)B m n ，(,)A s t ，可得33s x
t y =⎧⎨=⎩
,由点A 是抛物线Γ上,
代入可得点C 的轨迹方程.
【详解】解:（Ⅰ）设点P 的坐标为(,)p p P x y 由已知可得，
(1,0)F ，15,4p p PF x x =+==
代入抛物线方程2
4y x =得4p y =±，
所以点P
的
坐标为(4,4)或(4,4)-
（Ⅱ）设(,)C x y ，(,)B m n ，(,)A s t ，由已知(1,0)M -，2MC CB =
得：1(31)
12222232m x x m x y n y n y
⎧=+⎪+=-⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩
， 又因为点B 是FA 的中点得，
212m s n t =+⎧⎨=⎩，33s x
t y =⎧⇒⎨
=⎩
，
点(,)A s t 在抛物线2
4y x =上，即24t s =，所以点C 的
轨迹方程 为：2
43
y x =
【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质及点的轨迹方程,注意相关点法的应用求轨迹方程.
20.已知圆C ：x 2+y 2+2x ﹣4y +3＝0．
（1）若直线l ：x +y ＝0与圆C 交于A ，B 两点，求弦AB 的长；
（2）从圆C 外一点P （x 1，y 1）向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使得|PM |取得最小值的点P 的坐标． 【答案】（1
（2）P （33
105
-，） 【解析】 【分析】
（1）根据圆的弦长公式即可求出；
（2）因为|PM |＝|PO |，所以|PM |的最小值就是|PO |的最小值，根据几何知识可求出点P 的运动轨迹为直线2x ﹣4y +3＝0，所以点O 到直线的距离最短，即求出|PM |取得最小值，再联立直线2x ﹣4y +3＝0和20x y +=，即可求出点P 的坐标．
【详解】（1）圆C 可化为（x +1）2+（y ﹣2）2＝2，则圆心C （﹣1，2）， 所以C 到直线l 的距离
d 2
=
=
， 则弦长AB ＝
== （2）因为切线PM 与半径CM 垂直，所以|PM |2＝|PC |2﹣|CM |2，
又因为|PM |＝|PO |，则|PO |2
＝|PC |2
﹣|CM |2
，即（x 1+1）2
+（y 1﹣2）2
﹣2＝x 12
+y 12
， 整理得2x 1﹣4y 1+3＝0，所以点P 的运动轨迹为直线2x ﹣4y +3＝0， 所以|PM |的最小值就是|PO |的最小值．
而|PO |的最小值为原点O 到直线2x ﹣4y +3＝0的距离
d 10
==
， 过点O 且垂直于直线2x ﹣4y +3＝0的方程为：20x y +=
所以由202430x y x y +=⎧⎨-+=⎩，得310
35x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
故所求点P 的坐标为P （33105
-
，）． 【点睛】本题主要考查圆的弦长公式和几何性质的应用，两点间的距离公式和点到直线的距离公式的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于基础题．
21.已知三棱锥P-ABC （如图1）的
展开图如图2，其中四边形ABCD 为边长等于2的正方形，△ABE 和△BCF 均为正三角形，在三棱锥P-ABC 中.
（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；
（2）若M ，N 分别是AP ，BC 的中点，请判断三棱锥M-BCP 和三棱锥N-APC 体积的大小关系并加以证明.
【答案】（1）见解析；（2）M BCP N APC V V --=，证明见解析 【解析】 【分析】
（1）设AC 的中点为O ，连结BO ，PO ，推导出PO AC ⊥，PO OB ⊥，从而PO ⊥平面ABC ，由此能证明平面PAC ⊥平面ABC ． （2）由M 为AP 中点，可得12M BCP A BCP V V --=， N 为BC 中点，可得1
2
N APC B APC V V --=，从而解得.
【详解】解：（1）设AC 的中点为O ，连接BO ，PO ， 由题意，得2PA PB PC ===
1PO =，1AO BO CO ===
在PAC ∆中，∵PA PC =，O 为AC 的中点，∴PO AC ⊥，
在POB ∆中， 1PO =，1OB =，2PB =，∵222PO OB PB +=，∴PO OB ⊥，
∵AC
OB O =，AC ，OB ⊂平面ABC ，
∴PO ⊥平面ABC ， 又PO ⊂平面PAC ， ∴平面PAC ⊥平面ABC .
（2）M BCP N APC V V --=，理由如下：
M 为AP 中点，1
2
M BCP A BCP V V --∴=，
N 为BC 中点，1
2
--∴=N APC B APC V V ，
又A BCP B APC V V --=， M BCP N APC V V --∴=
【点睛】本题考查线面、面面垂直的证明，锥体的体积计算，属于中档题.
22.在平面直角坐标系xOy 中，四个点32,3⎭，323⎛
⎝，61,3⎛- ⎝⎭，61,3⎛ ⎝⎭中有3个点在椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>上.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点），点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M 、N 两点，设直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，证明：存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值.
【答案】（1）2213
x y +=；
（2）证明见解析，35
. 【解析】 【分析】
（1）根据椭圆的对称性可知，关于x
轴对称的⎛ ⎝⎭
，1,⎛ ⎝⎭
在椭圆上.
分类讨论，当⎭
在椭圆上时，当⎝在椭圆上时，分别求解，根据0a b >>确定，即可. （2）设()()1111,,0A x y y x ≠，()22,D x y ，由题意可知()11,B x y --，1
1
AB k y x =，设直线AD 的方程为y kx m =+，与椭圆联立，变形整理得(
)2
2
2136330k
x
mkx m +++-=，确定
122613mk x x k +=-
+，122213m y y k +=+，从而121121133BD y y y k x x k x +==-=+，直线BD 的方程为()1
111
3y y y x x x +=
+，分别令0y =、0x =确定点M 与点N 的坐标，求直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，求解即可.
【详解】（1
）∵1,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，1,3⎛- ⎝⎭
关于x 轴对称.
∴这2个点在椭圆上，即
22
12
13a b +=①
当3⎫⎪⎪⎭
在椭圆上时，222113a b +=② 由①②解得23a =，21b =.
当3⎛ ⎝在椭圆上时，221213a b +=③
由①③解得2
43a =，2
83
b =. 又
0a b >>
∴23a =，21b =
∴椭圆C 的方程为2
213
x y +=.
（2）设()()11110,x A y x y ≠，()22,D x y ，则()11,B x y --. 因为直线AB 的斜率1
1AB k y x =
，又AB AD ⊥. 所以直线AD 的斜率1
1
x k y =-
. 设直线AD 的方程为y kx m =+，由题意知0k ≠，0m ≠.
由22
13
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222
136330k x mkx m +++-=， 所以122
613mk x x k +=-
+，()1212
22213m
y y k x x m k +=++=+. 由题意知12x x ≠，所以121121
1
33BD y y y k x x k x +=
=-=+，所以直线BD 的方程为
()11113y y y x x x +=
+，令0y =，得12x x =，即()12,0M x ，可得111
y
k x =-， 令0x =，得123y y =-，即120,3y N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得121
53y k x =， 所以1235k k =-
，即35λ=-，因此，存在常数3
5
λ=-使得结论成立. 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系，属于较难的题.。