人教新课标版数学高二人教数学B版选修2-2练习1.3.1利用导数判断函数的单调性

1.3导数的应用
1．3.1利用导数判断函数的单调性
双基达标(限时20分钟)
1．在下列结论中，正确的有
()．
(1)单调增函数的导数也是单调增函数；
(2)单调减函数的导数也是单调减函数；
(3)单调函数的导数也是单调函数；
(4)导函数是单调的，则原函数也是单调的．
A．0个B．2个C．3个D．4个
解析分别举反例：(1)y＝ln x．(2)y＝1
x(x>0)．
(3)y＝2x.(4)y＝x2，故选A. 答案 A
2．函数y＝1
2x
2－ln x的单调减区间是
()．
A．(0,1) B．(0,1)∪(－∞，－1) C．(－∞，1) D．(－∞，＋∞)
解析∵y＝1
2x
2－ln x的定义域为(0，＋∞)，∴y′＝x－1x，令y′<0，即x－1x
<0，解得：0<x<1或x<－1.
又∵x>0，∴0<x<1，故选A.
答案 A
3．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是
()．A．a≥1 B．a＝1
C．a≤1 D．0<a<1
解析∵f′(x)＝3x2－2ax－1，又f(x)在(0,1)内单调递减，∴不等式3x2－2ax －1<0在(0,1)内恒成立，∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1.
答案 A
4．函数y＝ln(x2－x－2)的递减区间为________．
解析f′(x)＝
2x－1
x2－x－2
，令f′(x)<0得x<－1或1
2<x<2，注意到函数定义域
为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，故递减区间为(－∞，－1)．
答案(－∞，－1)
5．若三次函数f(x)＝ax3＋x在区间(－∞，＋∞)内是增函数，则a的取值范围是________．
解析f′(x)＝3ax2＋1，∴f(x)在R上为增函数，∴3ax2＋1≥0在R上恒成立．又a≠0，∴a>0.
答案(0，＋∞)
6．已知x>1，证明：x>ln(1＋x)．
证明设f(x)＝x－ln(1＋x)(x>1)，
f′(x)＝1－
1
1＋x
＝
x
1＋x
，由x>1，知f′(x)>0.
∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
又f(1)＝1－ln 2>0，
即f(1)>0.∵x>1，∴f(x)>0，即x>ln(1＋x)．
综合提高(限时25分钟)
7．当x>0时，f(x)＝x＋2
x的单调递减区间
()．
A．(2，＋∞) B．(0,2) C．(2，＋∞) D．(0，2)
解析f′(x)＝1－2
x2
＝
x2－2
x2
＝
(x－2)(x＋2)
x2.
由f′(x)<0且x>0得0<x<2，故选D.
答案 D
8．已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象
如图所示，则y＝f(x)的图象可能是
()．
解析当x<0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c<0，知相应的函数f(x)在该区间上单调递减；当x>0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，导数在区间(0，x1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f(x)单调递增．只有D选项满足题意．
答案 D
9．使y＝sin x＋ax为R上的增函数的a的范围是________．
解析∵y′＝cos x＋a>0，∴a>－cos x，对x∈R恒成立．∴a>1.
答案(1，＋∞)
10．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________.
解析∵f(x)＝x2＋2xf′(x)，∴f′(x)＝2x＋2f′(1)，
∴f′(1)＝2×1＋2f(1)，∴f′(1)＝－2.
∴f′(0)＝2×0＋2f′(1)＝2×(－2)＝－4.
答案－4
11．已知函数f(x)＝x3＋ax＋8的单调递减区间为(－5,5)，求函数y＝f(x)的递增
区间．
解 f ′(x )＝3x 2＋a .
∵(－5,5)是函数y ＝f (x )的单调递减区间，则－5,5是方程3x 2＋a ＝0的根，∴a ＝－75.此时f ′(x )＝3x 2－75，
令f ′(x )>0，则3x 2－75>0，解得x >5或x <－5，∴函数y ＝f (x )的单调递增区间为(－∞，－5)和(5，＋∞)．
12．(创新拓展)求下列函数的单调区间，并画出大致图象： (1)y ＝x ＋9
x ； (2)y ＝ln(2x ＋3)＋x 2.
解 (1)函数y ＝x ＋9
x 的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}． ∵y ＝x ＋9x ，∴y ′＝1－9
x 2.
当y ′＞0，即x ＞3或x ＜－3时，函数y ＝x ＋9
x 单调递增； 当y ′＜0，即－3＜x ＜0或0＜x ＜3时， 函数y ＝x ＋9
x 单调递减．
故函数y ＝x ＋9
x 的单调递增区间为(－∞，－3)，(3，＋∞)，单调递减区间为(－3,0)，(0,3)．
函数y ＝x ＋9
x 的大致图象如图(1)所示．
(2)函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫
－32，＋∞.
∵y ＝ln(2x ＋3)＋x 2，
∴y ′＝2
2x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3＝2(2x ＋1)(x ＋1)2x ＋3
.
当y ′＞0，即－32＜x ＜－1或x ＞－1
2时， 函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2单调递增； 当y ′＜0，即－1＜x ＜－1
2时， 函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2单调递减．
故函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2
的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－1，－12.
函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的大致图象如图(2)所示.。