新教材高考数学一轮复习课时规范练26平面向量的数量积与平面向量的应用含解析新人教A版

课时规范练26 平面向量的数量积与平面向量的应用
基础巩固组
1.(2020山东鄄城一中高三月考)在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥AB ，AD=√2，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )
A.-1
B.1
C.√2
D.2
2.(2019四川广元高三期末)在△ABC 中，若(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则△ABC 是( ) A.正三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形 D .钝角三角形
3.(2020黑龙江哈师大附中高三调研)已知向量a =(-2，m )，b =(1，-2)，c =(m+1，5)，若a ⊥b ，则a 与b +c 的夹角为( ) A.π
4
B .π
3
C .2π
3
D .3π
4
4.(2020河南南阳中学高三月考)已知向量a =(1，2)，A (6，4)，B (4，3)，b 为向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量a 上的投影向量，则|b |= ( )
A.
4√5
5
B .1
C .√5
D .4
5.在△ABC 中，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x ，2x )(x>0)，则当BC 最小时，∠ACB=( ) A.90° B.60° C.45° D.30°
6.(多选)(2020山东高考预测卷)已知向量a =(1，2)，b =(m ，1)(m<0)，且向量b 满足b ·(a+b )=3，则
( ) A.|b |=√2 B.(2a+b )∥(a+2b )
C.向量2a-b 与a-2b 的夹角为π
4
D.向量a 在向量b 上的投影向量的模为√5
5
7.(多选)(2020海南中学高三期中)若△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3OA
⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则下列结论正确的是( ) A.∠BOC=90° B.∠AOB=90° C.OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-45 D .OC
⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-1
5
8.在直角三角形ABC 中，∠C=π
2，AC=4，取点D ，E ，使BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4BE
⃗⃗⃗⃗⃗ ，那么CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA
⃗⃗⃗⃗⃗ = . 9.(2020浙江舟山高三期中)已知向量a ，b ，|a |=1，|b |=√2，|a -2b |=√13，则a 与b 的夹角为 ;a 在b 上的投影向量的模是 .
10.(2020河南中原名校质检)在△ABC 中，AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，M 是BC 的中点. (1)若|AB
⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，求向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角的余弦值; (2)若O 是线段AM 上任意一点，且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2，求OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值.
11.(2020山东齐鲁备考联盟校阶段检测)已知向量a =(cos α，sin α)，b =(cos β，sin β)，c =(-1，0). (1)求向量b+c 的模的最大值;
(2)设α=π
4，且a ⊥(b+c )，求cos β的值.
综合提升组
12.(多选)(2020湖北孝感一中考前诊测)已知e 1，e 2是两个单位向量，λ∈R ，|e 1+λe 2|的最小值为√3
2，则下列结论正确的是( )
A.e 1，e 2的夹角是π
3 B .e 1，e 2的夹角是π
3或2π3
C.|e 1+e 2|=1或√3 D .|e 1+e 2|=1或√3
2
13.(多选)(2020山东济南历城第二中学高三开学考试)点O 在△ABC 所在的平面内，则以下说法正确的有( )
A.若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB
⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则O 为△ABC 的重心 B.若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |−BA
⃗⃗⃗⃗⃗ |BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |
=0，则O 为△ABC 的垂心 C.若(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则O 为△ABC 的外心 D.若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC
⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则O 为△ABC 的内心 14.已知直线y=x+m 和圆x 2+y 2=1交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB
⃗⃗⃗⃗⃗ =32
，则实数m=( ) A.±1 B.±√3
2 C.±√2
2
D.±1
2
15.(2020上海复兴高级中学高三调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AH 为边
BC 上的高，有以下结论:①AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AH
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AH
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=c sin B ;②BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=b 2+c 2-2bc cos A ;③AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2;④AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AB
⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .其中结论正确的序号是 . 16.(2020甘肃武威第六中学高三段考)已知△ABC 为等腰直角三角形，OA=1，OC 为斜边上的高.
若P 为线段OC 的中点，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ = ;若P 为线段OC 上的动点，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为 .
创新应用组
17.(2020重庆巴蜀中学高三月考)已知向量a =(2，0)，向量b =(1，√3)，向量c 满足|c -a -b |=√3，则|c |的最大值为( ) A.
2√3
3
B .2√3
C .3
D .3√3
18.(2020山东济南一中二模)已知向量a =(cos x ，-1)，b =√3sin x ，-1
2，函数f (x )=(a+b )·a-2. (1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间;
(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知函数f (x )的图象经过点A ，1
2，b ，a ，c 成等差数列，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =9，求a 的值.
参考答案
课时规范练26 平面向量的数量
积与平面向量的应用
1.D 由题可知，因为四边形ABCD 为直角梯形，所以BC
⃗⃗⃗⃗⃗ 在AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量的模为√2，
由数量积的几何意义可知BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2)2
=2，故选D . 2.C 设D 为AB 的中点，则CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA
⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴CD ⊥AB ，∴直线CD 是线段AB 的中垂线，∴△ABC 为等腰三角形.故选C . 3.D 因为a ⊥b ，a =(-2，m )，b =(1，-2)，所以-2×1+(-2)×m=0，解得m=-1.
