【新人教版】2019-2020高中数学 第二章 圆锥曲线与方程阶段复习课学案 新人教A版选修2-1

第二课 圆锥曲线与方程
[核心速填]
1．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质
2.(1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的1换成0，即可得到两条渐
近线的方程．如双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为x 2a 2－y 2b 2＝0(a >0，b >0)，即y ＝±b a x ；双曲线y 2a 2－x 2
b 2＝1(a >0，
b >0)的渐近线方程为y 2a 2－x 2b 2＝0(a >0，b >0)，即y ＝±a
b
x .
(2)如果双曲线的渐近线为x a ±y b ＝0时，它的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2
b
2＝λ(λ≠0)．
3．抛物线的焦点弦问题
抛物线过焦点F 的弦长|AB |的一个重要结论． (1)y 2
＝2px (p >0)中，|AB |＝x 1＋x 2＋p . (2)y 2＝－2px (p >0)中，|AB |＝－x 1－x 2＋p . (3)x 2＝2py (p >0)中，|AB |＝y 1＋y 2＋p . (4)x 2＝－2py (p >0)中，|AB |＝－y 1－y 2＋p .
[体系构建]
[题型探究]
(1) ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线
D ．以上都不对
(2)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为2
2
.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________.
【导学号：46342119】
[解] (1)把轨迹方程5x 2
＋y 2
＝|3x ＋4y －12|写成x 2
＋y 2
＝
|3x ＋4y －12|
5
.
∴动点M 到原点的距离与它到直线3x ＋4y －12＝0的距离相等．∴点M 的轨迹是以原点为焦点，直线3x ＋4y －12＝0为准线的抛物线．
(2)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，因为AB 过F 1且A ，B 在椭圆上，如图所示，则△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|
＋|BF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，∴a ＝4.
又离心率e ＝c a ＝
22
，∴c ＝22，∴b 2＝a 2－c 2
＝8， ∴椭圆C 的方程为x 216＋y 2
8
＝1.
[答案] (1)C (2)x
2
16＋y
2
8
＝1
1．点P 是抛物线y 2
＝8x 上的任意一点，F 是抛物线的焦点，点M 的坐标是(2,3)，求|PM |＋|PF |的最小值，并求出此时点P 的坐标．
[解] 抛物线y 2
＝8x 的准线方程是x ＝－2，那么点P 到焦点F 的距离等于它到准线x ＝－2的距离，过点P 作
PD 垂直于准线x ＝－2，垂足为D ，那么|PM |＋|PF |＝|PM |＋|PD |.
如图所示，根据平面几何知识，当M ，P ，D 三点共线时，|PM |＋|PF |的值最小，且最小值为|MD |＝2－(－2)＝4，
所以|PM |＋|PF |的最小值是4.
此时点P 的纵坐标为3，所以其横坐标为98，即点P 的坐标是⎝ ⎛⎭
⎪⎫98，3.
(1)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于2，则C 的方程是( )
A ．x 23＋y 24＝1
B ．x 24＋y 2
3＝1
C ．x 24＋y 2
2
＝1
D ．x 24＋y 2
3
＝1 (2)已知抛物线y 2
＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线
的方程为________．
[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧
c ＝1c a ＝1
2
，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝2
c ＝1，
则b 2
＝a 2
－c 2
＝3，故椭圆方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧
c ＝2c
a
＝2，解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝1
c ＝2
，则b 2
＝c 2－a 2
＝3，
因此双曲线方程为x 2－y 2
3＝1.
[答案] (1)D (2)x 2
－y 2
3
＝1
2．(1)以x 轴为对称轴，通径长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是( ) A ．y 2
＝8x B ．y 2＝－8x
C ．y 2
＝8x 或y 2
＝－8x D ．x 2
＝8y 或x 2
＝－8y
C [由题意知2p ＝8，故选C ．]
(2)焦点在x 轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是( ) A ．x 24＋y 23＝1
B ．x 2
4＋y 2
＝1
C ．y 24＋x 2
3
＝1
D ．x 2
＋y 2
4
＝1
A [依题意，得a ＝2，a ＋c ＝3，故c ＝1，b ＝22
－12
＝3，故所求椭圆的标准方程是x 24＋y 2
3＝1.]
