《含参数一元二次不等式的解法》导学案

《含参数一元二次不等式的解法》导学案
Q 情景引入
ing jing yin ru
城市人口的急剧增加使车辆日益增多，需要通过修建立交桥和高架道路形成多层立体的布局，以提高车速和通过能力．城市环线和高速公路网的连接也必须通过大型互通式立交桥进行分流和引导，保证交通的畅通．城市立交桥已成为现代化城市的重要标志．为了保证安全，交通部门规定，在立交桥的某地段的运行汽车的车距d 正比于速度v 的平方与车身长的积，且车距不得少于半个车身，假定车身长均为l (m)，当车速为60 km/h 时，车距为1.44个车身长，在交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使此处的车流量最大？
X 新知导学
in zhi dao xue
1．分式不等式的解法 ①x ＋1
x ＋3
>0与(x ＋1)(x ＋3)>0等价吗？ ②
2x －1
x ＋2
≤0与(2x －1)(x ＋2)≤0等价吗？ 定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x 的多项式的不等式称为__分式不等式__.
解法：等价转化法解分式不等式
f x
g x >0⇔f (x )g (x )__>__0，f x
g x
<0⇔f (x )·g (x )__<__0. f x
g x ≥0⇔⎩
⎪⎨
⎪⎧
f x
g x ≥ 0，g x ≠0. ⇔f (x )·g (x )__>__0或⎩⎪⎨
⎪⎧ f x ＝0g
x ≠0
.
f x
g x ≤0⇔⎩⎪⎨
⎪⎧
f x ·
g x ≤ 0，g x ≠0
⇔f (x )·g (x )__<__0或⎩⎪⎨
⎪⎧
f x ＝0
g
x ≠0.
2．简单的高次不等式的解法
(1)由函数与方程的关系可知y ＝(x ＋1)(x －1)(x －2)与x 轴相交于(－1,0)，(1,0)，(2,0)三点，试考虑当x >2,1<x <2，x <1不同情形下，y 值的符号变化情况．
(2)考查函数y ＝(x －1)2
(x ＋3)，当x <－3，－3<x <1，x >1时，y 的取值正负情形．你发现了什么规律？
高次不等式：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为__高次不等式__. 解法：穿根法
①将f (x )最高次项系数化为正数；
②将f (x )分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；
③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)；
④观察曲线显现出的f (x )的值的符号变化规律，写出不等式的解集．
Y 预习自测
u xi zi ce
1．已知全集为R ，A ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪
⎪
x －1
x ＋1≤0，B ＝{x |x ＞0}，则∁R (A ∩B )＝( A ) A ．(－∞，0]∪(1，＋∞) B ．(－∞，0]∪[1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－∞，－1]
[解析] 由
x －1
x ＋1
≤0得－1<x ≤1， ∴A ∩B ＝{x |0<x ≤1}．
∴∁R (A ∩B )＝{x |x ≤0或x >1}，故选A ．
2．已知不等式ax 2
＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集为R ，则( B ) A ．a <0，Δ>0 B ．a <0，Δ<0 C ．a >0，Δ>0
D ．a >0，Δ>0
[解析] 由题意知，二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 图象均在x 轴下方，故a <0，Δ<0. 3．不等式(x ＋2)(x ＋1)(x －1)(x －2)≤0的解集为__{x |－2≤x ≤－1，或1≤x ≤2}__. [解析] 设y ＝(x ＋2)(x ＋1)(x －1)(x －2)， 则y ＝0的根分别是－2，－1,1,2，
将其分别标在数轴上，并画出如图所示的示意图：
所以原不等式的解集是{x |－2≤x ≤－1，或1≤x ≤2}．
4．关于x 的不等式x 2
－(2m ＋1)x ＋m 2
＋m <0的解集是__{x |m <x <m ＋1}__. [解析] 原不等式可化为(x －m )(x －m －1)<0. ∵m <m ＋1，∴m <x <m ＋1.
