高中物理竞赛辅导电磁学讲义专题：真空中的静电场3电场和电场强度

§ 3 电场和电场强度
一、电场
库仑定律给出了两点电荷之间的相互作用力，但并未说明作用的传递途径，下面给予分析。

1、两种观点
(1) 超距作用观点：一个点电荷对另一电荷的作用无需经中间物体传递，而
是超越空间直接地、瞬时地发生，即：电荷电荷↔。

(2) 近距作用观点：一个电荷对另一电荷的作用是通过空间某种中间物为媒
介，以一定的有限速度传递过去。

近代物理学的发展证明，近距作用观点是正确的，这个传递电力的中间媒介 不是“以太”，而是靠电场以有限速度传递（磁力通过磁场），这个有限速度在真空中即光速： 。

2、场的概念
在力学中已学过万有引力场、重力场、弹性力场等，这里谈电场。

凡是有电荷的地方，围绕电荷周围空间即存在电场，即电荷在其周围空间激发电场，且电场对处在其中的其它电荷施加力的作用。

该作用仅由该电荷所在处的电场决定，与其它地方的电场无关，表明电力作用方式：
电荷——电场——电荷 [说明]
(1) 场与实物一样具有能量、动量等，可以脱离场源而单独存在，即电磁场是物质的一种形态。

(2) 静止电荷产生的电场为静电场，电磁场的物质性、近距作用观点的正确
图1-7 c
r
t =
∆r
s m c 8103⨯=
性在时变场情况下更加显示出来。

如图1-7，变化的电荷1q 激发变化的电场，对
2q 的作用需推迟时间c r t =
∆。

二、电场强度
运用电场的重要性质——对置于其中的电荷施力作用来定义场强，且用该电荷作为研究和检测电场的工具，此电荷称为试探电荷，而激发电场的电荷称为场源电荷。

如图1-8，场点置试探电荷0q ，检测由场源区Q 在场点P 处之场的强弱（大
小，方向）。

图1-8
1、试探电荷
满足条件：(1) 电荷0q 的电量应足够小，以致对场源电荷影响小； (2) 电荷
0q 的尺度应尽可能小，以致精确定位于场点处。

2、场强E
用库仑力描述场是不合适的，但用力定义场是恰当的，分析如下： 场内任一确定点，试探电荷0
q 所受的电力与
q 的大小有关，即电力由电场
与试探电荷
q 双方共同决定，反映了两方面因素，用此力描述场不能确切地反
映场本身的属性。

据库仑定律，此电力与0
q 成正比，说明0
q F
与0q
无关，仅由电
场单方面属性决定。

定义电场强度E
为
r
q 0
P
Q
0q F E =
它表示电场中任一点电场强度的数值大小及方向如何。

具体地
(1) E
的大小：等于单位电量（c q 10=）试探电荷在该点所受的电场力；
(2) E
的方向：同于正电荷在该处所受电力的方向。

3、讨论
(1) 场强是矢量物理量。

既有大小，又有方向，且是空间位置矢量的点函数，形成一个空间场分布，即电场E
构成空间矢量场：
)
,,(z y x E E
=
(2) 场强的单位
C N 或
m V
(3) 场强定义式的变形
E q
F 0=
该式适用性远超过库仑定律的原始形式r r
q
q F ˆ42
00πε= ，它表示只要空间有场E ，不论是静电场，还是时变电场，场中0q 受力仍如此式计算。

但须注意：计算静
电力时不可“自举”。

(4) 匀强电场
某区域中E 的大小、方向均不随位置r
而变。

如平行板电容器内的E 。

(5) 强调指出：E
并非与0q 成反比，而是无关；此外不要受0q 符号书写上
的影响，不能见到0q 即认定为试探电荷；场的概念至关重要，应牢固建立，它是电磁学整体知识之基础。

(6) 点电荷之场
2
0020
04ˆˆ41
r r Q q F E r
r Qq F πεπε=
=∴=
表明：点电荷的电场在空间上具有球对称性分布。

三、场强叠加原理
1、叠加原理内容
设n 个点电荷n q q q 、、、.......21共同在P 点产生的场为E
，P 点置检验电
荷0q ，据电场力叠加原理：∑==+++=n i i n F F F F F 1
21......
，由场强定义式可得合
电场为
∑==+++==n i i n
E q
F q F q F q F E 1
002010.......
即，一组点电荷在某点产生的合场强等于各点电荷单独存在时在该点产生的场强之矢量和。

2、点电荷系的电场
若场源由点电荷系n q q q 、、、.......21组成，设i E
为第i 个点电荷i q 单独在空间某点P 处之场，则合场为（矢量和）：
∑∑===
=n
i i i
i
n i i r r q E E 12
01
ˆ41
πε 3、电荷连续分布的电场
当带电体不能作为点电荷处理时，就需要考察细节，即带电体的形状、大小、 电荷分布情况，想象把它分割成许多足够小的电荷元dq ——每一元电荷当作点电荷处理，则整体在所考察点之场为
r r d q
E d E v V
ˆ412
0⎰⎰==πε 注意：即使是空间点P 指定，但r
也是变量。

下面对dq 及几何元的取法给予说明： (1) 电荷元dq 的取法
电荷连续分布，引用电荷密度描述（均以体分布为基础）：
⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
=∴=∆∆==∴=∆∆==∴=∆∆=→∆→∆→∆dl dq dl dq l q c ds dq ds dq s q b dV dq dV
dq V q a l s V λλσσρρ，线分布：，面分布：，体分布：0
lim )(lim )(lim )( λσρ,,均是标量点函数。

