安徽省江淮十校2015届高三8月联考数学【理】试题及答案

安徽省江淮十校2015届高三8月联考数学理试题
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，时间120分钟． 2．答题前，请考生务必将答题卷左侧密封线内的项目填写清楚．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题卷上，在试题卷上作答无效.
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合{}|3213A x x =-≤-≤，集合(){}
lg 1B x y x ==-，则A B =（ ） A.（1，2） B.[1，2] C.[ 1，2） D.（1，2 ]
2. 已知i 是虚数单位，a R ∈，则“1a =”是“2()2a i i +=”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
3. 已知双曲线)0(13
2
22>=-
a y a x 的离心率为2，则实数=a （ ） A. 2 B. 26 C. 2
5
D. 1
4. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
5. 已知直线()()12:120,:2130l a x ay l ax a y -+-=+++=，若12l l ⊥,则a 的值为 A ．0
B ．2-
C ．2-或0
D ．0或2
6. 设对任意实数[]1,1x ∈-，不等式2
30x ax a +-<总成立．则实数a 的取值范围是( )
A ．0a >
B ．12a >
C ．14
a > D ．012a a ><-或 7. 设357log 6,log 10,log 14a
b
c ===，则 （ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．a c b >> D ． c b a >>
8. 已知直线:0l Ax By C ++=（22
0A B +≠不全为0），两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，若
1122()()0Ax By C Ax By C ++++>，且1122Ax By C Ax By C ++<++，则直线l ( ) A ．与直线12PP 不相交 B ．与线段21P P 的延长线相交 C ．与线段12PP 的延长线相交 D ．与线段12PP 相交
9. 已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是（ ）
A ．108cm 3
B ．100 cm 3
C ．92cm
D ．84cm 3
第4题图
10. 在面积为6的Rt △ABC 中，90C ︒
∠=,AB 在AC
上的投影为3，
P 为线段AB 上的动点，且满足 ,||||
CA CB
CP x y CA CB =⋅+⋅uu r uur
uur uu r uur 则xy 的最大值为（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
第II 卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡的相应位置.
11. 若将函数()sin cos f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于原点对称，则ϕ的最小正值是
12.定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=
，且在[]2,0上的解析式为
()⎩⎨⎧≤<≤≤-=2
1,sin 10),1(x x x x x x f π，则_______
641429=⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f 13.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，若51020,,a a a 三项成等比数列，则此等比数列的公 比为 .
14. 已知变量x ，y 满足约束条件23033010x y x y y +-≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)
处取得最大值，则a 的取值范围为_____．
15. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别为棱1DD ，AB 上的点．下列说法正确
的是__________.（填上所有正确命题的序号）
①1
AC ⊥平面1B EF ； ②在平面1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线；
③1B EF △在侧面11BCC B 上的正投影是面积为定值的三角形； ④当,E F 为中点时，平面1B EF 截该正方体所得的截面图形是五边形； ⑤当,E F 为中点时，平面1B EF 与棱AD 交于点P ，则2
3AP =
． 三、解答题：本大题共6小题，计75分.骤.
把答案填在答题卡的相应位置. 16. 如图，点A ,B
是单位圆O 上的两点，点C 是圆O 与x ，将锐角α的终边OA 按逆时针方向旋转
3
π
到OB . 第15题图
第9题图
（Ⅰ）若点A 的坐标为34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭
，求点B 的横坐标； （Ⅱ）求BC 的取值范围.
17.（本小题12分）某校高三年级在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算并排序，选出前300名学生，并对这300名学生按成绩分
组，第一组[75,80)，第二组[80,85)，第三组
[85,90)，第四组[90,95)，第五组[95,100]，
如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列.
（Ⅰ）请在图中补全频率分布直方图；
（Ⅱ）若B 大学决定在成绩高的第4，5组中用
分层抽样的方法抽取6名学生，并且分成2组，每组3人
进行面试，求95分（包括95分）以上的同学被分在同一个小组的概率.
18.（本小题12分）如图，E 是以AB 为直径的半圆上异于点A 、B 的一点，矩形ABCD 所在平面垂直于该半圆所在的平面，且AB=2AD=2.
（Ⅰ）求证：EA EC ⊥
（Ⅱ）设平面ECD 与半圆弧的另一个交点为F ，EF=1， 求三棱锥E-ADF 的体积. 19.（本小题12分）已知数列{}n a 满足：12a =，23a =，1123(2)n n n a a a n +-=-≥， （Ⅰ）求证：数列{}1n n a a +-为等比数列；
（Ⅱ）求使不等式12
3
n n a m a m +-<-成立的所有正整数m n 、的值．
20. （本小题13分）如图，已知圆22:1O x y +=与x 轴交于A 、B 两点、与y 轴交于点C ，M 是圆O 上任意一点（除去圆O 与坐标轴的交点）.直线AM 与BC 交于点P ，CM 交x 轴于点N ，设直线PM 、PN 的斜率分别为m 、n ，
（Ⅰ）试求点M 、N 坐标（可用m 、n 表示） （Ⅱ）求证：2m n -为定值.
21. （本小题14分）设关于x 的方程2
10x mx --=有两个实根,()αβαβ<，函数22()1
x m
f x x -=
+. （Ⅰ）求证：不论m 取何值，总有()1f αα=； （Ⅱ）判断()f x 在区间(,)αβ的单调性，并加以证明； （Ⅲ）若,λμ均为正实数，证明：|()()|||f f λαμβμαλβ
αβλμλμ
++-<-++.
安徽省江淮十校教育研究会2014年高二联考
数学（理科）答案
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
1. D
2.A
3. D
4. B
5. C
6. B
7. A
8. B
9. B 10. C.
第II 卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 11.
4
π 12. 516 13. 2 14.
