初中数学知识点整理表格版

初中数学教材知识梳理·系统复习第一单元数与式第1讲实数
第2讲整式与因式分解
第3讲分式
第4讲二次根式
第二单元方程(组）与不等式(组) 第5讲一次方程（组)
第6讲一元二次方程
第7讲分式方程
3.增根使分式方程中的分母为0的根即为增根. 例：若分式方程
1
1
x
=
-
有增根，则增根为1.
知识点二:分式方程的应用
4。

列分式方程解应用题的
一般步骤（1)审题;(2)设未知数；(3) 列分式方程；（4）解分式
方程;（5）检验：（6)作答．
在检验这一步中，既要检验所求未知数的值是
不是所列分式方程的解，又要检验所求未知数
的值是不是符合题目的实际意义.
第8讲一元一次不等式（组)
知识点一：不等式及其基本性质关键点拨及对应举例
1.不等式
的相关
概念（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子。

（2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值。

（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.
例:“a与b的差不大于1”用不等
式表示为a－b≤1。

2。

不等式
的基本
性质性质1:若a＞b,则a±c>b±c;
性质2:若a＞b,c〉0，则ac>bc，
a
c
〉
b
c
；
性质3：若a＞b,c<0,则ac<bc，
a
c
〈
b
c
.
牢记不等式性质3,注意变号.
如：在不等式－2x＞4中，若将
不等式两边同时除以－2,可得x
＜2。

知识点二：一元一次不等式
3。

定义用不等号连接，含有一个未知数,并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式. 例：若230
m
mx++>是关于x的一元一次不等式,则m的值为—1.
4。

解法（1）步骤：去分母；去括号;移项；合并同类项;系数化为1。

失分点警示
系数化为1时，注意系数的正负
性，若系数是负数，则不等式改
变方向。

（2)解集在数轴上表示:
x≥a x＞a x≤a x＜a
知识点三:一元一次不等式组的定义及其解法
5。

定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．（1)在表示解集时“≥”，“≤”表示含有，要用实心圆点表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圆点表示．
（2）已知不等式（组)的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等
6。

解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分
7。

不等式
组解集假设a＜b解集数轴表示口诀
x a
x b
≥
⎧
⎨
≥
⎩
x≥b大大取大
的类型
x a x b
≤⎧⎨
≤⎩ x ≤a 小小取小 式(组）解集的定义,反推出含字母的方程，最后求出字母的值。

如：已知不等式(a-1)x ＜1—a 的解集是x ＞-1，则a 的取值范围是a ＜1。

x a x b
≥⎧⎨
≤⎩ a ≤x ≤b 大小，小大中间找 x a x b
≤⎧⎨≥⎩
无解
大大，小小取不了
知识点四 ：列不等式解决简单的实际问题
8。

列不等
式解应用题
(1)一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系;列不等式；解不等式；验检是否有意义。

（2)应用不等式解决问题的情况： a 。

关键词:含有“至少（≥)”、“最多（≤）”、“不低于(≥)”、“不高于(≤)"、“不大(小)于”、“超过（＞）"、“不足（＜)”等； b.隐含不等关系：如“更省钱"、“更划算”等方案决策问题，一般还需根据整数解，得出最佳方案 注意：
列不等式解决实际问题中,设未知数时，不应带“至少”、“最多”等字眼，与方程中设未知数一致.
第9讲 平面直角坐标系与函数
知识点一:平面直角坐标系
关键点拨及对应举例
1.相关概念
（1)定义:在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系． （2)几何意义：坐标平面内任意一点M 与有序实数对（x ，y )的关系是一一对应． 点的坐标先读横坐标(x 轴),再读纵坐标(y 轴)。

2.点的坐标
特征
( 1 )各象限内点的坐标的符号特征（如图所示)： 点P (x ，y ）在第一象限⇔x ＞0，y ＞0； 点P （x,y ）在第二象限⇔x ＜0,y ＞0; 点P (x ，y ）在第三象限⇔x ＜0，y ＜0； 点P （x ，y ）在第四象限⇔x ＞0，y ＜0. （2）坐标轴上点的坐标特征:
①在横轴上⇔y ＝0；②在纵轴上⇔x ＝0；③原点⇔x ＝0，y ＝0。

