长春市数学初中九年级勾股定理选择题中考综合专项复习训练

长春市数学初中九年级勾股定理选择题中考综合专项复习训练
一、易错易错压轴选择题精选：勾股定理选择题
1．如图，等腰直角△ABC中，∠C＝90°，点F是AB边的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且∠DFE＝90°，连接DE、DF、EF，在此运动变化过程中，下列结论：①图中全等的三角形只有两对；②△ABC的面积是四边形CDFE面积的2倍；③CD+CE＝2FA；
④AD2+BE2＝DE2．其中错误结论的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12 cm，高是20 cm，那么所需彩带最短的是()
A．13 cm B．4cm C．4cm D．52 cm
3．如图，是一长、宽都是3 cm，高BC＝9 cm的长方体纸箱，BC上有一点P，PC＝
2
BC，一只蚂蚁从点A出发沿纸箱表面爬行到点P的最短距离是()
3
A．62cm B．33cm C．10 cm D．12 cm
4．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=30°，点E为AB的中点，DE⊥AB，交AB于点E，DE=3，BC=1，CD=13，则CE的长是（）
A14B17C15D13
5．如图中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm、B的边长为5cm、C的边长为5cm，则正方形D
的边长为( )
A．3cm B．14cm C．5cm D．4cm
6．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2016的值为（）
A．（
2
2
）2013B．（
2
2
）2014C．（
1
2
）2013D．（
1
2
）2014
7．如图，四边形ABCD中，AC⊥BD于O，AB＝3，BC＝4，CD＝5，则AD的长为（）
A．1 B．32C．4 D．23
8．如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D是AC的中点,将一块锐角为45°的直角三角板ADE如图放置,连接BE,EC.下列判
断:①△ABE≌△DCE;②BE=EC;③BE⊥EC;④EC=3DE.其中正确的有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．圆柱形杯子的高为18cm，底面周长为24cm，已知蚂蚁在外壁A处（距杯子上沿2cm）发现一滴蜂蜜在杯子内（距杯子下沿4cm），则蚂蚁从A处爬到B处的最短距离为（）
A ．813
B ．28
C ．20
D ．122
10．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为( )
A ．121
B ．110
C ．100
D ．90
11．A 、B 、C 分别表示三个村庄，AB 1700=米，800BC =米，AC 1500=米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（ ）
A ．A
B 的中点
B ．B
C 的中点 C ．AC 的中点
D ．C ∠的平分线与AB 的交点
12．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为1S ，2S ，3S ；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为4S ，5S ，6S ，其中116S =，245S =，511S =，614S =，则43S S +=（ ）．
A ．86
B ．61
C ．54
D ．48
13．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（ ） A ．7,24,25 B ．111,4,5222 C ．3,4,5 D ．114,7,822
14．如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点．已知90ACB ∠=︒，4BE =，7AD =，则AB 的长为（ ）
A ．10
B ．53
C ．213
D ．215
15．如图，点A 和点B 在数轴上对应的数分别是4和2，分别以点A 和点B 为圆心，线段AB 的长度为半径画弧，在数轴的上方交于点C ．再以原点O 为圆心，OC 为半径画弧，与数轴的正半轴交于点M ，则点M 对应的数为（ ）
A ．3．5
B ．23
C ．13
D ．36 16．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A ．1、2、3
B ．2、3、4
C ．1、2、3
D ．4、5、6
17．如图，正方体的棱长为4cm ，A 是正方体的一个顶点，B 是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A 爬到点B 的最短路径是（ ）
A ．9
B ．210
C ．326+
D ．12
18．已知M 、N 是线段AB 上的两点，AM ＝MN ＝2，NB ＝1，以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连接AC ，BC ，则△ABC 一定是( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
19．下列以线段a 、b 、c 的长为边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ） A ．9,41,40a b c === B ．5,5,52a b c ===
C ．::3:4:5a b c =
D ．11,12,13a b c === 20．如图，已知ABC 中，10,86,AB AC BC AB ===,的垂直平分线分别交,AC AB
于,,D E 连接BD ，则CD 的长为（ ）
A ．1
B ．54
C ．74
D ．254
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、易错易错压轴选择题精选：勾股定理选择题
1．B
解析：B
【分析】
