八年级数学下册 18.1《勾股定理逆定理的应用(三)》课

课案（教师用）
勾股定理的逆定理（第三课时）
（新授课）
【理论支持】
《勾股定理》是人教版新课标第十八章第一节的内容，是中学数学几个重要定理之一。

勾股定理的发现、验证和应用蕴含着丰富的文化价值，它在理论上占有重要地位，学好本节至关重要。

勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一，它揭示了一个三角形三条边之间的数量关系，它可以解决直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要根据之一，在实际生活中用途很大。

教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和分析问题的能力，通过实际分析、拼图等活动，使学生获得较为直观的印象；通过联系和比较，理解勾股定理，以利于正确的进行运用。

布鲁纳认为，学生应该在教师的启发引导下按自己观察事物的特殊方式去表现学科知识的结构，借助于教师或教师提供的其他材料去发现事物。

另外，对于本课的学习要让学生在合作交流与自主探究的氛围中学习。

教师的角色要面向数学学习活动组织者、引导者和合作者转移。

利用网络开展自主性学习是一个构建在网络探究学习方式下的教学设计，它是以建构主义学习理论为指导的教学设计。

《数学课程标准》指出：本学段（7-9年级）的教学应结合具体的数学内容采用“问题情境-建立模型---解释、应用与拓展”的模式展开，让学生经历知识的形成与应用的过程。

本课是勾股定理及其逆定理的综合运用，是勾股定理的进一步延伸。

教学中应强调让学生经历知识的形成与应用的过程，鼓励学生的自主探索与合作交流，以学生自主探索为主，并强调同桌之间的合作与交流，强化应用意识，培养学生的多方面能力。

【教学目标】
【教学重难点】
1. 重点：用勾股定理及逆定理解综合题
2. 难点：用勾股定理及逆定理解综合题
【课时安排】
一课时
【教学设计】
课前延伸
一、基础知识填空及答案
1、若直角三角形两直角边分别为6和8，则斜边为___________；
2、已知两条线的长为5cm和4cm，当第三条线段的长为_________时，这三条线段能组成一个直角三角形；
3、能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数。

请你写出三组勾股数：_________________________；
4、将一个直角三角形两直角边同时扩大到原来的两倍，则斜边扩大到原来的（）
A、4倍
B、2倍
C、不变
D、无法确定
【答案】
（1）10
（2）3或41
（3）3、4、5；6、8、10；9、12、15等等．
（4）B
【设计说明】
通过对前面所学知识习题的练习，进一步加深对性质定理及其逆定理的认识。

心理学认为：认知从感知开始，感知是认知的门户，是一切知识的来源．本题所选的题目是引导学生通过预习新课，初步感知本题课涉及到的一些基本概念．
二、预习思考题及答案
如图，∠C=90°,AC=3，BC=4，AD=12，BD=13，试判断△ABD的形状，并说明理由
【答案】
直角三角形
【设计说明】
引导学生不由自主地用勾股定理及其逆定理解决此问题，从而为进入本课的学习做好心理上准备。

课内探究
一、导入新课：
1．创设情境，回顾勾股定理及其逆定理。

(1). 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；如果两条直角边长为a 、
b ，斜边长为
c ，则c 2＝a 2＋b 2。

(2) 由勾股定理已知直角三角形任意两边可求第三边。

(3). 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 有下列关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个
三角形为直角三角形。

（4）. 运用勾股定理的逆定理可用来判定直角三角形或用来确定直角。

【设计说明】主要是对勾股定理及其逆定理内容的复习，加深学生对勾股定理使用的前提条
件：直角三角形中；注意点：两直角边的平方和等于斜边的平方。

另外，让学
生加深知道运用勾股定理的逆定理可用来判定直角三角形或用来确定直角，为
下面用勾股定理及其逆定理解决较为复杂的问题作铺垫。

2．揭示课题，整理概念，板书
勾股定理的概念
勾股定理的逆定理概念
二、检查预习情况：明确检查方法
学生口答后论证。

三、布置学生自学：
1.学生自主探究题：
1、判断由线段a 、b 、c 组成的三角形是不是直角三角形：
⑴a ＝7，b ＝24，c ＝25 （ ）
⑵a=3,b =7,c =40 （ ）
⑶a =45,b =1,c =3
2 （ ） 【点拨方法】
①学生的解题是否规范； ②是不是用两条较短边长的平方和与较长边长的平方进行比较；③是否正确理解勾股数的概念。

