(常考题)北师大版初中数学八年级数学下册第三单元《图形的平移与旋转》检测(含答案解析)(4)

一、选择题
1．在平面直角坐标系中，A （0，3），B （4，0），把△AOB 绕点O 旋转，使点A ，B 分别落在点A ′，B ′处，若A ′B ′∥x 轴，点B ′在第一象限，则点A 的对应点A ′的坐标为（ ）
A ．（912,55-）
B ．（129,55-）
C ．（1612,55
-） D ．（1216,55
-） 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A ．矩形 B ．等边三角形 C ．正五边形 D ．角
3．如图，在△ABC 中，AB=3，BC=5.2，∠B=60°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转△ADE ，若点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为( )
A ．0.8
B ．2
C ．2.2
D ．2.8
4．如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=8，将△ABC 沿直线BC 向右平移，得到△EDF ，连接AD ，若四边形ACFD 为菱形，EC=4，则平移的距离为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．8 5．下列图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 6．在平面直角坐标系中，把点()5,4P -向右平移8个单位得到点1P ，再将点1P 绕原点顺时针旋转90︒得到点2P ，则点2P 的坐标是（ ）
A ．()4,3-
B ．()4,3
C ．()4,3--
D ．()4,3- 7．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 8．在奔驰、宝马、丰田、三菱等汽车标志图形中，为中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 9．下列标志中是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 10．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 11．在平面直角坐标系中，点A (2， -1)向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到点B ，则线段AB 的长度是 （ ）
A ．8
B ．34
C ．13
D ．32
12．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．如图①，O 为直线AB 上一点，作射线OC ，使120AOC ∠=︒，将一块直角三角尺如图摆放，直角顶点在点O 处，一条直角边OP 在射线OA 上，将图①中的三角尺绕点O 以每秒5︒的速度按顺时针方向旋转（如图②所示），在旋转一周的过程中，第t 秒时，OQ 所在直线恰好平分BOC ∠，则t 的值为_____________．
14．如图，等边三角形ABC 中，点O 是ABC 的中心，120FOG ∠=︒，绕点O 旋转FOG ∠，分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①OD OE =；②ODE BDE S S =；③四边形ODBE 的面积始终等于定值；④当OE BC ⊥时，BDE 周长最小．上述结论中正确的有__________（写出序号）．
15．将点P （﹣2，﹣3）向左平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q ，则点Q 的坐标是_____．
16．如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转45°得到△AB C ''，AB =2，则图中阴影部分的面积为_________．
17．若点()1,5P m -与点()3,2Q n -关于原点成中心对称，则m n +的值为______． 18．如图，在ABC ∆中，90,3,4ACB AC BC ∠=︒==，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转90︒得到'''A B C ∆，若P 为AB 边上一动点，旋转后点P 的对应点为点P'，则线段'PP 长度的取值范围是________．
19．已知点P 的坐标为（a ，b ）（a ＞0），点Q 的坐标为（c ，2），且|a ﹣c|+8b -＝0，将线段PQ 向右平移a 个单位长度，其扫过的面积为24，那么a+b+c 的值为_____． 20．将△ABC 在平面内绕点A 旋转40°到△AB 'C '的位置，使CC '∥AB ．则∠CAB '的度数为_____．
三、解答题
21．△ABC 在网格中的位置如图所示：
（1）请画出△ABC 绕着点O 顺时针旋转90º后得到的111A B C △；
（2）请画出△ABC 关于点O 对称的222A B C △；
（3）在MN 上找到一点P ，使PA+PB 的长度最短．
22．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，1AC BC ==，将ABC ∆绕点A 顺时针方向旋转60︒到△AB C ''的位置．
（1）画出旋转后的△AB C ''；
（2）连接BC '，求证：直线BC '是线段AB '的垂直平分线；
（3）求线段BC '的长．
23．ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）请作出ABC 关于y 轴对称的111A B C △，并写出111,,A B C 三点的坐标：1A _______，1B ________，1C _________；
