华东理工大学概率论答案-9-10

华东理工大学概率论答案-9-10
华东理工大学
概率论与数理统计
作业簿（第四册）
学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________
第九次作业
一． 填空题
1. 设X 服从泊松分布，若26EX =，则(1)P X >= 213e --。

解 222
~(),6()X P E X D X E X λλλ
==+=+
故 2λ=. (1)1(1)1(0)(1)
P X P X P X P X >=-≤=-=-= 222
1213e e e
---=--=-. 2.
设随机变量~(,)B n p ξ，已知 2.4, 1.44E D ξξ==，则参数n= 6 ，
p = 0.4 。

解 2.4,6,1.44,0.4.E np n D npq p ξξ===⎧⎧⇒⎨⎨
===⎩⎩
3. 某保险公司的某人寿保险险种有1000人投保，每个人在一年内死亡的概率为0.005，且每个人在一年内是否死亡是相互独立的，欲求在未来一年内这1000个投保人死亡人数不超过10人的概率。

用Excel 的BINOMDIST 函数计算。

BINOMDIST （10 , 1000, 0.005, TRUE ）= 0.986531_。

4. 运载火箭运行中进入其仪器仓的粒子数服从参数为4的泊松分布，用Excel 的POISSON 函数求进入仪器舱的粒子数大于10的概率。

POISSON （10 , 4 ，TRUE ）=0.9972, 所求概率p =_0.0028_。

5. ~(4)P ξ，由切比雪夫不等式有(|4|6)P ξ-<≥__8/9___。

二． 选择题
1. 在相同条件下独立的进行3次射击，每次射击击中目标的概率为
2
3
，则至少击中一次的概率为 （ D ）
A. 274
B. 2712
C. 2719
D. 27
26
三．计算题
1. 设随机变量ξ的密度函数是
1
cos ,0()22
0,
x x p x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它 对ξ独立的随机观察4次，η表示观察值大于3
π
的次数，求 （1）η的概率分布（分布律）， （2）E D ηη
和。

解 ()
4,B p η~。

（1）设A=“观察值大于3π
”，则 311()()cos 32
22x p P A P dx πππξ==≥==⎰,
所以η的概率分布为：4411()(1),(0,1,2,3,4)22k
k P k k k η-⎛⎫==-= ⎪⎝⎭。

或
（2） 11142,41222
E D ηη=⨯==⨯⨯=
2. 随机变量ξ服从参数为p 的几何分布，即
1()(1),1,2,k P k p p k ξ-==-=L
（1） 求 ()P s ξ>，其中s 是一个非负整数；
（2） 试证(|)()P s t s P t ξξξ>+>=>，其中s ，t 是非负整数。

（几何分布具有无记忆性）。

解 （1）11
1
()()(1)k k s k s P s P k p p ξξ∞∞
-=+=+>=
==-∑∑
1
(1)
(1)
(1)(1)s
k
s
s k p p p p p p p
∞
==--=-=-∑ 或者：1
1
()1()1(1)
s
k k P s P s p p ξξ-=>=-≤=--∑1(1)1(1)1(1)
s
s p p p p --=-⋅=---
（2） ({}{})()
(|)()()
P s t s P s t P s t s P s P s ξξξξξξξ>+>>+>+>=
=>>I
(1)(1)()(1)
s t t
s
p p P t p ξ+-==-=>-。

3. 设随机变量X 服从泊松分布，且)
2(4)1(==≤X P X P ，求(3)P X =。

解：λλλλ
λ
---
==+==+==≤e
X P e e X P X P X P 2
)2(,)1()0()1(2
由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ-
--=+e e e 22 即 0
122
=--λλ 解得 1=λ，故 16
1
)3(-==e X P .
4. 设在时间t (单位：min)内，通过某路口的汽车服从参数与t 成正比的泊松
分布。

已知在1分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内至少有2
辆车通过的概率。

（提示：设t ξ=“t 时间内汽车数”,则()t P t ξλ~） 解: 设t ξ=“t 时间内汽车数”,则()t P t ξλ~,
那么()() (0,1,2,)!k t
t t e P k k k λλξ-==
=L , 由已知,得01()(0)0.2ln 50!
e P λ
λξλ-==
=⇒=, 所以 0212222(2)(2)(2)1(0)(1)10!1!
e e P P P λλ
λλξξξ--≥=-=-==-- 22242ln 5
1(2).25
e e λλλ---=--=
5. 在一次试验中事件A 发生的概率为p ，把这个试验独立重复做两次。

在下
列两种情况下分别求p 的值：
（1） 已知事件A 至多发生一次的概率与事件A 至少发生一次的概率相等；
（2）已知事件A 至多发生一次的条件下事件A 至少发生一次的概率为1
2。