∴不等式x 2
－(2m ＋1)x ＋m 2
＋m <0的解集为{x |m <x <m ＋1}．
H 互动探究解疑
u dong tan jiu jie yi
命题方向1 ⇨含参数的一元二次不等式的解法 例题1 解关于x 的不等式ax 2
－(a ＋1)x ＋1<0.
[分析] 由于a 的取值不同会导致不等式的解集变化，故应依据参数a 的取值进行分类
讨论．
[解析] (1)当a ＝0时，原不等式可化为－x ＋1<0，∴x >1. (2)当a ≠0时，原不等式可化为(ax －1)(x －1)<0， ①当a <0时，不等式可化为(x －1
a
)(x －1)>0，
∵1
a
<1，
∴x <1
a
或x >1.
②当a >0时，不等式可化为(x －1
a
)(x －1)<0，
若1a <1，即a >1，则1
a
<x <1；
若1
a ＝1，即a ＝1，则x ∈∅； 若1a
>1，即0<a <1，则1<x <1a
.
综上所述，当a <0时，原不等式的解集为{x |x <1
a
或x >1}；
当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >1}； 当0<a <1时，原不等式的解集为{x |1<x <1
a
}；
当a ＝1时，原不等式的解集为∅；当a >1时，原不等式的解集为{x |1
a
<x <1}．
『规律总结』 解含参数的一元二次不等式时：
(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论； (2)若求对应一元二次方程的根，需对判别式Δ进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 〔跟踪练习1〕
解关于x 的不等式：56x 2
－ax －a 2
>0. [解析] 56x 2
－ax －a 2
＞0可化为 (7x －a )(8x ＋a )＞0.
①当a ＞0时，－a 8＜a 7，∴x ＞a 7或x ＜－a
8；
②当a ＜0时，－a 8＞a
7， ∴x ＞－a 8或x ＜a
7
；
③当a ＝0时，x ≠0.
综上所述，当a >0时，原不等式的解集为{x |x >a 7或x <－a
8}；
当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； 当a <0时，原不等式的解集为{x |x >－a 8或x <a
7}．
命题方向2 ⇨分式不等式的解法 例题2 解下列不等式：
(1)3x －22x ＋1>0； (2)x ＋1
2－x ≥3. [分析] 此类不等式求解，要先移项通分化为f x g x >0(或f x
g x
<0)的形式，再等价转
化为整式不等式．
[解析] (1)3x －22x ＋1>0⇔(3x －2)(2x ＋1)>0⇔{x |x >23或x <－12
}．
(2)x ＋12－x ≥3⇔x ＋12－x －3≥0⇔4x －52－x ≥0⇔4x －5
x －2
≤0， ⇔⎩
⎪⎨
⎪⎧
4x －5x －2≤0
x －2≠0⇔{x |5
4
≤x <2}．
∴原不等式的解集为{x |5
4
≤x <2}．
『规律总结』 1.对于不等号一端为0的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项、通分(一般不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
〔跟踪练习2〕 解下列不等式： (1)
x ＋1x －3≥0；(2)5x ＋1
x ＋1
<3. [解析] (1)不等式x ＋1x －3≥0可化为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋1x －3≥0
x －3≠0
，∴x ≤－1或x >3.
∴原不等式的解集为{x |x ≤－1或x >3}． (2)不等式5x ＋1x ＋1<3可化为5x ＋1
x ＋1－3<0，
即2
x －1
x ＋1
<0，∴2(x －1)(x ＋1)<0，
∴－1<x <1.
∴原不等式的解集为{x |－1<x <1}． 命题方向3 ⇨简单高次不等式解法 例题3 解下列不等式：
(1)x 2＋2x 3－x ≥0； (2)2x 2
－5x ＋13x 2－7x ＋2
≤1.
