2008年甘肃省白银等九市初中毕业升学统一考试、数学试卷

白银等九市州试题
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抛物线2
y ax bx c =++的顶点坐标是2424b ac b a a ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
，．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，将此选项的代号填入题后的括号内． 1．化简：4=（ ）
A ．2
B ．-2
C ．4
D ．-4
2． 如图1，一个碗摆放在桌面上，则它的俯视图是（ ）
3． 2008年在北京举办的第29届奥运会的火炬传递在各方面都是创记录的：火炬境外传
递城市19个，境内传递城市和地区116个，传递距离为137万公里，火炬手的总数达到21780人．用科学记数法表示21780为（ ） A ．2.178×105 B ．2.178×104 C ．21.78×103 D ．217.8×102 4． 如图2，小红和小丽在操场上做游戏，她们先在地上画出一个圆圈，然后蒙上眼在一定距离外向圆圈内投小石子，则投一次就正好投到圆圈内是（ ） A ．必然事件（必然发生的事件） B ．不可能事件（不可能发生的事件） C ．确定事件（必然发生或不可能发生的事件）
D ．不确定事件（随机事件） 5． 把不等式组110
x x +⎧⎨
-⎩≤>0,
的解集表示在数轴上，正确的为图3中的（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
图3 6． 张颖同学把自己一周的支出情况，用如图4所示的统计图来
表示．则从图中可以看出( ) A ．一周支出的总金额
图 1
图
2 图4
图
8 图6 B ．一周各项支出的金额
C ．一周内各项支出金额占总支出的百分比
D ．各项支出金额在一周中的变化情况
7． 如图5①～④是四种正多边形的瓷砖图案．其中，是轴对称图形但不是中心对称的图形为（ ） A ．①③ B ． ①④ C ．②③ D ．②④
图5
8．中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图6所示，两个天平都平衡，则与2个球体相等质量的正方体的个数为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2
9． 高速公路的隧道和桥梁最多．图7是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的
圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ）
A ．5
B ．7
C ．
375 D ．377
10．如图8，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若150∠=，则AEF ∠=（ ） A ．110° B ．115° C ．120° D ．130°
二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．把答案填在题中的横线上． 11． 若向南走2m 记作2m -，则向北走3m 记作 m ． 12．点P （-2，3）关于x 轴的对称点的坐标是________．
13． 已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为 ． 14． 抛物线 y=x 2+x-4与y 轴的交点坐标为 ． 15． 如图9，将左边的矩形绕点B 旋转一定角度后，位置如右边的矩形，则∠ABC=___ ___ ．
① ② ③ ④ 图7
图9
16． 某商店销售一批服装，每件售价150元，打8折出售后，仍可获利20元，设这种服装
的成本价为每件x 元，则x 满足的方程是 ． 17． 一个函数具有下列性质：
①它的图像经过点（-1，1）；②它的图像在二、四象限内； ③在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而增大．则这个函数的解析式可以为 ．
18． 如图10(1)是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图10(2)所示的一
个菱形．对于图10(1)中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论： ．
三、解答题(一)：本大题共5小题，共38分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程
或演算步骤．
19． (6分) 化简：24
()22a a a a a a
---+．
20．（6分）请你类比一条直线和一个圆的三种位置关系，在图11①、②、③中，分别各画
出一条直线，使它与两个圆都相离、都相切、都相交，并在图11④中也画上一条直线，使它与两个圆具有不同于前面3种情况的位置关系．
21．（8分）图12是某种蜡烛在燃烧过程中高度与时间之间关系的图像，由图像解答下列问
题：
（1）此蜡烛燃烧1小时后，高度为 cm ；经过 小时燃烧完毕； （2）求这个蜡烛在燃烧过程中高度与时间之间关系的解析式．
图12
图11
（1）
（2）
图10
图13 22．（8分）如图13，在ABCD 中，点E 是CD 的中点，AE 的延长线与BC 的延长线相
交于点F ．
(1)求证：△ADE ≌△FCE ；
(2)连结AC 、DF ，则四边形ACFD 是下列选项中的（ ）． A ．梯形 B ．菱形 C ．正方形 D ．平行四边形
23．(10分) 某校八年级320名学生在电脑培训前后各参加了一次水平相同的考试，考试成绩都以同一标准划分成“不及格”、“及格”和“优秀”三个等级．为了了解电脑培训的效果，用抽签方式得到其中32名学生培训前后两次考试成绩的等级，并绘制成如图14的统计图，试结合图形信息回答下列问题：
(1) 这32名学生培训前后考试成绩的中位数所在的等级分别是 、 ； （2）估计该校整个八年级学生中，培训后考试成绩的等级为“及格”与“优秀”的学生共有
多少名？
四、解答题(二)：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 24．（8分））图15是一盒刚打开的“兰州”牌香烟，图16(1)是它的横截面（矩形ABCD ），
已知每支香烟底面圆的直径是8mm ． (1) 矩形ABCD 的长AB= mm ； （2）利用图15(2)求矩形ABCD 的宽AD ．
（3≈1.73，结果精确到0.1mm ）
优秀
及格
不及格
等级图
14
图15
(1)
O 1 O 2 O 3 图16
（2）
25．（10分）如图17①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边． 如图17②，地毯中
央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方分米．求花边的宽．
26．（10分）如图18，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=2，BC=5，tanC=3
4
． （1）求点D 到BC 边的距离； （2）求点B 到CD 边的距离．
27．（10分）小明和小慧玩纸牌游戏． 图19是同一副扑克中的4张扑克牌的正面，将它们
正面朝下洗匀后放在桌上，小明先从中抽出一张，小慧从剩余的3张牌中也抽出一张．
小慧说：若抽出的两张牌的数字都是偶数，你获胜；否则，我获胜． （1）请用树状图表示出两人抽牌可能出现的所有结果；
（2）若按小慧说规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由．
图19
① ②
图17
图18
