§6 对称矩阵的标准形

§6 对称矩阵的标准形
一、实对称矩阵的一些性质
引理1 设A 是实对称矩阵，则A 的特征值皆为实数． 证：设0λ是A 的任意一个特征值，则有非零向量
12n x x x ξ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
满足 0.A ξλξ
= 令 12n x x x ξ⎛⎫
⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
, 其中i x 为i x 的共轭复数，
又由A 实对称，有A A =, ,A A '= A A ξξ=
∴ ()()00A A λξξξλξξξξξ⎛⎫''''=== ⎪⎝
⎭
()()A A A ξξξξξξ'⎛⎫'''=== ⎪
⎝
⎭
()()000λξξλξλξξ'''=== 考察等式，00λξξλξξ''= 由于ξ是非零复向量，必有
12120n n x x x x x x ξξ'=++
+≠
故 00λλ=. ∴ 0.R λ∈
引理2 设A 是实对称矩阵，在 n 维欧氏空间n R 上定义一个线性变换
σ如下：
(),A σαα= n R α∀∈
则对任意,n R αβ∈, 有
()()()(),,,σαβασβ= 或
()().A A βααβ''= 证：取n R 的一组标准正交基，
1210001
0,,
,001n εεε⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
则σ在基12,,,n εεε下的矩阵为A ，即 ()()1212,,,,,,n n A σεεεεεε=
任取 112
2,,n n n x y x y R x y αβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
即 ()112212,,,,n n n x x x X
αεεεεεε=++
+ ()112212,,,,n n
n y y y Y βεεεεεε=++
+
于是
()()()1212,,,,,,,n n X AX σασεεεεεε== ()()()1212,,,,,,,n n Y AY σβσεεεεεε==
又12,,,n εεε是标准正交基，
∴ ()()()(),AX Y X A Y X AY σαβ''''=== ()X AY '=()(),ασβ= 又注意到在n R 中,,X Y αβ== 即有 ()()()()(),,A βαβσασαβ'==
()()(),.A ασβαβ'==
二、对称变换 1．定义
设σ为欧氏空间V 中的线性变换，如果满足
()()()(),,,σαβασβ= ,,V αβ∀∈
则称σ为对称变换． 2．基本性质
1）n 维欧氏空间V 的对称变换与n 级实对称矩阵在标准正交基下是相互确定的：
① 实对称矩阵可确定一个对称变换．
事实上，设,n n A R ⨯∈,A A '= 12,,,n εεε为V 的一组标准正交基．定义V 的线性变换σ:
()()1212,,,,,,n n A σεεεεεε=
则σ即为V 的对称变换．
② 对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵．
事实上，设σ为n 维欧氏空间V 上的对称变换，12,,,n εεε为V 的一组标准正交基，()n n ij A a R ⨯=∈为σ在这组基下的矩阵，即
()()1212,,,,,,n n A σεεεεεε=
或
()1122i i i ni n a a a σεεεε=++
+
1
,n
k i k k a ε==∑ 1,2,,i n =
于是 ()()()11
,,,n n
i j ki k j ki k j k k a a σεεεεεε==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑
(),ji j j ji a a εε==
()()()11
,,,n n
j i j ki k kj i k k k a a εσεεεεε==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑
(),ij i i ij a a εε==
由σ是对称变换，有 ()()()(),,i j j i σεεεσε= 即 ,i j j i a a = ,1,2,,i j n = 所以A 为对称矩阵．
2）（引理3）对称变换的不变子空间的正交补也是它的不变子空间． 证明：设σ是对称变换，W 为σ的不变子空间． 对 W α⊥∀∈,要证()W σα⊥∈,即证()W σα∈. 任取W β∈,由W 是σ子空间，有()W σβ∈. 因此 ()()()(),,0σαββσα== 即 (),W σα⊥ ∴ ()W σα⊥⊥. 故W ⊥也为σ的不变子空间． 三、实对称矩阵的正交相似对角化
1．(引理4)实对称矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的． 证：设实对称矩阵A 为n R 上对称变换σ的在标准正交基下的矩阵，
,λμ 是A 的两个不同特征值 ，,αβ分别是属于,λμ的特征向量．
则 (),A σαλαα== (),A σβμββ== 由 ()()()(),,σαβαβσβ= 三、实对称矩阵的正交相似对角化
1．(引理4)实对称矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的． 证：设实对称矩阵A 为n R 上对称变换σ的在标准正交基下的矩阵，
,λμ是A 的两个不同特征值 ，,αβ分别是属于,λμ的特征向量．
则 ()A σαλαα==, ()A σβλβαβ==, 由 ()()()(),,σαβασβ= 有 ()(),,λαβαμβ= 即 ()(),,λαβμαβ= 又 λμ≠, ∴ (),0αβ= 即,αβ正交．
２．(定理7)对,n n A R ⨯∈,A A '=总有正交矩阵T ，使
()112,,
n T AT T AT diag λλλ-'==.
