专题2.4 《等式与不等式》单元测试卷 2022年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)解析版

专题2.4 《等式与不等式》单元测试卷
考试时间：120分钟 满分：150
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I 卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·四川攀枝花市·高三二模（理））已知集合{
}
{}
2
20,1A x x x B x x =+>=<-，则A B =（ ）
A ．(,2)-∞-
B ．(,0)(2,)-∞+∞
C ．(,1)(0,)-∞-+∞
D ．(,1)
(2,)-∞-+∞
【答案】C 【解析】
化简集合A ，根据并集运算即可. 【详解】
因为{
}
{}
2
20(,2)(0,),1A x x x B x x =+>=-∞-⋃+∞=<-， 所以A B =(,1)(0,)-∞-+∞
故选：C
2．（2021·内蒙古高三一模（理））已知集合{|13}A x x =-<，{|(6)0}B x x x =-<，则A B =（ ）
A ．()2,6-
B ．()0,4
C ．()0,6
D ．()2,4-
【答案】B 【解析】
分别解绝对值不等式和一元二次不等式运算即可． 【详解】
由题，{}{|13}|24A x x x x =-<=-<<，{}{|(6)0}|06B x x x x x =-<=<<，所以
{}|04A B x x =<<．
3．（2021·陕西西安市·高三二模（理））已知“x >2”是“3
1
x +<1”的（ ）条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要
【答案】A 【解析】 求得
3
11
x <+的解集，由此确定充分、必要条件. 【详解】
()()()()332110120,12,111
x x x x x x x -<⇔-=<⇔+->⇔∈-∞-⋃+∞+++， 所以2x >是
3
11
x <+的充分不必要条件. 故选:A
4．（2021·陕西西安市·高三二模（理））设集合{}
2
20M x x x =-≥，{}
N x x a =<，若M N ⊆，则实
数a 的取值范围是（ ） A ．2a < B ．2a >
C ．2a ≥
D ．2a ≤
【答案】B 【解析】
求得集合M ，根据M N ⊆求得实数a 的取值范围. 【详解】
()[]2220220,0,2x x x x x x M -≥⇔-=-≤=，
由于{}
N x x a =<，M N ⊆， 所以2a >. 故选：B
5．（2021·安徽蚌埠市·高三其他模拟（理））若0a b ->，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．22a b > B ．tan tan a b >
C ．()lg 0a b ->
D ．22a b >
【答案】D 【解析】
对于选项A,B,C 举反例可判断，选项D 函数2x y =在R 上单调递增可判断. 【详解】
选项A. 22a b >，不一定成立，例如2,3a b ==-，满足0a b ->，但22a b <，故A 不正确. 选项B. tan tan a b >不一定成立，例如2,33
a b ππ==,
此时2tan
tan
3
3
π
π
=>=tan tan a b <，故B 不正确. 选项C. ()lg 0a b ->，不一定成立，3,2a b ==，满足0a b ->，但此时()lg 0a b -=，故C 不正确. 选项D. 由函数2x y =在R 上单调递增，当a b >时，一定有22a b >成立，故D 正确 故选：D
6．（2021·上海高三二模）已知实数a ､b 满足1)28()(a b ++=，有结论：①存在0a >，0b >，使得ab 取到最大值；②存在0a <，0b <，使得a+b 取到最小值；正确的判断是（ ） A ．①成立，②成立 B ．①不成立，②不成立 C ．①成立，②不成立 D ．①不成立，②成立
【答案】C 【解析】
由已知结合基本不等式及其应用条件分别检验①②即可判断． 【详解】
解：因为1)28()(a b ++=， 所以(2)6ab a b =-+，
①0a >，0b >，22224()()44a b a b +=+++-≥-=，当且22b =时取等号， 所以64ab -≥，
解得2ab ≤，即ab 取到最大值2；①正确； ②0a <，0b <，
当20a +>时，881233322a b a a a a +=+-=++-≥=-++，
当且仅当8
22
a a +=
+时取等号，此时2a =不符合0a <，不满足题意；
当20a +<时，888123(2)33222a b a a a a a a ⎡
⎤+=+
-=++-=--+--≤--⎢⎥+++⎣⎦
当且仅当()8
22
a a -+=-
+
时取等号，此时2a =- 此时取得最大值，没有最小值，②错误. 故选：C .