28．（12分）如图20，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为（4，3）．平行于对角线AC 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m 与矩形OABC 的两边．．分别交于点M 、N ，直线m 运动的时间为t （秒）． (1) 点A 的坐标是__________，点C 的坐标是__________； (2) 当t= 秒或 秒时，MN=
2
1
AC ； (3) 设△OMN 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；
(4) 探求(3)中得到的函数S 有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由．
附加题 (12分) 1．（5分）如图21，网格小正方形的边长都为1．在⊿ABC 中，试画出三边的中线（顶点与对边中点连结的线段），然后探究三条中线位置及其有关线段之间的关系，你发现了什么有趣的结论？请说明理由．
2．（7分）如图22（1），由直角三角形边角关系，可将三角形面积公式变形， 得 ABC S △=
1
2
bc·sin ∠A ． ① 即 三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半． 如图22（2），在⊿ABC 中，CD ⊥AB 于D ，∠ACD=α， ∠DCB=β． ∵ ABC ADC BDC S S S =+△△△， 由公式①，得
12AC·BC·sin(α+β)= 12AC·CD·sin α+1
2
BC·CD·sin β， 即 AC·BC·sin(α+β)= AC·CD·sin α+BC·CD·sin β． ②
你能利用直角三角形边角关系，消去②中的AC 、BC 、CD 吗？不能， 说明理由；能，写出解决过程．
图20 图21
白银等九市试题答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1．A 2．C 3．B 4．D 5．B 6．C 7．A 8．A 9．D 10．B 二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．
11． 3 12．（-2，-3） 13．4 14． (0，-4) 15． 90o 16． 150×80%－x ＝20 17． y =-
x
1
18． 答案不唯一． 可供参考的有：①它内角的度数为60°、60°、120°、120°；②它的腰长
等于上底长；③它的上底等于下底长的一半． 三、解答题(一)：本大题共5小题，共38分． 19． 本小题满分6分
解法1：原式=(a +2)-(a -2) ··································································· 4分
=4． ··············································································· 6分
解法2：原式=22
(2)(2)4
4a a a a a a a
+---⋅- ····································· 2分 =(2)(2)a a +-- ······················································· 4分 =4． ·············································································· 6分
20． 本小题满分6分
答案不唯一． 可供参考的有：
相离：
······························· 1分
相切： ······························· 3分
相交： ······························· 5分
其它：
························································ 6分
21． 本小题满分8分
解：（1）7，
15
8
． ·········································································· 4分 （2）设所求的解析式为y kx b =+， ·························································· 5分 ∵ 点（0，15）、（1，7）在图像上，
∴ 15,
7.
b k b =⎧⎨
=+⎩ ……………………………………………………………………… 6分 解得 8k =-，15b =．
∴ 所求的解析式为815y x =-+． (0≤x ≤
15
8
) …………………………… 8分 说明：只要求对8k =-、15b =，不写最后一步，或者未注明x 的取值范围，都不扣
分．
22． 本小题满分8分
证明：(1)
∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴ AD ∥BF ，∴ ∠D =∠ECF ． ···························································· 3分
∵ E
是CD 的中点，∴ DE = CE ．
又 ∠AED =∠FEC ， ··································· 4分
∴ △ADE ≌△FCE ． ·································· 5分 (2) D ．或填“平行四边形”． ······························ 8分 23． 本小题满分10分
解；（1）不及格，及格； ········································································ 4分 （2）抽到的考生培训后的及格与优秀率为（16+8）÷32=75%， ······················· 6分 由此，可以估计八年级320名学生培训后的及格与优秀率为75%． ················ 8分 所以，八年级320名学生培训后的及格与优秀人数为75%×320=240． ············ 10分
四、解答题(二)：本大题共5小题，共50分． 24． 本小题满分8分
解：(1)56； ··························································································· 3分 （2）如图，△O 1 O 2 O 3是边长为8mm 的正三角形， 作底边O 2O 3上的高O 1 D ． ······························· 4分 则 O 1D =O 1O 3·sin60°=43≈6.92． ···················· 6分 ∴ AD =2(O 1D +4)=2×10.92≈21.8（mm ）． ··············· 8分 说明：(1)用勾股定理求O 1D ，参考本标准评分； （2）在如图大正三角形中求高后再求AD ，
也参考本标准评分．
25． 本小题满分10分
解：设花边的宽为x 分米， ································································ 1分 根据题意，得40)32)(62(=++x x ． ·············································· 5分 解得1211
14
x x ==-，． ··························································· 8分 x 2=11
4
-
不合题意，舍去． ································································ 9分 答: 花边的宽为1米． ····························································· 10分 说明：不答不扣分． 26． 本小题满分10分