（3）各象限角平分线上点的坐标
①第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等;
②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数 (4）点P (a ,b ）的对称点的坐标特征：
①关于x 轴对称的点P 1的坐标为（a ，－b ）；②关于y 轴对称的点P 2的坐标为(－a ，b ）; ③关于原点对称的点P 3的坐标为（－a ，－b ）． （5)点M （x,y)平移的坐标特征： M （x ，y ） M 1(x+a ,y ) M 2（x+a ,y+b )
（1)坐标轴上的点不属于任何象限。

（2)平面直角坐标系中图形的平移,图形上所有点的坐标变化情况相同。

（3）平面直角坐标系中求图形面积时，先观察所求图形是否为规则图形，若是,再进一步寻找求这个图形面积的因素，若找不到，就要借助割补法，割补法的主要秘诀是过点向x 轴、y 轴作垂线,从而将其割补成可以直接计算面积的图形来解决。

3。

坐标点的
距离问题
（1）点M(a ，b ）到x 轴，y 轴的距离：到x 轴的距离为|b |；)到y 轴的距离为|a ｜． （2）平行于x 轴，y 轴直线上的两点间的距离：
点M 1(x 1,0）,M 2（x 2，0）之间的距离为|x 1－x 2|，点M 1(x 1，y ），M 2(x 2，y )间的距离为|x 1－x 2|；
点M 1(0，y 1），M 2(0，y 2)间的距离为|y 1－y 2|，点M 1(x ，y 1），M 2（x ，y 2)间的距离为｜y 1－y 2|．
平行于x 轴的直线上的点纵坐标相等;平行于y 轴的直线上的点的横坐标相等.
x
y
第四象限 (＋，－)
第三象限 (－，－)第二象限 (－，＋)
第一象限 (＋，＋)
–1–2–31
2
3
–1–2
–3
1
23
O
知识点二:函数
4。

函数的相关概念（1)常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量,数值发生变化的量叫
做变量．
（2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确
定的值与其对应,那么就称x是自变量，y是x的函数．函数的表示方法有：列表法、
图像法、解析法。

(3）函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数;分式的分母不为零；二次根
式的被开方数为非负数；使实际问题有意义．
失分点警示
函数解析式,同时有几个代
数式，函数自变量的取值范
围应是各个代数式中自变量
的公共部分。

例：函数
y=3
5
x
x
+
-
中自变量的取值范
围是x≥—3且x≠5.
5。

函数的图象（1)分析实际问题判断函数图象的方法：
①找起点:结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；
②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化;
③判断图象趋势:判断出函数的增减性,图象的倾斜方向.
（2）以几何图形（动点)为背景判断函数图象的方法：
①设时间为t（或线段长为x),找因变量与t(或x)之间存在的函数关系,用含t(或x)的式子
表示，再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围。

读取函数图象增减性的技
巧：①当函数图象从左到右
呈“上升"（“下降”）状态时,
函数y随x的增大而增大（减
小)；②函数值变化越大，图
象越陡峭；③当函数y值始
终是同一个常数，那么在这
个区间上的函数图象是一条
平行于x轴的线段.
第10讲一次函数
知识点一：一次函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例
1。

一次函数的
相关概念（1）概念：一般来说，形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当b ＝0
时，称为正比例函数．
（2)图象形状：一次函数y＝kx＋b是一条经过点(0,b)和(-b/k,0）的直线。

特别地，正
比例函数y＝kx的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.
例：当k＝1时，函数y＝kx＋k－
1是正比例函数，
2.一次函数
的性质k,b
符号
K＞0，
b＞0
K＞0,
b＜0
K＞0，b=0 k〈0,
b>0
k〈0，
b<0
k〈0,
b＝0
（1）一次函数y=kx+b中,k确定
了倾斜方向和倾斜程度，b确定了
与y轴交点的位置。

（2)比较两个一次函数函数值的
大小：性质法,借助函数的图象，
也可以运用数值代入法.
例:已知函数y=－2x＋b，函数值y
随x的增大而减小（填“增大"或
“减小”）．
大致
图象
经过
象限
一、二、三一、三、
四
一、三一、二、
四
二、三、
四
二、四
图象
性质
y随x的增大而增大y随x的增大而减小
3。

