Chebyshev配置点法解Volterra型积分微分方程

Chebyshev配置点法解Volterra型积分微分方程
吴华;张珏
【摘要】采用Chebyshev配点法求解Voherra型积分微分方程,首先将Volterra 型积分微分方程重新写成一个第二类的线性积分方程组,然后将方程组中的被积函数用Lagrange基函数展开,再将Lagrange基函数用Chebyshev多项式展开,在L<,∞>范数下作误差分析,最后用数值算例来证明该方法的可行性.%A Chebyshev-collocation spectral method is developed for Volterra type integro-differential equations. The Volterra type integro-differential equation as two linear integral equations of the second kind is rewrited, and the integrand with Lagrange basis functions and the Lagrange basis functions in terms of the Chebyshev polynomials are expanded. An error analysis is conducted based on the L∞ -norm.Numerical results are presented to demonstrate effectiveness of the proposed method.
【期刊名称】《上海大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2011(017)002
【总页数】7页(P182-188)
【关键词】Chebyshev配置点法;积分微分方程;Lagrange基函数;Chebyshev权【作者】吴华;张珏
【作者单位】上海大学,理学院,上海,200444;上海大学,理学院,上海,200444
【正文语种】中文
【中图分类】O175.6
由于 Volterra型积分微分方程带有记忆性质,与传统的常微分方程和偏微分方程相比,有着本质区别,因此,该方程的数值求解也更为困难.如何快速高效地求解这类方程,一直受到许多学者的关注.由于当解充分光滑时,用谱方法求出的近似解具有很高的精度,所以谱方法经常被运用到近似计算中.因此,本研究采用 Chebyshev配点法解下述 Volterra型积分微分方程:
式中,函数 f(t),g(t)和核函数 R(t,s)都是充分光滑的.
为了分析方便,将式 (1)和 (2)转换为定义在[-1,1]上的等价问题.通过变量替换,将式(1)和(2)转化为
Jiang等[1]把给定的积分微分方程转换成第二类积分方程的方程组,因此,解积分微分方程的主要工作就转变成求解这个积分方程组.Atkinson[2]提出了多种求解第二类积分方程的数值方法,并且作了误差分析.Tang等[3]提出了用 Legendre配点法求解Volterra型积分方程的方法.Chen等[4-5]分别用Chebyshev配点法和Jacobi配点法求解了带有奇异核的第二类 Volterra型积分方程.Elnagar等[6]用Chebyshev谱方法求解了非线性 Volterra-Hammerstein积分方程.Tian[7]使用谱元法求解Volterra型积分方程,并将谱元法与梯形公式和Simpson公式作了比较,得到谱元法具有更高的收敛阶.Tang等[8]提出了谱处理技术在提高数值解的精度上的应用.另外,其他研究者还提出了获得带有奇异核 Volterra型积分方程和积分微分方程的高阶收敛性质的方法[9-11].
本研究主要是利用 Chebyshev配点法求出Volterra型积分微分方程 (3)和 (4)的数值解.虽然Legendre点在计算中具有很高的稳定性,但是Legendre多项式的权是隐式的,不便于计算.然而,Chebyshev点和权能够直接使用,计算方便.而且Chebyshev多项式能够利用快速傅里叶变换 (fast Fourier transform,FFT),因此,Chebyshev谱方法更常用于工程计算中.一般情况下,Chebyshev谱方法多用于
计算带有奇异核的积分方程,而不带奇异核的积分方程经常用 Legendre谱方法来计算.本研究采用 Chebyshev谱方法计算不带奇异核的积分方程,并对该方法作了严格的误差分析,用数值算例证明了其收敛阶.
本研究中,C代表一个与N无关的正常数,但是依赖于所给方程 a(x),b(x),K(x,s)的边界.
类似文献 [1]中的方法,将式 (3)和 (4)写为一种新的形式.记z=u′,则式 (3)等价于一个关于 z的第二类线性 Volterra型积分方程,即
出,此方法能达到预期的谱收敛精度.
之后,可用 Gauss积分公式来求解上面的方程组中的积分部分.
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