结论①错误，因为图中全等的三角形有3对；结论②正确，由全等三角形的性质可以判断；结论③错误，利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断；结论④正确，利用全等三角形的性质以及直角三角形的勾股定理进行判断．
【详解】
连接CF ，交DE 于点P ，如下图所示
结论①错误，理由如下：
图中全等的三角形有3对，分别为△AFC ≌△BFC ，△AFD ≌△CFE ，△CFD ≌△BFE ． 由等腰直角三角形的性质，可知FA=FC=FB ，易得△AFC ≌△BFC ．
∵FC ⊥AB ，FD ⊥FE ，
∴∠AFD=∠CFE ．
∴△AFD ≌△CFE （ASA ）．
同理可证：△CFD ≌△BFE ．
结论②正确，理由如下：
∵△AFD ≌△CFE ，
∴S △AFD =S △CFE ，
∴S 四边形CDFE =S △CFD +S △CFE =S △CFD +S △AFD =S △AFC =12
S △ABC ， 即△ABC 的面积等于四边形CDFE 的面积的2倍．
结论③错误，理由如下：
∵△AFD ≌△CFE ，
∴CE=AD ，
∴CD+CE=CD+AD=AC=2FA ．
结论④正确，理由如下：
∵△AFD ≌△CFE ，
∴AD=CE ；
∵△CFD ≌△BFE ，
∴BE=CD ．
在Rt △CDE 中，由勾股定理得：222CD CE DE +=，
∴222AD BE DE += ．
故选B ．
【点睛】
本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形和勾股定理等重要几何知识点，综合性比较强．解决这个问题的关键在于利用全等三角形的性质．
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决..要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．
【详解】
如图，
由图可知，彩带从易拉罐底端的A 处绕易拉罐4圈后到达顶端的B 处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，设彩带最短长度为xcm ，
∵∵易拉罐底面周长是12cm ，高是20cm ，
∴x 2=(12×4)2+202∴x 2=(12×4)2+202，
所以彩带最短是52cm ．
故选D．
【点睛】
本题考查了平面展开−−最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，
3．A
解析：A
【解析】
【分析】
将图形展开，可得到安排AP较短的展法两种，通过计算，得到较短的即可．
【详解】
解：(1)如图1，AD=3cm，DP=3+6=9cm，
在Rt△ADP中，AP=22
39
+＝310cm
((2)如图2， AC=6cm，CP=6cm，
Rt△ADP中，22
66
+62
综上，蚂蚁从点A出发沿纸箱表面爬行到点P的最短距离是62．
故选A．
【点睛】
题考查了平面展开--最短路径问题，熟悉平面展开图是解题的关键．
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
连接BD，作CF⊥AB于F，由线段垂直平分线的性质得出BD=AD，AE=BE，得出
∠DBE=∠DAB=30°，由直角三角形的性质得出BD=AD=2DE=233，证出
△BCD是直角三角形，∠CBD=90°，得出∠BCF=30°，得出BF=1
2
BC=
1
2
，3
3
求出EF=BE+BF=7
2
，在Rt△CEF中，由勾股定理即可得出结果．
【详解】
解：连接BD ，作CF ⊥AB 于F ，如图所示：
则∠BFC=90°，
∵点E 为AB 的中点，DE ⊥AB ，
∴BD=AD ，AE=BE ，
∵∠DAB=30°，
∴∠DBE=∠DAB=30°，BD=AD=2DE=233，
∵BC 2+BD 2=12+（32=13=CD 2，
∴△BCD 是直角三角形，∠CBD=90°，
∴∠CBF=180°-30°-90°=60°，
∴∠BCF=30°，∠BFC=90°，
∴∠BCF=30°，
∴BF=
12BC=12，33 ∴EF=BE+BF=72， 在Rt △CEF 中，由勾股定理得：2
2731322⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故选D ．
【点睛】
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握勾股定理和逆定理是解题的关键．
5．B
解析：B
【解析】
【分析】
先求出S A 、S B 、S C 的值，再根据勾股定理的几何意义求出D 的面积，从而求出正方形D 的边长.
【详解】
解∵S A =6×6=36cm 2，S B =5×5=25cm 2，Sc=5×5=25cm 2，
又∵1010A B C D S S S S +++=⨯ ，
∴36+25+25+S D =100，
∴S D =14，
∴正方形D 14
故选：B.
【点睛】
本题考查了勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键.
6．C
解析：C
【分析】
根据等腰直角三角形的性质可得出S2+S2=S1，写出部分S n的值，根据数的变化找出变化规
律“S n=(1
2
)n−3”，依此规律即可得出结论．
【详解】
解：在图中标上字母E，如图所示．
∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，∴DE2+CE2=CD2，DE=CE，
∴S2+S2=S1．
观察，发现规律：S1=22=4，S2=1
2
S1=2，S3=
1
2
S2=1，S4=
1
2
S3=
1
2
，…，
∴S n=(1
2
)n−3．
当n=2016时，S2016=(1
2
)2016−3=(
1
2
)2013．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是
找出规律“S n=(1
2
)n−3”．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分S n的
值，根据数值的变化找出变化规律是关键．
7．B
解析：B
【分析】
设OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，根据勾股定理求出a2+b2＝AB2＝9，c2+b2＝BC2＝16，c2+d2＝CD2＝25，即可证得a2+d2＝18，由此得到答案.
