2012初中数学综合练习(四)及问题详解

2012年初中数学综合卷 (四)
一、选择题：（每小题3分，共21分）
1. 绝对值等于
3
1
的数是( ). A.3- B. 3
1
-
C.
31 D.3
1± 2.在下列各数中，比π-大的数是( ).
A.142
.3-
B.10
- C.3-
D.25
8
-
3.下列计算正确的是( ).
A. 5
2
3
a a a =+ B. a a a =-2
3
C. 5
2
3
a a a =⋅ D. 6
2
3
a a a =⋅ 4. 在下列四个不等式组中，其解集为右图所示的是( ).
A.⎩⎨⎧≤->+062,02x x
B.⎩⎨⎧<-≥+062,02x x
C.⎩⎨⎧≥-<+062,02x x
D.⎩
⎨⎧>-≤+062,02x x
5. 下列四个图中，是三棱锥的表面展开图的是( ).
B ．
A ．
C ．
D ．
C
(第6题图
)
(第4题图)
6. 如图，BD 是ABC ∆的AC 边上的高，若E 、F 、G 分别是BC 、AC 、AB 的中点，则( ).
A.DE FG >
B. DE FG =
C.DE FG <
D. DE FG ≠
7. 一个机器人从0A 点出发朝正东方向走了2米到达1A 点，记为第1次行走；接着，在1A 处沿逆时针方向旋转︒60后向前走2米到达2A 点，记为第2次行走；再在2A 处沿逆时针方向旋转︒60后向前走2米到达3A 点，记为第3次行走；依此类推，若点0A 的坐标是()0,1，则该机器人第2012次行走后的坐标是( ).
A.()3,0
B. ()0,3
C.()32,1
D. ()
3,4 二、填空题（每小题4分，共40分） 8. a 的相反数是___________.
9.计算:
________2
4
22=---x x x . 10.分解因式：=-2
4
1x ____________.
11.截至2012年3月底，全省小微企业贷款余额超过550 000 000 000元，550 000 000 000元用科学记数法表示是____________元. 12.在□ABCD 中，cm AB 3=，cm BC 4=，对角线cm AC 5=，则
□ABCD 的面积是___________.
13. 数据： 9, 8, 5, 6, 10, 12, 16, 18 的中位数是___________. 14. 若两个相似三角形的对应高的比为3:2，则这两个
三角形的对应边上的中线的比是________.
(第15题图
)
15. 如图，在矩形ABCD 中，6=AD ，3=AB ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧交AD 于点F ，则CF 的长是________.
16. 如图①，在正方形ABCD 中，1=AB ，现将DCA ∆沿DB 方向平移到'''A C D ∆的位置，且这时点M 、N 分别是AB 、BC 的中点，如图②，则阴影部分的周长为___________． 17. 已知抛物线2
x y =经过平移后，抛物线上的点的横坐标与纵坐标的部分对应值如下表所
示：
则：(1)对称轴是直线_______=x .
(2)当124≤<y 时，x 的取值范围是 ． 三、解答题（共89分）
18. （9分）计算：01
3
1273121π-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛---
19. （9分）先化简，再求值：
)1)(1()2(2-+-+x x x ，其中12-=x .
20. （9分）从三张分别标有数字2、3、5的卡片（卡片除了数字不同外其余均相同）中，
先取出第一张卡片，记为十位上的数字a ；再从余下的卡片中再取出第二张卡片，记为个位上的数字b .
（1）第一张卡片取出数字“5”的概率是________；
（2）试用画树状图或列表法求这个两位数不大于32的概率．
21. （9分）在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD BC 2=,点F 是CD 的中点，连结AF 并延长交BC 的延长线于点E . 求证：CE BE 3=.
22. （9分）已知甲、乙两班的学生人数相等，某次体育测试的成绩统计如下：
甲班体育成绩频数统计表
(1)试把表格填充完整；
(乙班体育成绩条形统计图)
(2)先计算出乙班的A分数段的人数，再完成乙班统
计图的制作，最后说明哪个班的A分数段人数较多？
23. （9分）开学初，小明和小亮去学校商店购买学习用品，小明用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本.
(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格；
(2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本
共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求钢笔数量不少于23支，试求出所有的购买方案.