[分析] 把分式不等式转化为高次整式不等式，然后用“穿根法”求解． [解析] (1)原不等式⇔
⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
＋2x 3－x ≥0
3－x ≠0
⇔⎩⎪⎨
⎪
⎧
x x ＋2x －3≤0，①
x －3≠0.②
将①式的三个根－2,0,3在数轴上标出来，然后用一条曲线穿根(从最大的根右上方穿起)，如图所示，①式的解为x ≤－2，或0≤x ≤3.由②式知x ≠3，
∴原不等式的解为{x |x ≤－2，或0≤x <3}．
(2)2x 2
－5x ＋13x 2－7x ＋2≤1⇔2x 2
－5x ＋1－3x 2
＋7x －23x 2
－7x ＋2≤0⇔－x 2
＋2x －13x 2－7x ＋2≤0⇔x 2
－2x ＋13x 2－7x ＋2
≥0⇔ ⎩
⎪⎨⎪⎧
x －1
2
3x －1x －2≥0，①
3x －1
x －2≠0.②
①式中三个根为1
3，1,2，其中1为二重根．
由图知，①式的解为x ≤1
3
，或x ≥2，或x ＝1.
由②式知x ≠1
3
，且x ≠2，
∴原不等式的解为{x |x <1
3，或x >2，或x ＝1}．
『规律总结』 穿根法求高次不等式的解集：
(1)求解过程概括为：化正⇒求根⇒标根⇒穿根⇒写集(注意端点值能否取到)． (2)“化正”指不等式中未知数最高项的系数为正值． (3)奇(奇次根)过，偶(偶次根)返回． 〔跟踪练习3〕
不等式：x (x －1)2
(x ＋1)3
(x －2)>0的解集为__{x |－1<x <0，或x >2}__.
[解析] 原不等式可化为⎩⎪⎨
⎪⎧
x x ＋1
x －2>0
x －1≠0
⇔⎩
⎪⎨
⎪⎧
－1<x <0，或x >2
x ≠1⇔－1<x <0，或x >2.
∴原不等式的解集为{x |－1<x <0，或x >2}．
Y 易混易错警示
i hun yi cuo jing shi 恒成立问题中忽略二次项系数为零致误
例题4 若不等式(a －2)x 2
＋2(a －2)x －4<0对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．
[错解] 由题意，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a －2<0Δ＝4a －2
2
＋16a －2<0
，
解得－2<a <2.∴实数a 的取值范围为－2<a <2. [辨析] 错解中没有对二次项系数分情况讨论致错．
[正解] 当a ＝2时，原不等式化为－4<0成立，∴a ＝2原不等式恒成立．
当a ≠2时，由题意，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a <2
4a －22
－4a －2×－4<0
，
解得－2<a <2.综上可知，－2<a ≤2.故实数a 的取值范围为－2<a ≤2.
X 学科核心素养
ue ke he xin su yang 不等式恒成立问题
1．一元二次不等式恒成立问题
(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩⎪⎨
⎪⎧ a >0
Δ<0
；
(2)ax 2
＋bx ＋c ≥0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩⎪⎨
⎪⎧ a >0
Δ≤0；
(3)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩
⎪⎨
⎪⎧ a <0
Δ<0；
(4)ax 2
＋bx ＋c ≤0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩
⎪⎨
⎪⎧
a <0
Δ≤0.
2．含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成k <f (x )或k >f (x )形式．则可以转化为函数值域求解．
设f (x )的最大值为M ，最小值为m .
(1)k <f (x )恒成立⇔k <m ，k ≤f (x )恒成立⇔k ≤m . (2)k >f (x )恒成立⇔k >M ，k ≥f (x )恒成立⇔k ≥M .