（2）将ABC 向右平移6个单位长度，作出作出平移后的222A B C △；
（3）观察111A B C △与222A B C △，它们是否关于某直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为()3,5A -，()2,1B -，()1,3C -．
（1）画出将ABC 绕点O 顺时针旋转90︒后所得到的图形111A B C △；
（2）直接写出的点1A ，1B ，1C 的坐标．
25．如图，在平面直角坐标系中，ABC 三个顶点的坐标分别是A （2，4），B （1，2），C （5，3）．
（1）作出ABC 关于点O 对称的图形111A B C △；
（2）以点O 为旋转中心，将ABC 顺时针旋转90°，得到222A B C △，在坐标系中画出222A B C △．
26．如图，在正方形网格中，△ABC 的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
（1）作出△ABC 关于原点O 成中心对称的△A 1B 1C 1，写出B 1的坐标；
（2）直接写出：以A 、B 、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标 ．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
设A ′B ′交y 轴于T ′，利用勾股定理可求出A ′B ′的长度，再利用三角形面积公式求出OT 的长度，最后再利用勾股定理即可求出A ′T ′的长度，即可求出A ′点坐标 ．
【详解】
解：如图，设A ′B ′交y 轴于T ′．
∵A （0，3），B （4，0），
∴OA ＝3，OB ＝4，
∵∠A ′OB ′＝90°，OT'⊥A ′B ′，OA ＝OA ′＝3，OB ＝OB ′＝4，
∴AB ＝A ′B ′22OA OB +2234+，
∵A OB S ''=12•OA ′•OB ′＝12
•A ′B ′•OT ′， ∴OT ′＝125
， ∴A ′T ′22OA OT '-221293()55
-=， ∴A ′（-
95，125）． 故选：A ．
【点睛】 本题考查坐标与图形的变化-旋转，熟练利用勾股定理解直角三角形以及三角形的面积公式是解答本题的关键．
2．A
解析：A
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念依次判断即可得．
【详解】
解：A. 矩形是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．
B. 等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C. 正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
D. 角是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
故选：A ．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．C
【分析】
根据旋转的性质得到△ABD 为等边三角形，得到BD=AB=3，再根据线段和差计算得到答案即可．
【详解】
∵△ABC 绕点A 逆时针旋转△ADE ，
∴AB=AD ，
∵∠B=60°，
∴△ABD 为等边三角形，即BD=AB=3，
∴CD=BC-BD=5.2-3=2.2；
故选：C ．
【点睛】
此题考查旋转的性质，等边三角形的判定及性质，线段的和差计算，掌握旋转的性质证得△ABD 为等边三角形是解题的关键．
4．C
解析：C
【分析】
根据平移的性质可得8,,AB DE AC DF BC EF ====，设
AC DF CF AD x ====，求得BC=4x +，再由勾股定理理出方程求解即可．
【详解】
解：由平移的性质可得：8,,AB DE AC DF BC EF ====
又∵四边形ACFD 是菱形
∴设AC DF CF AD x ====
又∵4EC =
∴4BC EF CF CE x ==+=+
又∵∠90BAC ︒=
∴222AB AC BC +=
∴2228(4)x x +=+
解得，6x =
即6AD DF CF AC ====
故平移的距离为：6AD =
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了平移的性质，熟练掌握平移的基本性质是解答此题的关键．
5．C
解析：C
【分析】
根据中心对称图形与轴对称图形的定义求解．
解：A 、是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；
B 、既是轴对称图形也是中心对称图形，不符合题意；
C 、是中心对称图形不是轴对称图形，符合题意；
D 、是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；
故选C ．
【点睛】
本题考查轴对称与中心对称的应用，熟练掌握轴对称与中心对称的意义是解题关键． 6．D
解析：D
【分析】
把点()5,4P -向右平移8个单位得到点()13,4P ，再将点1P 绕原点顺时针旋转90︒得到点
2P 即可求解．
【详解】
解：把点()5,4P -向右平移8个单位得到点()13,4P ，
再将点1P 绕原点顺时针旋转90︒得到点2P ()4,3-，
故选：D ．
【点睛】
本题考查点的坐标变换，掌握点的坐标变换规律是解题的关键．
7．C
解析：C
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C 、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 8．B
