四川省遂宁中学外国语实验学校2022-2023学年高三上学期第一次考试数学(文)试卷(解析版)
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【详解】将圆的方程化为标准方程可得
圆心为 ,半径
圆C与直线 相交于 、 两点,且
由垂径定理和勾股定理可求得圆心到直线 的距离为
由点到直线距离公式可知
所以 ,化简可得 解得 或
故答案为: 或
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,直线与圆相交时的弦长问题,垂径定理及点到直线距离公式的应用,属于基础题.
15.若函数 为定义在 上的奇函数，当 时， ，则不等式 的解集为______．
故选：C.
【点睛】本小题主要考查古典概型的概率计算，属于基础题.
4.已知实数 ， ， 满足 ， ， ，则实数 ， ， 的大小关系为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数函数的性质解答.
【详解】解： ，
，
综上可得
故选：
【点睛】本题考查对数的运算及对数函数的性质，属于基础题.
5.在 中，“ ”是“ ”的（）
【详解】设 ，由抛物线定义知： ，
所以 ，
即点P到y轴的距离为4
故选：C
11.已知对 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值是（ ）
A. B.1
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设函数 ，其中 ，作出函数图象结合导数的几何意义即可求得答案.【详解】设函数 ，其中 ，
作出函数 ， 的图象如图，
当函数 ， 的图象始终在 ， 的图象下方（切点除外）时符合题意，
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先设半圆半径为 ，分别计算半圆的面积和弓形的面积，再代入几何概型公式计算即可.
【详解】如图所示：
设半圆半径为 ，半圆面积为 ，
弓形面积为 ，概率为 .
故选：B
【点睛】本题主要以数学文化为背景考查几何概型，同时考查学生的逻辑思维能力，属于中档题.
7.设 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可能的是（）
【答案】
【解析】
【分析】分别求出 为真命题， 为真命题时， 的范围，再根据“ 且 ”为假命题，可得 ， 至少有一假，即可求出答案
【详解】解：因为命题 ：函数 在区间 上单调递减，
所以当 为真，对称轴 ，
因为命题 ： 对 恒成立，
所以当 为真， ，解得 ，
因为命题“ 且 ”为假命题，所以 ， 至少有一假，
【答案】
【解析】
【分析】
由题意，当 时， 单调递增，当 时， 单调递增，
则 等价于 或 ，求解即可．
【详解】由题意，当 时， 单调递增，
当 时， 单调递增，
则 等价于 或
即 或 或
解得 或 ．
故不等式 的解集为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查不等式求解，函数的奇偶性，函数的单调性与单调区间，考查运算化简的能力，属于中档题．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用导函数 图象，判断导函数的符号，得到函数的单调性以及函数的极值点，然后判断选项即可．
【详解】解：由题意可知： 和 时， ，函数 是增函数，
时， ，函数 是减函数；
是函数 的极大值点， 是函数 的极小值点；
所以函数 的图象只能是 ．
故选：C．
8.已知函数 若函数 有三个不同的零点，则实数 的取值范围是（）
（2）设 两点所对应的极径分别为 ， ，
将曲线 的极坐标方程代人曲线 的极坐标方程，得 .
于是 ， ，
.
由 ，得 ，两边平方整理得 ，
所以 .
【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，求弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力.
19.已知函数 ．
（1）若 是 的一个极值点，求 值及 的单调区间；（2）当 时，求 在区间 上的最值．
对于 ， ，则 在x=0处的切线斜率为 ，
由图结合题意可知 ，即a得最大值为 ，
故选：C
12.椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点.假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为 ，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程不可能为（）
【答案】（1） ，单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）对函数求导，由极值点的导数值为 求出 值，进一步得出 的单调区间；
（2）当 代入，得函数并求导，得出其单调性，利用单调性可求出其最值．
【小问1详解】
由题设， 且定义域 ，
由 是 一个极值点得 ，解得 ，
此时 ．
所以，当 时 ；当 时 ，
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
【答案】B【解析】
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义求解作答.
【详解】在 中， ，则 ，必有 ，
而 ，满足 ，此时 是直角三角形，不是等腰三角形，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
6.月形是一种特殊的平面图形，指有相同的底，且在底的同一侧的两个弓形所围成的图形.月形中的一种特殊的情形是镰刀形，即由半圆和弓形所围成的图形（如下图），若半圆的半径与弓形所在圆的半径之比为 ，现向半圆内随机取一点，则取到镰刀形中的一点的概率为（）
A. B. C. D. 【答案】C
【解析】
【分析】
列举出所有可能的两位数，从中找出能被 整除的数，根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.