例题5 (1)函数f (x )＝x 2
＋ax ＋3，当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)函数f (x )＝x 2
＋2x ＋2a －a 2
，对于任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，求实数a 的取值范围．
[解析] (1)设g (x )＝f (x )－a ＝x 2
＋ax ＋3－a ，当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立， 即g (x )＝x 2
＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需且只需Δ＝a 2
－4(3－a )≤0，即a 2
＋4a －12≤0， 解得－6≤a ≤2，即a 的范围是[－6,2]．
(2)由x 2
＋2x ＋2a －a 2
>0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，得2a －a 2
>－x 2
－2x 对任意x ∈[1，＋∞)恒成立．
令g (x )＝－x 2
－2x ＝－(x ＋1)2
＋1，x ∈[1，＋∞)，
∴g (x )在[1，＋∞)上单调递减，∴当x ＝1时，g (x )取最大值－3. ∴2a －a 2
>－3，即a 2
－2a －3<0，解得－1<a <3.即a 的取值范围为(－1,3)．
K 课堂达标验收
e tang da biao yan shou
1．已知不等式ax 2
＋3x －2>0的解集为{x |1<x <b }，则a 、b 的值等于( C ) A ．a ＝1，b ＝－2 B ．a ＝2，b ＝－1 C ．a ＝－1，b ＝2
D ．a ＝－2，b ＝1
[解析] 由二次不等式与对应二次方程的关系知，1和b 是方程ax 2
＋3x －2＝0的两根，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＋3－2＝01＋
b ＝－3
a ，
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝－1
b ＝2
.经检验符合题意，故选C ．
2．若0＜t ＜1，则不等式x 2
－(t ＋1t
)x ＋1＜0的解集是( D )
A ．{x |1
t
＜x ＜t }
B ．{x |x ＞1
t
或x ＜t }
C ．{x |x ＜1
t
或x ＞t }
D ．{x |t ＜x ＜1
t
}
[解析] 原不等式化为(x －t )(x －1
t )＜0，
∵0＜t ＜1，∴1t
＞1＞t ，∴t ＜x ＜1
t
.
3．不等式x －1
2x ＋1
≤1的解集为( A )
A ．(－∞，－2]∪(－1
2
，＋∞)
B ．[－2，∞)
C ．(－∞，－2]∪[－1
2，＋∞)
D ．[－2，－1
2
]
[解析] 原不等式可化为x －12x ＋1－1≤0，即－x －2
2x ＋1
≤0，
∴
x ＋2
2x ＋1
≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋22x ＋1≥02x ＋1≠0
，
∴x ≤－2或x ＞－1
2
，故选A ．
4．不等式(x ＋1)(x －a )<0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式ax ＋1
x －1
>1的解集为__{x |x <－2或x >1}__.
[解析] 由已知不等式(x ＋1)(x －a )<0的解集为{x |－1<x <2}得x ＝2是方程(x ＋1)(x －a )＝0的一个根，
∴a ＝2. ∴不等式
ax ＋1x －1>1可化为2x ＋1
x －1>1， 移项通分得
x ＋2
x －1
>0， ∴(x ＋2)(x －1)>0，解得x <－2或x >1. ∴所求解集为{x |x <－2或x >1}．
A 级 基础巩固
一、选择题
1．若a ＜0，则关于x 的不等式x 2
－4ax －5a 2
＞0的解是( B ) A ．x ＞5a 或x ＜－a B ．x ＞－a 或x ＜5a C ．5a ＜x ＜－a
D ．－a ＜x ＜5a
[解析] 化为：(x ＋a )(x －5a )＞0，相应方程的两根
x 1＝－a ，x 2＝5a ，
∵a ＜0，∴x 1＞x 2.∴不等式解为x ＜5a 或x ＞－a . 2．不等式
x －2
2
x －3
x ＋1
<0的解集为( A )
A ．{x |－1<x <2或2<x <3}
B ．{x |1<x <3}
C ．{x |2<x <3}
D ．{x |－1<x <3}
[解析] 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪
⎧
x －3x ＋1<0x ＋1≠0
x －22≠0
，
解得－1<x <3，且x ≠2，故选A ．
3．已知不等式x 2
＋ax ＋4＜0的解集为空集，则a 的取值范围是( A ) A ．－4≤a ≤4 B ．－4＜a ＜4 C ．a ≤－4或a ≥4
D ．a ＜－4或a ＞4
[解析] 因不等式x 2
＋ax ＋4＜0的解集为空集，则Δ＝a 2
－16≤0，∴－4≤a ≤4. 4．函数y ＝－x 2
－3x ＋4
x
的定义域为( D )
A ．[－4,1]
B ．[－4,0)
C ．(0,1]
D ．[－4,0)∪(0,1]
[解析] 要使函数有意义，则需⎩
⎪⎨
⎪⎧
－x 2
－3x ＋4≥0x ≠0，解得－4≤x ≤1且x ≠0，故定义
域为[－4,0)∪(0,1]．
5．若f (x )＝－x 2
＋mx －1的函数值有正值，则m 的取值范围是( A ) A ．m ＜－2或m ＞2 B ．－2＜m ＜2 C ．m ≠±2
D ．1＜m ＜3
[解析] ∵f (x )＝－x 2
＋mx －1有正值， ∴△＝m 2
－4＞0，∴m ＜－2或m ＞2.
