高中数学：第二章 2.8函数与方程

f(x)＝4x＋1， x≤0 的零点个数是___3_____．
解析
答案
思维升华
(2)零点存在性定理：利用定
理不仅要函数在区间[a，b]上
是连续不断的曲线，且
f(a)·f(b)<0，还必须结合函数
的图象与性质(如单调性、奇
偶性)才能确定函数有多少个
零点．
题型分类·深度剖析
例 1 (2)函数 ln x－x2＋2x，x>0，
解析
答案
思维升华
题型分类·深度剖析
例 1 (2)函数 ln x－x2＋2x，x>0，
f(x)＝4x＋1， x≤0 的零点个数是________．
解析
答案
思维升华
当x>0时：作函数y＝ln x和
y＝x2－2x的图象，
由图知，x>0 时，f(x)有两个零点； 当 x<0 时，由 f(x)＝0 得 x＝－14， 综上，f(x)有三个零点．
无交点 _0_
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3.二分法 对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数y＝f(x)， 通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 一分为二 ，使区 间的两个端点逐步逼近 零点 ，进而得到零点近似值的方 法叫做二分法．
基础知识·自主学习
知识梳理
思考辨析 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( × ) (2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)， 则f(a)·f(b)<0.( × ) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零 点．( √ )
f(x)＝4x＋1， x≤0 的零点个数是___3_____．
解析
答案
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(3) 利 用 图 象 交 点 的 个 数 ： 将 函数变形为两个函数的差，画 两个函数的图象，看其有几个 交点，就有几个不同的零点．
题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)设函数 f(x)＝13x－ln x(x>0)，则下列说法中正 确的是( ) A．f(x)在区间(1e，1)，(1，e)内均有零点 B．f(x)在区间(1e，1)，(1，e)内均无零点 C．f(x)在区间(1e，1)内有零点，在(1，e)内无零点 D．f(x)在区间(1e，1)内无零点，在(1，e)内有零点
求不等式f(x)≥1－x2的解集；
－3x＋2，
题型分类·深度剖析
解析
题型二 二次函数的零点问题
思维升华
例2 已知函数f(x)＝x2＋ax＋2，解得 x≤12或 x≥1，
a∈R.
所以不等式 f(x)≥1－x2 的解
(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1,2]，集为{x|x≤12或 x≥1}．
求不等式f(x)≥1－x2的解集；
题型分类·深度剖析
解析 因为 f(1e)＝13×1e－ln 1e＝31e＋1>0， f(1)＝13－ln 1＝13>0， f(e)＝13·e－ln e＝3e－1<0， 所以 f(x)在区间(1e，1)内无零点，在(1，e)内有零点． 答案 D
题型分类·深度剖析
(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，
数学 B（文）
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
§2.8 函数与方程
➢ 基础知识·自主学习 ➢ 题型分类·深度剖析 ➢ 思想方法·感悟提高 ➢ 练出高分
基础知识·自主学习
知识梳理
1．函数的零点 (1)函数零点的定义 如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零．即 f(α)＝0 ，则α 叫做这个函数的零点． (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与 x轴 有交点⇔ 函数y＝f(x)有 零点 ．
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2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像
与x轴的交点
(x 0)，(x 0) 1, 2, __________________________
零点个数
_2_
(x 0) 1, ______________ _1_
函数零点的求法： (1) 直 接 求 零 点 ： 令 f(x) ＝ 0 ， 如果能求出解，则有几个解 就有几个零点．
C．(2,3)
D．(3,4)
题型分类·深度剖析
解析
答案
思维升华
题型一 函数零点的判断和求解 (2)零点存在性定理：利用定
例1 (1)设x0是方程ln x＋x＝4的
解，则x0属于( C )
求实数a的取值范围．
a<－2 6或a>2 6，
解得－5<a<－2 6.
所以实数 a 的取值范围是 (－5，－2 6)．
题型分类·深度剖析
解析
思维升华
例2 (2)若函数g(x)＝f(x)＋x2＋1 解决二次函数的零点问题：
在区间(1,2)上有两个不同的零点，(1) 可 利 用 一 元 二 次 方 程 的
f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是(
A．多于4个
B．4个
C．3个
)B
D．2个
观察图象可以发现它们有4个交点， 即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点．
题型分类·深度剖析
解析
题型二 二次函数的零点问题
例2 已知函数f(x)＝x2＋ax＋2， a∈R. (1)若不等式f(x)≤0的解集为[1,2]， 求不等式f(x)≥1－x2的解集；
求实数a的取值范围．
求 根 公 式 ； (2) 可 用 一 元 二 次方程的判别式及根与系数
之 间 的 关 系 ； (3) 利 用 二 次
函数的图象列不等式组．
题型分类·深度剖析
跟踪训练2 已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大， 一个零点比1小，求实数a的取值范围． 解 方法一 设方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的两根分别为x1， x2(x1<x2)，则(x1－1)(x2－1)<0， 即x1x2－(x1＋x2)＋1<0， 由根与系数的关系， 得(a－2)＋(a2－1)＋1<0， 即a2＋a－2<0，∴－2<a<1.
