3.1.2复数的几何意义

y
z=a+bi
b
Z(a,b)
oa
x
oa
x
教学目标
知识与能力
•通过学习复平面上点的轨迹,使学生 进一步掌握复数及复数的几何意义. •掌握复数、平面上点及位置向量三 者之间联系及转化.
过程与方法
•通过问题导引，探究学习，提高学 生数学探究能力. •提高数形结合能力. •提高知识之间的理解与综合运用能 力.
情感态度与价值观
•通过复数、平面上点及位置向量三 者之间联系及转化的教学，对学生进 行事物间普遍联系及转化等辩证观点 的教育.
教学重难点
重点
•对复数几何意义的理解以及复数的向 量表示.
难点
•由于理解复数是一对有序实数不习惯，对 于复数几何意义理解有一定困难. •对于复数向量表示的掌握有一定困难.
因此，复数集与平面直角坐标系中 的点集之间可以建立一一对应.
复数的实质是什么？
动动脑
分析到这里,请同学们 自己回答出此问题!
复数的实 质是一对有序 实数对！
那么现在复数z=a+bi可以在平面直
角坐标系中表示出来，如图所示：
y
建立了平面直角
坐标系来表示复数的
z=a+bi
平面 ------复数平面
b
点在虚轴上”的C（ ）
（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充要条件 （D）不充分不必要条件
解答题
1.已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复 平面内所对应的点在直线x+y+4=0上， 求实数m的值.
提示
复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对
应的点的坐标是( m2+m-6，m2+m-2 )，此
选择
(1)下列命题中的假命题是（ D）
(A)在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上 (B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴上 (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复 数都是实数 (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数
（2）“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的
-2 -1 O 2 4
x
-2
Z2:2-2i
例题2
已知某个平行四边形的三个顶 点所对应的复数分别为2，4+2i， -2+4i，求第四个顶点对应的复数.
自己动动手
解： y
4
-2
O2 4
x
答案：6i或-4+2i或8-2i
扩展题
求下列复数的模：
(1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i
复数z=a+bi
一一对应
直角坐标系中 的点Z(a,b)
z=a+bi y Z(a,b)
平面向量 OZ
b
a
ox
现在我们就用平面向量来表示 复数，如图所示：
y Z：a+bi
设复平面内的点Z表
b
示复数Z=a+bi,连接OZ,显
然向量 OZ由点Z唯一确定；
反过来，点Z(相对于原点来
o
a
x 说)也可以由向量 OZ 唯一确
H:-5i.
y
2.
5
4
2+5i
-3+2i
-2
O2 4
x
-3-i
-3i 2-4i
3. Z5:-2+4i
y
4 Z4:4
Z1:2+i
-2
O2 4
x
Z3:-2i
Z2:3/2-4i
(代数问题)
解：由mm22
+ +
m m
-
6 2
< >
0 0
得
m
-3 < m < -2或
<2 m>
1
m(-3,-2) (1, 2)
注意
一种重要的数学思 想：数形结合思想
习题答案
练习(第105页)
1.A:4+3i, B:3-3i, C:-3+2i,
D:-5/2-3i, E:11/2, F:-2,
G:5i,
定.
由此可知，复数集C和复平面内 的向量所成的集合也是一一对应的.
复数的另一几何意义之一是：
复数z=a+bi 一一对应 平面向量OZ
注意
为了方便起见，我们常把复数z=a+bi说 成点Z或说成向量 OZ且规定相等的向量 表示同一个复数.
向量OZ的模r叫做复数z=a+bi的模，记作
|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a, 它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可
点在直线上，代入直线方程求m即可.
解： m2+m-6+m2+m-2+4=0 得 m=-2或m=1
2.已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面 内所对应的点位于第二象限，求实数m允许 的取值范围.