7．（2021·全国高三月考（文））已知正实数a ，b ，c 满足21a b +=，12abc c +=，则c 的最大值为（ ） A ．
1
2
B ．
23
C ．
815
D ．2
【答案】C 【解析】
由21a b +=，可得12b a =-，结合a ，b 是正实数可得a 的范围，将12b a =-代入12abc c +=，分离c ，
再利用二次函数的性质即可求解. 【详解】
因为21a b +=，所以12b a =-， 因为120b a =->可得：102
a <<
， 所以()1212ac a c -+=，即
2
211
22115248c a a a =
=-+⎛
⎫-+
⎪⎝
⎭ ， 因为2
115152488a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝
⎭，当14a =时取得最小值158，
所以
2
1815115248c a =
≤
⎛
⎫-+
⎪⎝
⎭，
所以c 的最大值为8
15
， 故选：C.
8．（2020·上海高一专题练习）已知函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)3f =，则()x f b 与()x f c 的大小关系为（ ） A ．()()x x f c f b ≥ B ．()()x x f c f b ≤
C ．()()x x f c f b >
D ．()()x x f c f b =
【答案】A 【解析】
根据题意，由二次函数的性质分析可得b 、c 的值，则有2x x b =，3x x c =，由指数的性质分情况讨论x 的
值，比较()x f b 和()x f c 的大小，综合即可得答案． 【详解】
根据题意，函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-，则有12
b
=，即2b =， 又由(0)3f =，则3c =，所以2x x b =，3x x c =，
若0x <，则有1x x c b <<，而()f x 在(,1)-∞上为减函数，此时有()()x x f b f c <， 若0x =，则有1x x c b ==，此时有()()x x f b f c =，
若0x >，则有1x x b c <<，而()f x 在(1,)+∞上为增函数，此时有()()x x f b f c <， 综合可得()()x x f b f c ， 故选：A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2021·福建高三三模）已知0x >，0y >，且21x y +=，则1
x xy
+可能取的值有（ ） A ．9 B ．10
C ．11
D ．12
【答案】BCD 【解析】 由题意可知1231x x x y xy xy y x +++==+31(2)x y y x ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
，化简后利用基本不等式可求得其最小值，从而可得答案 【详解】
解：因为0x >，0y >，且21x y +=，
所以
1231x x x y xy xy y x
+++==+ 31(2)x y y x ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
65x y y x
=
++
55≥=，当且仅当6x y y x =，即y =取等号， 故选：BCD
10．（2021·湖南高三三模）已知log 2021log 20210a b >>，则下列各式一定成立的是（ ） A ．20212021a
b
> B ．22
2b a a b
+>
C ．
111a b +< D ．
b b m a a m
+>+（0m >） 【答案】BD 【解析】
由已知结合对数的运算性质及基本不等式，不等式的性质分别检验各选项即可判断． 【详解】
解：因为log 2021log 20210a b >>， 所以1a >，1b >，a b <， 所以20212021a b <，A 错误； 22
22
22b a a b a b
b a
+⋅，B 正确； 取2b =，32a =
，11127
1236
a b +=+=>，C 错误； ()0()()
b b m ab bm ab am b a m a a m a a m a a m ++----==>+++， 所以
b b m
a a m
+>+，D 正确． 故选：BD ．
11．（2021·福建漳州市·高一期末）已知函数()2
()21f x x a x a =--+，若对于区间[]1,2-上的任意两个
不相等的实数1x ，2x ，都有()()12f x f x ≠，则实数a 的取值范围可以是（ ） A ．(],0-∞ B ．[]0,3
C ．[]1,2-
D ．[
)3,+∞
【答案】AD 【解析】
对于区间[]1,2-上的任意两个不相等的实数1x ，2x ，都有()()12f x f x ≠，分析即()f x 在区间[]1,2-上
单调，利用二次函数的单调区间判断. 【详解】
二次函数2()2(1)f x x a x a =--+图象的对称轴为直线1x a =-， ∵任意[]12,1,2x x ∈-且12x x ≠，都有()()12f x f x ≠， 即()f x 在区间[]1,2-上是单调函数，∴11a -≤-或12a -≥， ∴0a ≤或3a ≥，即实数a 的取值范围为(][),03,-∞⋃+∞. 故选：AD
12．（2021·江苏高三其他模拟）当0x >，0y >时，下列不等式中恒成立的有（ ）
A ．
2xy
x y
≤+B ．114x y x y
+≥+
C ．11x y +
D ．22
3
3
4x y x y x y
++≥
【答案】ABD 【解析】
利用基本不等式变形，判断ABC 选项，选项D 首先利用立方和公式化简，再利用基本不等式判断. 【详解】
对于A ，
2
xy x y =+x y =时取等号，正确. 对于B ，()1124y x
x y x y x y ⎛⎫++=++≥
⎪⎝⎭
，当且仅当x y =时取等号，正确.