所以a =(-2，-1)，c =(0，5)，所以b +c =(1，3).设a 与b +c 的夹角为θ，则 cos θ=a ·(b+c )
|a ||b+c | =
√(-2)+(-1)·√12+32
=
5√2
=-√22
，因为θ∈[0，π]，所以θ=3π
4
，故选D .
4.A AB
⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2，-1)，由题意知|b |=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·a |a |
=
√5
=4
5√5.故选A .
5.A ∵BC
⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x-1，2x-2)， ∴|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(-x -1)2+(2x -2)2=√5x 2-6x +5.令y=5x 2-6x+5，x>0，当x=3
5时，y min =16
5，此时BC 最小，
∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3
5,-6
5
),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =85,4
5，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =35×85−65×4
5
=0， ∴CA
⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即∠ACB=90°，故选A . 6.AC 将a =(1，2)，b =(m ，1)代入b ·(a+b )=3，得(m ，1)·(1+m ，3)=3，得m 2+m=0，解得m=-1或m=0(舍去)，所以b =(-1，1)，所以|b |=√(-1)2+12=√2，故A 正确;因为2a+b=(1，5)，a+2b =(-1，4)，1×4-(-1)×5=9≠0，所以2a+b 与a+2b 不平行，故B 错误;设向量2a-b 与a-2b 的夹角为θ，因为2a-b=(3，3)，a-2b =(3，0)，所以cos θ=
(2a -b )·(a -2b )|2a -b ||a -2b |
=
√2
2
，所以θ=π
4
，故C 正确;向量a 在向量b 上的
投影向量的模为a ·b |b |
=
√2
=√2
2
，故D 错误.故选AC .
7.BD 由于△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB
⃗⃗⃗⃗⃗ +5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-5OC
⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方并化简得25+24OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =25，解得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0; 3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方并化简得34+30OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =16，解得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC
⃗⃗⃗⃗⃗ =-35; 4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方并化简得41+40OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =9，解得OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC
⃗⃗⃗⃗⃗ =-4
5
. 所以∠BOC ≠90°，故A 错误;∠AOB=90°，故B 正确;
OB
⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =45
，故C 错误; OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OC
⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-45
--35
=-15
，故D 正确.故选BD . 8.8 ∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )，化简得CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =34CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14
CB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 同理可得CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =-14CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +54
CB ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵∠C=π
2
，∴CA
⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴CD
⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·1
2CA
⃗⃗⃗⃗⃗ +32CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+32CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12
|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2
=8.
9.
3π4
√22
设a 与b 的夹角为θ，θ∈[0，π]，则
|a -2b |=√(a -2b )2=√|a |2-2|a ||2b |cosθ+|2b |2=√13，
将|a |=1，|b |=√2代入上式，化简可得√1-4√2cosθ+8=√13，解得cos θ=-√2
2
.∵θ∈[0，π]，∴
θ=3π4
，即a 与b 的夹角为3π
4
.根据向量投影的定义可得，a 在b 上的投影向量的模为||a |cos θ|=√2
2
.
10.解(1)设向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ，则cos θ=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )
|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC
⃗⃗⃗⃗⃗ ||2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 令|AB
⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a ，则cos θ=22
5a ·5a
=4
5
.
(2)∵|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2，∴|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1. 设|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x (0≤x ≤1)， 则|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1-x.而OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC
⃗⃗⃗⃗⃗ =2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos π=2x 2-2x=2x-12
2-1
2.
∴当x=1
2
时，OA
⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值，最小值是-12
. 11.解(1)b+c =(cos β-1，sin β)，
则|b+c|2=(cos β-1)2+sin 2β=2(1-cos β). 因为-1≤cos β≤1， 所以0≤|b+c|2≤4， 即0≤|b+c|≤2.
当cos β=-1时，有|b+c|=2， 所以向量b+c 的模的最大值为2. (2)若α=π
4，则a=
√22,√22
.
又由b =(cos β，sin β)，c =(-1，0)得 a ·(b+c )=
√22,√2
2
·(cos β-1，sin β)=√22cos β+√22sin β-√2
2.
因为a ⊥(b+c )，所以a ·(b+c )=0， 即cos β+sin β=1，所以sin β=1-cos β， 平方后化简得cos β(cos β-1)=0， 解得cos β=0或cos β=1.
经检验cos β=0或cos β=1即为所求.
12.BC 由题可知，(e 1+λe 2)2=λ2+2λe 1·e 2+1=(λ+e 1·e 2)2+1-(e 1·e 2)2≥1-(e 1·e 2)2.∵e 1，e 2是两个单位向量，且|e 1+λe 2|的最小值为√3
2，∴(e 1+λe 2)2的最小值为3
4，则1-(e 1·e 2)2=3
4，解得cos <e 1，
e 2>=±12
，∴e 1与e 2的夹角为π3
或
2π3
，∴|e 1+e 2|2=1+2e 1·e 2+1=2±2×1
2
=1或3，∴|e 1+e 2|=1或√3.故
选BC .