解 设ξ为两次试验中事件A 发生的次数，则~(2,)B p ξ。

（1）由题意知，(1)(1)P P ξξ≥=≤，即
(1)(2)(0)(1)P P P P ξξξξ=+===+=
得 (2)(0)P P ξξ===，亦即 22022
2(1)C p C p =-，解得 12
p =。

（2）由条件概率公式 ({1}{1})(1)(1|1)(1)(1)P P P P P ξξξξξξξ≥≤=≥≤=
=≤≤I 22(1)211p p p
p p
-==-+，
根据题意，
2112p p =+，解出，1
3
p =。

第十次作业
一． 填空题：
1． 若ξ在[0,5]上服从均匀分布，则方程0322=-++ξξξx x 有实根的概率 0.8 。

2． 设随机变量X 在区间[2，6]上服从均匀分布，现对X 进行了3次独立试验，则正好有2次观测值大于4的概率为
3
8。

3． 设每人每次打电话的时间（单位：min ）服从(1)E ，则在808人次的电话中有3次或以上超过6分钟的概率为 1
2
二． 选择题：
1． 设X 服从正态分布2(,)N μσ，则随着σ的增大，概率{||}P X μσ-<（ C ）。

A.单调增大 B.单调减少 C.保持不变 D. 增减不定
2． 若灯管的寿命~()e ξλ，则该灯管已使用了(0)a a >小时,能再使用b 小时的概率（ A ）。

A. 与a 无关
B. 与a 有关
C. 无法确定
D. 以上答案都不对
3．随机变量 X 的概率密度函数为()p x ，且()()p x p x =-，()F x 是X 的分布函
数，则对任意实数a ，有（ B ）。

A. 0()1()a
F a p x dx -=-⎰ B. 0
1()()2a
F a p x dx -=
-⎰ C. ()()F a F a -= D. ()2()1F a F a -=-
三． 计算题：
1． 某地区18岁的女青年的血压服从(110,121)N 。

在该地区任选一18岁的女青年，测量她的血压，
（1） 求(100),(105.5121)P X P X ≤≤≤ （2） 确定最小的x ，使()0.05P X x >≤ 解：设女青年的血压为ξ，则~(110,121)N ξ，
110
~(0,1)11
N ξ-
（1）
110105.5110
(105.5)(
)(0.5)
1111
1(0.5)10.69150.3085
X P X P --<=<=Φ-=-Φ=-= 12111099110
(99121)()()(1)(1)1111
2(1)120.841310.6826
P X --≤≤=Φ-Φ=Φ-Φ-=Φ-=⨯-= （3） 要使()0.05P X x >≤，只须()0.95P X x ≤>
(1.65)0.95Φ=Q 110
1.65128.1511
x x -∴
>⇒> 2． 修理某机器所需时间（单位：小时）服从参数为1
2
的指数分布。

试问：
（1） 修理时间超过2小时的概率是多少？
（2） 若已持续修理了9小时，总共需要至少10小时才能修好的条件概
率是多少？
解：设ξ是修理时间，1~()2E ξ，ξ的分布函数为21e
0()00x x F x x -⎧⎪->=⎨⎪≤⎩ 。

（1）1
2
2e )e 1(1)2(1}2{1}2{--
=--=-=≤-=>F P P ξξ ≈
367879
.0 ； （2）
}
9{}
10{}910{>>=
>>ξξξξP P P 2
12
92102
9210e
e
e
)
e
1(1)e 1(1-
-
-
-
-==----=
≈
606531
.0 。

3． 假设测量的随机误差
)10,0(~2
N ξ，试求在100次独立重复测量中，至少有二次测量误差的绝对值大于19.6的概率α。

解：19.6
(||19.6)(19.6)(19.6)2[1()]0.0510
P P P ξξξΦ>=>+<-=-=
令η为100次独立重复测量中，误差的绝对值大于19.6的次数，
则~(100,0.05)b η
1001
99100(2)1(0)(1)1(0.95)(0.05)(0.95)0.9629
P P P C ηηη≥=-=-==--=
4. 若),(~2σμξN 且90.0)89(=<ξP ，9
5.0)94(=<ξP ，求μ和2σ. 解：根据
)89()89(90.0σ
μ
ξ-Φ=<=P ，
和
)94(
)94(95.0σ
μ
ξ-Φ=<=P ，
利用随机变量分布函数的单调性，有
2816.189=-σ
μ
，
和 6449.194=-σ
μ
，
解得3617.71=μ，7627.13=σ，即4128.1892=σ。