一次函数与坐标轴交
点坐标(1）交点坐标:求一次函数与x轴的交点，只需令y=0，解出x即可；求与y轴的交点，
只需令x=0，求出y即可.故一次函数y＝kx＋b（k≠0)的图象与x轴的交点是错误!，
与y轴的交点是(0，b)；
(2）正比例函数y＝kx（k≠0)的图象恒过点（0，0）．
例：
一次函数y＝x＋2与x轴交点的
坐标是(—2，0),与y轴交点的坐
标是(0，2）。

知识点二：确定一次函数的表达式
第11讲反比例函数的图象和性质
数的图象和性质k〉0 图象经过第
一、三象限
(x、y同号）
每个象限内,函数y的值随
x的增大而减小。

否满足其解析式;②把点的横、纵坐标
相乘,判断其乘积是否等于k。

失分点警示
（2）反比例函数值大小的比较时，首
先要判断自变量的取值是否同号，即是
否在同一个象限内，若不在则不能运用
性质进行比较，可以画出草图,直观地
判断.
k〈0 图象经过第
二、四象限
（x、y异号）
每个象限内，函数y的值
随x的增大而增大。

3。

反比例
函数的图
象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；
（2)图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；
（3）图象是中心对称图形,原点为对称中心；也是轴对称图形,2条对称轴分别
是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．
例：若(a，b)在反比例函数
k
y
x
=的图
象上，则（－a,－b)在该函数图象上。

（填“在"、”不在"）
4。

待定系
数法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式,代入求出反比例函数系数k
即可。

例：已知反比例函数图象过点（－3，
－1）,则它的解析式是y=3/x.
知识点二:反比例系数的几何意义及与一次函数的综合
5。

系数k
的几何意
义（1）意义：从反比例函数y＝错误!(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线,
垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|，以该点、一个垂足和原点为顶点的三
角形的面积为1/2｜k|。

（2)常见的面积类型：
失分点警示
已知相关面积，求反比例函数的表达
式,注意若函数图象在第二、四象限,则
k＜0.
例：已知反比例函数图象上任一点作坐
标轴的垂线所围成矩形为3,则该反比
例函数解析式为：
3
y
x
=或
3
y
x
=-。

6.与一次函
数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，
可得另一个交点坐标为(-a，—b).【方法二】联立两个函数解析式，利用方程
思想求解。

（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函
数解析式中求解
(3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，
可采用假设法,分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可。

也可逐一选项判断、排除.
（4)比较函数值的大小：主要通过观察图象,图象在上方的值大,图象在下方的值
小，结合交点坐标，确定出解集的范围。

涉及与面积有关的问题时，①要善于把
点的横、纵坐标转化为图形的边长，对
于不好直接求
的面积往往可
分割转化为较
好求的三角形
面积;②也要注意系数k的几何意义。

例:如图所示，三个阴影部分的面积按
从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE
＞S△BOD。

知识点三：反比例函数的实际应用
7.一般步
骤(1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
(2设出函数表达式；
（3）依题意求解函数表达式;
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
第12讲二次函数的图象与性质
知识点一:二次函数的概念及解析式关键点拨与对应举例
第13讲二次函数的应用
第四单元图形的初步认识与三角形
第15讲一般三角形及其性质
②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.
4.三角形
中的重
要线段 四线 性 质
（1）角平分线、高结合求角度时,注意运用三角形的内角和为180°这一隐含条件.
（2）当同一个三角形中出现两条高，求长度时，注意运用面积这个中间量来列方才能够求解。

