2008年普通高等学校招生全国统一考试数学文史类(湖北卷)

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学文史类（湖北卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设(1,2),(3,4),(3,2),(2)a b c a b c =-=-=+=则
A ．(15,12)- B.0 C.-3 D ．-11
2．10
32122x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中常数项是
A ．210
B ．
105
2
C ．
14
D ．-105
3．若集合{1,2,3,4},{05,},P Q x x x R ==<<∈则 A ．“x R ∈”是“x Q ∈”的充分条件但不是必要条件 B ．“x R ∈”是“x Q ∈”的必要条件但不是充分条件 C ．“x R ∈”是“x Q ∈”的充要条件
D ．“x R ∈”既不是“x Q ∈”的充分条件也不是“x Q ∈”的必要条件 4．用与球必距离为1的平面去截面面积为π，则球的体积为 A ．
323
π
B ．83π
C ．82π
D ．
823π
5．在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式组,
1x y x ⎧≤⎪⎨⎪⎩
的点(,)x y 的集合用阴影表示为
下列图中的
6．已知()f x 在R 上是奇函数，且(4)()f x f x +=，当(0,2)x ∈时，2()2f x x =，则
(7)f =
A ．-2
B ．2
C ．-98
D ．98
7．将函数sin()y x θ=-的图象F 向右平移3
π
个单位长度得到图象F ′，若F ′的一条对称轴是直线4
,x π
=则θ的一个可能取值是
A ．
512π B ．512
π-
C ．
11π12
D ．1112
π-
8．函数221
()1(32)34f x n x x x x x
=
-++--+的定义域为 A ．(,4][2,)-∞-+∞ B ．(4,0)(0,1)-⋃ C ．[4,0)(0,1]- D ．[4,0)(0,1]-⋃
9．从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为 A ．100
B ．110
C ．120
D ．180
10．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122;a c a c +=+②1122;a c a c -=-③1212;c a a c >④12
12
.c c a a <其中正确式子的序号是
A ．①③
B ．②③
C ．①④
D ．②④
二、填空题
11．一个公司共有1 000名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为50的样本，已知某部门有200名员工，那么从该部门抽取的工人数是 .
12．.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知3,3,30,a b c =
==︒则
A ＝__________.
13．方程223x x -+=的实数解的个数为 .
14．.明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是 . 15．圆34cos ,
()24sin x C y θθθ
=+⎧⎨
=-+⎩为参数的圆心坐标为 ，和圆C 关于直线
0x y -=对称的圆C ′的普通方程是 .
三、解答题
16．（本小题满12分） 已知函数2()sin
cos cos 2.222
x x x
f x =+- （Ⅰ）将函数()f x 化简成sin()(0,0,[0,2))A x B A ωϕϕϕπ++>>∈的形式，并指出()f x 的周期；（Ⅱ）求函数17()[,
]12
f x π
π在上的最大值和最小值 17．已知函数322()1f x x mx m x =+-+（m 为常数，且m >0）有极大值9. （Ⅰ）求m 的值；
（Ⅱ）若斜率为5-的直线是曲线()y f x =的切线，求此直线方程. 18．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11.A ABB （Ⅰ）求证： ;AB BC ⊥
（Ⅱ）若1AA AC a ==，直线AC 与平面1A BC 所成的角为θ，二面角
1,.2
A BC A π
ϕθϕ--+=
的大小为求证：
19． 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm 2,四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm ），能使矩形广告面积最
小？
20．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -->>的两个焦点为
:(2,0),:(2,0),F F P -点的曲线C 上.
（1）求双曲线C 的方程；
（2）记O 为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，若△OEF
的面积为求直线l 的方程 21．（本小题满分14分）
已知数列12
{}{},13
n n x a b a an a λ=+=和满足：4,(1)(321)n n n n n b a n +-=--+,其中λ为实数，n 为正整数.
（Ⅰ）证明：当18{}n b λ≠-时，数列是等比数列；
（Ⅱ）设n S 为数列{}n b 的前n 项和，是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有
12?n S >-若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.
