吉林省吉林市高三数学上学期摸底测试 理

吉林市普通中学-高中毕业班摸底测试数 学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22小题，共150分，共4页，考试时间1，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一
个是符合题目要求。

1．设全集U=R ，2
2
{|11100,},{|60,}A x x x x N B x x x x R =-+≤∈=+-=∈，则图中阴影表示的集合为
A ．{2}
B ．{3}
C ．{－3，2}
D ．{－2，3}
2．8tan
3
π
的值为
B.
D. 3．已知向量a (2,1)=-,b (1,3)=-,a-b 的值为
A. 4
B ． 5
C ． 6
D ． 7
4．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图由图，中数据可知身高在[130]内的学生人数为 A ． B ．25 C ．30 D ．35
5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 A.
3
1
B. 1
C. 2
D. 2
6．已知点),(y x P 在不等式组2y x
y x x ≤⎧⎪
≥-⎨⎪≤⎩
表示的平面区域内，则y x z +=2的最大值为
A. 6
B. 4
C. 2
D. 1
a
A
B
U
正视图侧视图俯视图1
2
2
7．已知向量OA ,OB 的夹角为60°，|OA |=|OB |=2，若OC =2OA +OB ,则△ABC 为 A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形
D. 等腰直角三角形
8．已知曲线y =2sin ⎪⎭⎫
⎝
⎛+
4πx cos(x -4π)与直线y =2
1
相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为P 1 ,P 2 ,P 3 , … ,则|53p p |等于
A. π
B.
2π C. 3π D. 4π 9．函数1
()lg
3f x x x
=--的零点所在区间为 A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，3） D ．（3，+
） 10 A ．2 B ．1
C ．1-
D ．1
2
11．若不等式2
log 0a x x -<在（0，2
1
则a 的取值范围是
A. (
16
1
,1)
C. (0,1) 12．定义在R 上的函数()x f 是奇函数又是以2为周期的周期函数,则()()()741f f f ++等
于
A ． -1
B ． 0
C ． 1
D ． 4
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共把答案填在答题卡的相应位置．
13．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c, 已知A=
3
π
, a=3, b=1， 则c= .
14．设m ，n 为空间的两条直线，α，β为空间的两个平面，给出下列命题：
（1）若m ∥α，m ∥β，则α∥β；
（2）若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；
（3）若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；
（4）若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ．
上述命题中，所有真命题的序号是 ．
15．在正方形ABCD 内任取一点P ，则使0PA PB >的概率是 .
16．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1≤5a ≤4，2≤6a ≤3，则6S 的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分） 已知集合{2,0,1,3},A =-在平面直角坐标系中，点M 的坐
标(,)x y 满足,x A y A ∈∈． （1）请列出点M 的所有坐标； （2）求点M 不在y 轴上的概率；
（3）求点M 正好落在区域500
0x y x y +-<⎧⎪>⎨⎪>⎩
上的概率．
18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和210n S n n =-，*
().n N ∈
（1）求1a 和n a ；
（2）记n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和.
19．（本小题满分12分）已知(cos ,sin ),(cos ,sin ),(1,0)a b c ααββ===. （1）若23a b ⋅=，记θβα=-，求⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-θπθ2sin sin 2
的值； （2）若2παk ≠，()Z k k ∈≠πβ，且a ∥()
b c +，求证：2
tan tan βα=.
本小题满分12分）已知关于x,y 的方程C:0422
2
=+--+m y x y x . （1）当m 为何值时，方程C 表示圆;
（2）在（1）的条件下，若圆C 与直线l : x+2y-4=0相交于M,N 两点，且MN=
5
4,
求m 的值.
21．（本小题满分12分）如图所示，AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆上，AB∥EF, 矩形ABCD
所在平面与圆O 所在平面互相垂直，已知AB=2，EF=1.
（1）求证：BF ⊥平面DAF ；
（2）求直线BF 与平面ABCD 所成的角；
（3）在DB 上是否存在一点M 使ME∥平面DAF?
若不存在,请说明理由，若存在,请找出这点，并证明.
22．（本小题满分12分）已知函数b
x a x f --
=21
)(是偶函数，a 为实常数。