解析：B
【分析】
据中心对称图形的概念，结合图形特征即可求解．
【详解】
A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项成文；
故选：B．
【点睛】
本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
9．B
解析：B
【分析】
根据中心对称图形的定义即可解答．
【详解】
解：A、是轴对称图形，不是中心对称的图形，不合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称的图形，不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称的图形，不合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．10．B
解析：B
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【详解】
A、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，符合题意；
C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后和原图形重合．11．C
解析：C
【分析】
首先确定B点坐标，然后利用勾股定理计算出线段AB的长度．
【详解】
点A（2，-1）向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到点B，
则B （2+3，-1+2），即B （5，1），
线段AB =，
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了坐标与图形的变化－平移，以及勾股定理的应用，关键是掌握点的坐标的变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 12．B
解析：B
【分析】
观察四个选项中的图形，根据轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合；找出既是轴对称图形又是中心对称图形的那个即可得出结论．
【详解】
A 是中心对称图形；
B 既是轴对称图形又是中心对称图形；
C 是轴对称图形；
D 不是轴对称图形，是中心对称图形．
故选：B ．
【点睛】
此题考查中心对称图形以及轴对称图形，牢记轴对称及中心对称图形的特点是解题的关键．
二、填空题
13．24或60【分析】如图1如图2根据平角的定义得到∠BOC=60°根据角平分线定义得到结论【详解】解：如图1∵∠AOC=120°∴∠BOC=60°∵OQ 平分∠BOC ∴∠BOQ=∠BOC=30°∴t==
解析：24或60
【分析】
如图1，如图2，根据平角的定义得到∠BOC=60°，根据角平分线定义得到结论．
【详解】
解：如图1，∵∠AOC=120°，
∴∠BOC=60°，
∵OQ 平分∠BOC ，
∴∠BOQ=
12∠BOC=30°， ∴t=90+305︒︒︒
=24s ； 如图2，∵∠AOC=120°，
∴∠BOC=60°，
∵OQ′平分∠BOC ，
∴∠AOQ=∠BOQ′=12∠BOC=30°， ∴t=180+30+905︒︒︒︒
=60s ， 综上所述，OQ 所在直线恰好平分∠BOC ，则t 的值为24s 或60s ，
故答案为：24或60．
【点睛】
本题考查了角平分线定义，平角的定义，正确的作出图形是解题的关键．
14．①③④【分析】连接OBOC 如图利用等边三角形的性质得
∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°再证明∠BOD=∠COE 于是可判断△BOD ≌△COE 所以BD=CEOD=OE 则可对①进行判断；利用S △BOD=
解析：①③④
【分析】 连接OB 、OC ，如图，利用等边三角形的性质得∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°，再证明∠BOD=∠COE ，于是可判断△BOD ≌△COE ，所以BD=CE ，OD=OE ，则可对①进行判断；利用S △BOD =S △COE 得到四边形ODBE 的面积=
13S △ABC ，则可对③进行判断；作OH ⊥DE ，如图，则DH=EH ，计算出S △ODE 32，利用S △ODE 随OE 的变化而变化和四边形ODBE 的面积为定值可对②进行判断；由于△BDE 的周长3，根据垂线段最短，当OE ⊥BC 时，OE 最小，△BDE 的周长最小，计算出此时OE 的长则可对④进行判断．
【详解】
解：连接OB 、OC ，如图，
∵△ABC 为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵点O 是△ABC 的中心，
∴OB=OC ，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，
∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠BOC=120°，即∠BOE+∠COE=120°，
而∠DOE=120°，即∠BOE+∠BOD=120°，
∴∠BOD=∠COE ，
在△BOD 和△COE 中，
BOD COE BO CO
OBD OCE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝， ∴△BOD ≌△COE （ASA ），
∴BD=CE ，OD=OE ，
∴①正确；
作OH ⊥DE 于H ，如图，则DH=EH ，
∵∠DOE=120°，
∴∠ODE=∠OEH=30°，
∴OH=12OE ，33， ∴3OE ，
