外接球问题习题及答案——老师专用

外接球问题处理——老师专用

1、已知如图所示的三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和

所在的平面互相垂直，，，，则球的表面积为( )

A. B. C. D.

解析:如图所示，∵，∴为直角，即过的小圆面的圆心为的中点，和所在的平面互相垂直，则圆心在过的圆面上，即的外接圆为球的大圆，由等边三角形的重心和外心重合易得球半径，球的表面积为，故选．

2、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）

A. B. C. D.

设球心为，设正三棱柱上底面为，中心为，因为三棱柱所有棱的长都为，则

可知，，又由球的相关性质可知，球的半径

，所以球的表面积为，故选.

3、已知是球的球面上两点，,为该球面上的动点，若三棱锥

体积的最大值为，则球的表面积为( )

A. B. C. D.

解析

如图所示，当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选.

4、如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）

A. B. C. D.

解析

该几何体为三棱锥,设球心为，

分别为和的外心，

易求得,，

∴球的半径，

∴该几何体外接球的表面积为．

5、已知都在半径为的球面上，且，，球心到平面的距离为1，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（）

A. B. C. D.

解析

∵，∴，

∴圆心在平面的射影为的中点，

∴，∴．

∴，

当线段为截面圆的直径时，面积最小，

∴截面面积的最小值为.

6、四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心

在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，它的表面积等于，则球的体积等于（）

A. B. C.D

解析

由题意可知四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当体积最大时，可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可得知底面正方形的对角线长度为球的直径，且四棱锥的高半径，进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为的正三角形，底面为边长为的正方形，所以该四棱锥的表面积为

，于是,，进而球的体积

. 故选.

7、一个三条侧棱两两互相垂直并且侧棱长都为的三棱锥的四个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为( )

A. B. C. D.

解析

由题可知该三棱锥为一个棱长的正方体的一角，则该三棱锥与该正方体有相同的外接球，又正方体的对角线长为，则球半径为，则. 故选.

8、一个棱长都为的直三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为( )

A. B. C. D.

解析

如图：

设、为棱柱两底面的中心，球心为的中点.又直三棱柱的棱长为，可知，，

所以，

因此该直三棱柱外接球的表面积为，故选.

9、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为( )

A. B. C. D.

解析

此几何体是三棱锥，底面是斜边长为的等腰直角三角形

，且顶点在底面内的射影是底面直角三角形斜边

的中点.易知，三棱锥

的外接球的球心

在

上.

设球的半径为，则，∵，

∴，解得：

，∴外接球的表面积为

. 答

案：D

10.已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是（） A ． B ． C ． D ．

【答案】C

【解析】，，，，故选C ． 11.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是． 【答案】

【解析】，．

12.已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（ ） A ． B ． C ． D ．

【答案】D

41616π20π24π32π162

==h a V 2=a 24164442

2

2

2

=++=++=h a a R 24πS =39π933342

=++=R 2

4π9πS R ==P ABC -ABC △6BA BC ==π

2

ABC ∠=

8π16π16π332

π3

【解析】因为是等腰直角三角形，所以外接球的半径是，设外接球

的半径是，球心到该底面的距离，如图，则，，由题设

，

最大体积对应的高为，故，即，解之得，

所以外接球的体积是，故答案为D ．

13．棱长分别为2的长方体的外接球的表面积为（） A ． B ． C ． D ．

【答案】B

【解析】设长方体的外接球半径为，由题意可知：，则：，

该长方体的外接球的表面积为．本题选择B 选项．

14．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（） A ．12π B ．28π C ．44π D ．60π

【答案】B

【解析】设底面三角形的外接圆半径为，由正弦定理可得：， 设外接球半径为，结合三棱柱的特征可知外接球半径，

外接球的表面积．本题选择B 选项．

15．把边长为3的正方形沿对角线对折，使得平面平面，则三棱锥

ABC △1

1232r =⨯=R O d 1

632ABC S =⨯=△3BD =11

6336

ABC V S h h ==⨯=△3SD h ==22

3R d =+()2

233R R =-+2R =3432π

π33

R =354π12π24π48πR ()22

2

2223

5

R =+

+

2

3R =2

4π4π312πS R ==⨯=23r 23

2r =2r =R (2

223

27R =

+=2

4π28πS R ==ABCD AC ABC ⊥ADC