提示
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满
在象限的问题
足的不等式组的问题
(几何问题)
(5) (5)
(5 2)
课堂小结
1.复数的实质是一对有序实数对；
2.用平面直角坐标系表示复平面，其 中x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴；
3.实轴上的点都表示实数；除了原点外， 虚轴上的点都表示纯虚数；
4.复数z=a+bi用点Z(a,b)表示.复平面 内的点Z的坐标是(a,b),而不是(a, bi)；
5.复数的两个几何意义： 复数z=a+bi 一一对应 复平面内的点Z(a,b)
知： |z|= |a+bi|=r= a2 +b2(r 0,r∈R ).
同学们还应明确：
任何一个复数z=a+bi与复平面内的一点 Z(a，b)对应，复平面内任意一点Z(a，b)又可
以与以原点为起点，点Z(a，b)为终点的量 OZ
对应.这些对应都是一一对应，即 z=a+bi
一一对应
Z(a,b)
OZ
例题1
Z(a,b)
(简称复平面)
oa
x
x轴------实轴 y轴------虚轴
复数z=a+bi用点Z(a,b)表示.
观察
实轴上的点都表示实数；虚
轴上的点都表示纯虚数，除原点 外，因为原点表示实数0.
复数z=a+bi用点Z(a,b)表示. 复平面内的点Z的坐标是(a,b),而 不是(a, bi),即复平面内的纵坐标 轴上的单位长度是1，而不是i.
练一练
•复平面内的原点(0,0)表示( 实数0); •实轴上的点(2,0)表示(实数2)； •虚轴上的点(0,-1)表示( 纯虚数-i ); •点(-2,3)表示( 复数-2+3i).
依照这种表示方法，每一个 复数，有复平面内唯一的一个点 和它对应；反过来，复平面内的 每一个点，有唯一的一个复数和 它对应.
新课导入
实数的几何意义？
在几何 上，我们用 什么来表示 实数?
实数可以用数轴 上的点来表示.
实数 一一对应 数轴上的点
(数)
(形)
类比实数的几何意义，复
数的几何意义是什么呢？
回 忆
复数的 一般形 式？
…
Z=a+bi(a, b∈R)
实部
虚部
一个复数 由什么确
定？
3.1.2
y
z=a+bi
b
ห้องสมุดไป่ตู้
Z(a,b)
由此可知，复数集C和复平面内所 有的点所成的集合是一一对应的.
复数的几何意义之一是： 记住！
复数 一一对应 复平面内
z=a+bi
的点Z(a,b)
在平面直角坐标系中，每一个
平面向量都可以用一个有序实数对 来表示，而有序实数对与复数是一 一对应的.这样，我们还可以用平面 向量来表示复数.
可用下图表示出他们彼此的关系.
复数z=a+bi 一一对应 平面向量 OZ
6.复平面内任意一点 Z(a,b)可以 与以原点为起点，点 Z(a,b) 为终 点的向量 OZ对应；
7.复数的模通过向量的模来定义；
随堂练习
填空
1.复数z=-5-3i在复平面内的点的坐标是 （-5，-3 ）. 2.复数z=4-3i的模是（ 5 ）.
自己动动手
探究 复数的实质是什么？
任何一个复数z=a+bi，都可以由一个 有序实数对(a,b)唯一确定.由于有序实数 对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对 应，因此复数集与平面直角坐标系中的 点集之间可以建立一一对应.
可用下图表示出他们彼此的关系. 有序实数对(a,b)
复数z=a+bi 一一对应 直角坐标系中的点Z(a,b)
画一画
找出与下列复数对应的点的位置,且在复 平面内画出这些复数对应的向量：
（1）i; （2）2-2i; （3）(2+i) ×i; （4）i-1；
解： y
(2+i) ×i
4
i-1
2
1
-2 -1 O 2
-2
(2+i) ×i 转化为 -1+2i
i i2 = -1
4
x
2-2i
注意
解： y
4
Z3:(2+i) ×i 2 Z4:i-1 1 Z1:i