【详解】在 和 两个集合中各取一个数字组成一个两位数 所有事件为13，31，14，41，15，51，23，32，24，42，25，52共12个，其中能被4整除的两位数是24，32，52共3个，所求概率为 .
（2）乙班学习的效果更好，可以从三个不现角度回答.
【详解】（1）从茎叶图中，知甲班学生成绩不低于70分的人数共有10人，乙班学生成绩不低于70分的人数共有16人，且成绩不低于70分者为“成绩优良”.
因此可估计甲班“成绩优良”的概率为 ，
乙两个班“成绩优良”的概率为 .
（2）乙班学习 效果更好.
理由l：乙班样本成绩大多在70分以上，甲班样本成绩70分以下的明显更多.
【答案】（1） 是以 为圆心，5为半径的圆； ；（2） .
【解析】
【分析】（1）消去参数 得到 的普通方程，再利用极坐标公式得到答案.
（2）根据韦达定理得到 ， ，根据 计算得到答案.
【详解】（1）消去参数 得到 的普通方程为 ，
是以 为圆心，5为半径的圆，
将 ， 代人 的普通方程中，
得到 ，
化简整理得到： .
由①，②得 .在直角三角形 中, .
则 ，即 ，所以 .
故选：D
【点睛】本题考查双曲线的对称性和定义，求双曲线的离心率，属于难题.
10.抛物线 的焦点为F，点P是C上一点，若 ，则点P到y轴的距离为（）
A.2B.3C.4D.5
【答案】C
【解析】
【分析】设出 ，由抛物线定义得到方程，求出 ，从而得到答案.
若 假 假，则 ，解得 或 ，
若 真 假，则 ，解得 ，
若 假 真，则 ，解得 ，
综上所述，故 的取值范围为 18.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.在以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ，其中 .
（1）说明 是哪种曲线，并将 的方程化为极坐标方程；
（2）设曲线 和曲线 交于 两点，求 .
③：当 时，显然 成立，但是 不成立，故本结论不一定成立；
④：因为 ，所以 ，由①可知：
，
所以 ，因此本结论一定成立，
故答案为：①④
三、解答题：本题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.设命题 ：函数 在区间 上单调递减；命题 ： 对 恒成立．如果命题“ 且 ”为假命题，求 的取值范围．
（1）分别估计甲、乙两个班“成绩优良” 概率；
（2）根据茎叶图判断哪个班的学习效果更好？并从两个角度来说明理由.
【答案】（1）甲班“成绩优良”的概率为 ，乙班“成绩优良”的概率为
（2）乙班学习的效果更好，理由见解析
【解析】
【分析】（1）通过茎叶图的数据分析可得甲班“成绩优良”的概率为 ，乙两个班“成绩优良”的概率为 .
即 在 单调递增；在 单调递减．
所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
【小问2详解】
因为 ，所以 ，
则 ．
所以，当 或 时 ；当 时 ．
所以函数 的单调递增区间为 和 ；单调递减区间为 ，
又 ，所以 在 递减，在 递增，
所以 的最小值 ，
又 ， 及 ，
所以 的最大值为 .
20. “生命重于泰山，疫情就是命令，防控就是责任”.面对疫情，为切实做好防控，落实“停课不停学”，某校高三年级启动线上公益学习活动，助“战”高考.为了解学生的学习效果，李华老师在任教的甲、乙两个班中各随机抽取20名学生进行一次检测，根据他们取得的成绩（单位：分，满分100分）绘制了如下茎叶图，记成绩不低于70分者为“成绩优良”.
则所经过的路程为 .
③若光线从椭圆一个焦点沿非 轴方向出发,
则所经过的路程为 故选:B
【点睛】本题考查椭圆的基本性质,考查椭圆的反光镜问题,考查长半轴与半焦距之间的基本关系,属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.曲线 在点 处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】
理由2：甲班样本成绩的平均分为70.2；乙班样本成绩的平均分为79.05.
理由3：甲班样本成绩的中位数为 ，
班样本成绩的中位数为 .
【点睛】本题考查统计中的茎叶图及其数据特征分析，考查数据处理能力，属于基础题.
21.已知函数 ．
（1）若函数 在区间 上递增，求实数 的取值范围；
（2）求证： ．
【答案】（1） .（2）证明见详解.【解析】
【分析】（1）把问题转化为函数恒成立问题，再利用分离参数法、导数进行处理.
