四川省高二上学期期末教学质量检测数学(文)试题(解析版)

高二上学期期末教学质量检测数学（文）试题
一、单选题
1．平面∥平面，，则直线和的位置关系（ ） αβ,a b αβ⊂⊂a b A ．平行 B ．平行或异面
C ．平行或相交
D ．平行或相交或异面
【答案】B
【解析】利用平面∥平面，可得平面与平面没有公共点，根据，可得直线，
αβαβ,a b αβ⊂⊂a 没有公共点，即可得到结论．
b 【详解】∵平面平面，∴平面与平面没有公共点 //αβαβ∵，，∴直线，没有公共点 a α⊂b β⊂a b ∴直线，的位置关系是平行或异面， a b 故选：B.
2．双曲线的左、右焦点坐标分别是 ，虚轴长为4，则双曲线的标准方程是( )
()()123,03,0F F -，A ．
B ．
22
154
x y -=22
154y x -=C ．
D ．
22
1134x y -=22
1916
x y -=【答案】A
【分析】根据双曲线的几何性质即可求解的值.
,,a b c 【详解】由题意，双曲线的左、右焦点坐标分别是，所以， 12(3,0),(3,0)F F -3c =
又虚轴长为，则，所以，所以，
4
24b =2b =a 所以双曲线的标准方程为，
22
154
x y -=故选：A.
3．已知表示两条不同直线,表示平面,下列说法正确的是 ,m n αA ．若,则 B ．若,则 ,m n ααA A m n A ,m n αα⊥∥m n ⊥C ．若,则 D ．若，则
,m m n α⊥⊥n α⊥,m n m α⊥∥n αA 【答案】B
【分析】根据直线与平面的位置关系，可判定A ，利用线面垂直的性质，可判定B ；根据线面垂直的性质和直线与平面的位置关系，可判定C 、D ，得到答案.
【详解】由题意，对于A 中，若,则与相交、平行或异面，所以不正确； ,m n ααA A m n 对于B 中，若,根据线面垂直的性质可知是正确的；
,m n αα⊥∥m n ⊥
对于C 中，若,则与平行、相交或在平面内，所以不正确； ,m m n α⊥⊥n α对于D 中，若，则与的位置关系不确定，所以不正确，故选B.
,m n m α⊥∥n α【点睛】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定，其中解答中熟记空间中线面位置关系的判定定理和线面垂直的性质是解答本题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 4．设命题则为（ ）
210p x R x ∀∈+>：，，p ⌝A ． B ． C ． D ．
20010x R x ∃∈+>，20010x R x ∃∈+≤，20010x R x ∃∈+<，2
0010x R x ∀∈+≤，【答案】B
【分析】根据全称命题的否定是特称命题求解即可. 【详解】∵命题，
2:,10p x R x ∀∈+>∴为:，
p ⌝2
00,10x R x ∃∈+≤故选:B ．
5．已知椭圆的两个焦点是，点在椭圆上，若，则的面积
22
142x y +=12F F 、P 12||||2PF PF -=12PF F ∆是
A B
C D
1+1【答案】D
【详解】，可得，
22
12+1,4,242x y PF PF c =∴+== 122PF PF -= 123,1PF PF ==
，是直角三角形，的面积，故选
(2219+= 21PF F ∴∆12PF F ∴∆21211
122
PF F F ⨯=⨯⨯=D.
6．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是
A ．32
B ．16+
C ．48
D
．16+【答案】B
【详解】由题意知原几何体是正四棱锥，其中正四棱锥的高为2，底面是一个边长为4的正方形，过顶点向底面做垂线，垂线段长是2，过底面的中心向长度是4的边做垂线，连接垂足与顶点，得到直角三角形，得到斜高是2
，所以四个侧面积是
，底面面积为
，所以该四棱锥的表面积是16+，故选B ．
点评：本题考查由三视图求几何体的表面积，做此题型的关键是正确还原几何体及几何体的棱的长度.