对于C ，
11x y
x y xy ++=≥=x y =时取等号，错误. 对于D ，(
)()()()2
33
2
2224x y x y x y x
y xy x y ++=++-≥，当且仅当x y =时取等号，正确.
故选：ABD
第II 卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2021·高邮市临泽中学高一开学考试）已知b 克盐水中含有()0a b a >>克盐，若给盐水加热，蒸发了
()0m m b a <<-克水后盐水更咸了，请将这一事实表示为一个不等式：______.
【答案】
a a
b m b
>- 【解析】
由已知可得原来盐占盐水的比例，再求出蒸发了()0m m b a <<-克水后，盐占盐水的比例，可得不等式． 【详解】
原来盐占盐水的比例为
a
b ，给盐水加热，蒸发了()0m m b a <<-克水后，盐占盐水的比例为a b m
-，则a a
b m b
>- 14．（2021·浙江高一期末）若正数x ，y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是__________． 【答案】5 【解析】
先由条件35x y xy +=得31
5x y
+=，再利用1的代换以及基本不等式求最值. 【详解】
由条件35x y xy +=，两边同时除以xy ，得到
31
5x y
+=，
那么1311123134(34)()(13)(135555y x x y x y x y x y +=
++=++≥+= 等号成立的条件是123y x x y =，即2x y =，即1
1,2
x y ==. 所以34x y +的最小值是5， 故答案为： 5 ．
15．（2021·北京高一期末）设0a b <<，给出下列四个结论： ①a b ab +<； ②23a b <； ③22a b <； ④a a b b <.
其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①③④ 【解析】
利用不等式性质直接判断①④正确，利用指数函数2x y =的单调性判断③正确，利用特殊值验证②错误即可. 【详解】
由0a b <<知，0ab >，
11
0a b +<，故110a b a b ab
++=<，得a b ab +<，故①正确； 取3,2a b =-=-，满足0a b <<，但26,36a b =-=-，不满足23a b <，故②错误； 由指数函数2x y =单调递增可知，0a b <<，则22a b <，故③正确；
由0a b <<知，0a b ->->，0a b >>，根据不等式性质可知，()()0a a b b -⋅>-⋅>，故
0a a b b <<，故④正确.
故答案为：①③④.
16．（2021·浙江高三专题练习）已知函数()2
1
,()2
f x x x a b a b R =+
-+∈，若[1,1]x ∈-时，()
1f x ≤，则
1
2
a b +的最大值是___________. 【答案】12
- 【解析】
根据函数()2
1
,()2
f x x x a b a b R =+
-+∈，分1a >，1a <-和11a -≤≤三种情况讨论，分别求得其最大值，即可求解. 【详解】
由题意，函数()2
1
,()2f x x x a b a b R =+
-+∈， 当1a >时，()2
11,[1,1]22
f x x x a b x =-++∈-，
因为() 1f x ≤，可得(1)11()14f f -≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩，所以1
1221152
16a b a b ⎧+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，
所以15111622
a b -≤+≤-； 当1a <-时，()2
11,[1,1]22
f x x x a b x =+-+∈-，
因为()
1f x ≤，可得()max 11
(1)1122
f x f a b ==+-+≤， 所以1122b a ≤-，所以113
222
a b a +=-≤-；
当11a -≤≤时，()2
1,[1,1]2
f x x x a b x =+-+∈-，
由()
1f x ≤知，()max (1)1
112
f f x a b =+--+=， 因为11a -≤≤，所以10a --≤，所以()max (1)1
112
f f x a b =+--+=，
所以1122
a b +≤-，
综上可得，
12
a b +的最大值是1
2-.