∴S △ODE =12×12332， 即S △ODE 随OE 的变化而变化，
而四边形ODBE 的面积为定值，
∴S △ODE ≠S △BDE ；
故②错误；
设等边三角形ABC 的边长为a ，
∵△BOD ≌△COE ，
∴S △BOD =S △COE ，
∴四边形ODBE 的面积=S △OBC ═13S △ABC =13×24
a ， ∴四边形ODBE 的面积始终等于定值；
故③正确；
∵BD=CE ，
∴△BDE 的周长
，
当OE ⊥BC 时，OE 最小，△BDE 的周长最小，此时， ∴△BDE 周长的最小值=a+
1322
a a =，为定值 ∴④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质． 15．（﹣5﹣1）【分析】让P 的横坐标减3纵坐标加2即可得到点Q 的坐标
【详解】解：根据题意点Q 的横坐标为：﹣2﹣3＝﹣5；纵坐标为﹣3＋2＝﹣1；即点Q 的坐标是(﹣5﹣1)故答案为：(﹣5﹣1)【点睛】本
解析：（﹣5，﹣1）
【分析】
让P 的横坐标减3，纵坐标加2即可得到点Q 的坐标．
【详解】
解：根据题意，点Q 的横坐标为：﹣2﹣3＝﹣5；纵坐标为﹣3＋2＝﹣1；
即点Q 的坐标是(﹣5，﹣1)．
故答案为：(﹣5，﹣1)．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化-平移，用到的知识点为：左右平移改变点的横坐标，上下平移改变点的纵坐标；
16．【分析】作于M 根据旋转的性质及题意得出∠BA ＝45°AB ＝A ＝2从而得出M 的值及的面积然后根据阴影部分的面积等于的面积即可得出答案【详解】解：作于M ∵△ABC 绕点A 逆时针旋转45°得到△AB ＝2∴△
【分析】
作B M AB '⊥于M ，根据旋转的性质及题意得出∠BA B '＝45°，AB ＝A B '＝2，从而得出B 'M 的值及ABB '的面积，然后根据阴影部分的面积等于ABB '的面积，即可得出答案．
【详解】
解：作B M AB '⊥于M ，
∵△ABC 绕点A 逆时针旋转45°得到△AB C ''，AB ＝2，
∴△AB C ''的面积＝△ABC 的面积，∠BA B '＝45°，AB ＝A B '＝2，
∴B 'M ＝
22A B '2 ， ∴1122222
ABB S AB B M ''=⋅⋅=⨯=△ ∵图中阴影部分的面积＝AB C ''△的面积+ABB '的面积﹣△ABC 的面积＝ABB '的面积，
∴S 阴影2， 2
【点睛】
本题考查了旋转的性质和勾股定理，根据旋转的性质是解题的关键．
17．5【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数纵坐标互为相反数可得答案【详解】解：∵点P （m-15）与点Q （32-n ）关于原点对称∴m-1=-32-n=-5解得：m=-2n=7则m+n=-2+7=
解析：5
【分析】
根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
【详解】
解：∵点P （m-1，5）与点Q （3，2-n ）关于原点对称，
∴m-1=-3，2-n=-5，
解得：m=-2，n=7，
则m+n=-2+7=5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．
18．【分析】过点C 作CH ⊥AB 于H 利用勾股定理求出AB 结合直角三角形的面积即可求出CH 由旋转易得为等腰直角三角形从而得出求出CP 的取值范围即
可求出结论【详解】解：过点C 作CH ⊥AB 于H ∵在中∴AB=∵= 解析：122425
PP '≤≤ 【分析】
过点C 作CH ⊥AB 于H ，利用勾股定理求出AB ，结合直角三角形的面积即可求出CH ，由旋转90︒易得PCP '△为等腰直角三角形，从而得出2PP CP '=
，求出CP 的取值范围即可
求出结论．
【详解】
解：过点C 作CH ⊥AB 于H ，
∵在ABC 中，90,3,4ACB AC BC ∠=︒==
∴225AC BC +
∵ABC S
=12AC·BC=12AB·CH ∴12×3×4=12
×5CH 解得CH=125
由旋转90︒易得PCP '△为等腰直角三角形， 所以2PP CP '=
， ∵P 在线段AB 上移动，
故当点P 与点B 重合时，CP 最大值等于CB 等于4；当点P 与点H 重合时，CP 最小值等于CH 等于
125， ∴
1222425CP ≤≤则122425
PP '≤≤ 故答案为：
122425PP '≤≤ 【点睛】
此题考查的是勾股定理、旋转的性质、等腰直角三角形的性质，掌握勾股定理、旋转的性质、等腰直角三角形的性质是解题关键．
19．16【分析】利用非负数的性质可求出b 的值a ＝c 进而可得PQ 的长再根据
平移的性质和平行四边形的面积公式即可求出a 进一步即可求出答案【详解】解：∵|a ﹣c|+＝0又∵|a ﹣c|≥0≥0∴a ﹣c ＝0b ﹣8
解析：16
【分析】
利用非负数的性质可求出b 的值，a ＝c ，进而可得PQ 的长，再根据平移的性质和平行四边形的面积公式即可求出a ，进一步即可求出答案．
【详解】
解：∵|a ﹣0，
又∵|a ﹣c|≥0，
∴a ﹣c ＝0，b ﹣8＝0，
∴a ＝c ，b ＝8，
∴P （a ，8），Q （a ，2），
∴PQ ＝6，
∵线段PQ 向右平移a 个单位长度，其扫过的面积为24，
∴624a ⨯=，解得a ＝4，
∴a ＝c ＝4，
∴a+b+c ＝4+8+4＝16．
故答案为：16．
【点睛】
本题考查了非负数的性质、图形与坐标以及平移的性质等知识，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键．
20．30°【分析】由旋转的性质可得∠CAC=∠BAB=40°AC=AC 由等腰三角形的性质可得∠ACC=70°由平行线的性质可得∠CCA=∠CAB=70°即可求解【详解】∵将△ABC 在平面内绕点A 旋转40
