【数学】安徽省安庆市慧德中学2015-2016学年高二上学期第一次月考试卷(理)(解析版)

2015-2016学年安徽省安庆市慧德中学高二（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.在答题卷上的相应题目的答题区域内作答.1．若关于x的二次不等式x2+mx+1≥0的解集为实数集R，则实数m的取值范围是（）A．m≤﹣2或m≥2 B．﹣2≤m≤2C．m＜﹣2或m＞2 D．﹣2＜m＜22．已知a，b是不等的两个正数，A是a，b的等差中项，B是a，b的正的等比中项，则A 与B的大小关系是（）A．A＜B B．A＞B C．A=B D．不能确定3．在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若（a2+b2﹣c2）tan C=ab，则角C 等于（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°4．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a6+a10为一个确定的常数，则下列各个和中，也为确定的常数的是（）A．S6B．S11C．S12D．S135．已知变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．16．下列各函数中，最小值为2的是（）A．，x≠0且x∈R B．，x∈（0，π）C．，x∈R D．y=e x+e﹣x，x∈R7．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（）海里．A．10B．20C．10D．208．若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）A．6 B．7 C．8 D．99．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a＜b），其全程的平均时速为v，则（）A．B．C．D．10．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题（共6小题，每小题4分，满分23分）11．在等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则lg a1+lg a2+…+lg a8等于．12．已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为．13．函数f（x）=，则不等式xf（x）﹣x≤2的解集为14．要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（单位：元）15．已知方程x2+ax+2b=0（a∈R，b∈R），其一根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，2）内，则的取值范围为．16．平面内有n（n∈N*）个圆中，每两个圆都相交，每三个圆都不交于一点，若该n个圆把平面分成f（n）个区域，那么f（n）=．三、解答题：本大题共6小题，共76分．17．在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c（a≤b≤c），且b cos C+c cos B=2a sin A．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）若a=b，且BC边上的中线AM长为，求△ABC的面积．18．已知等比数列{a n}满足2a1+a3=3a2，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，S n=b1+b2+…+b n，求使S n﹣2n+1+47＜0成立的正整数n的最小值．19．已知函数f（x）=|2x﹣4|+1．（Ⅰ）解不等式f（x）＞|x+1|；（Ⅱ）设正数a，b满足ab=a+b，若不等式f（m+1）≤a+4b对任意a，b∈（0，+∞）都成立，求实数m的取值范围．20．已知各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设T n为数列{}的前n项和，若T n≤λa n+1对∀n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．21．某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，今年年初组织一些同学自筹资金196万元购进一台设备，并立即投入生产自行设计的产品，计划第一年维修、保养费用24万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加8万元，该设备使用后，每年的总收入为100万元，设从今年起使用n年后该设备的盈利额为f（n）万元．