高等数学第八章 第五节

解法1 解法1,公式法 (将 x , y , z 视为独立变量 ) ′ 1 x y 令 G ( x , y , z ) = F ( , ), 则 G x = F1 , z z z
′ 1 G y = F2 z
′ x ′ y G z = F1 2 + F2 2 z z
Gx z zF1 ∴ = = G z xF ′ + yF ′ x 1 2
二,方程组的情形
以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即
F ( x , y , u, v ) = 0 G ( x , y , u, v ) = 0
代入得
u = u( x , y ) v = v( x , y )
u v Fx + Fu =0 + Fv x x 两边对 x 求导得 G x + Gu u + Gv v = 0 x x
dy 1 ( F , G ) , = dx J ( x , z )
dz 1 ( F , G ) , = dx J ( y , x )
Fz ≠0
其中 J = ( F , G ) Fy =
( y, z )
G y Gz
三,小结
隐函数微分法
(分以下几种情况) 分以下几种情况)
(1) F ( x , y ) = 0
注:运用公式推导的方法计算各种偏导数
u u v v , , , . 例5. 设x u y v = 0 , y u + x v = 1 ,求 x y x y u v x y = u x y 2 2 = x + y ≠0 x x 且J = 解: y x u v y + x = v x x x u + yv u 1u y = = 2 x x J v x + y2 故有 xv y u v 1 = 2 = x + y2 x J u v 同样可得 y y
令 F ( x, y, z ) = x + y + z 4z , 则
2 2 2
Fx = 2x ,
Fy = 2 y
Fz = 2 z 4
Fx x z = = Fz 2 z x
2z 进一步若求 2 x
x 2z ( ) = 2 x 2 z x
(2 z )2 + x 2 = 3 (2 z )
习题 8-5
思考题解答
1 则 Fx = , z x y ( y ) y 1 Fy = ′( ) , Fz = 2 ′( ) 2 , z z z z z y z ′ ( ) Fy z z Fx z z , = = , = = Fz x y ′( y ) Fz x y ′( y ) y x z z
x y 记 F ( x , y , z ) = ( ), z z
z z 于是 x + y = z. y x
注
d Fx d 2 y d dy ( ) = ( )= 2 dx Fy dx dx dx
=
(Fxx + Fxy y′)Fy Fx (Fyx + Fyy y′) Fy
2
2
2
=
Fx x F y 2 Fx y Fx F y + F y y Fx F y3
( xF1 '+ yF2 ' )dz = z( F1 ' dx + F2 ' dy )
z ( F1 ' dx + F2 ' dy ) dz = xF1 '+ yF2 '
注,公式法:x , y , z 视为独立变量 , 地位平等 公式法:
两边导: 两边导: z是 x , y的函数 , 地位不平等 微分法:x , y , z视为独立变量 , 地位平等 微分法:

同样由
u v F y + Fu =0 + Fv y y 两边对 y求导得 求导得 G y + Gu u + Gv v = 0 y y
解得
1 ( F , G ) u = J ( y , v ) y
1 ( F , G ) v = J ( u , y ) y
定理3. 定理3. 设函数 ① 在点 导数; 导数;
d ex y ) = ( d x cos y x
=
x ( e x y′) (cos y x ) (e y ) sin y y ′ 1) x = 0 (
( cos y x ) 2
= 3
y=0 y ′ = 1
2. 定理2 . 若函数 F ( x , y , z ) 满足 定理 满足: ① 在点 的某邻域内具有连续偏导数 ; ② F ( x 0 , y0 , z 0 ) = 0 ; ③ Fz ( x 0 , y0 , z 0 ) ≠ 0 , 则方程 连续偏导数 在点 某一邻域内可唯一确 并有 定一个连续函数 z = f (x , y) , 满足
F ( x, y , z ) = 0 思考: 思考: G ( x , y , z ) = 0 F ( x, y , z ) = 0 G ( x , y , z ) = 0