证：设A 为n R 上对称变换σ在标准正交基下的矩阵．由实对称矩阵和对称变换互相确定的关系，只需证σ有n 个特征向量作成的标准正交基即可．
对n R 的维数n 用归纳法． n=1时，结论是显然的．
假设n －1时结论成立，对n R ,设其上的对称变换σ有一单位特征向量1α，其相应的特征值为1λ，即 ()111,σαλα= 11α=
设子空间()1L W α=,显然W 是σ子空间，则W ⊥也是σ子空间，且
n W W R ⊥⊕=, dim 1W n ⊥=-
又对 ,,W αβ⊥∀∈ 有
()()()()()()()()|,,,,|W W σαβσαβ
ασβασβ⊥
⊥
== 所以|W σ⊥
是W ⊥上的对称变换．
由归纳假设知|W σ⊥
有n －1 个特征向量23,,,n ααα构成W ⊥的一组标准
正交基．
从而123,,,,n αααα就是n R 的一组标准正交基，又都是n R 的特征向量．即结论成立．
3．实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤 设 ,n n A R ⨯∈ 'A A =
(i) 求出A 的所有不同的特征值：12,,,r R λλλ∈, 其重数12,,,r n n n 必满足1;r
i i n n ==∑
(ii) 对每个i λ，解齐次线性方程组 ()0i E A X λ-=
求出它的一个基础解系：12,,,i i in ααα
它是A 的属于特征值i λ的特征子空间i
V λ的一组基．把它们按schmidt
正交化过程化成i
V λ的一组标准正交基12,,,i i in ηηη.
iii) 因为12,,,r λλλ互不相同，所以i
j
V V λλ⊥ ()i j ≠
且
1
d i m
,
i
r
i W n λ==∑ ∴ 1
1112112
,,,,
,
,
,
,n n γ
γ
γ
ηηηηηη
,就是V 的一组标准正交基． 将 1
1112112,,,,
,,,
,n n γγγηηηηηη的分量依次作矩阵T 的第1，2，…，
n 列，则T 是正交矩阵，且使1T AT T AT -'=为对角形． 例1．设
0111101111011110A -⎛⎫ ⎪-
⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭
求一正交矩阵T 使T AT '成对角形． 解：先求A 的特征值．
2
11
1
011111
10101
11
1001
11
11111
E A λ
λλλλ
λλλλ
λλλ
λ
----------=
=-------- ()23
111111
10
11101011011
λλλλλλλλλ-----=---=---- ()()3
13λλ=-+
A 的特征值为11λ=（三重）,2 3.λ=
其次求属于11λ=的特征向量，即求解方程组 ()0E A X -=
11111111
111100001111000011110
00
E A ---
-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-=→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝
⎭
得其基础解
()
()()123
1,1,0,01,0,1,01,0,0,1ααα=⎧⎪=⎨⎪=-⎩
把它正交化，得
()
()()()()()()1121221113132331211221,1,0,0,11,,1,0,22,,111,,,1,,333βααββαβββαβαββαββββββ==⎧
⎪⎛⎫
⎪=-=-⎪ ⎪
⎝⎭
⎨⎪
⎛⎫⎪=--=- ⎪⎪⎝⎭⎩
再单位化，得
111222332111ηββηββηββ⎧⎫
==⎪⎪⎭⎪⎪⎫⎪
==⎨⎪⎭⎪⎪⎛⎪== ⎪⎝⎩
这是特征值11λ= (三重)的三个单位正交特征向量，也即是特征子空间1
V λ的一组标准正交基．
再求属于23λ=-的特征向量，即解方程组
()30E A X --=
3111444
41311131131131113111131113E A -------⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪------ ⎪ ⎪
--=→
⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭
111110
01022001010220001102020
00-⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪-
⎪ ⎪
→→ ⎪ ⎪
- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
得其基础解 ()41,1,1,1,α=--
再单位化得 41
1
11
,,,2222
η⎛⎫
=-- ⎪⎝
⎭
这样1234,,,ηηηη构成4R 的一组标准正交基，它们都是A 的特征向量，正交矩阵
(
)12341212,,,10210
2T ηηηη⎫⎪⎪⎪-⎪⎪== ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
使得
1113T AT ⎛⎫
⎪
⎪'= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭
注：
① 对于实对称矩阵A ，使()12,,,n diag λλλ成立的正交矩阵不是唯一的．而且对于正交矩阵T, 还可进一步要求 1.T = 事实上，如果由上述方法求得的正交矩阵T
()12,,
,,n T AT diag λλλ'= 1T =-
取正交矩阵 ()1,1,1,S d i a g =-, 则1T TS =是正交矩阵且 11T T S ==, 同时有 ()()()11T AT TS A TS S T AT S ''''==
121
1
1
111n λλλ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭
⎝
⎭ ()12,,,n diag λλλ=
② 如果不计较主对角线上元素的排列的次序，与实对称矩阵A 正交相似的对角矩阵是唯一确定的．
③ 因为正交相似的矩阵也是互相合同的，所以可用实对称矩阵的特征值的性质刻画其正定性： 设12n λλλ≥≥
≥为实对称矩阵A 的所有特征值
(i) A 为正定的0n λ⇔> (ii) A 为半正定的0n λ⇔≥
(iii) A 为负定（半负定）的 ()100n λλ⇔<≤ (iv) A 为不定的0n λ⇔<且0n λ<
④ 实对称矩阵A 的正、负惯性指数分别为正、负特特征值的个数（重根按重数计）．
n －秩(A)是0为A 的特征值的重数. 四、实二次型的主轴问题 1．解析几何中主轴问题
将2R 上有心 二次曲线或3R 上有心二次曲面通过坐标的旋转化成标准形，这个变换的矩阵是正交矩阵.
2．任意n 元实二次型的正交线性替换化标准形 1）正交线性替换
如果线性替换 X=CY
的矩阵C 是正交矩阵，则称之为正交线性替换. 2）任一n 元实二次型
()1211,,
,,n
n
n ij i j i j f x x x x x α===∑∑ ,i j j i αα= ,i j ∀
都可以通过正交的线性替换X CY =变成平方和
22
2
1122n n
y y y λλλ++
+
其中平方项的系数12,,,n λλλ为A 的全部特征值．
例2、在直角坐标系下，二次曲面的一般方程是
2221122331213
23222a x a y a z a x y a x z a y z +++++ 123
2220b x b y b z d ++++= （1） 令 111213121222323132333,,a a
a b x A a a
a B b
X y a a a b z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
则（1）式可以写成
20.X AX B X d ''++= （2） 对（2）中的33A A R ⨯'=∈有正交矩阵C （且1C =）确定的坐标变换公式
111213121222313132331x c c c x y c c c y z c c c z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
或 1X C X = ()123,,,C AC diag λλλ'=
这样由（2）知道经过由1X CX =的坐标轴旋转，曲面（1）的方程化
成
2
2
21121311121312220
x y z b x b y b z d λλλ***++++++= 其中 ()()123123,,,,b b b
b b b C ***= 这时，再按123,,λλλ是否为零，作适当的坐标轴的平移或旋转可以将曲
面的方程化成标准方程．
如当123,,λλλ全不为零时，作平移
112121223123b x x b y y b z z λλλ***⎧=-⎪⎪
⎪⎪=-⎨⎪
⎪⎪=-⎪⎩
曲面方程（1）可以化为
2221222320x y z d λλλ*+++=,
其中 312123b b b d d λλλ**
**=---.
小结：对称变换、化实对称矩阵为对角阵、化实二次型为标准性。