（1）求b 的值；
（2）当a=1时，是否存在,m n （0>>m n ）使得函数()y f x =在区间[]m n ， 上
的函数值组成的集合也是[]m n ，，若存在，求出m ，n 的值，否则，说明理由； （3）若在函数定义域内总存在区间[]m n ，(m<n)，使得()y f x =在区间[]m n ， 上
的函数值组成的集合也是[]m n ，，求实数a 的取值范围．
命题、校对：孙长青
吉林市普通中学-高中毕业班摸底测试 数 学（理科）参考答案及评分标准
一、ADBCD ACACD AB
二、13． 2 ； 14．（2），（4）； 15． π
18
-
； 16． []12,42- 三、17．解：（1）集合A ＝{-2,0,1,3},点M(x,y)的坐标,x A y A ∈∈，∴点M 的坐标共有：
4416⨯=个，分别是：
（-2,-2），（-2,0），（-2,1），（-2,3）；（0,-2），（0,0），（0,1），（0,3）； （1,-2），（1,0），（1,1），（1,3）；（3,-2），（3,0），（3,1），
（3,3） ………………….3分
（2）点M 不在y 轴上的坐标共有12种：（-2,-2），（-2,0），（-2,1），（-2,3）；（1,-2），（1,0），
（1,1），（1,3）；（3,-2），（3,0），（3,1），（3,3）,
1123
164P =
=
……………………..6分 （3）点M 正好落在区域50
00
x y x y +-<⎧⎪
>⎨⎪>⎩
上的坐标共有3种：（1,1），（1,3），（3,1）2316P = 10
分
18．解：（Ⅰ）
21110,1019
n S n n a S =-∴==-=.
------------------ 2分
210,n S n n =-当2n ≥，*n N ∈时，22110(1)(1)10211n S n n n n n -=---=-+- 22110)(10211)211
n n n a S S n n n n n n -∴=-=---+-=-+（
-------------------4分
又1n =时，121119a =-
⨯+=，符合已知条件.故211n a n ∴=-+ (*n N ∈) ----------------5分 （Ⅱ）
211n a n =-+211 (5)
211 (>5)n n n n b a n n -+≤⎧∴==⎨-⎩
设数列{}n b 的前n 项和为n T ，
5
n ≤时
，
2
(9
2
1
102
n n n T n n -+
=
=-，
-------------------8分
5n >时22
65(5)()
(5)(1211)
2525(5)10502
2
n n n b b n n T T n n n -+-+-=+
=+
=+-=-+
故
：
数
列
{}
n b 的前
n
项和
2
2
10
1
050
n n n n T n n
n ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩
---------------------12分
19．解⑴∵cos()a b αβ⋅=-，∴2
cos 3
θ=
． ……………………………………3分 ∴2
2sin sin(
)1cos cos 2π
θθθθ-+=-- 1
9
=-．
………………………… 6分 ⑵∵(1cos ,sin )b c ββ+=+，a ∥()b c +，∴cos sin (1cos )sin 0αββα-+=……9分
又∵2
k π
α≠
，k βπ≠()k Z ∈，∴sin tan 1cos βαβ=+2
2sin
cos
2
2tan 22cos 2β
β
ββ=
=…12分
：（1）方程C 可化为 m y x -=-+-5)2()1(2
2 ………………3分
显然 5,05<>-m m 即时时方程C 表示圆。

………………
5分
（2）圆的方程化为 m y x -=-+-5)2()1(2
2
因为5m <，所以圆心 C （1，2），半径 m r -=5
则圆心C （1，2）到直线l:x+2y-4=0的距离为5
12
142212
2
=
+-⨯+=
d ……………
9分
5
221,54
==
MN MN 则 ，有 2
22)21(MN d r +=
225,m ∴-=+得 4=m …………………………12分
21．证明（1）连结AF ，
因为平面ABCD ⊥平面ABEF,AD ⊥AB,所以AD ⊥平面ABEF,
所以AD ⊥BF, 又因为AB 为圆O 直径,所以AF ⊥BF,而AF AD=A,
所以BF ⊥平面DAF …………………………4分
(2)∠ABF 是直线BF 与平面ABCD 所成的角,连结OE,OF,因为OA ∥EF,OA=EF,所以四边形OAFE 是平行四边形,又OA=OE=OF, 所以四边形OAFE 是菱形,且3
OAF π
∠=
,所以
6
ABF π
∠=
………………8分
(3)存在,此时M 是BD 的中点,
证明:连结ME,OM,OE 所以OM ∥AD,又因为OM 不在平面DAF 内,AD 在平面DAF 内, 所以
OM ∥平面DAF, 同理可证,OE ∥平面DAF,而OM OE O =,所以平面OEM ∥平面DAF
又因为ME 在平面OEM 内,所以ME ∥平面
DAF …………………………12分
22．解：(1)由已知可得，1()|2|f x a x b =-
-，且函数的定义域为D =()()22
b b
-∞⋃+∞，，．
又()y f x =是偶函数，故定义域D 关于原点对称．
于是，b =0(2
2
b
b
b D D D ≠∈∉否则，当0时，有-且，即必不关于原点对称．
又对任意()()0.x D f x f x b ∈=-=，有，可得 因此所求实数b =0． (3)
分
（2）由(1)可知， 1()((0)(0))2||
f x a D x =-
=-∞⋃+∞，，． 由1
()2||
f x a x =-
的图像，可知：
()(0)f x +∞在区间，上是增函数，()()f x -∞在区间，0上是减函数
又0>>m n ，∴()y f x =在区间[]m n ，上是增函数。

∴有 ,211211⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
=-=-n n
m m
即方程x x
=-
21
1， 01222=+-x x ∵084<-=∆，∴不存在正实数m,n ，满足题意。

………7分
(3) 由(1)可知， 1()((0)(0))2||
f x a D x =-
=-∞⋃+∞，，．
1
()2||
f x a x =-
的图像，知()(0)f x +∞在区间，上是增函数，()()f x -∞在区间，0上是减函数 因()y f x =在区间[]m n ，上的函数值组成的集合也是[]m n ，，故必有m n 、同号．
①当0m n <<时，()[]f x m n 在区间，上是增函数，有1212a m m
a n n ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
，
即方程12x a x =-，2
2210x ax -+=有两个不相等的正实数根，因此2
20480
a a >⎧⎨∆=->⎩，
解得a >
………
10分
②当0m n <<时，()[]f x m n 在区间，上是减函数，有1212a n m
a m n ⎧
+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
，
化简得()0m n a -=， 0a =
综上，
0a a a =>的取值范围是或………
12分。