带电面、带电线均为理想模型，注意其满足的适用条件。

(2) 几何元dl ds dV ,,的取法：
在解决实际问题的计算中，要注意选用合适的坐标系，会给计算带来方便。

例如：
① 球坐标系——（ϕθ,,r ）
dr d d r dV ϕθθsin 2=；
Ω==d r d d r ds 22sin ϕθθ（2r
ds
d =
Ω为立体角）；
222)()c o s ()(dr d r rd dl ++=
ϕθθ。

② 柱坐标系——（z r ,,θ）
dz dr rd dV θ=； dz rd ds θ=；
222)()()(dz dr d r dl ++=θ。

③ 直角坐标系——（z y x ,,）
dz dy dx dV = 等,)()(
122dxdy dy
dz
dx dz ds ++=
2
2
2
dz dy dx dl ++= （dz k dy j dx i l d
++=）。

实用特例：如图1-9中常见带电体dq 的取法：
(a) 带电直线：dz dq λ=。

(b) 带电圆环：θλRd dq =。

(c) 带电圆盘或面：dr rd dq θσ=
对于均匀带电或)(r σσ=分布，可取圆环带上带电rdr dq πσ2=。

(d) 带电球体： dr d d r dV dq ϕθθρρsin 2
⋅==
对于均匀带电或)(r ρρ=分布，可取球壳带电元为：dr r dq 24πρ=。

带电球面：ϕθθσσd d R ds dq sin 2
⋅=⋅=。

(a) 带电直线 (b) 带电圆环
(c) 带电圆盘（面） (d) 带电球体、球面 图1-9
Z
z
dq =λd z dq =Rd θ•λ R 0 x
d θ ⌒
环带dq =2πr d r •σ
0 x
r
R
四、电场的计算
1、电场的计算——已知电荷分布，求电场分布。

理论基础为：点电荷电场 + 场强叠加原理。

例 1：求电偶极子l q p
=的电场。

① 如图1-10（a ），场点在延长线上。

图1-10 (a)
i l r rl q i l r l r q E E E 2
2
20220)4
(24)2(1)2(14-=⎥⎥⎥⎦⎤
+⎢⎢⎢⎣⎡--=+=-+πεπε 30
3024142r p i r ql r
l πεπε=≈〈〈
② 如图1-10（b ），场点在中垂线上。

图1-10 (b)
- +
r
x
l
P
+E
E
X
-E
l
经分析可知：_E E =+，合场强-++=E E E
方向如图1-10（b ）所示，其大
小为：
i E E θcos 2+-=
2
32
2
02
32
2
0)
4
(4)
4(422
l r p i l r ql +-
=+-=πεπε
3
04r
p r
l πε -≈
〈〈 ③ 如图1-10（c ），场点在空间*一般位置。

分解电偶极矩l q p
=为
θ
θsin cos //p p p p ==⊥
应用上述①、②的结果进行叠加，用θ,r 即可表示E。

图1-10 (c)
例2：均匀带电细棒，长为l 2，带电量为q ，求中垂面上的场。

对称取元电荷，如图1-11所示，dZ dq l
q
λλ==,2。

分析它们在P 点合场强的特征，得合场大小为
()
2
2
002
2
0142cos 2z
r r z
r dz
dE E l l
+⋅
+⋅
==⎰⎰πελθ
⊥P
//P
θ
r
) r
//P
⊥P
= +
P
P P
P
r
()
2
2
002
3
2
2
2121
l
r l
r z
r
rdz
l
+=
+=
⎰λπελπε。

图1-11
[讨论]
① 当r l >>，无限长均匀带电线之电场为 r
E πελ
2=
；
② E
是矢量，大小、方向均需指出；
③ 有时对称分析显得十分必要，例如上述问题中场无平行于直线的分量； ④ 延拓思考：若场点P 在一端延长线上或P 点不在中垂面上呢？（课外练习）
图1-12
dz 1
dz 2
1E d
E
d 2E d
E d E d
E
d z
P X
r
R
λ
例3：如图1-12，求均匀带电圆环轴线上的电场。

()23
2
2020
4c o s 4x R qx
r dl E +==
⎰πεθπελ 可讨论：0=x 点处 、R x >>情况；场极大值发生在2
R x =处。

例4：均匀带电圆盘轴线上的场。

()))(111(222
023220x
R
x r rdr x E R +-=+=
⎰εσεσ
当R ∞→时，0
2εσ
=
E ；当R x >>时，则成为点电荷模型。

2、受力的计算。

基础公式：E q F
=。

例1：电偶极子p
在均匀电场0E 中所受的力F 和力矩M 。

如图1-13所示，电偶极子p
在均匀电场0E 中所受的力F 和力矩M 分别为
图1-13
（1）合力：0=+=-+F F F
，
-+F F
、等大反向，形成力偶。

（2）合力矩：对0点产生的力矩M
为
+
F -
F o
E
l
θθsin 2
sin 2l F l F M ⋅+⋅=-+ θθsin sin 2
200qlE l qE =⋅=
θsin 0PE = 考虑方向后，写成矢量式为：0E P M ⨯=。

综上可知，在均匀电场0E 中，电偶极子p 的运动行为是：只转动、不平动。

（若场非均匀，则会发生平动）。

例2：研究示波器中电子的电偏转。

如图1-14，质量为m 、电量为e 的电子以初速0v 进入极板间均匀电场为E
的电场中，则参数方程为 ⎪⎩
⎪⎨⎧===2202121t m eE at y t v x 消去t 后得轨迹方程为：2202x mv eE y =。

图1-14
由图中其余几何尺寸，可求得屏上偏转距B y ，其中，⋂OA 段为抛物线、AB 段为直线。

B。