13.AC 对于A ，设D 为BC 的中点，由于OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以O 为BC 边上中线的三等分点(靠近点D )，所以O 为△ABC 的重心，故A 正确;
对于B ，向量AC
⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |
分别表示与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同的单位向量，设为AC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则它们的差是向量B
'C '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则当OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |−AB
⃗⃗⃗⃗⃗ |AB
⃗⃗⃗⃗⃗ |=0，即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥B
'C '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 时，点O 在∠BAC 的平分线上，同理由OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC
⃗⃗⃗⃗⃗ |BC
⃗⃗⃗⃗⃗ |−BA
⃗⃗⃗⃗⃗ |BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |
=0，知点O 在∠ABC 的平分线上，故O 为△ABC 的内心，故B 错误;
对于C ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB
⃗⃗⃗⃗⃗ 是以OA ，OB 为邻边的平行四边形的一条对角线，而AB 是该平行四边形的另一条对角线，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0表示这个平行四边形是菱形，即OA=OB ，同理有OB=OC ，于是O 为△ABC 的外心，故C 正确;
对于D ，由OA
⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，即OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CA ⃗⃗⃗⃗⃗ .同理可证OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴OB ⊥CA ，OA ⊥CB ，OC ⊥AB ，即O 是△ABC 的垂心，故D 错误.故选AC .
14.C 联立{y =x +m ,x 2+y 2
=1,
消y 可得2x 2+2mx+m 2-1=0.由题意知Δ=-2m 2+8>0，解得-√2<m<√2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1+x 2=-m ，x 1x 2=
m 2-12
，
y 1y 2=(x 1+m )(x 2+m )=x 1x 2+m (x 1+x 2)+m 2， ∴AO
⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x 1，-y 1)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2-x 1，y 2-y 1).∵AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =32
， ∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 12-x 1x 2+y 12-y 1y 2=1-m 2
-12−m 2
-12+m 2-m 2=2-m 2=32，解得m=±√22.故选C .
15.①②③④ ∵AH 为边BC 上的高，∴AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ·AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2
， ∴①AC
⃗⃗⃗⃗⃗ ·AH
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AH
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=
|AH
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2
|AH
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=c sin B ，正确; ②BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB
⃗⃗⃗⃗⃗ )=BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，正确; ③AH
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，正确; ④AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2
=AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，正确. 16.1
4 [0，1] △ABC 为等腰直角三角形，CO 为斜边上的高，
则CO 为边AB 上的中线，所以AC=BC=√2，AO=BO=CO=1. 当P 为线段OC 的中点时，在△ACO 中，AP 为边CO 上的中线，
则AP=1
2
(AC
⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ )·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12
(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =1
2|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|OP
⃗⃗⃗⃗⃗ |cos45°+0=12×√2×12×√22=14
.
当P 为线段OC 上的动点时，设OP
⃗⃗⃗⃗⃗ =λOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，0≤λ≤1， AP
⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗⃗ )·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -(1-λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(λOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =λ×1×√2×
√2
2
-(1-λ)·λ=λ-λ+λ2=λ2∈[0，1]， 所以AP
⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为[0，1]. 17.D 设c =(x ，y )，∵a =(2，0)，b =(1，√3)，∴c -a -b =(x-3，y-√3)，故|c -a -b |=√(x -3)2+(y -√3)2
=√3，即(x-3)2+(y -√3)2
=3，
将c 的起点放到坐标原点，则终点在以(3，√3)为圆心，√3为半径的圆上. ∴|c |的最大值即圆心到原点的距离加半径，即√9+3+√3=3√3，故选D . 18.解(1)∵f (x )=(a+b )·a-2=|a|2+a ·b-2=cos 2x+1+√3sin x cos x+1
2
-2=1
2
(cos2x+1)+1+√32
sin2x-3
2
=
12
cos2x+√32
sin2x=sin 2x+
π6
，∴f (x )的最小正周期T=2π
2=π.
由2k π-π2
≤2x+π6
≤2k π+π2
(k ∈Z )，得k π-π3
≤x ≤k π+π6
(k ∈Z )， ∴f (x )的单调递增区间为k π-π
3，k π+
π6
(k ∈Z ).
(2)由f (A )=sin 2A+
π6
=1
2，
得2A+π6
=π6
+2k π或2A+π6
=5π6
+2k π(k ∈Z )，又0<A<π，∴A=π
3
.
∵b ，a ，c 成等差数列，∴2a=b+c. ∵AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =bc cos A=12
bc=9， ∴bc=18.
由余弦定理，得cos A=(b+c )2-a 2
2bc
-1=
4a 2-a 236
-1=a 2
12
-1=1
2
，∴a=3√2(负值舍去).。