故答案为：1
2
-
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2020·全国高一课时练习）某种商品在近30天内每件的销售价格P (元)和时间t (天)的函数关系为：P ＝
20,025,
100,2530.
t t t t +<<⎧⎨
-+≤≤⎩ (t ∈N *)设该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系为Q ＝40－t (0<t ≤30，t ∈N *)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？ 【答案】销售额的最大值为1125元，且在第25天时日销售金额达到最大． 【解析】
先化简函数解析式，再求出各段的最大值，比较得出函数的最大值． 【详解】
设日销售金额为()f t 元，则
()()()()()2040025,10040,2530,t t t t N f t t t t t N ⎧+-<<∈⎪=⎨--≤≤∈⎪⎩
，
即()2220800,025,1404000,2530,t t t t N
f t t t t t N
⎧-++<<∈=⎨-+≤≤∈⎩，
当025t <<时，()2
20800f t t t =-++，10t =时()f t 有最大值900；
当2530t ≤≤时，()f t 是减函数，25t =时()f t 有最大值1125. 综上所述，25t =时()f t 有最大值1125， 所以，第25天日销售金额最大，最大值为1125元.
18．（2021·安徽高三二模（理））已知函数()312f x x x =++-． （Ⅰ）解不等式：()5f x >；
（Ⅱ）若关于x 的不等式()2
f x x m ≥+在[]0,3上恒成立，求实数m 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）()(),11,-∞-⋃+∞；（Ⅱ）(],2-∞. 【解析】
（Ⅰ）分类讨论的方式，求绝对值不等式的解集即可.
（Ⅱ）由题设，讨论02x ≤<、23x ≤≤情况下，由参变分离变形为()m g x ≤形式且恒成立，即可求m 的范围. 【详解】
（Ⅰ）由3125x x ++->，得：13
3125x x x ⎧<-⎪⎨⎪---+>⎩或1
2
33125
x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪+-+>⎩或23125x x x ≥⎧⎨++->⎩， ∴解得1x <-或12x <<或2x ≥，故不等式()5f x >的解集为()(),11,-∞-⋃+∞． （Ⅱ）由题意知，当[]0,3x ∈时，2
312x x x m ++-≥+恒成立．
若02x ≤<，则2312x x x m ++-≥+，可得(
)
2
min
23
3m x x ≤-++=；
若23x ≤≤，则2312x x x m ++-≥+，可得()
2
min
41
2m x x ≤-+-=．
综上，实数m 的取值范围是(],2-∞．
19．（2021·山西临汾市·高三二模（文））已知a ，b 为正实数，且满足1a b +=．证明： （1）2
2
1
2
a b +≥
； （2
1≥【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
（1）由基本不等式直接证明；
（2）用“1”的代换，凑配成积的定值，再由基本不等式证明． 【详解】
（1）因为1,0,0a b a b +=>>，
所以22
22222221111
()(2)()2222
a b a b a b a b ab a b +=
+++≥++=+=（当且仅当a b =取等号）；
（2）
212122()333(1a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+=+= ⎪⎝⎭（当且仅当
2a b b a =，
即1,2a b ==，
1≥+ 20．（2021·贵溪市实验中学高三一模）已知二次函数()f x 的最小值为3，且(1)(3)5f f ==. （1）求()f x 的解析式；
（2）若()y f x =的图像恒在直线221y x m =++的上方，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）2()2811f x x x =-+；（2）5,4⎛
⎫-∞- ⎪⎝⎭
. 【解析】
（1）根据题意设2()(2)3(0)f x a x a =-+>，代(1)5f =求出参数即可得出函数解析式；
（2）原不等式等价于255m x x <-+恒成立，将二次函数函数255y x x =-+配成顶点坐标式求出最小值即可得出其范围. 【详解】
解：（1）因为二次函数()f x 中(1)(3)f f =，所以对称轴为2x = 又二次函数()f x 的最小值为3，故可设2()(2)3(0)f x a x a =-+> 所以2(1)(12)3352f a a a =-+=+=⇒= 所以22()2(2)32811f x x x x =-+=-+
（2）()y f x =的图像恒在直线221y x m =++的上方
等价于22811221x x x m -+>++即255m x x <-+恒成立
因为2
2
55555244y x x x ⎛⎫=-+=--≥- ⎪⎝
⎭ 所以54m <-，即实数m 的取值范围5,4⎛⎫-∞- ⎪⎝
⎭.