【详解】
设OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，
由勾股定理得，a2+b2＝AB2＝9，c2+b2＝BC2＝16，c2+d2＝CD2＝25，
则a 2+b 2+c 2+b 2+c 2+d 2＝50，
∴a 2+d 2+2（b 2+c 2）＝50，
∴a 2+d 2＝50﹣16×2＝18，
∴AD
=
故选：B ．
【点睛】
此题考查勾股定理的运用，根据题中的已知条件得到直角三角形，再利用勾股定理求出未知的边长，解题中注意直角边与斜边.
8．C
解析：C
【分析】
根据AC=2AB ，点D 是AC 的中点求出AB=CD ，再根据△ADE 是等腰直角三角形求出AE=DE ，并求出∠BAE=∠CDE=135°，然后利用“边角边”证明△ABE 和△DCE 全等，从而判断出①小题正确；根据全等三角形对应边相等可得BE=EC ，从而判断出②小题正确；根据全等三角形对应角相等可得∠AEB=∠DEC ，然后推出∠BEC=∠AED ，从而判断出③小题正确；
DE 表示出AD ，然后得到AB 、AC ，再根据勾股定理用DE 与EC 表示出BC ，整理即可得解，从而判断出④小题错误．
【详解】
解：∵AC=2AB ，点D 是AC 的中点，
∴CD=12
AC=AB ， ∵△ADE 是等腰直角三角形，
∴AE=DE ，
∠BAE=90°+45°=135°，∠CDE=180°-45°=135°，
∴∠BAE=∠CDE ，
在△ABE 和△DCE 中，
AB CD BAE CDE AE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ABE ≌△DCE （SAS ），故①小题正确；
∴BE=EC ，∠AEB=∠DEC ，故②小题正确；
∵∠AEB+∠BED=90°，
∴∠DEC+∠BED=90°，
∴BE ⊥EC ，故③小题正确；
∵△ADE 是等腰直角三角形，
∴
，
∵AC=2AB ，点D 是AC 的中点，
∴
，
，
在Rt△ABC中，BC2=AB2+AC2=（2DE）2+（22DE）2=10DE2，
∵BE=EC，BE⊥EC，
∴BC2=BE2+EC2=2EC2，
∴2EC2=10DE2，
解得EC=5DE，故④小题错误，
综上所述，判断正确的有①②③共3个．
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，准确识图，根据△ADE是等腰直角三角形推出AE=DE，∠BAE=∠CDE=135°是解题的关键，也是解决本题的突破口．9．C
解析：C
【解析】
分析：将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求.
详解：如图所示，将杯子侧面展开,作A关于EF的对称点A′，
连接A′B,则A′B即为最短距离，
A′B2222
'++ (cm)
=1216=20
A D BD
故选C.
点睛：本题考查了勾股定理、最短路径等知识.将圆柱侧面展开，化曲面为平面并作出A关于EF的对称点A′是解题的关键.
10．B
解析：B
【分析】
延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】
解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，则四边形OALP是矩形．∠=︒，
CBF
90
∴∠+∠=︒，
90
ABC OBF
又直角ABC ∆中，90ABC ACB ∠+∠=︒，
OBF ACB ∴∠=∠，
在OBF ∆和ACB ∆中，
BAC BOF ACB OBF BC BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ()OBF ACB AAS ∴∆≅∆，
AC OB =∴，
同理：ACB PGC ∆≅∆，
PC AB ∴=，
OA AP ∴=，
所以，矩形AOLP 是正方形，
边长347AO AB AC =+=+=，
所以，3710KL =+=，4711LM =+=，
因此，矩形KLMJ 的面积为1011110⨯=，
故选B ．
【点睛】
本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键．
11．A
解析：A
【分析】
先计算AB 2=2890000，BC 2=640000，AC 2=2250000，可得BC 2+AC 2=AB 2，那么△ABC 是直角三角形，而直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而可确定P 点的位置．
【详解】
解：如图
∵AB 2=2890000，BC 2=640000，AC 2=2250000
∴BC 2+AC 2=AB 2，
∴△ABC 是直角三角形，
∴活动中心P 应在斜边AB 的中点．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理．解题的关键是证明△ABC 是直角三角形．
12．C
解析：C
【分析】
设1S ，2S ，3S 对应的边长为1L ，2L ，3L ，根据题意，通过等边三角形和勾股定理的性
质，得23L ，从而计算得到3S ；设4S ，5S ，6
S 对应的边长为4L ，5L ，6L ，通过圆形面积和勾股定理性质，得24L ，从而计算得到4S ，即可得到答案．
【详解】
分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为1S ，2S ，3S
则1S ，2S ，3S 对应的边长设为1L ，2L ，3L
根据题意得：21111116224
S L L L ===
222454
S L == ∴2
1L =，22L =∵222132L L L += ∴222
32129L L L =-=
∴2
332929S === 以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为4S ，5S ，6
S 则4S ，5S ，6
S 对应的边长设为4L ，5L ，6L 根据题意得：2255511228
L S L ππ⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭ 2266614228
L S L ππ⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭ ∴258
11L π=⨯，268
14L π=⨯