1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
15. ②③④⑤
三、解答题:本大题共6小题，计75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 16. （I ）由三角函数定义知， 34
cos ,sin .55
αα=
= ………………………（2分）
,3COB πα∠=+cos()cos cos sin sin 333πππααα∴+=-= ………（5分）
所以点B . ………………………（6分）
（II ）2
22cos()3
BC
π
α=-+
， ………………………（9分)
02
π
α<<
Q ，53
3
6π
π
πα∴
<+
<
， 1cos()()32
πα∴+∈，2
(1,2BC ∴∈+，
BC ⎛∴∈ ⎝⎭
. …………………（12分）
17.（本小题12分）
（Ⅰ）由图象可知第五组为:0.02530030⨯⨯=人， 第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数以次是一个以30分为首项，总和为300的等差数列,所以第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数以次是30人,45人,60人,75人,90人.
则绘制的频率分布直方图如右图所示.………….6分 （Ⅱ）第四组中抽取人数：6
60490
⨯=人，第五组中抽取人数：
6
30290
⨯=人，所以两组共6人.设第四组抽取的四人为1234,,,A A A A ，第五组抽取的2人为12,B B ，这六人分成两组有两种情况，情况一：
12,B B 在同一小组：123412(,,),(,,)A A A A B B ；124312(,,),(,,)A A A A B B ；134212(,,),(,,)A A A A B B ；234112(,,),(,,)A A A A B B ，共有4种可能结果，情况二：12,B B 不在同一小组：112234(,,),(,,)B A A B A A ；113224(,,),(,,)B A A B A A ；114223(,,),(,,)B A A B A A ；
123214(,,),(,,)B A A B A A ；124213(,,),(,,)B A A B A A ；134212(,,),(,,)B A A B A A ，共有6种可能结果，
两种情况总共10种可能结果，所以两人被分在一组的概率为
42
105
=. ….12分 另解：两人被分在一组的概率为14336322
2
5C P C C A ==.（此法亦可相应给分）
18.（本小题12分）
(Ⅰ)证明：Q 矩形ABCD ⊥面ABE ， CB ⊂面ABCD 且CB ⊥AB
∴CB ⊥面ABE ，从而AE ⊥BC ①………3.分
又Q 在半圆ABE 中，AB 为直径，∴90AEB ∠=o
即AE ⊥BE ②
由①②知：AE ⊥面BCE ，故有：EA EC ⊥， ……………………….…6分 (Ⅱ) Q AB//CD, ∴ AB//面DCE. 又Q 面DCE I 面ABE=EF,∴AB//EF
在等腰梯形ABEF 中，EF=1，AF=1，120AFE ∠=o ，………………….…9分
∴1sin1202S EF AF =
⨯⨯⨯=
o ，
11133E ADF D AEF AEF
AD V V S --∆==⨯⨯==. …………………12分 19.（本小题12分） 解：（Ⅰ）由1123(2)n n n a a a n +-=-≥得112()(2)n n n n a a a a n +--=-≥，
则1{}n n a a +-是以211a a -=为首项，以1
2
为公比的等比数列 .... ……… .........4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：211()2n n n a a ---=，累加可得2
14()2n n a -=-.........................8分
则123n n a m a m +-<-即为：2
114()22134()2
n n m m ----<--，
显然4m ≥时无解，则易求得123
,,11 2.
m m m n n n ===⎧⎧⎧⎨
⎨⎨
===⎩⎩⎩..................................................12分 注：若由123n n a m a m +-<-得到()()132n n a m a m +-<-即1n m a ->亦即3
142n m -⎛⎫
>- ⎪
⎝⎭
，从而得出
结果*
43
12,,1112m m m m n n n n N
≥===⎧⎧⎧⎧⎨
⎨⎨⎨===∈⎩⎩⎩⎩，或可酌情给分.
20. （本小题13分）
解：（I ） 直线AM 的方程为：(1)(0,1)y m x m =+≠±与 2
2
:1O x y +=
联立得222
12(
,)11m m
M m m -++………………………………………………………………….3分 由222
12(0,1),(,),(,0)11m m
C M N x m m
-++三点共线，得出1(,0)1m N m +-……………......…6分 （Ⅱ）.将直线BC 的直线方程1x y +=与(1)(0,1)y m x m =+≠±
联立得12(
,)11m m
P m m
-++…………………………………………………………………...8分 故有2220
2(1)1111(1)(1)211PN m
m m m m n k m m m m m m
---+====
-+--+-
+-………………………….11分 即：21m n -=………………………………………………………………………….13分
21. （本小题14分）
解: (Ⅰ)∵,αβ是方程2
10x mx --=的两个根， ∴,1m αβαβ+==-， ∴2222()1
()1()m f αααβαβααααβααβα
--+-=
===
+-- ， ∴()1f αα=……………………………………………………… （4分）
（Ⅱ）∵22222
2(1)2()()
()(1)(1)x mx x x f x x x αβ----'=-=-
++， 当(,)x αβ∈时，()0f x '>，∴()f x 在(,)αβ上单调递增．（此处用定义证明亦可）…（8分）
（Ⅲ）∵
()0λαμβμβααλμλμ+--=>++，同理可证：λαμβ
αβλμ
+<<+
∴由（Ⅱ）可知：()(
)()f f f λαμβαβλμ+<<+，()()()f f f μαλβ
αβλμ
+<<+， ∴|(
)()||()()|f f f f λαμβμαλβ
αβλμλμ
++-<-++， ……………………………（12分） 由（Ⅰ）可知，1
()f αα=
，1
()f ββ=
，1αβ=-，
∴11|()()||||
|||f f βα
αβαβαβαβ
--=-==-， ∴|(
)()|||f f λαμβμαλβ
αβλμλμ
++-<-++．……………………………………（14分）。