7．已知为椭圆上的点，点到椭圆焦点的距离的最小值为，最大值为
P 22
22:1(0)x y C a b a b +=>>P 21，则椭圆的离心率为（ ）
8A ．
B ．
C ．
D ．
3
545
5453
【答案】B
【分析】根据点到椭圆焦点的距离的最小值为，最大值为18，列出a ,c 的方程组，进而解出P 2a ,c ，最后求出离心率.
【详解】因为点到椭圆焦点的距离的最小值为，最大值为18，
P 2所以，
210
188a c a a c c -==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩所以椭圆的离心率为：. 4
5
c e a ==故选：B.
8．在长方体中，，，为的中点，则异面直线与1111ABCD A B C D -12AB AA ==1AD =E 1CC 1BC AE 所成角的余弦值为 （ ）
A B C D 【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系结合空间向量的数量积即可求解.
【详解】解：由题意，在长方体中，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系
D
由题知，，为的中点,则
12AB AA ==1AD =E 1CC ，，，
()1,0,0A ()1,2,0B ()10,2,2C ()0,2,1E 所以， ()1,2,1AE =-
()11,0,2BC =- 设直线与所成角为，则
1BC AE α
1
1
cos AE BC AE BC α⋅
==
=
= 所以直线与1BC AE 故选：B. 9．不等式
成立的一个充分不必要条件是( )． 1
21
x x +>-A ． B ． C ． D ．
12x <<13x <<3x <2x <【答案】A 【详解】不等式化为，即，解得不1
21x x +>-()()21101
x x x --+<-()()30,1301x x x x -<∴--<-13,x <<等式
成立的充要条件是所以不等式成立的一个充分不必要条件是121x x +>-13,x <<1
21
x x +>-12x <<，故选A.
【方法点睛】本题通过分式不等式的解集主要考查充分条件与必要条件，属于中档题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试
p q .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可
,p q q p ⇒⇒利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 10．已知点P 是抛物线上的-个动点，则点P 到点A(0, 1)的距离与点P 到y 轴的距离之和2
14
x y =的最小值为
A ．2 B
C
D
11【答案】C 【详解】抛物线，可得：y 2=4x ，抛物线的焦点坐标（1，0）． 2
14
x y =
依题点P 到点A （0，1）的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值，就是P 到（0，1）与P 到该抛物线准线的距离的和减去1．
由抛物线的定义，可得则点P 到点A （0
，1）的距离与P 到该抛物线焦点坐标的距离之和减1，
．
1故选C ．
11．已知为坐标原点，双曲线：的右焦点为，直线过点且与的右支交于O C 2
2
13y x -=F l F C M
，两点，若，，则直线的斜率为（ ）
N 2OM ON OA += 8OA OF
⋅=
l
k A ． B ．C ．
D ．
2±±3±【答案】B
【分析】根据点差法，结合平面向量坐标表示公式、斜率的公式进行求解即可.
【详解】设，，，由题可知，是线段的中点，
()11,M x y ()22,N x y ()00,A x y ()2,0F A MN ，∴，∵，分别是双曲线右支上的点，∴两式相减并整理得028OA OF x ⋅== 04x =M N 22112
2221,3
1,3y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，∴，即， ()()()()1212121203
y y y y x x x x +-+--=002203
y k x ⋅-=0403y k ⋅-=又
，∴，∴
00
022AF
y y k k x ===-0y =±k =故选：B
【点睛】关键点睛：应用点差法，结合平面向量运算的坐标表示公式是解题的关键.
12．已知椭圆C ：，为左右焦点，点
在椭圆C 上，的重
22
221(0)x y a b a b
+=>>12,F F P 12F PF △心为，内心为，且有（为实数）
，则椭圆方程为( ) G I 12IG F F λ=
λA ．
B ．
22
186
x y +=22
1164
x y +=C ．
D ．
22
519
27x y +=22
1105
x y +=【答案】A
【分析】根据内心及重心的性质，可知点距，再利用等面积法建立关于与的I x a c
等式，再利用点在椭圆C 上可求解.