角平分线
（1） 角平线上的点到角两边的距离相等
（2） 三角形的三条角平分线的相交于一点(内心) 中线
（1） 将三角形的面积等分
（2）
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
高
锐角三角形的三条高相交于三角形内部;直角三角形的三条高相
交于直角顶点;钝角三角形的三条高相交于三角形的外部 中位线
平行于第三边，且等于第三边的一半
5. 三角形中内、外角与角
平分线的规律总结
如图①，AD 平分∠BAC ，AE ⊥BC,则∠α=12∠BAC-∠CAE=1
2
(180°—∠B —∠C ）—（90°-∠C ）=
1
2
（∠C —∠B ）； 如图②，BO 、CO 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，则有∠O=
1
2
∠A+90°;
如图③，
BO 、CO 分别为∠ABC 、∠ACD 、∠OCD 的平分线，则∠O=12∠A ，∠O ’=1
2
∠O ；
如图④，BO 、CO 分别为∠CBD 、∠BCE 的平分线,则∠O=90°—
1
2
∠A 。

对于解答选择、填空题,可以直接通过结论解题，会起到事半功倍的效果.
知识点二 :三角形全等的性质与判定
6。

全等三角形的性质
(1)全等三角形的对应边、对应角相等．
(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． （3）全等三角形的周长等、面积等． 失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角.
7。

三角形
全等的判定
一般三角形全等 SSS(三边对应相等）
SAS （两边和它们的夹角对应相等）
ASA(两角和它们的夹角对应相等）
AAS （两角和其中一个角的对边对应相等）
失分点警示
如图，SSA 和AAA 不能判定两个三角形全等。

直角三角形全等
(1）斜边和一条直角边对应相等（HL)
（2）证明两个直角三角形全等同样可以用 SAS,ASA 和AAS 。

8.全等三
角形的运用（1)利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两
个全等的三角形中,通过证明全等得到结论。

在寻求全等的条件时,注意
公共角、公共边、对顶角等银行条件。

(2）全等三角形中的辅助线的作法:
①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等。

②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS可得△ACD≌△
EBD,则AC=BE.在△ABE中，AB+BE＞AE，即AB+AC＞2AD。

③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④。

例:
如图，在△ABC中，已知∠1=
∠2，
BE=CD，
AB=5,AE=2,
则CE=3.
第16讲等腰、等边及直角三角形
知识点一:等腰和等边三角形关键点拨与对应举例
1.等腰
三角形(1)性质
①等边对等角:两腰相等，底角相等，即AB＝AC ∠B＝∠C；
②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高
互相重合;
③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴。

(2）判定
①定义:有两边相等的三角形是等腰三角形；
②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形。

（1）三角形中“垂线、角平分线、
中线、等腰"四个条件中，只要满
足其中两个，其余均成立。

如：
如左图，已知AD⊥BC，D为BC
的中点，则三角形的形状是等腰
三角形。

失分点警示:当等腰三角形的腰
和底不明确时，需分类讨论. 如若
等腰三角形ABC的一个内角为
30°,则另外两个角的度数为
30°、120°或75°、75°.
2.等边三角形（1）性质
①边角关系：三边相等,三角都相等且都等于60°。

即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；
②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角
平分线或中线）所在的直线是对称轴.
(2)判定
①定义:三边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等（均为60°)的三角形是等边三角形;
③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形。

即若AB＝AC，且∠B
＝60°，则△ABC是等边三角形。

（1)等边三角形是特殊的等腰三
角形，所以等边三角形也满足
“三线合一”的性质。

（2）等边三角形有一个特殊的角
60°,所以当等边三角形出现
高时，会结合直角三角形30°
角的性质，即BD=1/2AB.
例：△ABC中，∠B=60°,AB=AC，
BC=3，则△ABC的周长为9.
知识点二：角平分线和垂直平分线
3.角平分线（1）性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若
∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB,则PA＝PB.
(2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平
分线上．
例：如图，△ABC中，
∠C=90°,∠A=30°，AB的垂直平
分线交AC于D，交AB于E，
CD=
2，则
AC=
6。

4.垂直平分
线图
形(1)性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.
（2)判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
知识点三：直角三角形的判定与性质
5。

直角三角形的性质(1）两锐角互余。

即∠A＋∠B＝90°；
(2）30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝
1
2
AB;
(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则
CD＝
1
2
AB.
(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即
a2＋b2＝c2 .
（1）直角三角形的面积
S=1/2ch=1/2ab（其中a,b为直角
边，c为斜边，h是斜边上的高),
可以利用这一公式借助面积这个
中间量解决与高相关的求长度问
题。