（Ⅰ）写出f（n）的表达式；（Ⅱ）求从第几年开始，该设备开始盈利；（Ⅲ）使用若干年后，对该设备的处理方案有两种：方案一：年平均盈利额达到最大值时，以52万元价格处理该设备；方案二：当盈利额达到最大值时，以16万元价格处理该设备．问用哪种方案处理较为合算？请说明理由．22．已知数列{a n}的前n项和．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令，试比较T n与的大小，并予以证明．参考答案一、选择题1．B【解析】∵x2+mx+1≥0的解集为R，∴Δ=m2﹣4≤0，解得：﹣2≤m≤2．故选：B．2．B【解析】∵a，b是不等的两个正数，A是a，b的等差中项，B是a，b的正的等比中项，∴A=B=∵a，b是不等的两个正数∴即A＞B故选：B．3．C【解析】由余弦定理可得a2+b2﹣c2=2ab cos C，结合（a2+b2﹣c2）tan C=ab，可得2cos C tan C=2sin C=1，即sin C=，∵A∈（0，180°），∴C=30°，或150°．故选：C．4．B【解析】由a2+a6+a10=a1+d+a1+5d+a1+9d=3（a1+5d）=3a6=为一确定的常数，从而=11a6为确定的常数，故选B．5．C【解析】画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（2，2），由z=2x﹣y得：y=2x﹣z，由图知，直线过A（2，2）时，z取得最大值，∴z的最大值是2，故选：C．6．D【解析】对于A：x可能是负数；对于B：若“=”成立，需sin2x=4，不可能取到；对于C：若“=”成立，需x2+2=1，不可能取到；对于D：y=e x+≥2=2，当且仅当e x=1时“=”成立，故选：D．7．A【解析】如图，由已知可得，∠BAC=30°，∠ABC=105°，AB=20，从而∠ACB=45°．在△ABC中，由正弦定理可得BC=×sin30°=10．故选：A．8．D【解析】由题意可得：a+b=p，ab=q，∵p＞0，q＞0，可得a＞0，b＞0，又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得①或②．解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4，则p+q=9．故选：D．9．A【解析】设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b，行驶的路程S，则v==＜=，（a＜b），v=＞=a，∴a＜v＜，故选：A．10．C【解析】设首项为a，公差为d，项数为n，则各项和为na+n（n﹣1）d=972，所以n[2a+（n﹣1）d]=2×972，即n为2×972的大于3的约数．又2×972的大于3的约数共有1、2、97、2×97、972、2×972分别进行讨论：（1）若n=972，则2a+d=2，由于数列的首项及公差均为非负整数，若d=0，可得a=1；若d ≥1则a＜0不合题意，故有一解；（2）同理若n=97，则2a+96d=194，若d=0，则a=97；若d=1，则a=49；d若=2，则a=1．故有三解；（3）同理若n=2×97，或n=2×972，无解．（4）若n=1，或2时，n＜3不合题意．故符合题意的共4种情况．故选C二、填空题11．4【解析】由等比数列{a n}的性质可得，a4•a5=10=a1a8=a2a7=a3a6，则lg a1+lg a2+…+lg a8=lg（a1a2•…•a8）=lg104=4．故答案为：4．12．【解析】根据题意设三角形的三边长分别为a，a，2a，∵2a＞a＞a，∴2a所对的角为最大角，设为θ，则根据余弦定理得：cosθ==﹣．故答案为：﹣13．[﹣1，2]【解析】当x＞1时，不等式xf（x）﹣x≤2化为x2﹣x≤2即：﹣1≤x≤2，所以1＜x≤2；当x≤1时，不等式xf（x）﹣x≤2化为﹣2x≤2可得：﹣1≤x≤1综上不等式xf（x）﹣x≤2的解集为：[﹣1，2]故答案为：[﹣1，2]14．160【解析】设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则∵长方形容器的容器为4m3，高为1m，故底面面积S=ab=4，y=20S+10[2（a+b）]=20（a+b）+80，∵a+b≥2=4，故当a=b=2时，y取最小值160，即该容器的最低总造价是160元，故答案为：16015．【解析】令f（x）=x2+ax+2b，由题意可知，，即．由约束条件画出可行域如图，A（﹣1，0），联立，解得B（﹣3，1），的几何意义为可行域内的动点与定点M（1，3）连线的斜率，∵．