解析：30°．
【分析】
由旋转的性质可得∠CAC '=∠BAB '=40°，AC =AC '，由等腰三角形的性质可得∠ACC '=70°，由平行线的性质可得∠C 'CA =∠CAB =70°，即可求解．
【详解】
∵将△ABC 在平面内绕点A 旋转40°到△AB 'C '的位置，
∴∠CAC '=∠BAB '=40°，AC =AC '，
∴∠ACC '=
180402
︒-︒=70°， ∵CC '∥AB ，
∴∠C 'CA =∠CAB =70°， ∴∠CAB '=∠CAB ﹣∠BAB '=30°，
故答案为：30°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用网格特点和中心对称的性质画出点A、B、C的对应点A2，B2，C2即可；
（3）作A点关于直线MN的对称点A′，连接A′B交MN于P点，此时PA+PB＝PB+PA′＝A′B，从而可判断此时最短．
【详解】
解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）如图，点P为所作．
【点睛】
本题考查作图−旋转变换，最短路线问题，熟练掌握位旋转变换的性质是解本题的关键．
22．（1）见解析；（2）见解析；（3）
62 BC'
【分析】
(1)根据旋转的中心，方向和角度画出图形即可．
(2) 如图，连接BB'，根据旋转的性质得AB=AB'，∠BAB'=60°，则可判断△ABB'是等边三角形，所以AB=BB'，而C'B'=C'A，于是可判断BC'垂直平分AB'；
(3)延长BC'交AB'于D，如图，在Rt△ACB中，由由勾股定理得AB的长，利用锐角三角函数得C'D，BD，然后计算BD-C'D即可．
【详解】
解：（1）见图1
（2）证明：如图，连接BB '，
∵ΔABC 绕点A 顺时针方向旋转60︒得到△AB C ''，
AB AB ∴='，60BAB
， ABB 是等边三角形，
BA BB ∴='， ∴点B 在线段AB '的垂直平分线上；
∵C B C A ''='，
∴点C '在线段AB '的垂直平分线上；
∴直线BC '是线段AB '的垂直平分线．
（3）如图，延长BC '交AB '于点D ，
在ABC ∆中，由勾股定理得：22AB =，
2AB ∴=，
在ABD △中，36sin 60222
BD AB =⨯︒== 在AC D '中，22sin 45122
C D AC ''=⨯︒=⨯=
62BC BD C D '∴'=-=-． 【点睛】
本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了线段垂直平分线的性质定理的逆定理. 23．（1）画图见解析，1A （1，4），1B （2，3），1C （0，1）；（2）画图见解析，（3）是，画图见解析．
【分析】
（1）根据轴对称的性质画图并写出坐标即可；
（2）根据平移的性质画图即可；
（3）对称，根据对称轴的性质画出图形即可．
【详解】
（1）如图，111A B C △是所求作三角形，
1A （1，4），1B （2，3），1C （0，1）；
（2）如图，222A B C △是所求作三角形；
（3）111A B C △与222A B C △关于某直线对称，对称轴如图所示．
【点睛】
本题考查了坐标平面内的图形变换，解题关键是熟练掌握轴对称和平移的特征及坐标变化规律，如何根据点的位置确定对称轴．
24．（1）答案见解析；（2）()15,3A ，()11,2B ，()13,1C
【分析】
（1）根据旋转的性质找出点A 、B 、C 的对应点A 1、B 1、C 1，然后用线段连接即可； （2）根据（1）中所画图形写出坐标即可．
【详解】
解：（1）如图所示．
（2）()15,3A ，()11,2B ，()13,1C ．
【点睛】
此题主要考查了旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．旋转前后两个图形全等，对应顶点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的夹角等于旋转角．
25．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据中心对称的性质找出点A 、B 、C 的对应点A 1、B 1、C 1，然后用线段连接即可； （2）根据旋转的性质找出点A 、B 、C 的对应点A 2、B 2、C 2，然后用线段连接即可；
【详解】
（1）如图所示，111A B C △即为所求．
（2）如图所示，222A B C △即为所求．
【点睛】
本题考查了中心对称作图和旋转作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转
角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
26．（1）见解析；B1（4，－1）；（2）（1，1）或（﹣3，﹣1）或（﹣5，3）
【分析】
（1）根据旋转的性质即可作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）根据平移即可写出以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
【详解】
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；B1（4，－1）
（2）如图所示，将AB向右平移2个单位，向上平移1个单位，可得平行四边形ABCD，此时顶点D的坐标为：（1，1）
同理可求出顶点D的其他坐标为：（﹣3，﹣1）或（﹣5，3），
故答案为：（1，1）或（﹣3，﹣1）或（﹣5，3）
【点睛】
本题考查了作图-旋转变换和点平移坐标变化规律，解决本题的关键是掌握旋转的性质和利用平移构造平行四边形．。