参考答案
1．C
【解析】 2．B 【解析】
r r+1n ()=n n r r
a b T C a b -+展开式的通项公式为：
所以10
32122x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式通项公式为
r
3101030510102111(2)()()222
r r r r r r
Tr C x C x
x ---+=-
=-. 令30-50,6r r ==得, 代入可求得选项B 3．A
【解析】 4．D
【解析】 5．C
【解析】 6．A 【分析】
根据题意可知函数()f x 的周期为4，即可利用周期性和奇偶性将(7)f 转化为()1f -，即可求出． 【详解】
∵(4)()f x f x +=，∴()f x 是以4为周期的周期函数，由于()f x 为奇函数， ∴()()()(7)74211f f f f =-⨯=-=-，而()12f =，即(7)2f =-. 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查函数周期性和奇偶性的应用，属于基础题．
【解析】
试题分析：由已知得F '的解析式为sin()3
y x π
θ=--，因为F '的一条对称轴是直线
，
所以sin(
)14
3
π
π
θ-
-=±（在对称轴处函数取最值），把选项代入验算可知选A ．
考点：1．三角函数的图像变换；2．三角函数的对称轴． 8．D
【解析】 9．B 【解析】
试题分析：10人中任选3人的组队方案有3
10120C =，
没有女生的方案有3510C =， 所以符合要求的组队方案数为110种 考点：排列、组合的实际应用 10．B 【解析】 11．10 【解析】 12．30°（或）
【详解】 【分析】
试题分析：由余弦定理可得2222cos 3933c a b ab C c =+-=+-=∴=，
所以a c =，所以30A C ︒==，故答案为：30︒ 考点：余弦定理解三角形
【解析】
因为223x x -=-,作出函数2
2,3x y y x -==-的图像，从图像可以观察到两函数的图像有两个公共点，所以方程223x x -+=的实数解的个数为2. 14．0.98 【解析】
设甲闹钟准时响为事件A ，乙闹钟准时响为事件B ，则两个闹钟没有一个准时响为事件，事件A 与事件B 相互独立，得
，
，
．两个闹钟至少有一个准
时响与事件对立，故两个闹钟至少有一个准时响的概率为．
15．（3，－2），（x ＋2）2
＋（y －3）2
＝16（或x 2
＋y 2
＋4x －6y －3＝0） 【解析】
16．（Ⅰ）同解析；（2）x =4
5π
时，f (x )有最小值－223+；当x =π时，f (x )有最大值－
2.
【解析】解：(Ⅰ)f (x )=
2
1
sin x +
23)4sin(2223)cos (sin 2122cos 1-+=-+=-+πx x x x . 故f (x )的周期为2k π｛k ∈Z 且k ≠0｝. (Ⅱ)由π≤x ≤
12
17
π，得πππ35445≤+≤x .
因为f (x )＝
23)4sin(22-+πx 在[45,ππ]上是减函数，在[12
17,45π
π]上是增函数. 故当x =
45π时，f (x )有最小值－223+；而f (π)=－2，f (12
17π)＝－466+＜－2，
所以当x =π时，f (x )有最大值－2.
17．(Ⅰ) m ＝2. （Ⅱ）5x ＋y －1＝0，或135x ＋27y －23＝0. 【详解】
（Ⅰ）322()1f x x mx m x =+-+，
22()32(3)()f x x mx m x m x m '=+-=-+，
令()0,f x x m '==-或,0,33
m m
x m m =
>∴>-， ()0,f x x m '><-或,()0,33
m m x f x m x >
'<-<<， ()f x ∴递增区间是(,),(
,)3m m -∞-+∞，递减区间是(,)3
m
m -， ,()x m f x ∴=-取得极大值为319,2m m +=∴=；
（Ⅱ）设切线的切点坐标为00(,)x y ，由（1）得，
322()241,()344f x x x x f x x x =+-+'=+-，
依题意2
000()3445f x x x '=+-=-，解得01x =-或013
x =-
， 所以切点坐标为(1,6)-或168
(,
)327
-， 所求的切线方程为65(1)y x -=-+或6815()273
y x -=-+， 即510x y +-=或13527230x y +-=
18．同解析
【解析】(Ⅰ)证明：如右图，过点A 在平面A 1ABB 1内作AD ⊥A 1B 于D ，则 由平面A 1BC ⊥侧面A 1ABB 1,且平面A 1BC ∩侧面A 1ABB 1＝A 1B ， 得AD ⊥平面
A 1BC .又BC 平面A 1BC
所以AD ⊥BC .
因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱, 则AA 1⊥底面ABC ,所以AA 1⊥BC . 又AA 1∩AD =A ,从而BC ⊥侧面A 1ABB 1, 又AB 侧面A 1ABB 1，
故AB ⊥BC .
