利用解直角三角形测量物体高度

利用解直角三角形测量物体高度
今天，为了承应数学课程标准总体目标“增强应用数学的意识”的要求，解直角三角形的知识有着更为广泛的应用，本文将求物体的高度的题目采撷几例，供读者学习参考.
一.求旗杆高
例1（2010浙江义乌）课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图1，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB 在地面上的投影BC 长
为24米，则旗杆AB 的高度约是 米．（结果保留3个有效数字，3≈1.732）
分析:本题是阳光线、旗杆及其影长构成一个直角三角形，利用锐角
30°的正切函数求得tan 30°=BC AB ，所以AB ＝BC · tan 30°＝24×3
3≈13.9 解:填13.9
点评:要想求出旗杆长，第一需要明确阳光线、旗杆及其影长构成一个三角形是直角三角形，第二考查选择哪个锐角三角函数．
二.求楼高
例2（2010云南昆明）热气球的探测器显示，从热气球A 处看一栋高楼顶部的仰角为45°，看这栋高楼底部的俯角为60°，A 处与高楼的水平距离为60m ，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m
1.732≈≈）
分析:过点A 作BC 的垂线于D ，将△ABC 转化为Rt △ACD 和Rt △BCD ，即
可.
解：过点A 作BC 的垂线，垂足为D 点
由题意知：∠CAD = 45°, ∠BAD = 60°, AD = 60m
在Rt △ACD 中，∠CAD = 45°, AD ⊥BC ∴ CD = AD = 60
在Rt △ABD 中，∵BD tan BAD AD ∠= ∴ BD = AD·tan ∠
∴
≈ 163.9 (m)
答：这栋高楼约有163.9m ．
点评:本题是基本概念的综合题，主要考查考生应用知识解决问题的能力，很容易上手，容易出错的地方是近似值的取舍．
三.求山高
例3（2010云南红河州）如图3，一架飞机在空中
P 处探测到某高山山顶D 处的俯角为60°，此后飞机
以300米/秒的速度沿平行于地面AB 的方向匀速飞
行，飞行10秒到山顶D 的正上方C 处，此时测得
飞机距地平面的垂直高度为12千米，求这座山的
高．（精确到0.1千米）
分析:本题根据速度和时间求出PC 的长，再在Rt △
PCD 中，运用三角函数求出CD 的长，则山高DG
可求．
图
3 图2
解：延长CD交AB于G，则CG＝12（千米）
依题意：PC＝300×10＝3000（米）＝3（千米）
在Rt△PCD中：PC＝3，∠P＝60°
CD＝PC·tan∠P＝3×tan60°＝3
3
∴DG＝12－CD＝12－3
3≈6.8（千米）
答：这座山的高约为6.8千米.
点评:本题是一道简单的解直角三角形的试题，解这类题，首先要分析解题思路和解题方法.一般，在直角三角形中，根据所给的边和角度，选用适当的锐角三角函数，求出有关的边和角.
四.求树高
例4（2010辽宁抚顺）星期天，小强去水库大坝游玩，他
站在大坝上的A处看到一棵大树的影子刚好落在坝底的B
处（点A与大树及其影子在同一平面内），此时太阳光与
地面成60°角．在A处测得树顶D的俯角为15°．如图所
示，已知AB与地面的夹角为60°，AB为8米．请你帮助
小强计算一下这颗大树的高度？（结果精确到1米．参
）
分析:欲求DE的长，在△BDE中只需知道BD的长，再由∠DBE＝60°即可得解．而目前唯一知道的长度是AB＝8米，在△ABD中，由条件可得∠ABD＝60°，∠BAD＝45°，若过点D 作DM⊥AB于点M，在Rt△MBD中，由∠ABD＝60°、BM+DM＝8可求得BD的长，问题获解．
解：∵AF∥CE，∠ABC＝60°，∴∠F AB＝60°．
∵∠F AD＝15°，∴∠DAB＝45°．
∵∠DBE＝60°，∠ABC＝60°，∴∠ABD＝60°．
过点D作DM⊥AB于点M，则有AM＝DM．
∵tan∠ABD＝DM
BM
，∴tan60°＝
DM
BM
，∴DM
．
设BM＝x，则AM＝DM＝3x，
∵AB＝AM+BM＝8
+ x＝8，
∴x
≈3.0或x＝4
），
∴DM
≈5或DM
＝
∵∠ABD＝∠DBE＝60°，DE⊥BE，DM⊥AB，
∴DE＝DM≈5（米）或DE＝DM＝
（米）（由△DEB≌△DMB得DE＝DM同样正
确或根据BD＝2BM＝2x，由DE＝BDsin60°
≈5（米）亦正确）．
图
4
答：这棵树约有5米高．
点评:本题综合考查平行线的性质、投影、解直角三角形等相关知识，由于求解需要将斜三角形ABD 转化为直角三角形．
五.宣传牌的高
例5（2010江苏扬州）如图5，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD ．小明在山坡的坡脚A 处测得宣传牌底部D 的仰角为60°，沿山坡向上走到B 处测得宣传牌顶部C 的仰角为45°．已知山坡AB 的坡度i ＝1:3，AB ＝10米，AE ＝15米，求这块宣传牌CD 的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：2≈1.414，3≈1.732）
分析:过点B 作BF ⊥DE 于点F , BG ⊥AE 于点G .在Rt △ADE 中,利用三角函数可求DE 的长;根据山坡AB 的坡度可求AG 与EF 的长,即可确定BF 的长, 由于∠CBF ＝45°，因此△BCF 是等腰直角三角形,可求CF =BG , CD =CF +EF —DE .
解：作BF ⊥DE 于点F ，BG ⊥AE 于点G
在Rt △ADE 中∵tan ∠ADE =AE
DE ,∴DE =AE ·tan ∠ADE=153 ∵山坡AB 的坡度i =1：3，AB =10∴BG =5，AG =35，
∴EF =BG =5，BF =AG +AE =35+15
∵∠CBF =45°∴CF =BF =35+15
∴CD =CF +EF —DE =20—103≈20—10×1.732=2.68≈2.7
答：这块宣传牌CD 的高度为2.7米．
点评:本题是基本概念的综合题,主要考查直角三角形的边角关系及其应用.
图5。