∵222564L L L += ∴()22245688111425L L L ππ=+=
⨯+=⨯ ∴2448S 252588L π
π
π==⨯
⨯= ∴43292554S S +=+=
故选：C ．
【点睛】
本题考查了勾股定理、等边三角形、圆形面积的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、等边三角形面积计算的性质，从而完成求解．
13．B
解析：B
【分析】
根据勾股定理的逆定理分别计算各个选项，选出正确的答案．
【详解】
A 、22272425+=，能组成直角三角形，故正确；
B 、222
11145222⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，不能组成直角三角形，故错误； C 、222345+=，能组成直角三角形，故正确； D 、22
21147822⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，能组成直角三角形，故正确； 故选：B ．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理：已知三角形ABC 的三边满足a 2+b 2=c 2，则三角形ABC 是直角三角形． 14．C
解析：C
【分析】
设EC=x ，DC=y ，则直角△BCE 中，x 2+4y 2=BE 2=16，在直角△ADC 中，4x 2+y 2=AD 2=49，由方程组可求得x 2+y 2，在直角△ABC 中，2244AB
x y 【详解】
解：设EC=x ，DC=y ，∠ACB=90°，
∵D 、E 分别是BC 、AC 的中点，
∴AC=2EC=2x ，BC=2DC=2y ，
∴在直角△BCE 中，CE 2+BC 2=x 2+4y 2=BE 2=16
在直角△ADC 中，AC 2+CD 2=4x 2+y 2=AD 2=49，
∴2255164965x y ，即2213x y +=，
在直角△ABC 中，2244413213AB x y ．
故选：C ．
【点睛】 本题考查了勾股定理的灵活运用，考查了中点的定义，本题中根据直角△BCE 和直角△ADC 求得22x y +的值是解题的关键．
15．B
解析：B
【分析】
如图，作CD ⊥AB 于点D ，由题意可得△ABC 是等边三角形，从而可得BD 、OD 的长，然后根据勾股定理即可求出CD 与OC 的长，进而可得OM 的长，于是可得答案．
【详解】
解：∵点A 和点B 在数轴上对应的数分别是4和2，
∴OB=2，OA=4，
如图，作CD ⊥AB 于点D ，则由题意得：CA=CB=AB=2，
∴△ABC 是等边三角形，
∴BD=AD=112
AB =， ∴OD=OB+BD=3，223CD BC BD =-=，
∴()22223323OC OD CD =+=+
=，
∴OM=OC=23，
∴点M 对应的数为23．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了实数与数轴、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，属于常见题型，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键．
16．A
解析：A
【分析】
求出两小边的平方和、最长边的平方,看看是否相等即可.
【详解】
A 、12+22=32
∴以1、2、3为边组成的三角形是直角三角形,故本选项正确;
B、22+32≠42
∴以2、3、4为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误;
C、12+22≠32
∴以1、2、3为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误;
D、42+52≠62
∴以4、5、6为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误;
故选A..
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理应用，掌握勾股定理逆定理的内容就解答本题的关键. 17．B
解析：B
【分析】
将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可．
【详解】
解：如图，AB＝22
++=．
(24)2210
故选：B．
【点睛】
此题求最短路径，我们将平面展开，组成一个直角三角形，利用勾股定理求出斜边就可以了．
18．B
解析：B
【分析】
依据作图即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，进而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形．
【详解】
如图所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形就是直角三角形．
19．D
解析：D
【分析】
根据直角三角形的判定，符合a 2+b 2＝c 2即可；反之不符合的不能构成直角三角形．
【详解】
解：A 、因为92+402＝412，故能构成直角三角形；
B 、因为52+52=(252
，故能构成直角三角形； C 、因为()()()222345x x x +=，故能构成直角三角形；
D 、因为112+122≠152，故不能构成直角三角形；
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，当三角形中三边满足222a b c +=关系时，则三角形为直角三角形．
20．C
解析：C
【分析】
先根据勾股定理的逆定理证明△ABC 是直角三角形，根据垂直平分线的性质证得AD=BD ，由此根据勾股定理求出CD.
【详解】
∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴2222228610AC BC AB +=+==,
∴△ABC 是直角三角形，且∠C=90°，
∵DE 垂直平分AB ，
∴AD=BD ，
在Rt △BCD 中，222BD BC CD =+ ,
∴222(8)6CD CD -=+,
解得CD=7
4
，
故选：C.
【点睛】
此题考查勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，题中证得△ABC是直角三角形，且∠C=90°是解题的关键，再利用勾股定理求解.。