∴的取值范围为．故答案为：．16．n2﹣n+2【解析】分析可得，n﹣1个圆可以将平面分为f（n﹣1）个区域，n个圆可以将平面分为f（n）个区域，增加的这个圆即第n个圆与每个圆都相交，可以多分出2（n﹣1）个区域，即f（n）﹣f（n﹣1）=2×（n﹣1），则有f（3）﹣f（2）=2×2，f（4）﹣f（3）=2×3，f（5）﹣f（4）=2×4，f（6）﹣f（5）=2×5，…f（n）﹣f（n﹣1）=2×（n﹣1），将这些式子相加可得：f（n）﹣f（2）=2×2+2×3+2×4+…+2×n=n（n+1），f（n）=2+（n﹣1）n=n2﹣n+2故答案为：n2﹣n+2．三、解答题17．【解析】（Ⅰ）∵b cos C+c cos B=2a sin A，∴sin B cos C+sin C cos B=2sin A sin A，即sin（B+C）=2sin A sin A⇔sin A=2sin A sin A，∵sin A＞0，∴sin A=，∵a≤b≤c，∴0＜A≤，∴A=；（Ⅱ）∵a2﹣（2﹣）bc=b2+c2﹣2bc cos﹣（2﹣）bc=b2+c2﹣2bc=（b﹣c）2≥0，∴a2≥（2﹣）bc；（Ⅲ）由a=b及（Ⅰ）知A=B=，∴C=，设AC=x，则MC=x，又AM=，在△AMC中，由余弦定理得AC2+MC2﹣2AC•MC cos C=AM2，即x2+（）2﹣2x••cos120°=7，解得：x=2，则S△ABC=x2sin=．18．【解析】（Ⅰ）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，∵2a1+a3=3a2，且a3+2是a2，a4的等差中项∴a1（2+q2）=3a1q①，a1（q+q3）=2a1q2+4 ②由①及a1≠0，得q2﹣3q+2=0，∴q=1，或q=2，当q=1时，②式不成立；当q=2时，符合题意，把q=2代入②得a1=2，∴a n=2•2n﹣1=2n．（Ⅱ）b n=a n+log2=2n+log2=2n﹣n．∴S n=2﹣1+22﹣2+23﹣3+…+2n﹣n=（2+22+23+…+2n）﹣（1+2+3+…+n）=﹣=2n+1﹣2﹣n﹣n2．∵S n﹣2n+1+47＜0，∴2n+1﹣2﹣n﹣n2﹣2n+1+47＜0，即n2+n﹣90＞0，解得n＞9或n＜﹣10．∵n∈N*，故使S n﹣2n+1+47＜0成立的正整数n的最小值为10．19．【解析】（Ⅰ）不等式f（x）＞|x+1|⇔|2x﹣4|+1＞|x+1|，⇔，或，或．求得x＞4，或，或x≤﹣1，于是原不等式的解集为．（Ⅱ）因为，所以，当且仅当即时a+4b取得最小值9．因为f（m+1）≤a+4b对任意a，b∈（0，+∞）都成立，所以f（m+1）≤9⇔|m﹣1|≤4⇔﹣4≤m﹣1≤4，于是，所求实数m的取值范围是﹣3≤m≤5．20．【解析】（I）设公差为d，由已知得：，即，解得：d=1或d=0（舍去），∴a1=2，故a n=2+（n﹣1）=n+1；（II）∵==﹣，∴T n=﹣+﹣+…+﹣=﹣=，∵T n≤λa n+1对∀n∈N*恒成立，即≤λ（n+2），λ≥∀n∈N*恒成立，又=≤=，∴λ的最小值为．21．【解析】（Ⅰ）依题意，得．（Ⅱ）由f（n）＞0得：﹣4n2+80n﹣196＞0即n2﹣20n+49＜0，解得，由n∈N*知，3≤n≤17，即从第三年开始盈利．（Ⅲ）方案①：年平均盈利为，则，当且仅当，即n=7时，年平均利润最大，共盈利24×7+52=220万元．方案②：f（n）=﹣4（n﹣10）2+204，当n=10时，取得最大值204，即经过10年盈利总额最大，共计盈利204+16=220万元．两种方案获利相等，但由于方案二时间长，所以采用方案一合算．22．【解析】（I）在中，令n=1，可得S1=a n﹣1+2=a1，即，当n≥2时，，∴，∴，即，设，则b n=b n﹣1+1，即当n≥2时，b n﹣b n﹣1=1，又b1=2a1=1，∴数列{b n}是首项和公差均为1的等差数列．于是b n=1+n﹣1=n=2n a n，∴（II）由（I）得，所以，①，②由①﹣②得，∴，于是只要比较2n与2n+1的大小即可，（1）当n=1，2时，2n＜2n+1，此时，即，（2）猜想：当n≥3时，2n＞2n+1，下面用数学归纳法证明：①当n=3时，不等式2n＞2n+1成立；②假设n=k≥3时，不等式成立，即2k＞2k+1；则当n=k+1时，2k+1＞2•2k＞2（2k+1）=4k+2=2k+（2k+2）≥2k+8＞2（k+1）+1，所以当n=k+1时，不等式2n＞2n+1成立，由①和②可知，当n≥3时，2n＞2n+1成立，于是，当n≥3时，，即．另证：要证2n＞2n+1（n≥3），只要证：2n﹣1＞2n，只要证：1+21+22+…+2n﹣1＞2n，由均值不等式得：，所以2n＞2n+1，于是当n≥3时，，即．。