隐函数存在定理的表述
y = y( x ) z = z ( x ) 代入得
两边对 x 求导得
dy dz Fx + F y dx + Fz dx = 0 dy dz G x + G y + Gz =0 dx dx
满足: 满足: 的某一邻域内具有连续偏
② F ( x0 , y0 , u0 , v 0 ) = 0 , G ( x0 , y0 , u0 , v 0 ) = 0 ;
( F , G ) ③J = ≠ 0, P (u , v ) P F ( x , y , u, v ) = 0 则方程组 在点( x0 , y0 )的某一邻域内可 G ( x , y , u, v ) = 0 唯一确定一组满足条件 u0 = u( x0 , y0 ) , v 0 = v ( x 0 , y0 )
① Fx = e x y , F y = cos y x 连续 ; ② F ( 0,0) = 0 ; ③ F y ( 0 ,0 ) = 1 ≠ 0 , 定理1 可知, 由 定理 可知 在 x = 0 的某邻域内方程存在可 导的隐函数 且
例1. 验证方程
在点(0,0)某邻域 某邻域 在点
ex y Fx dy = = cos y x x = 0, y = 0 d x x = 0 Fy x = 0 d2 y 问: d x 2 x = 0
注:具体问题如何求隐函数的导数或者偏导数
z x y 例 3 设 z = f ( x + y + z , xyz ) ,求 , , . x y z 解 两端对 x 求偏导数得 两端对
z z z ′ ′ = f1 (1 + ) + f 2 ( yz + xy ), x x x ′ ′ z f1 + yzf 2 整理得 , = x 1 f ′ xyf ′ 1 2 两端对 两端 对 y 求偏导数得 x ′ x 0 = f1 ( + 1) + f 2′ ( xz + yz ), y y f1′ + xzf 2′ x 整理得 , = f1′ + yzf 2′ y
( F , G ) = P ( y , z )
≠ 0,
P
F ( x , y , z ) = 0 在点 x 的某一邻域内可 则方程组 0 G ( x , y, z ) = 0
唯一确定一组满足条件 y0 = y( x0 ) , z 0 = z( x0 )
的连续函数 y = y( x ) , z = z( x ), 且有导数
F ( x , y , u, v ) = 0 ( 3) G ( x , y , u, v ) = 0 F ( x, y, z ) = 0 ( 4) G ( x , y , z ) = 0
( 2) F ( x , y , z ) = 0
思考题
x y 为可微函数, 已知 = ( ) ,其中 为可微函数, z z z z + y =? 求x x y
解得
Fx Fz dy G x G z = F y Fz dx G y Gz
F y Fx dz G y G x = F y Fz dx G y Gz
定理4. 定理4. 设函数 ① 在点
满足: 满足: 的某一邻域内具有连续偏导数
② F ( x0 , y0 , z 0 ) = 0 , ③J
G ( x0 , y0 , z 0 ) = 0 ;
的连续函数 u = u( x , y ) , v = v( x , y ), 且有偏导数
1 ( F , G ) u = J ( x, v ) x v 1 ( F , G ) = J ( u, x ) x
1 ( F , G ) u = J ( y, v ) y v 1 ( F , G ) = y J ( u, y )
�
连续函数 y = f (x) , 满足条件
推导: 推导:
Fx dy (隐函数求导公式 隐函数求导公式) 隐函数求导公式 = dx Fy F ( x , f ( x )) ≡ 0
两边对 x 求导
d F ( x, f ( x)) = 0 dx
链式法则
在
Fx dy = Fy dx 的某邻域内 y ≠ 0 F
第五节 隐函数微分法
一,一个方程的情形
1.
F ( x, y) = 0
在点 的某一邻域内满足 具有连续的偏导数; ① 具有连续的偏导数; ② F ( x0 , y0 ) = 0 ; ③ F y ( x 0 , y0 ) ≠ 0 ,
定理1. 定理1. 设函数
则方程
的某邻域内可唯一确定一个 并有连续导数
( 视z为x , y的函数 )
z z z 故 dz = (F1′d x + F2′d y) dx + d y = x F1′ + y F2′ x y