24. （9分）如图，已知反比例函数()0>=x x
m
y 的图象与一次函数b x y +-=的图象分别交于()3,1A 、B 两点． （1）求m 、b 的值；
（2）若点M 是反比例函数图象上的一动点，直线x MC ⊥轴于C ，交直线AB 于点N ，
y MD ⊥轴于D ，y NE ⊥轴于E ，设四边形MDOC 、NEOC 的面积分别为1S 、2S ，12S S S -=，求S 的最大值．
25.（13分）已知：如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，5
3
sin =A ，6=BC . (1)填空：______=AB ；
(2)现有一个⊙O 经过点C ，且与斜边AB 相切于点D ，又分别与边AC 、BC 相交于点E 、
F .
①若⊙O 与边BC 相切于点C 时，如图1，求出此时⊙O 的半径r ； ②求⊙O 的半径r 的变化范围.
(图1)
F
(E )
O
D
B
C A
(图2)
(备用图)
B
26、已知：如图，直线b x y +=2与x 轴、y 轴分别相交于点
E 、点()3,0B .
(1)填空：____=b ； (2)若直线x y 2
1
-
=与直线b x y +=2的交点为A . ①求OAB ∠的度数；
②在直线AB 的右侧作菱形ABCD ，现有抛物线
()n m x y +-=2
的顶点T 在直线x y 2
1-=上移动，若此抛物线同时与边AB 、AD 都相交，
试m 的取值范围.
2012年初中数学综合卷 (四) 答案
一、选择题
1. D ；
2. C ；
3. C ；
4.A ；
5. B ；
6.B ；
7. D ； 二、填空题
8.a -； 9. 2； 10. ⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 2121； 11. 11105.5⨯； 12.212cm ； 13.9.5；
14. 3:2； 15. π； 16. 2
2
4+；17. (1) 2；(2) 11<≤-x 或53≤<x . 三、解答题
18. 解：原式2
1
13321-=-+-=
19.解：原式=()
541441442
2
2
2
+=+-++=--++x x x x x x x
当12-=x 时，原式()
1245124+=+-=
20. 解： (1)
3
1
； (2) （解法一）列举所有等可能结果，画出树状图如下： 由上图可知，共有6种等可能结果，其中所得的两位数不大于32的数有3种. ∴
2
1
63)32(＝＝不大于P .
由上表可知，共有6种等可能结果，其中所得的两位数不大于32的数有3种. ∴
2
1
63)32(＝＝不大于P .
21. 证明：
∵AD ∥BC ，∴E DAF ∠=∠，FCE D ∠=∠ ∵点F 是CD 的中点，∴CF DF =，
在ADF ∆与ECF ∆中，E DAF ∠=∠,FCE D ∠=∠，CF DF =
个位上的数字b
十位上的数字a 2
53
实用
∴ADF ∆≌ECF ∆()AAS ∴CE AD =
又∵AD BC 2=，∴CE BC 2=，即CE BE 3=. 22. 解：
(1) 依次为：18 40 5%；
(2) 乙班A 分数段的人数为：16412840=---(人)；补图略. ∵1618>，∴甲班的A 分数段人数较多.
23.解：(1)设每支钢笔x 元，每本笔记本y 元，依题意得：⎩⎨
⎧=+=+31
5218
3y x y x
解得：⎩
⎨
⎧==53
y x ，经检验，符合题意. 答：每支钢笔3元，每本笔记本5元 (2)设买a 支钢笔，则买笔记本(48－a )本，依题意得：200)48(53≤-+a a ， 解得：24≤a ，又23≥a ， ∴2423≤≤a ，
故一共有2种方案．即购买钢笔、笔记本的数量分别为：23，25； 24，24． 24.解：（1）把()3,1A 的坐标分别代入x
m
y =
、b x y +-=， ∴3==xy m ，b +-=13，∴3=m ，4=b ． （2）由（1）知，反比例函数的解析式为x y 3
=
，一次函数的解析式为4+-=x y ， ∵直线x MC ⊥轴于C ，∴可设点M 的坐标为⎪⎭
⎫
⎝
⎛x x 3,
，点N 的坐标为()4,+-x x ，其中，0>x ，
又∵y MD ⊥轴于D ，y NE ⊥轴于E ，∴四边形MDOC 、NEOC 都是矩形， ∴33
1=⋅
=x
x S ，()x x x x S 4422+-=+-⋅=， ∴()
()12342
2
12+--=-+-=-=x x x S S S ，其中0>x ，
∵01<-=a ，开口向下，∴S 有最大值，
∴当2=x 时，S 取最大值，其最大值为1．
25. 解：（1）10=AB （2）①连结OD ，如图1, ∵⊙O 与AB 相切于点D ∴OD AB ⊥，即︒=∠90ODA 又︒=∠90C ∴ODA ∆∽BCA ∆ ∴
AB
OA
BC OD =
， 在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，6=BC 由勾股定理，得：86102222=-=-=BC AB AC
设⊙O 的半径为r ，则10
86r
r -=
，解得：3=r . ∴⊙O 的半径为3.
