高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第3节 三角函数的图像与性质学案 理 北师大版

第三节 三角函数的图像与性质
[考纲传真] (教师用书独具)1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图像，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、
图像与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2内的单调性．
(对应学生用书第51页)
[基础知识填充]
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．
余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，
⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2，0，(2π，1)．
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质
[(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π
2＋k π(k ∈Z )；
(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )． 2．f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)． (1)f (x )为奇函数的充要条件：φ＝k π＋π
2，k ∈Z .
(2)f (x )为偶函数的充要条件：φ＝k π，k ∈Z .
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．( ) (2)函数y ＝sin x 的图像关于点(k π，0)(k ∈Z )中心对称．( ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (5)y ＝sin |x |是偶函数．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√
2．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( ) A ．4π B ．2π C ．π
D ．π2
C [函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期T ＝2π2＝π.故选C ．] 3．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )
A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
x ≠k π＋π
4，k ∈Z
B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π2＋π
8，k ∈Z
C ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π
8，k ∈Z
D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
x ≠k π2＋π
4，k ∈Z
D [由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π
4
，k ∈Z ，
所以y ＝tan 2x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x ≠k π2＋π
4，k ∈Z
.] 4．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x ＋π3，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是( )
A ．⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－5π3 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－5π3和⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3，2π
C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π3，π3
D ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3，2π
C [令z ＝12x ＋π3，函数y ＝sin z 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，由
2k π－π2≤12x ＋π3≤2k π＋π2得4k π－5π3≤x ≤4k π＋π
3
，而x ∈[－2π，2π]，故其
单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π3
，π3，故选C ．]
5．(教材改编)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为________．
－
22 [由已知x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，
所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－
22
.]
(对应学生用书第52页)
(1)(2016·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－x 的最大值为( ) A ．4 B ．5 C ．6
D ．7
(2)函数y ＝lg sin x ＋
cos x －1
2
的定义域为________．
(1)B (2)⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x|2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z [(1)∵f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos 2x
＋6sin x
＝1－2sin 2
x ＋6sin x ＝－2⎝
⎛⎭⎪⎫sin x －322
＋112， 又sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5.故选B ． (2)要使函数有意义，则有 ⎩
⎪⎨⎪
⎧
sin x ＞0，cos x －12≥0，即⎩
⎪⎨⎪
⎧ sin x ＞0，cos x ≥1
2，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
2k π＜x ＜π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π
3＋2k π(k ∈Z )，
∴2k π＜x ≤π
3＋2k π，k ∈Z .
∴函数的定义域为
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x 2k π＜x ≤π
3＋2k π，k ∈Z .]
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式组，常借助三角函数线或三角函数图直接法：直接利用化一法：把所给三角函数化为ω＋出函数的值域换元法：把cos x 或x ±cos 解.
[跟踪训练] (1)已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤3，π，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是
( )
A ．2
B ．3
C ．3＋2
D ．2－ 3
(2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________． (1)B (2)[－1,1] [(1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，∴cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，∴y ＝2cos x 的值域为[－
2,1]， ∴b －a ＝3.
(2)设t ＝sin x －cos x ，
则t 2＝sin 2x ＋cos 2
x －2sin x cos x ， 即sin x cos x ＝1－t
2
2，且－1≤t ≤ 2.
∴y ＝－t 2
2＋t ＋12＝－12(t －1)2
＋1.
当t ＝1时，y max ＝1； 当t ＝－1时，y min ＝－1. ∴函数的值域为[－1,1]．]
(1)函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为________.
【导学号：79140111】
(2)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3，π2上单
调递减，则ω＝________.
(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)32 [(1)由已知函数为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函
数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间即可．
由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
得k π－π12≤x ≤k π＋5π
12
，k ∈Z .
故所求函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．
(2)∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点，
∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π
2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；
当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π
2ω
时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，
在⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32.]
ω＞
图像法：画出三角函数的图像，利用图像求它的单调区间2.已知三角函数的单调区间求参数[跟踪训练] (1)函数y ＝|tan x |在⎝ ⎭⎪⎫－2
，2上的单调减区间为________.
【导学号：79140112】
(2)已知函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos 2x ，则f (x )的一个单调递减区间是( )
A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12
B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12
C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3
，2π3
D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6
，5π6
(1)⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π (2)A [(1)如图，观察图像可知，y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦
⎥⎤π2，π.
(2)由题意得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋cos 2x ＝3
sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，
k ∈Z ，令k ＝0，得函数y ＝f (x )的一个单调递减区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π12，
7π12，故选A ．]
◎角度1 三角函数的奇偶性与周期性
(1)在函数：①y ＝cos|2x |；②y ＝|cos x |；③y ＝cos2x ＋π6；④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A ．②④ B ．①③④ C ．①②③
D ．①③
(2)函数y ＝1－2sin 2⎝
⎛⎭⎪⎫x －3π4是( )
A ．最小正周期为π的奇函数
B ．最小正周期为π的偶函数
C ．最小正周期为π
2的奇函数
D ．最小正周期为π
2
的偶函数
(1)C (2)A [(1)①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，T ＝π. ②由图像知，函数的周期T ＝π. ③T ＝π. ④T ＝π2
.
综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③.
(2)y ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4＝－sin 2x ，所以f (x )是最小正周期为π的奇函数．]
◎角度2 三角函数的对称性
(1)(2018·东北三省四市模拟(一))已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的周
期为π，则下列选项正确的是( )
A ．函数f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称
B ．函数f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π12，0对称 C ．函数f (x )的图像关于直线x ＝π
3对称
D ．函数f (x )的图像关于直线x ＝－π
12
对称
(2)已知ω＞0,0＜φ＜π，直线x ＝π4和x ＝5π
4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像的
两条相邻的对称轴，则φ＝( ) A ．π
4
B ．π3
C ．π2
D ．3π4
(1)B (2)A [(1)因为ω＝2π
T ＝2，所以f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，得x ＝
k π
2－π12(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝－π12，所以函数f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π12，0对
称，故选B ．
(2)由题意得2πω＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5
4
π－π4，∴ω＝1，
∴f (x )＝sin(x ＋φ)，∴π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，φ＝k π＋π
4(k ∈Z )，又0＜φ＜π，
∴φ＝π
4，故选A ．]
x ＝A
ω的奇偶性与对称性若f x ＝ωx ＋φ
为偶函数，则当x 取得最大或最小值；若
f x ＝A ωx ＋φ为奇函数，则当＝0时，x ＝0.
对于函数y ＝A ωx φ
，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心
一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝或点x 0，是否是函数的对称轴或对称中心时，
可通过检验x 0的值进行判断. 求三角函数周期的方法：利用周期函数的定义利用公式：ω和的最小正周期为
ω的最小正周期为|
.
借助函数的图像[跟踪训练] (1)(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋3，则下列结论错误的是( )
A ．f (x )的一个周期为－2π
B ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝8π
3对称
C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π
6
D ．f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π单调递减 (2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值
为( ) A ．π
6
B ．π4
C ．π3
D ．π2
(1)D (2) A [(1)A 项，因为f (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的
一个周期为－2π，A 项正确．
B 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3图像的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )
的图像关于直线x ＝8π
3
对称，B 项正确．
C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－56π，当k ＝1
时，x ＝π6，所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π
6
，C 项正确．
D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，递增区间
为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D 项错
误．
故选D ．
(2)由题意得3cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2×4π3＋φ
＝3cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫2π3＋φ＝0， 所以2π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，φ＝k π－π
6(k ∈Z )，
取k ＝0，得|φ|的最小值为
π
6
.故选A ．]。