(2）已知两边，利用勾股定理求长
度，若斜边不明确，应分类讨论。

（3）在折叠问题中，求长度，往
往需要结合勾股定理来列方程解
决.
6。

直角
三角
形的
判定（1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△;
（2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD,则△ABC是Rt△(3）勾股定理的逆定理:若a2＋b2＝c2,则△ABC是Rt△.
第17讲相似三角形
知识点一：比例线段关键点拨与对应举例
1.比例
线段在四条线段a，b,c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即
a c
b d
=，
那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
列比例等式时，注意四条线段的大小
顺序，防止出现比例混乱。

2。

比例
的基
本性
质(1)基本性质：
a c
b d
=⇔ ad＝bc；(b、d≠0）
(2）合比性质：
a c
b d
=⇔
a b
b
±
＝
c d
d
±
；（b、d≠0）
(3)等比性质:
a c
b d
=＝…＝
m
n
＝k（b＋d＋…＋n≠0)⇔
...
...
a c m
b d n
+++
+++
＝k。

（b、d、···、n≠0）
已知比例式的值，求相关字母代数式的值，
常用引入参数法,将所有的量都统一用含同
一个参数的式子表示，再求代数式的值，也
可以用给出的字母中的一个表示出其他的
字母,再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k，再
代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b
代入求解。

例:若
3
5
a
b
=，则
a b
b
+
=
8
5。

3。

平行
线分线段成比（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线
段成比例。

即如图所示，若l3∥l4∥l5，则
AB DE
BC EF
=。

利用平行线所截线段成比例求线段长
或线段比时，注意根据图形列出比例
等式,灵活运用比例基本性质求解.
2
1P C
O
B
A
P
C
O B
A
D
A
B
C a
b
c
D
A
B
C a
b
c
F
E
D
C
B
A
l5
l4
l3
l2
l1
例定理（2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例。

即如图所示，若AB∥CD,则OA OB
OD OC
=.
例：如图，已知D，E分别是△ABC的
边BC和AC上的点，AE=2，CE=3，
要使DE∥AB,那么BC：CD应等于
5
3。

（3)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.
4。

黄金
分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果错误!＝=错误!≈0。

618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄
金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
例:把长为10cm的线段进行黄金分割，
那么较长线段长为5（5－1）cm．
知识点二：相似三角形的性质与判定
5.相似
三角
形的
判定(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).
如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△
DEF.
判定三角形相似的思路：①条件中若有平行
线，可用平行线找出相等的角而判定;②条
件中若有一对等角，可再找一对等角或再找
夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中
若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件
中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证
明直角边和斜边对应成比例;⑤条件中若有
等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等
或找底、腰对应成比例。

(2）两边对应成比例，且夹角相等的两个
三角形相似．如图，若∠A＝∠
D,
AC AB
DF DE
=，则△ABC∽△DEF。

(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如
图，若
AB AC BC
DE DF EF
==，则△ABC∽△DEF.
6。

相似
三角形的性质(1）对应角相等,对应边成比例．
（2）周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
(3）相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等
于相似比．
例：(1）已知△ABC∽△DEF，△ABC的周
长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与
△DEF的面积之比为9：4.
（2) 如图,DE∥BC，AF⊥
BC,已知S△ADE：S△
ABC=1:4,则AF:AG=1：2。

7.相似三
角形的基本模型
（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形,
可以迅速找到解题思路，事半功倍。

（2）证明等积式或者比例式的一般方法:经
常把等积式化为比例式，把比例式的四条
线段分别看做两个三角形的对应边.然后，
通过证明这两个三角形相似,从而得出结
果。

第18讲解直角三角形
O
D
C
B
A
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
知识点一:锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例
1.锐角三角函数正弦: sin A＝错误!＝错误!
余弦：cos A＝错误!＝错误!
正切: tan A＝错误!＝错误!。

根据定义求三角函数值时，一定根据
题目图形来理解,严格按照三角函数
的定义求解，有时需要通过辅助线来
构造直角三角形。

2。

特殊角
的三角函数值
度数
三角函数
30°45°60°sinA
1
2
2
2
3
2 cosA
3
2
2
2
1
2 tanA
3
3
1 3
知识点二：解直角三角形
3。

