船舶板壳力学 2弹性力学平面问题

式中：
E
为弹性模量； 为剪切模量； 为侧向收缩系数， 又称泊松比。
G

三个常数之间的关系：
G E 2 (1 )
空间问题
1 x [ x ( y z )] E 1 [ ( )] y z x y E 1 [ z ( x y )] z E 1 yz yz G 1 zx zx G 1 xy xy G
待定的应变分量只剩下同一平面内的 x 、 y 和 xy ，这便 是平面应变问题。
平面应力与平面应变的比较
z
y
x
y
z
x
相同点：两类平面问题都只是 x、y 的函数。 平面应力问题， z 0,
z 0
z 0
区别：
平面应变问题， z 0,
2.2 平面问题的基本方程
体力、应力、应变、位移（适用于每个质点）
1 x E ( x y ) 1 y ( y x ) E 2 (1 ) xy xy E

x

y
xy
x y xy
u v

x

y
xy
x y xy
2.3 弹性体的边界条件
（1）常微分方程：初始条件 （通解 + 初始条件 = 特解）
2 2
y
2 lm xy
斜面 AB 上的剪应力 N ，由投影可得：
N lY N mX
N
lm (
y
x ) ( l m ) xy
2 2
主应力 如果经过 P 点的某一斜面上的剪应力等于零，则该斜面上 的正应力称为 P 点的一个主应力，而该斜面称为 P 点的一个 应力主面，该斜面的法线方向称为P点的一个应力主向。 主应力的大小：
弹性力学
按应力求解： 应力 混 合求解：
位移
应力
其它
（1）按位移求解
平面应力问题：

x

1 E 1 E
( (
x

y
) )
物理方程
y
y
x
2 (1 ) E
xy

xy
E x ( x y ) 2 1 E y ( y x ) 2 1 E xy xy 2 (1 )
§2 平面问题的基本理论
一般的弹性力学问题均为空间问题。 形状特征 受力情况 约束条件
在某些情况下，考虑到物体的
空间问题
简化为
平面问题
2.1 平面应力问题与平面应变问题
（1）平面应力 特点： 长、宽尺寸远大于厚度。 在该板平面内受力，即体 力和 面力平行于板面作用 。 外力沿板的厚度 h 没有变化 。 板的两侧面是自由表面，即 z h 2 时
2.4 圣维南原理
处理边界条件时，存在的问题： （1）使应力分量、应变分量、位移分量完全满足基本方程， 并不困难；但是，要使得边界条件也得到完全满足，却往 往发生很大的困难。 （2）在工程计算中，在物体的一小部分边界上，只知道物 体所受的面力的合成，而面力的分布方式并不明确。 圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换 为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点 的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变， 但是远处所受的影响可以不计。
2 1 x ( x y) E 1 2 1 ( y x) y E 1 2 (1 ) xy xy E
注意：
z
E ( x y )
E

换为 换为
E 1
(a)


/2 /2 /2 /2 /
(b)

/2 /2 /
(c )
()
(e)


2.5 求解平面问题
位移法：位移为基本未知量 结构力学 力 法：反力或内力为基本未知量
混合法：位移和反力或内力为基本未知量
按位移求解： 位移
几何方程
物理方程
应变 应变
物理方程
几何方程
应力 位移
v y
B
dy
同理 y
B
v y
剪应变
xy
：线段PA与PB之间直角的改变。
o
y
x
P
u
u x
dx v x
1） y 方向的位移 v 引起的 转角
(v
v dx
u
A
v
v
P

x dx
dx) v
v x

v y
A
B
dy

B
u y
2） x 方向的位移 u 引起的 转角
E u ( x 2 1 x E v ( y 2 1 y v E x y 2 (1 ) x v y u x
还必须考虑形变和位移。
斜面上的应力 已知弹性体内任一点 P 处的应力分量 过该点任意斜截面上的应力。
x , y , xy yx，求经
在P点附近取一个平面 AB，并与经过 P 点而垂直于 x 轴 和 y 轴的两个平面画出一个微小的三角板或三楞柱 PAB。 当平面 AB 与 P 点无限接近时，平面 AB 上的平均应力就 成为上述斜面上的应力。
2
， 。

1
总结： （1）平衡微分方程 （2）几何方程
x y xy
（3）物理方程
x yx X 0 y x y xy Y 0 y x
v x
u x v y u y
???????????????xyvuxy???xyuxvyvu??2?2?332222yxuvyxxy??yx???????????2uv?????????xy???????????????????yx??2??2?2??22yxyxyxxy???????相容方程或变形协调方程利用物理方程将应变分量消去2???????????2?22221xyxyyxyxxy??????????????利用平衡微分方程消去剪应力00yxxyxyxxyyyx?????????????????????????yxxxyyxyxyxy?????????????????????????2?2??2??222xyyxxyxy??xyxy????????????????22221xyxyxyxy?????????????????????????????相容方程按应力求解平面问题
例题：一条曲线上任意一点M (x, y) 处的切线斜率为2x， 求曲线的方程。
y
解：设曲线方程 y = y (x)，
dy dx 2x
y
2 xdx x C
2
C 为任意常数。
x
曲线过点（ 1, 2），C = 1
（2）矩阵位移法：约束
消除刚体位移，可动机构
消除1个自由度 消除2个自由度
静力学方面： 三方面 几何学方面： 物理学方面：
应力分量
体力分量
应变分量
应变分量
位移分量
应力分量
（1）平衡微分方程（静力学）
应力分量
o y P
xy