(Ⅱ)证法1：连接CD ,则由(Ⅰ)知∠ACD 就是直线AC 与平面A 1BC 所成的角，∠ABA 1就是二面角A 1－BC －A 的颊角，即∠ACD ＝θ，∠ABA 1=. 于是在Rt ΔADC 中，sin θ=
a
AD
AC AD =
,在Rt ΔADA 1中，sin ∠AA 1D ＝a AD AA AD 1, ∴sin θ=sin ∠AA 1D ,由于θ与∠AA 1D 都是锐角，所以θ＝∠AA 1D . 又由Rt ΔA 1AB 知，∠AA 1D ＋＝∠AA 1B ＋＝
2π，故θ＋＝2
π
. 证法2：由(Ⅰ)知，以点B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设AB =c （c ＜a ＝，则B (0,0,0)，A (0,c ,0)，C (0,0,22c a -),A 1(0,c,a )，
于是)0,0,(22c a BC -=，1BA ＝（0，c,a ）,)0,,(22c c a AC --=,1AA =(0,c,a ) 设平面A 1BC 的一个法向量为n =(x,y,z ),
则由⎪
⎩⎪⎨⎧=-=+⎪⎩⎪⎨⎧==••.0,
0,0,02
21x c a az cy BC n BA n 得
可取n ＝（0，－a ，c ），
于是n ·AC =ac ＞0，AC 与n 的夹角
为锐角,则
与
互为余角sin =cos =
2
2
2
222222)()
0,,(),,0(||||c
a c c
c a c a c c a c a AC n AC n +=
+-+---=••••,
cos =
,)
,0,0(),,0(|
|||2
2
2
2
11c
a c a
c
a a c a BA BA BA BA +=
+-=
••••
所以sin =cos =sin(
ϕπ
-2
),又0＜，＜
2π，所以+=2
π
19．当广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小. 【详解】
设广告的高为宽分别为x cm ，y cm ，则每栏的高和宽分别为x －20，其中x ＞20，y
＞25
两栏面积之和为2(x －20)，由此得y=
广告的面积S=xy=x()＝
x ，
整理得S=
因为x －20＞0， 所以S≥2
当且仅当时等号成立，
此时有(x －20)2＝14400(x ＞20)，解得x=140，代入y=+25，得y ＝175，
即当x=140，y ＝175时，S 取得最小值24500，
故当广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小. 【点睛】
本题主要考查函数表达式及基本不等式的应用.由题已知，可通过假设矩形的长与宽，进而表示广告面积的表达式，利用基本不等式，求出面积的最小值.在应用不等式
求
最值时，需要满足一正二定三相等的原则，即①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值.
20．(1) 双曲线方程为(2) 满足条件的直线l 有两条，其方程分别为y =和
22y x =-+
【详解】
试题分析：（1）由双曲线焦点可得c 值，进而可得到,a b 的关系式，将点P 代入双曲线可得到,a b 的关系式，解方程组可求得,a b 值，从而确定双曲线方程；（2）求直线方程采用待定系数法，首先设出方程的点斜式，与双曲线联立，求得相交的弦长和O 到直线的距离，代入面积公式可得到直线的斜率，求得直线方程
试题解析：（1）由已知2c =及点(P 在双曲线C 上得222222431a b a b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 解得22
2,2a b ==；所以，双曲线C 的方程为22
122x y -=． （2）由题意直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为2y kx =+
由222122y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩ 得 ()
221460k x kx ---= 设直线l 与双曲线C 交于()11,E x y 、()22,F x y ，则1x 、2x 是上方程的两不等实根，
210k ∴-≠且()
22162410k k ∆=+->即23k <且21k ≠ ① 这时 12241k x x k +=
-，12261x x k ⋅=-- 又12121211222
OEF S OQ x x x x x ∆=⋅-=⨯⨯⨯-=-= 即 ()2121248x x x x +-= 2
22424811k k k ⎛⎫∴+= ⎪--⎝⎭ 所以()22231k k ∴-=- 即4220k k --= ()()
22120k k ∴+-=
又210k +> 220k ∴-= k ∴=适合①式
所以，直线l 的方程为22y x =+与22y x =-+．
21．(Ⅰ)同解析（Ⅱ）存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有12;n S >- λ的取值范围为(,6).-∞-
【解析】(Ⅰ)证明：假设存在一个实数，使｛a n ｝是等比数列，则有212
2a a a =,即 （233λ-）2=44499λλλ⎛⎫-⇔ ⎪⎝⎭
22449490,9λλλ-+=-⇔=矛盾. 所以｛a n ｝不是等比数列.
（Ⅱ）证明：∵11112(1)[3{1}21](1)(214)3n n n a n b a n a n ++++=--++=--+ 22(1),(321).33n n a n b =-
--+=- 又118,(18)0.b λλ≠-∴=-+≠由上式知120,(),3n n n n b b n N b +≠∴
=-∈ 故当18,λ≠-时，数列｛b n ｝是以λ-（+18）
为首项，23-为公比的等比数列. （Ⅲ）当18λ≠-时，由（Ⅱ）得12(18)(),3n n b λ-=-+-于是
32(18)[1()],53
n n S λ=-+-- 当18λ=-时，0n b =，从而0.n S =上式仍成立.
要使对任意正整数n , 都有12.n S >-
即3
220(18)[1()]1218.2531()3
n n λλ-+-->⇔--- 令2()1(),3n f n =--则
当n 为正奇数时，51():3f n <≤当n 为正偶数时，5()1,9
f n ≤< 5()(1).3f n f ∴=的最大值为
于是可得32018 6.5
λ<⨯-=- 综上所述，存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有12;n S >- λ的取值范围为(,6).-∞-。