6．下列选项中，使不等式x ＜1x
＜x 2
成立的x 的取值范围是( A )
A ．(－∞，－1)
B ．(－1,0)
C ．(0,1)
D ．(1，＋∞)
[解析] 本题考查了分式不等式解法等．由1x >x 知1x －x >0，1－x 2
x
>0即x (1－x 2
)>0，所
以x <－1或0<x <1；由1x <x 2知1x －x 2<0，1－x 3
x
<0，即x (1－x 3
)<0，所以x <0或x >1，所以不等
式x <1x
<x 2
的解为x <－1，选A ．本题可也用特殊值代入法进行排除．
二、填空题
7．不等式3x －12－x ≥1的解集是__{x |3
4≤x ＜2}__.
[解析] 不等式3x －1
2－x
≥1，
化为：4x －32－x ≥0，
∴3
4
≤x ＜2. 8．若集合A ＝{x |ax 2
－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是__0≤a ≤4__. [解析] ①若a ＝0，则1<0不成立，此时解集为空．
②若a ≠0，则⎩⎪⎨
⎪
⎧
Δ＝a 2－4a ≤0a >0
，∴0<a ≤4.
综上知0≤a ≤4. 三、解答题 9．解下列不等式： (1)2x －1
3x ＋1>0； (2)
ax
x ＋1
<0.
[解析] (1)原不等式等价于(2x －1)(3x ＋1)>0， ∴x <－13或x >12
.
故原不等式的解集为{x |x <－13或x >1
2}．
(2)
ax
x ＋1
<0⇔ax (x ＋1)<0.
当a >0时，ax (x ＋1)<0⇔x (x ＋1)<0⇔－1<x <0， ∴解集为{x |－1<x <0}；
当a ＝0时，原不等式的解集为∅；
当a <0时，ax (x ＋1)<0⇔x (x ＋1)>0⇔x <－1或x >0， ∴解集为{x |x <－1，或x >0}．
综上可知，当a >0时，原不等式的解集为{x |－1<x <0}；当a ＝0时，原不等式的解集为∅；当a <0时，原不等式的解集为{x |x <－1或x >0}．
10．当a 为何值时，不等式(a 2
－1)x 2
＋(a －1)x －1<0的解集是R? [解析] 由a 2
－1＝0，得a ＝±1. 当a ＝1时，原不等式化为－1<0恒成立， ∴当a ＝1时，满足题意．
当a ＝－1时，原不等式化为－2x －1<0，
∴x >－1
2
，∴当a ＝－1时，不满足题意，故a ≠－1.
当a ≠±1时，由题意，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 2
－1<0
Δ＝a －12
＋4a 2
－1<0
，
解得－3
5
<a <1.
综上可知，实数a 的取值范围是－3
5
<a ≤1.
B 级 素养提升
一、选择题
1．已知关于x 的不等式x 2
－4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立，则有( A ) A ．m ≤－3 B ．m ≥－3 C ．－3≤m <0
D ．m ≥－4
[解析] 令f (x )＝x 2
－4x ＝(x －2)2
－4，因为f (x )在(0,1]上为减函数，所以当x ＝1时，f (x )取最小值－3，所以m ≤－3.