x
体力分量
x
yx

y
A D Y X
xy
xy x
dx
x
x
x
dx
B
y
y
C
yx
y
yx y
得到 X l x m yx 同理， m y l xy Y 实际当中，往往会简化应 力边界条件，使界面垂直 于某一坐标轴。
xy y
yx

x
Y
X
（a）垂直与 x 轴的边界上， l 1 ，m 0 ，
x X
x N y
， xy
Y
。
（b）垂直与 y 轴的边界上，
dy
dy
以 x 轴为投影轴，列出力的平衡方程：
( x x
x
Fx 0
d x )d y 1 x d y 1 ( yx
x
yx y
d y )d x 1 yx d x 1 X d x d y 1 0
x


yx
y
X 0
N
代表斜面 AB 的外法线方向，其方向余弦为
co s( N , x ) l
， co s( N , y ) m
AB 的面积为 ds，则 PA 的
y
yx
PB 面积为 mds ， 的面积 为 lds 。

需要强调的是，这些应力分 量为边界值。
xy
x
Y
X
F
x
0
X d s x l d s yx m d s
平面应力问题
z 0, yz 0, zx 0
1 x ( x y ) E 1 ( y x ) y E 2 (1 ) xy xy E
平面应变问题
z 0,
z ( x y )
( z )
z h 2
h
平面应力
0,
( zx )
z
h 2
0,
( zy )
z
h 2
0
由于板很薄，外力又不沿板的厚度变化，因此可以 认为在整个薄板的所有点都有 z 0, zx 0, zy 0
待定的应力分量只剩下同一平面内的 x 、 y 和 x y ， 所有分量不随 z 变化，只是 x、y 的函数，这便是平面 应力问题。
(a)
(b)
（2）平面应变
y y
z
x
z
x
y
x
P
x
特点：
等截面长柱形，沿 z 方向无限伸长 。 外力垂直于长度方向，且沿 z 方向保持不变。 各截面上的应力、应变和位移分量都是相同的，与 z 坐标无关。 任一截面可视为对称面，即不可能有 z 方向的位移分量， 从而应变也为零。
w 0, z 0
o
xy

x
yx
P
y
x
A
X
y
B
N
YN S

N
设 AB 面在 xy 平面内的长度为 dS， N为该面的外法线方向，其方向余弦 为：
cos( N , x ) l , cos( N , y ) m
N
N
斜面 AB 上全应力沿 x 轴及 y 轴的投影分别为 XN 和 YN。 由 PAB 的平衡条件 F 0可得：
消除3个自由度 空间问题，最少需要消除6个自由度。
（3）弹性力学：边界条件
泛定方程 + 定解条件 → 定解问题，方程只是反映 了系统内部未知函数之间的某种联系。
位移边界条件：
u s u , vs v
应力边界条件：

具体的确定物理过程的弹性体在边界上所受 的面力是已知的。 但面力已知条件要转化为应力方面的条件。
同理，由
F
y
0
y
y

xy x
Y 0
整理后得
x yx X 0 y x y xy Y 0 y x
平衡微分方程
两个微分方程，三个未知函数 x 、 y 、 x y 。
决定应力分量的问题是超静定的。

（3）物理方程（物理学）
应变分量
应力分量
在完全弹性的各向同性体内，根据虎克定律建立如下：
1 x E [ x ( y z )] 1 [ ( )] y z x y E 1 [ z ( x y )] z E 1 yz yz G 1 zx zx G 1 xy xy G
1 2
x
2
y

(
x
2
y
) xy
2 2
主应力的方向 ：
1 与 2 互相垂直。
（2）几何方程（几何学）
应变分量
位移分量
o
y
x
P
u
u x
线应变：
dx
u
A
(u
u
v
P
x
A
x dx
dx) u
u x
v
l0
，m
1 ，
X

y
Y
， yx
。

±的意思是：边界的外法线方向为坐标轴正方向时，两 者的正负号相同；边界的外法线方向为坐标轴负方向时， 两者的正负号相反。
注意： 在垂直于 x 轴的边界上，应力边界条件中并没有 y ， 在 垂 直于 y 轴的边界上，应力边界条件中并没有 x 。 即平行于边界方向的正应力，它的边界值与面力 分量并不直接相关。

u y
v
u
dy
xy
v x

u y
综合得：
x y xy
v x
u x v y u y
几何方程

当位移分量完全确定时，应变分量即完全确定。 反之，非也。 “刚体位移”：应变为零时的位移，或与应变无关的位移。 位移具有不确定性，需要约束条件。
x
X N d S x l d S yx m d S
o
xy

x
yx
P
y
x
A
X
即：
X
N
l x m yx
y
同理： Y N m y l xy 斜面 AB 上的正应力 N，由投影可得：

N
B
N
YN S

N
N
N
lX
N
mY N l x m