②如图2，连结CO ，作AB CH ⊥于点H . ∵︒=∠90ACB ∴EF 是⊙O 的直径
在OCD ∆中，CH CD OD OC ≥>+
(i)当点O 在直角三角形的斜边AB 上的高时，此时点O 、点C 、
图2
(E B
C
图1
点D 三点共线，EF 有最小值，CH OD CO EF =+=.
CH AB BC AC S ABC ⋅=⋅=
∆2
1
21, CH ⋅=⨯1086，8.4=CH
∴8.42===CH EF r ，5
12
=
r . (ii) 如图3，当⊙O 经过点C 且与斜边AB 相切于点A 时，此时,D 、F 、
A 三点重合，点C 、E 重合. 作AC ON ⊥于点N ,连结OA .
则︒=∠=∠90CHD ONA .
由⊙O 切AB 于点A ,则AB OA ⊥， 又AB CH ⊥， ∴CH ∥OA ∴OAN HCA ∠=∠ ∴CAH ∆∽AON ∆ ∴
AN CH OA CA =
，48.48=r ，解得：3
20
=r . (iii) 如图4， 当⊙O 经过点C 且与斜边AB 相切于点B 时，此时,B 、D 、E 三点重合，点C 、F 重合.作BC OI ⊥于点I ,连结OB . 则︒=∠=∠90CHD OIB . 又︒=∠+∠90BCH ABC
由⊙O 切AB 于点B ,则AB OB ⊥，又AB CH ⊥ ∴CH ∥OB ∴BCH OBI ∠=∠
图3
∴CBH ∆∽BOI ∆
∴
BI CH OB CB =
，38.46=r ，解得：4
15
=r . 综上，⊙O 的半径r 的变化范围是3
20
512≤≤r .
26. 解：(1)3；
(2) ①联立得：⎪⎩⎪⎨⎧+=-=32,21x y x y ，解得：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=-=53,5
6y x ，∴点⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,56A . ∵595356222
=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=AO , 536533562
22=⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=AB , 932
2==OB
∴22
295
36
59OB AB AO ==+=
+ ∴AOB ∆是直角三角形，即︒=∠90OAB .
②∵四边形ABCD 是菱形，且︒=∠90OAB ，∴菱形ABCD 是正方形. 由
①
可
得
：
5
56=
AB ，
5
53=
AO ，则
AO AO AB AO AD DO ==
-=-=5
5
3，∴点A 与点D 关于原点O 中心对称，则点⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
53,56D . 设⎪⎭⎫ ⎝⎛-
m m T 21,，则抛物线的解析式为()m m x y 2
12
--=. (I)当抛物线对称轴的左侧经过点B 时，如图1，即把点()3,0B 代入()m m x y 212
-
-=得：()32102
=--m m ，解得：21=m 或2
32-=m （舍去） ∴此时抛物线的解析式为：()122
--=x y .
当56=x 时，5325912562
->-=-⎪⎭
⎫
⎝⎛-=y ，故抛物线只与边AB 相交，不与边AD 相
交.
(II)当抛物线对称轴的左侧恰好经过点D 时，抛物线与边AB 、
AD 都相交，则5321562
-=-⎪⎭
⎫
⎝⎛-m m ，整理得：
010*******
=+-m m ，解得：10171=m 或5
6
2=m （舍去）
(III)当抛物线对称轴的左侧恰好经过点A 时，如图2，抛物线与边
AB 、AD 都相交，把点⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,56A 代入()m m x y 212
--=得：
5321562
=-⎪⎭
⎫
⎝⎛--m m ，
解得：561-=m 或1072-=m （舍去）， 综上，若抛物线同时与边AB 、AD 都相交，则m 的取值范围为：7.12.1≤≤-m .。