2．如果不等式2x 2
＋2mx ＋m
4x 2＋6x ＋3<1对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是( A )
A ．(1,3)
B ．(－∞，3)
C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)
D ．(－∞，＋∞)
[解析] 由4x 2
＋6x ＋3＝(2x ＋32)2＋34>0对一切x ∈R 恒成立，
从而原不等式等价于
2x 2
＋2mx ＋m <4x 2
＋6x ＋3(x ∈R )
⇔2x 2＋(6－2m )x ＋(3－m )>0对一切实数x 恒成立
⇔Δ＝(6－2m )2
－8(3－m )＝4(m －1)(m －3)<0，
解得1<m <3. 二、填空题
3．不等式[(a －1)x ＋1](x －1)＜0的解集为{x |x ＜1或x ＞2}，则a ＝__1
2__.
[解析] 由题意x ＝2是方程(a －1)x ＋1＝0的根， 且a －1＜0，∴a ＝1
2
.
4．已知函数y ＝(m 2
＋4m －5)x 2
＋4(1－m )x ＋3对任意实数x ，函数值恒大于零，则实数
m 的取值范围是__1≤m <19__.
[解析] ①当m 2
＋4m －5＝0时，m ＝－5或m ＝1，
若m ＝－5，则函数化为y ＝24x ＋3.对任意实数x 不可能恒大于0. 若m ＝1，则y ＝3＞0恒成立． ②当m 2
＋4m －5≠0时，据题意应有，
⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2
＋4m －5＞0161－m 2
－12m 2＋4m －5＜0
，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＜－5或m ＞11＜m ＜19，∴1＜m ＜19.综上可知，1≤m ＜19.
三、解答题
5．解关于x 的不等式x 2
－(a ＋a 2
)x ＋a 3
>0. [解析] 原不等式可化为(x －a )(x －a 2
)>0.
则方程x 2
－(a ＋a 2
)x ＋a 3
＝0的两根为x 1＝a ，x 2＝a 2
， 由a 2
－a ＝a (a －1)可知， (1)当a <0或a >1时，a 2
>a . ∴原不等式的解为x >a 2或x <a . (2)当0<a <1时，a 2
<a ， ∴原不等的解为x >a 或x <a 2
.
(3)当a ＝0时，原不等式为x 2>0，∴x ≠0. (4)当a ＝1时，原不等式为(x －1)2
>0，∴x ≠1. 综上可知：
当a <0或a >1时，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2
}； 当0<a <1时，原不等式的解集为{x |x <a 2
或x >a }； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≠0}； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠1}．
C 级 能力拔高
1．解关于x 的不等式：x 2＋2x －3－x 2＋x ＋6
<0.
[解析] 原不等式⇔
x ＋3x －1
x ＋2x －3
>0⇔(x ＋3)(x ＋2)(x －1)(x －3)>0. 令(x ＋3)(x ＋2)(x －1)(x －3)＝0，则有x 1＝－3，x 2＝－2，x 3＝1，x 4＝3. 如图．
由图可知，原不等式的解集为{x |x <－3或－2<x <1或x >3}． 2．已知函数f (x )＝mx 2
－mx －1.
(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． [解析] (1)要使mx 2
－mx ＋1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0.
若m ≠0，则⎩
⎪⎨⎪⎧
m <0
Δ＝m 2
＋4m <0，解得－4<m <0.
综上可知，m 的取值范围是(－4,0]．
(2)解法一：要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，就要使m (x －12)2＋3
4m －6<0在x
∈[1,3]上恒成立．令g (x )＝m (x －12)2＋3
4
m －6，x ∈[1,3]．
当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， ∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0. ∴0<m <6
7
.
当m ＝0时，－6<0恒成立．
当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数， ∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，即m <6，∴m <0. 综上可知，m 的取值范围是(－∞，6
7)．
解法二：当x ∈[1,3]时，f (x )<－m ＋5恒成立， 即当x ∈[1,3]时，m (x 2
－x ＋1)－6<0恒成立． ∵x 2
－x ＋1＝(x －12)2＋34>0，
且m (x 2
－x ＋1)－6<0，∴m <6
x 2
－x ＋1
.
∵函数y ＝
6
x 2
－x ＋1
＝
6x －122＋34
在[1,3]上的最小值为67，∴m <6
7.故m 的取值范围是(－∞，6
7)．。