【参考答案】 1.（1）√ （2）√ （3）×
【设计说明】此题让学生自己分析讨论，模拟完成。

让学生学会动手。

2、已知△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C ，的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a +24b +26c ，
试判断△ABC 的形状。

【点拨方法】
“遇到平方想配方”，即遇到平方关系，设法配成完全平方式。

通常可达到目的，根据本例的题设条件，出现上述所说的特征，应立即对题设进行配方变换
【参考答案】
（a 2－10a ＋25）＋（b 2－24b ＋144）＋（c 2－26c ＋169）＝0
（a －5）2＋（b －12）2＋（c －13）2
＝0
∴（a －5）2＝0，（b －12）2＝0，（c －13）2＝0
∴a ＝5 b ＝12 c ＝13 ∴52＋122＝25＋144＝169＝132
∴a2＋b2＝c2，由勾股定理逆定理知：
∴△ABC是直角三角形。

【设计说明】从已知条件的形式上让学生在运用中理解勾股定理．让学生进一步理解勾股定理的功能．
3、如果一个三角形的三边长分别为a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2（m＞n），则这个三角形是直角三角形。

【点拨方法】
运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形，关键是要判断那一条边最长。

【参考答案】已知△ABC中，a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2
求证：∠C＝90°
证明：∵a2＋b2＝（m2－n2）2＋（2mn）2
＝m4－2m2n2＋n4＋4m2n2
＝m4＋2m2n2＋n4
＝（m2＋n2）2
∴a2＋b2＝c2
∴∠C＝90°（勾股定理的逆定理）
【设计说明】进一步加深对字母形式表示数量关系的理解，同时加强对勾股定理的逆定理的熟练运用。

2.小组合作探究题：
（1）如图，已知四边形ABCD的四边AB、BC、CD和DA的长分别为3、4、13、12，∠CBA＝90°，求S四边形ABCD
【点拨方法】此题可先进行小组讨论，启发遇到四边形问题，通常是连对角线转化为三角形问题，对本例连对角线AC为佳，因∠CBA＝90°，便出现了直角三角形ABC，由勾股定理可求出AC, 从而连结AC,再利用勾股定理,就易求出AC边长；最后整个四边形ABCD面积就为△ABC和△ACD的面积之和。

【参考答案】
AC2＝AB2＋BC2＝32＋42＝25
在△CAD中，
AC2＋AD2＝25＋122＝169
DC2＝132＝169
∴AC2＋AD2＝CD2
∴△ACD为Rt△，且∠DAC＝90°
S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD
（2）已知：△ABC中，∠BAC＝120°，∠ABC＝15°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，那么a∶b∶c＝（本题结果保留根号）
【点拨方法】思路分析：本例题设告知∠BAC＝120°，很容易想到它的邻补角为60°，它已隐含告知我们构造一个含30°的特殊直角三角形。

这时，只要过B作
BD⊥CA交其延长线于点D，含30°的直角三角形便出现了。

如图，设AD＝1，则AB＝2，由勾股定理，得
【参考答案】
又∠BAC＝120°，∠ABC＝15°∴∠ACB＝45°
∵∠D＝90°∴∠DBC＝45°
∴∠DCB＝∠DBC CD＝DB＝
3
∴b＝AC＝CD－AD＝1
在Rt△BCD中，由勾股定理，得
（3）已知：如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，又AB＝12，EF＝10，△AEF 的面积等于五边形EBCDF面积的1/5，求AE，AF的长。