P
【详解】设点距，则点距P x 12//IG F F I x 12,,F I F I PI
，则，
12111
222
F PF S F c =⨯=⨯=A
， 121212121||2F PF F IF F IP F IP S S S S F F =++=⨯A A A A 121(||||)(2PF PF a c ⨯+=+
所以，所以，
(,2a c a c b +=⇒=⇒=2
22431243c c c +=⇒=所以椭圆方程为．
22
186
x y +=故选：A
二、填空题
13．若抛物线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等，则___________. 22y px =(1,0)=1x -p =【答案】
2【分析】直接由抛物线的定义求解即可. 【详解】由抛物线的定义可得，解得. 12
p
=2p =故答案为：2.
14．已知直线与圆相切，则a 的值为_____________. 340x y a ++=221x y +=【答案】
5±【解析】利用圆心到直线的距离，直接求的值. d r =a 【详解】由题意可知圆心到直线的距离，
d r =
1d ∴=
=解得：. 5a =±故答案为：
5±【点睛】本题考查直线与圆的位置相切，求参数，属于简单题型.
15．设点，分别为椭圆C ：的左，右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得
1F 2F 2
214
x
y +=P C 成立的点恰好是4个，则实数的一个取值可以为_________．
12PF PF m ⋅=
m 【答案】0（答案不唯一）
【分析】当时，说明椭圆上存在4点满足条件. 120PF PF ⋅=
【详解】当时，，则,
0m =120PF PF ⋅= 12PF PF ⊥
由椭圆方程可知，，，，因为，所以以为直径的圆与椭圆有4个交点，
24a =21b =23c =c b >12F F 使得成立的点恰好有4个，所以实数的一个取值可以为0.
120PF PF ⋅=
m 故答案为：0（答案不唯一）
16．在四面体中，，则该四面体的外接A BCD -5,3,4,60AB BC CD DB AC ACD ∠====== 球的体积为__________. 【答案】
125
π6
【分析】由已知，利用余弦定理得AD ，得，确定四面体外接球222AB BC AC =+222AB BD AD =+的直径为AB ，即可计算球的体积.
【详解】因为，所以,所以.在中
5,3,4AB BC AC ===222AB BC AC =+BC AC ⊥ACD A ,
3,4,60CD AC ACD ==∠=
由余弦定理，又,
2224324cos 6013AD =+-=BD =222AB BD AD =+所以，所以AB 是两个圆的直径，所以AB 是四面体A-BCD 的外接球的直径，，
BD AD ⊥25R =，所以该四面体的外接球的体积为.
52
R =3
454125125πππ32386V ⎛⎫=== ⎪⎝⎭故答案为:
. 125
π6
三、解答题
17．已知方程表示圆;方程表示焦点在轴上的椭圆.
:p 22240x y y m +-+=:q 22
13
x y
m
+=x （1）若为真命题,求实数的取值范围;
p m （2）若“”为假,“”为真,求实数的取值范围. p q ∧p q ∨m 【答案】（1）（2）
22m -<<2023m m -<≤≤<或【分析】（1）整理圆的方程：，根据，即可求解；
()2
2224x y m +-=-240m ->（2）根据椭圆的标准方程，求得为真时，，再根据一真一假，分类讨论，即可求q 03m <<,p q 解.