(1)如图2­1所示，F 1，F 2是椭圆C 1：4
＋y 2
＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、
四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )
图2­1
A ． 2
B ． 3
C ．32
D ．6
2
(2)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为3
2
，则C 2
的渐近线方程为________．
[思路探究] (1)由椭圆可求出|AF 1|＋|AF 2|，由矩形求出|AF 1|2
＋|AF 2|2
，再求出|AF 2|－|AF 1|即可求出双曲线方程中的a ，进而求得双曲线的离心率．
(2)根据离心率的关系列出关于a ，b 的方程，求出b
a
，再求渐近线方程． [解] (1)由椭圆可知|AF 1|＋|AF 2|＝4， |F 1F 2|＝2 3.
因为四边形AF 1BF 2为矩形， 所以|AF 1|2
＋|AF 2|2
＝|F 1F 2|2
＝12，
所以2|AF 1||AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)2
－(|AF 1|2
＋|AF 2|2
)＝16－12＝4，
所以(|AF 2|－|AF 1|)2
＝|AF 1|2
＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|＝12－4＝8，所以|AF 2|－|AF 1|＝22， 因此对于双曲线有a ＝2，c ＝3， 所以C 2的离心率e ＝c a ＝
62
. (2)设椭圆C 1和双曲线C 2的离心率分别为e 1和e 2，则e 1＝a 2－b 2a ，e 2＝a 2＋b 2a .因为e 1·e 2＝32，所以
a 4－
b 4
a 2
＝32，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4
＝1
4
，所以b a ＝22. 故双曲线的渐近线方程为y ＝±b
a x ＝±2
2
x ，即x ±2y ＝0. [答案] (1)D (2)x ±2y ＝0
(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法. (3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观.
[跟踪训练]
3．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距是c ，A ，B 分别是长轴、短轴的一个端点，O 为原点，若△ABO 的面
积是3c 2
，则这一椭圆的离心率是( )
【导学号：46342120】
A ．12
B ．32
C ．22
D ．33
A [12ab ＝3c 2，即a 2(a 2－c 2)＝12c 4，所以(a 2＋3c 2)(a 2－4c 2)＝0，所以a 2＝4c 2
，a ＝2c ，故e ＝c a ＝12
.]
已知椭圆a 2＋b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为2
，左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝53
4，求
直线l 的方程．
[思路探究] (1)利用定义解题．(2)利用勾股定理和弦长公式来解．
[解] (1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧
b ＝3，
c a ＝1
2，
b 2
＝a 2
－c 2
，
解得a ＝2，b ＝3，c ＝1， ∴椭圆的方程为x 24＋y 2
3
＝1. (2)由(1)知，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2
＋y 2
＝1， ∴圆心到直线l 的距离d ＝
2|m |
5
， 由d <1得|m |<
5
2
. (*) ∴|CD |＝21－d 2
＝2
1－45m 2＝25
5－4m 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－1
2x ＋m ，x 2
4＋y 2
3＝1，
得x 2－mx ＋m 2
－3＝0，
由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2
－3. ∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122
[m 2－4(m 2－3)]
＝
152
4－m 2
. 由|AB ||CD |＝534，得4－m
2
5－4m
2＝1， 解得m ＝±
3
3
，满足(*)． ∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －3
3.
4．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，其焦点为F 1，F 2，离心率为2
2
，直线l ：x ＋2y －2＝0与x 轴，y 轴分别
交于点A ，B ．
(1)若点A 是椭圆E 的一个顶点，求椭圆的方程；
(2)若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，求a 的取值范围.
【导学号：46342121】
[解] (1)由椭圆的离心率为
2
2
，得a ＝2c ， 由A (2,0)，得a ＝2，∴c ＝2，b ＝2， ∴椭圆方程为x 24＋y 2
2
＝1.
联立⎩⎪⎨⎪⎧
x 2a 2＋2y 2
a
2＝1，
x ＋2y －2＝0，
得6y 2－8y ＋4－a 2
＝0，
若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，则线段AB 与椭圆E 有公共点，等价于方程6y 2－8y ＋4－a 2
＝0在
y ∈[0,1]上有解．
设f (y )＝6y 2
－8y ＋4－a 2
，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
Δ≥0，f (0)≥0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
a 2≥43，
4－a 2≥0，
∴43
≤a 2
≤4， 故a 的取值范围是23
3≤a ≤2.。