【点拨方法】此题是一道需要技巧处理的典型好题，可现有学生组内讨论，鼓励学生大胆想象，发挥小组集体智慧设计出合理的解题方法。

【参考答案】
△AEF为Rt△用勾股定理，
EF2＝AE2＋AF2
设AE＝x，AF＝y，又EF2＝100，则x2＋y2＝100 ①
本例未告知AF，AE谁大，所以应取两解。

四、教师精讲点拨：
1.知识点辨析：
(1). 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；如果两条直角边长为a、b，斜边长为c，则c2＝a2＋b2。

(2) 由勾股定理已知直角三角形任意两边可求第三边。

(3). 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 有下列关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个
三角形为直角三角形。

2.探究题评析：
（1）判定一个三角形是否是直角形，用定义，即证明三角形中有一个角有直角，或者一个三角形中有两条边互相垂直，这是已学过的两种方法，现又增加判定一个三角形是否是直角三角形的新方法——应用勾股定理逆定理，用代数法计算一下三边的关系，便可果断作出判
（2）体会并掌握勾股定理及其逆定理的综合运用,它们是一组黄金搭档。

3．规律总结：
遇到直角三角形想到勾股定理；而要判断是直角三角形则要想到其逆定理。

4．方法指导
整体、分类的思想方法。

五、课堂反馈训练：
1.△ABC 中，AC +BC =4，AC ·BC =1，14=AB ，CD ⊥AB 于D .AB 中点为E ，求DE
【参考答案】AC 2+BC 2=(AC +BC )2-2AC ·BC =16-2=14=AB 2
∴△ABC 为Rt△ CD 为斜边上的高，CE 为中线 ∴214=CE ，14
14=⋅=AB BC AC CD . 724141414222=-=-=CD CE DE ∴427
2=DE . 【讲评策略】操作投影仪，引导学生解决问题，请两位学生到黑板板演，其他学生在下面做
2．CD 为△ABC 的边AB 上的高，且CD 2=AD ·BD ∠A =60°(图 3.17-5)，求证
AB AC AD 4
121==.
【参考答案】 AC 2=CD 2+AD 2 BC 2=CD 2+BD 2 ∴AC 2+BC 2=AD 2+BD 2+2CD 2；∵2CD 2=2AD ·BD
∴AC 2+BC 2=AD 2+BD 2+2AD ·BD =AB 2 ∴△ABC 为Rt△.
∵∠A =60° ∴∠B =30° ∴AB AC AD 4
121==.
【讲评策略】操作投影仪，请两位学生到黑板板演，其他学生在下面做，然后讲评．
3．四边形ABCD 中，AB =7，BC =24，CD =20，对角线AC =25，E 为AC 的中点且EB =ED .求边AD 及四边形ABCD 面积.
【参考答案】.72+242=252 ∵AB =7,BC =24,AC =25 ∴AB 2+BC 2=AC 2. ∠ABC =90° AE =EC ∴DE AC BE ==21. ∴DE =EA =EC . ∴∠ADC =90° AD 2=AC 2-CD 2=252-202=225 AD =15.SABCD =()23415084152024721=+=⨯+⨯.
【讲评策略】由学生在下面自行完成，并让学生在下面自由说出自己的答案
课后提升
一、课后练习题及答案:
1．等腰三角形ABC 底边上的高BC AD 2
1=，2=AB ，则△ABC 面积为( ) A.2 B.1 C.2 D.4
【参考答案】B
2．CD 为△ABC 的高且∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3,AB =m ,则CD 等于( )
A.2m
B.m 43
C.4
m D. m 23
【参考答案】B
3．有一块四边形地ABCD (如图3.17-7)∠B =90°,AB =4m ,BC =3m ,CD =12m ,DA =13m ,求该四边形地ABCD 的面积？
【参考答案】36平方米
【设计说明】在学生充分理解的基础上，联系实际拓展勾股定理的内涵，为实际问题建立模型做铺垫．
二、课后练习题情况反馈：
教师对课后练习题进行批改检查，然后将具体情况记录在教案上，主要包括整体完成情况、学生答题存在的主要问题及形成原因，同时设计适量的有针对性的变式训练及时纠偏。