【详解】（1）整理圆的方程：
()2
2224x y m +-=-
若为真，则 p 22m -<<（2）若为真，则 q 03m <<由题可知，一真一假
,p q 故“真假”时，
p q 22
03m m m -<<⎧⎨≤≥⎩或则
20m -<≤“真假”时，
q p 22
03
m m m ≤-≥⎧
⎨<<⎩或则
23m ≤<综上，
2023m m -<≤≤<或【点睛】本题主要考查了利用简单的复合命题的真假求解参数问题，其中解答中正确求解命题,p q ，再根据复合命题的真假，分类讨论求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
18．已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上. C O ()4,0x (1)求圆的方程；
C
(2)设直线经过点，且与圆相交所得弦长为的方程. l ()1,2l C l 【答案】(1) ()2
224x y -+=(2)或. 10x -=34110x y +-=
【分析】（1）设圆的方程为，再利用待定系数法求出，即可得解； C ()()2
220x a y r r -+=>,a r （2）分类讨论直线的斜率存在与不存在两种情况，结合弦长公式及点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）依题意，设圆的方程为，
C ()()2
220x a y r r -+=>则有，解得， ()22
224a r a r ⎧=⎪⎨-=⎪⎩
224a r =⎧⎨=⎩所以圆的方程为；
C ()2
224x y -+=
（2）由弦长公式知， ==1d =即圆心到直线的距离为1， ()2,0C l 当直线斜率不存在时，即符合题意，
l 1x =
当直线斜率存在时，设直线方程为，即，
l 2(1)y k x -=-20kx y k --+=
，解得，
1=34k =-所以直线的方程为，即，
l 3
2(1)4y x -=--34110x y +-=综上，直线的方程为或.
l 10x -=34110x y +-=19．如图所示,在四棱锥中,四边形是正方形,点分别是线段的中点.
C ABE
D -ABED ,G F ,EC BD
（1）求证：;
//GF ABC 平面（2）线段上是否存在一点,使得面面,若存在，请找出点并证明;若不存在,请说BC H GFH ∥ACD H 明理由.
【答案】（1）见证明；(2)见解析
【分析】（1）由四边形为正方形可知，连接必与相交于中点，证得，利ABED AE BD F GF AC A 用线面平行的判定定理，即可得到面；
GF A ABC （2）由点分别为中点，得，由线面平行的判定定理，证得面
,G H ,CE CB GH EB AD ∥∥GH A ，由面面平行的判定定理，即可得到证明.
ACD 【详解】（1）证明：由四边形为正方形可知，连接必与相交于中点 ABED AE BD F 故 GF AC A ∵面 GF ⊄ABC ∴面
GF A ABC （2）线段上存在一点满足题意，且点是中点 BC H H BC 理由如下：由点分别为中点可得： ,G H ,CE CB
GH EB AD A A ∵面 GH ⊄ACD ∴面
GH A ACD 由（1）可知，面 GF A ACD 且 GF GH G ⋂=故面面
GFH A ACD
【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直，着重考查了推理与论证能力．
20．已知在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过焦点的
xOy 22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>12(1,0)F 直线与椭圆交于两点. l ,A B (1)求椭圆的标准方程；
C (2)从下面两个条件中任选其一作为已知，证明另一个成立：
①；②直线的斜率满足：.
415=AB l k 2
14
k =【答案】(1)
22
143
x y +=(2)答案见解析
【分析】（1）由椭圆的性质求解，
（2）联立直线与椭圆方程公式，由弦长公式与韦达定理化简求解，
【详解】（
1）依题意，有：，则 1
21c a c ⎧=
⎪⎨⎪=⎩21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩故椭圆的标准方程为：·
22
143
x y +=（2）选①作为已知：
当直线斜率不存在时，与椭圆交点为，此时，不合题意，
:1l x =3
(1,)2
±41215=≠AB 当直线斜率存在时，设，联立，有：，
:l y kx k =-22::143l y kx k x y C =-⎧⎪
⎨+
=⎪⎩2222(43)84120k x k x k +-+-=，
22222(8)4(43)(412)169(
1)∆=--+-=⋅+k
k k k ， 22
1
1243
+=⋅+k k 令，则有：，
154AB =2222151
1220151616443
+=⋅⇒+=++k k k k 解得，
2
14
k =选②作为已知：
依题意，，则直线，
1
2k =±1:(1)2
=±-l y x
联立，有， ()22112:143y x x y C ⎧=±-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
242110x x --=，
2(2)44(11)180∆=--⨯⨯-=
， 154=即
415=AB 21．如图，在底面为矩形的四棱锥中，. P ABCD -PB AB ⊥（1）证明：平面平面；
PBC ⊥PCD （2）若，平面平面，求三棱锥
与三棱锥的表面443
PB AB BC =
==PAB ⊥ABCD A PBD -P BCD -积之差.