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(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似 值．( × ) (5)函数y＝2sin x－1的零点有无数多个．( √ ) (6)函数f(x)＝kx＋1在[1,2]上有零点，则－1<k<－ 1 .( × )
2
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题号
1 2 3 4
答案Байду номын сангаас
A B D 3
在区间(1,2)上有两个不同的零点，区间(1,2)上有两个不同的零点，
求实数a的取值范围．
g1>0， g2>0， 则1<－a4<2， a2－24>0，
题型分类·深度剖析
解析
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例2 (2)若函数g(x)＝f(x)＋x2＋1 a＋5>0，
2a＋11>0，
在区间(1,2)上有两个不同的零点，即－8<a<－4，
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题型二 二次函数的零点问题
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解 因为不等式f(x)≤0的解 例2 已知函数f(x)＝x2＋ax＋2， 集为[1,2]，
a∈R.
所 以 a ＝ － 3 ， 于 是 f(x) ＝ x2
(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1,2]， －3x＋2.
由f(x)≥1－x2得，1－x2≤x2
A．(0,1)
B．(1,2)
设f(x)＝ln x＋x－4， ∵f(2)＝ln 2－2<0， f(3)＝ln 3－1>0，
C．(2,3)
D．(3,4)
∴x0∈(2,3)．
题型分类·深度剖析
解析
题型一 函数零点的判断和求解
答案
思维升华
例1 (1)设x0是方程ln x＋x＝4的
解，则x0属于( C )
A．(0,1)
A．(0,1)
B．(1,2)
理不仅要函数在区间[a，b]上 是连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)<0，还必须结合函数 的图象与性质(如单调性、奇
C．(2,3)
D．(3,4)
偶性)才能确定函数有多少个 零点．
题型分类·深度剖析
解析
题型一 函数零点的判断和求解
答案
思维升华
例1 (1)设x0是方程ln x＋x＝4的
题型分类·深度剖析
例 1 (2)函数 ln x－x2＋2x，x>0，
f(x)＝4x＋1， x≤0 的零点个数是___3_____．
解析
答案
思维升华
当x>0时：作函数y＝ln x和
y＝x2－2x的图象，
由图知，x>0 时，f(x)有两个零点； 当 x<0 时，由 f(x)＝0 得 x＝－14， 综上，f(x)有三个零点．
题型分类·深度剖析
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题型一 函数零点的判断和求解
例1 (1)设x0是方程ln x＋x＝4的
解，则x0属于( )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
答案
思维升华
题型分类·深度剖析
解析
题型一 函数零点的判断和求解
答案
思维升华
例1 (1)设x0是方程ln x＋x＝4的
解，则x0属于( )
题型分类·深度剖析
解析
题型二 二次函数的零点问题
思维升华
解决二次函数的零点问题：
例2 已知函数f(x)＝x2＋ax＋2，
(1) 可 利 用 一 元 二 次 方 程 的
a∈R.
求 根 公 式 ； (2) 可 用 一 元 二
(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1,2]， 次方程的判别式及根与系数
求不等式f(x)≥1－x2的解集；
B．(1,2)
设f(x)＝ln x＋x－4， ∵f(2)＝ln 2－2<0， f(3)＝ln 3－1>0，
C．(2,3)
D．(3,4)
∴x0∈(2,3)．
题型分类·深度剖析
解析
题型一 函数零点的判断和求解
答案
思维升华
例1 (1)设x0是方程ln x＋x＝4的
解，则x0属于( C )
A．(0,1)
B．(1,2)
f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是(
A．多于4个
B．4个
C．3个
) D．2个
解析 由题意知，f(x)是周期为2的偶函数． 在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如下：
题型分类·深度剖析
(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，
题型分类·深度剖析
例 1 (2)函数 ln x－x2＋2x，x>0，
f(x)＝4x＋1， x≤0 的零点个数是___3_____．
解析
答案
思维升华
函数零点的求法： (1) 直 接 求 零 点 ： 令 f(x) ＝ 0 ， 如果能求出解，则有几个解 就有几个零点．
题型分类·深度剖析
例 1 (2)函数 ln x－x2＋2x，x>0，
题型分类·深度剖析
跟踪训练2 已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大， 一个零点比1小，求实数a的取值范围．
方法二 函数图象大致如图， 则有f(1)<0， 即1＋(a2－1)＋a－2<0， 故－2<a<1.
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解析
题型三 函数零点和参数的范围
例3 若关于x的方程22x＋2xa
＋a＋1＝0有实根，求实数a的
取值范围．
思维升华
题型分类·深度剖析
题型三 函数零点和参数的范围
例3 若关于x的方程22x＋2xa
考点自测
解析
由于a<b<c，所以f(a)＝0＋(a－b)(a－c)＋0>0， f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0. 因此有f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0， 又因f(x)是关于x的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线， 因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A.
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(3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲
线，并且有 f(a)·f(b)<0 ，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内 有零点，即存在c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个 c 也
就是方程f(x)＝0的根．
解，则x0属于( C )
A．(0,1)
B．(1,2)
(3) 利 用 图 象 交 点 的 个 数 ： 将 函数变形为两个函数的差，画 两个函数的图象，看其有几个 交点，就有几个不同的零点．
C．(2,3)
D．(3,4)
题型分类·深度剖析
例 1 (2)函数 ln x－x2＋2x，x>0，
f(x)＝4x＋1， x≤0 的零点个数是________．
之 间 的 关 系 ； (3) 利 用 二 次 函数的图象列不等式组．
题型分类·深度剖析
解析
例2 (2)若函数g(x)＝f(x)＋x2＋1 在区间(1,2)上有两个不同的零点， 求实数a的取值范围．
思维升华
题型分类·深度剖析
解析
思维升华
例2 (2)若函数g(x)＝f(x)＋x2＋1 解 函数g(x)＝2x2＋ax＋3在