解直角
三角形
的概念在直角三角形中，除直角外,一共有五个元素，即三条边和两个锐
角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程
叫做解直角三角形．
科学选择解直角三角形的方法口诀：
已知斜边求直边,正弦、余弦很方便;
已知直边求直边，理所当然用正切；
已知两边求一边，勾股定理最方便；
已知两边求一角，函数关系要记牢；
已知锐角求锐角，互余关系不能少；
已知直边求斜边，用除还需正余弦.
例：在Rt△ABC中,已知a=5，
sinA=30°,则c=10，b=5.
4.解直角
三角形的常用关系（1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；
(2)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝90°；
(3)边角之间的关系：sin A＝=cosB=错误!，cos A＝sinB=错误!,
tan A＝错误!。

知识点三：解直角三角形的应用
5.仰角、俯
角、坡
度、坡角
和方向
角(1）仰、俯角:视线在水平线上方的角叫做仰角。

视线在水平线下
方的角叫做俯角．(如图①）
（2)坡度:坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡
比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，
用α表示，则有i＝tanα。

（如图②）
(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和
一条铅垂线(向上为北向）,则从点O出发的视线与水平线或铅
垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）
解直角三角形中“双直角三角形”的
基本模型：
（1）叠合式（2）背靠式
解题方法：这两种模型种都有一条公
共的直角边，解题时，往往通过这条
边为中介在两个三角形中依次求边,
或通过公共边相等，列方程求解。

6.解直角三角形实(1)弄清题中名词、术语,根据题意画出图形，建立数学模型; (2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
际应用的一般步骤（4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义,从而得到问题的解．
第五单元四边形
第19讲多边形与平行四边形
知识点一：多边形关键点拨与对应举例
1.多边形的相关概念(1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．
（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引（n－3）条对角线，并且这些对角
线把多边形分成了（n－2)个三角形；n边形对角线条数为
()3
2
n n-
．
多边形中求度数时，灵
活选择公式求度数，解
决多边形内角和问题
时,多数列方程求解。

例：
（1）若一个多边形的
内角和为1440°，则这
个多边形的边数为
10．
（2）从多边形的一个
顶点出发引对角线,可
以把这个多边形分割
成7个三角形,则该多
边形为九边形．
2。

多边形的内角和、外角和( 1 ）内角和：n边形内角和公式为（n－2）·180°（2)外角和：任意多边形的外角和为360°。

3.正多边形（1)定义：各边相等，各角也相等的多边形。

(2）正n边形的每个内角为
()2180
n
n
-⋅
，每一个外角为360°/n。

( 3 ) 正n边形有n条对称轴.
(4)对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形;当n为偶数时，既是轴对称
图形,又是中心对称图形。

知识点二:平行四边形的性质
4。

平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“□”表示.
利用平行四边形的性
质解题时的一些常用
到的结论和方法：
（1）平行四边形相邻
两边之和等于周长的
一半.
（2)平行四边形中有
相等的边、角和平行关
系，所以经常需结合三
角形全等来解题.
(3）过平行四边形对称
中心的任一直线等分
平行四边形的面积及
周长.
例：
如图，□ABCD中，
EF过对角线的交点
O，AB=4，AD=3，
OF=1。

3，则四边形
BCEF的周长为9.6.
5.平行四边形的性质（1）边：两组对边分别平行且相等.
即AB∥CD 且AB＝CD，BC∥AD且AD＝BC。

（2）角:对角相等,邻角互补.
即∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，
∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BAD＋∠ADC＝180°。

（3）对角线:互相平分。

即OA＝OC，OB＝OD
（4）对称性：中心对称但不是轴对称.
6。

平行四边形中的几个解题模型（1）如图①，AF平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABF为等腰三角形，即AB=BF。

（2)平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD ≌△CDB；
两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；
根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等,如图②△AOE≌△COF。

图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半。

（3）如图③,已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE。

(4）根据平行四边形的面积的求法,可得AE·BC=AF·CD.
O
D C
B
A。