解：（1）如图①，作DE ⊥BC 于E ， ·················· 1分 ∵ AD ∥BC ，∠B =90°， ∴ ∠A =90°．又∠DEB =90°，
∴ 四边形ABED 是矩形． ·································································· 2分 ∴ BE =AD =2， ∴ EC =BC -BE =3． ······················································· 3分 在Rt △DEC 中，DE = EC ·t a n C =4
33
⨯
=4． ·········································· 5分 （2）如图②，作BF ⊥CD 于F ． ·························································· 6分 方法一：
在Rt △DEC 中，∵ CD =5， ································· 7分 ∴ BC =DC ，又∠C =∠C ， ····································· 8分 ∴ Rt △BFC ≌Rt △DEC ． ······································ 9分 ∴ BF = DE =4． ················································ 10分 方法二：
O 1
O 2
O
3
D
图①
图②
在Rt △DEC 中，∵ CD =5， ····································································· 7分
∴ sin C =
5
4
． ······················································································ 8分 在Rt △BFC 中，BF =BC ·sin C =4
55
⨯=4． ·················································· 10分
27． 本小题满分10分
解：(1) 树状图为：
共有12种可能结果． ············································································ 4分 说明：无最后一步不扣分．
（2）游戏公平． ·············································································· 6分 ∵ 两张牌的数字都是偶数有6种结果：
（6，10），（6，12），（10，6），（10，12），（12，6），（12，10）．
∴ 小明获胜的概率P =
126=21
． ···························································· 8分 小慧获胜的概率也为2
1
．
∴ 游戏公平． ··············································································· 10分 28． 本小题满分12分
解：(1)（4，0），（0，3）； ······································································ 2分 (2) 2，6； ·························································································· 4分 (3) 当0＜t ≤4时，OM =t ．
由△OMN ∽△OAC ，得OC
ON
OA OM =
， ∴ ON =
t 43，S=28
3
t ． ·
······························ 6分 当4＜t ＜8时，
如图，∵ OD =t ，∴ AD = t-4． 方法一：
由△DAM ∽△AOC ，可得AM =
)4(43-t ，∴ BM =6-t 43
． ·
······················· 7分 由△BMN ∽△BAC ，可得BN =BM 3
4
=8-t ，∴ CN =t-4． ····························· 8分
S=矩形OABC 的面积-Rt △OAM 的面积- Rt △MBN 的面积- Rt △NCO 的面积 =12-
)4(23-t -21（8-t ）（6-t 4
3）-)4(23-t =t t 3832+-． ·············································································· 10分 方法二：
易知四边形ADNC 是平行四边形，∴ CN =AD =t-4，BN =8-t ． ····························· 7分 由△BMN ∽△BAC ，可得BM =
BN 43=6-t 4
3，∴ AM =)4(43-t ． ··············· 8分 以下同方法一．
(4) 有最大值．
方法一：
当0＜t ≤4时， ∵ 抛物线S=
28
3t 的开口向上，在对称轴t=0的右边， S 随t 的增大而增大， ∴ 当t=4时，S 可取到最大值2483⨯=6； ················································ 11分 当4＜t ＜8时，
∵ 抛物线S=t t 38
32+-的开口向下，它的顶点是（4，6），∴ S ＜6． 综上，当t=4时，S 有最大值6． ····························································· 12分 方法二：
∵ S=22304833488
t t t t t ⎧<⎪⎪⎨⎪-+<<⎪⎩，≤，
∴ 当0＜t ＜8时，画出S 与t 的函数关系图像，如图所示． ························· 11分 显然，当t=4时，S 有最大值6． ·························································· 12分 说明：只有当第（3）问解答正确时，第（4）问只回答“有最大值”无其它步骤，可给1
分；否则，不给分．
附加题 (12分)
1． （1）三条中线交于一点； ·······················2分
（2）在同一条中线上，这个点到边中点的距离等
于它到顶点距离的一半． ·······················5分
2． 能消去AC 、BC 、CD ，得到sin(α+β)= sinα·cosβ+cosα·sinβ． ··························· 2分
解：给AC·BC·sin(α+β)= AC·CD·sinα+BC·CD·sinβ两边同除以AC·BC，得
sin(α+β)= CD
BC
·sinα+
CD
AC
·sinβ，····················································4分
∵CD
BC
=cosβ，
CD
AC
=cosα． ······················································6分
∴ sin(α+β)= sinα·cosβ+cosα·sinβ． ·····················································7分说明：如果上边解法没有第1个步骤的采分点，则后边三个采分点得分分别改为2分、6分、7分．
全卷说明：对于以上各解答题学生试卷中出现的不同解法，请参考本标准给分。