【答案】(1)见解析；(2).
8【详解】试题分析：
(1)由题中的几何关系可证得平面，结合面面垂直的判断定理即可证得平面CD
⊥PBC 平面；
PBC ⊥PCD (2)由题意分别求得三棱锥与三棱锥的表面积，两者做差可得结果为A PBD -P BCD -.
8试题解析：
（1）证明：由已知四边形为矩形，得，
ABCD AB BC ⊥∵，，∴平面.
PB AB ⊥PB BC B ⋂=AB ⊥PBC 又，∴平面.
//CD AB CD ⊥PBC ∵平面，∴平面平面.
CD ⊂PCD PBC ⊥PCD （2）解：∵平面平面，平面平面 ，， PAB ⊥ABCD PAB ⊥ABCD AB =AD
AB ⊥∴平面
，∴，∴的面积为AD ⊥PAB AD PA ⊥PAD ∆132
⨯⨯=又，∴平面，∴，∴的面积为. //AD BC BC ⊥PAB BC PB ⊥PBC ∆1
4362⨯⨯=
又平面，∴，∴的面积为. CD ⊥PBC CD PC ⊥PCD ∆1
4102
⨯=又，∴的面积为8.
PB AB ⊥PAB ∆而的面积与的面积相等，且三棱锥与三棱锥的公共面为ABD ∆BCD ∆P BCD -A PBD -，
PBD ∆
∴三棱锥与三棱锥的表面积之差为. A PBD -P BCD -(()81068+-+=22．已知以坐标原点为圆心的圆与抛物线：相交于不同的两点，与抛物线O C 22(0)y px p =>,A B 的准线相交于不同的两点，且.
C ,
D
E 4AB DE ==（1）求抛物线的方程；
C （2）若不经过坐标原点的直线与抛物线相交于不同的两点，且满足.证明直
O l C ,M N OM ON ⊥ 线过轴上一定点，并求出点的坐标.
l x Q Q 【答案】（1）；（5.2) 直线过定点.
24y x =l ()4,0Q 【详解】试题分析：（1）由，得两点所在的直线方程为，进而根据长度求得AB DE =,A B 2
p x =
； p （2）设直线的方程为，与抛物线联立得，
l ()0x my n n =+≠()()1122,,,M x y N x y ，2440y my n --=由得，进而利用韦达定理求解即可.
OM ON ⊥ 12120x x y y +=试题解析：
（1）由已知，，则两点所在的直线方程为 4AB DE ==,A B 2
p x =
则，故
24AB p ==2p =∴抛物线的方程为.
C 24y x =（2）由题意，直线不与轴垂直，设直线的方程为， l y l ()0x my n n =+≠.
()()1122,,,M x y N x y 联立消去，得. 24x my n y x
=+⎧⎨=⎩x 2440y my n --=∴，，，
216160m n ∆=+>124y y m +=124y y n =-∵，∴
OM ON ⊥ 12120x x y y +=又，
2211224,4y x y x ==
∴ 22121216
y y x x =∴ 222121212124016
y y x x y y y y n n +=+=-=解得或
0n =4n =而，∴（此时）
0n ≠4n =216160m n ∆=+>∴直线的方程为，
l 4x my =+故直线过轴上一定点.
l x ()4,0Q 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.。