21．（2021·全国高三专题练习）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）
满足如下关系：()
253,02
()50,251x x W x x x x
⎧+≤≤⎪
=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施
肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为()f x （单位：元）
（1）写单株利润()f x （元）关于施用肥料x （千克）的关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）27530225,02()75030,251x x x f x x x x x
⎧-+⎪
=⎨-<⎪+⎩（2）故当施肥量为4千克时，该水果树的单株利润最大，
最大利润为480元． 【解析】
（1）用销售额减去成本投入得出利润()f x 的解析式；
（2）分段判断()f x 的单调性，及利用基本不等式求出()f x 的最大值即可． 【详解】
（1）依题意()15()1020f x W x x x =--，又()
253,02()50,251x x W x x
x x
⎧+≤≤⎪
=⎨<≤⎪+⎩ 所以27530225,02()75030,251x x x f x x x x x
⎧-+⎪
=⎨-<⎪+⎩．
（2）当02x 时，2()7530225f x x x =-+，开口向上，对称轴为15
x =
， ()f x ∴在[0，1
]5上单调递减，在1(5
，2]上单调递增，
()f x ∴在[0，2]上的最大值为()2465f =．
当25x <时，25()78030(1)780304801f x x x =-++-⨯+， 当且仅当
25
11x x
=++时，即4x =时等号成立． 因为465480<，所以当4x =时，()480max f x =．
答：当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是480元． 22．（2020·泰州市第二中学高一期中）已知函数()()f x x x a =-. （1）当1a =-时，求函数()2y f x =-的零点；
（2）当0a >时，函数()f x 在[]0,2上为减函数，求实数a 的取值范围；
（3）当0a <时，是否存在实数a ，使得()f x 在闭区间11,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
上的最大值为2？若存在，求出a 的值；
若不存在，请说明理由.
【答案】（1）1；（2）[
)4,+∞；（3）存在，且3a =-.
【解析】
（1）分0x ≤、0x >两种情况解方程()2f x =，即可得解；
（2）化简函数()f x 在区间[]0,2上的解析式，由已知条件可得出关于实数a 的不等式，进而可得出实数a 的取值范围；
（3）根据题意，先由()12f -≤可得出3a ≥-，可得知，对任意的10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()7
4f x ≤，从而可得出
函数()f x 在区间[]1,0-上的最大值为2，然后对实数a 的取值进行分类讨论，分析二次函数()f x 在区间
[]1,0-上的单调性，结合()max 2f x =可求得实数a 的值.
【详解】
（1）当1a =-时，()()1f x x x =+.
当0x <时，()()1f x x x =-+，令()2f x =，可得220x x ++=，180∆=-<， 方程220x x ++=无实根，此时，函数()2y f x =-无零点；
当0x ≥时，1f x
x x ，令()2f x =，可得220x x +-=，
0x ≥，解得1x =.
综上所述，函数()2y f x =-的零点为1；
（2）当0a >且02x ≤≤时，()()2
224a a f x x x a x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝
⎭， 由于函数()f x 在[]0,2为减函数，则
22
a
≥，解得4a ≥. 因此，实数a 的取值范围是[
)4,+∞；
（3）存在实数()0a a <，使得函数()f x 在闭区间11,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
上的最大值为2.
根据题意，()()(),0
,0x x a x f x x a x x ⎧-≥⎪=⎨
-<⎪⎩
. 若函数()f x 在区间11,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
上的最大值为2，则()112f a -=--≤，即3a ≥-.
当0x ≥时，函数()()f x x x a =-在区间10,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上为增函数，
则函数()()f x x x a =-在区间10,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的最大值为111172222424
a f a ⎛⎫⎛⎫=-=-≤< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.
故函数()f x 必在区间[]1,0-上取得最大值2. ①当
12
a
≤-时，即当2a ≤-时，函数()f x 在区间[]1,0-上为减函数， 此时，()()max 112f x f a =-=--=，解得3a
=-；
②当102a -<<时，即当20a -<<时，()2
max 224a a
f x f ⎛⎫==
= ⎪⎝⎭
，解得a =±，不合乎题意. 综上所述，3a =-.。