2010届高三数学第二轮专题复习

2010届高三数学第二轮专题复习（一）向量与三角
1．（本题12分）已知A 、B 、C 是三角形ABC ∆三个内角，
向量((),cos ,sin m n A A =-= ，且1m n ⋅= ． （Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若221sin 23cos sin B B B
+=--，求tan C ． 2．（本题12分）△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ， 已知a ，b ，c 依次成等比数列，且3cos 4B =
． （Ⅰ）求cot cot A C +的值；
（Ⅱ）设32
BA BC ⋅= ，a c +求的值．
3．（本题12分）已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+
⎪⎝⎭，其中ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，． （I ）求()f x 的最大值和最小值； （II ）若不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，上恒成立，求实数m 的取值范围． 4．（本题12分）已知33(cos ,sin )22a x x = ，(cos ,sin )22x x b =- ，且[0,]2
x π∈． （I ）求a b ⋅ 与||a b + ；
（Ⅱ）若()2||f x a b m a b =⋅-+ 的最小值为32
-，求实数m 的值． 5．（本题12分）已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--．
（I ）求()f x 的单调减区间； （Ⅱ）若[0,]2x π
∈，求()f x 的最值；
（Ⅲ）对()f x 的图像按向量(,0)a ϕ= 平移，使得的函数()g x 为奇函数，求||ϕ的最小值．
6．已知奇函数()f x 的定义域为R ，且在[0,)+∞上是增函数，问是否存在实数m ，使得(cos 23)(42cos )(0)f f m m f θθ-+->对所有的[0,]2
π
θ∈均成立？若存在，求出适合条件的实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
1．解：（Ⅰ）∵1m n ⋅= ， ∴(()cos ,sin 1A A -⋅=
cos 1A A -=------------------------------------------------------2
12sin cos 12A A ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭
, 1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭-------------------------------4 ∵50,666A A ππππ<<-
<-< ∴66A ππ-= ∴3
A π
=---------------------------------------------------6 （Ⅱ）由题知2212sin cos 3cos sin B B B B
+=--， 整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --=
∴cos 0B ≠ ∴2tan tan 20B B --=-------------------------8
∴tan 2B =或tan 1B =-
而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去
∴tan 2B =--------------------------------------------------9
∴()tan tan C A B π=-+⎡⎤⎣⎦()tan A B =-+，
tan tan 1tan tan A B A B
+=--
==，
即tan C =-----------------------------------------12
2．解：（Ⅰ）由3cos 4B =，得sin B =------------------------------2 由2b ac =及正弦定理得 2sin sin sin B A C =------------------------------------3 ∴11cos cos cot cot tan tan sin sin A C A C A C A C
+=+=+ 2sin cos cos sin sin()sin sin sin C A C A A C A C B
++==
2sin 1sin sin B B B ===
即cot cot A C +=
（Ⅱ）由32BA BC ⋅= ，得3cos 2ca B ⋅= ∵3cos 4
B =，∴2ca =，22b =即-------------------------------------10 由余弦定理 2222cos b a c ac B =+-，得225a c +=，
222()2549a c a c ac +=++=+=，
∴3a c +=．--------------------------------------------------------------------12
3．解：（Ⅰ）π()1cos 221sin 222f x x x x x ⎡
⎤⎛⎫=-+=+
⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵ π12sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭． ------------------------------------------------5 又ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，∵，ππ2π2633x -∴≤≤，----------------------------------------------6 即π212sin 233x ⎛
⎫+- ⎪⎝⎭
≤≤， max min ()3()2f x f x ==，∴．-------------------------------------------------------------8 （Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，， max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，------------------------------------------------10
14m <<∴，即m 的取值范围是(14)，．------------------------------------------------12
4．解：（Ⅰ）33cos cos sin sin 2222
x x a b x x ⋅=- cos 2x =，------------------------------2
||2|cos |a b x +== ， ∵[0,]2
x π
∈，∴||2cos a b x += ；-----------------------------------------------------------4 （Ⅱ）22()2||2(cos )21f x a b m a b x m m =⋅-+=--- ，-----------------------------5 ∵[0,]2
x π∈，∴cos [0,1]x ∈，-----------------------------------------------------------------6 （1）当0m <时，
当且仅当cos 0x =，()f x 取得最小值1-，与已知矛盾；--------8
（2）当01m ≤≤时，
当且仅当cos x m =，()f x 取得最小值212m --， ∴23112[0,1]22
m m --=-⇒=∈；---------------------------------------------------------10 （3）当1m >时，
当且仅当cos 1x =，()f x 取得最小值14m -，
∴351428
m m -=-
⇒=，与1m >矛盾； 综上所述，实数m 的值为12．-------------------------------------------------------------------12 5．解：
（Ⅰ）())4
f x x π=+，-----------------------------------------------------2 由2224k x k ππππ≤+≤+，得3,88
k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 故函数()f x 的单调减区间为3[,]88
k k ππππ-+，k Z ∈；--------------------------4 （Ⅱ）52[,]444x πππ+∈，当4
x π=时，()f x 的最大值为1，----------------------6 当x π=时，()f x
的最小值为------------------------------------------------------8
（Ⅲ）设())]4g x x π
ϕ=++，是奇函数， (0)0cos(2)0244228
k g k ππππϕϕπϕπ=⇒+=⇒+=+⇒=+，--------------10 ∴min ||8π
ϕ=．------------------------------------------------------------------------------------12
6．解：∵()f x 是定义域为R 的奇函数，∴(0)0f =------------------------------1
∵(cos 23)(42cos )(0)f f m m f θθ-+->，∴(cos 23)(2cos 4)f f m m θθ->------2 ∵()f x 在[0,)+∞上是增函数，∴()f x 在R 上是增函数．-------------------------------3
∴cos 232cos 4m m θθ->-，即2cos cos 220m m θθ-+->，----------------------4 ∵[0,]2
π
θ∈，∴cos [0,1]θ∈，令cos t θ=， 则不等式2220t mt m -+->对于任意[0,1]t ∈均成立，--------------------------------5
设2
()22g t t mt m =-+-， 则02(0)0m g ⎧<⎪⎨⎪>⎩，或012()02
m m g ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，或12(1)0m g ⎧>⎪⎨⎪>⎩
，解得4m >-
故实数m
取值范围是(4)-+∞．-------------------------------------------------------12 注：也可用其它解法，参照以上评分标准给分．。