（2）利用（1）中结论、累加法、裂项相消法以及对数的运算性质证明不等式．
【详解】（1）函数 的定义域为 ．
由题有： 在区间 上恒成立，
所以 ， ，又 在区间 上递减，所以 ，
即实数a的取值范围为 ．
【分析】根据导数的几何意义即得.
【详解】因为 ，
所以 ， ,
所以切线方程为 ,即 .
故答案为： .
14.已知圆 ： 与直线 ： 相交于 、 两点，且 ，则实数 ______.
【答案】-7或-1
【解析】
【分析】将圆的一般方程化为标准方程,结合垂径定理和勾股定理表示出圆心到弦 的距离,再由点到直线的距离公式表示出圆心到弦 的距离.解方程即可求得 的值.
【详解】解：由 可得 ，
所以 ，
故选：A
2.已知 ， ，且 ，则 的最小值为（）
A.2B.4C.6D.8
【答案】C
【解析】
【分析】利用均值不等式结合指数幂的运算即可求得答案
【详解】解：因为 ，所以
因为
所以 ，
当且仅当 即 时，取等号，
故 的最小值为6，
故选：C
3.在集合 和 中各取一个数字组成一个两位数，则这个两位数能被4整除的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设双曲线的另一个焦点为 ，则根据双曲线的对称性得 为矩形， ，由条件可得 ，由双曲线的定义 ，再由勾股定理可解得离心率.
【详解】设双曲线的另一个焦点为 ，由 .
根据双曲线的对称性得 为矩形，如图， .
又 的周长为 ，则 …………①.
由双曲线的定义 ………………②
A.2B.4C.6D.8
【答案】B
【解析】
【分析】先根据椭圆的标准方程求出 , ,再根据光线路径分三种情况讨论即可得出结果.
【详解】解:由题意可得 , , ,
所以 , .
①若光线从椭圆一个焦点沿 轴方向出发到长轴端点(较近的)再反射,
则所经过的路程为 ,
②若光线从椭圆一个焦点沿 轴方向出发到长轴端点(较远的)再反射,
衡水中学四川分校·遂中实验校高2023届第五期第一次考试
数学试题（文）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知 是虚数单位，若复数 满足： ，则复数 （）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用 计算得 ，即可得答案
A. B. C. D.
【答案】A【解析】
【分析】 有三个零点，即 的图象与直线 有三个交点，作出图象可得结论．
【详解】由 得 ，作函数 的图象及直线 ，它们有三个交点，则 ，∴ ．
故选：A.
【点睛】本题考查函数的零点，根据零点定义转化为方程的解，再转化函数图象与直线的交点，由函数图象易得结论．
9.已知 为双曲线 的右焦点，过原点 的直线与双曲线交于 ， 两点，若 且 的周长为 ，则该双曲线的离心率为（）
16.已知x， ，满足 ，给出下列四个结论：① ；② ；③ ；④ ．其中一定成立的结论是______（写出所有成立结论的编号）．
【答案】①④
【解析】
【分析】根据基本不等式，结合特殊值法逐一判断即可.【解】①：因为 ，
所以有 ，故本结论一定成立；
②：当 时，显然 成立，但是 不成立，故本结论不一定成立；
圆心为 ,半径
圆C与直线 相交于 、 两点,且
由垂径定理和勾股定理可求得圆心到直线 的距离为
由点到直线距离公式可知
所以 ,化简可得 解得 或
故答案为: 或
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,直线与圆相交时的弦长问题,垂径定理及点到直线距离公式的应用,属于基础题.
15.若函数 为定义在 上的奇函数，当 时， ，则不等式 的解集为______．
故选：C.
【点睛】本小题主要考查古典概型的概率计算，属于基础题.
4.已知实数 ， ， 满足 ， ， ，则实数 ， ， 的大小关系为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数函数的性质解答.
【详解】解： ，
，
综上可得
故选：
【点睛】本题考查对数的运算及对数函数的性质，属于基础题.
5.在 中，“ ”是“ ”的（）
【详解】设 ，由抛物线定义知： ，
所以 ，
即点P到y轴的距离为4
故选：C
11.已知对 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值是（ ）
A. B.1
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设函数 ，其中 ，作出函数图象结合导数的几何意义即可求得答案.【详解】设函数 ，其中 ，
作出函数 ， 的图象如图，
当函数 ， 的图象始终在 ， 的图象下方（切点除外）时符合题意，
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先设半圆半径为 ，分别计算半圆的面积和弓形的面积，再代入几何概型公式计算即可.
【详解】如图所示：
设半圆半径为 ，半圆面积为 ，
弓形面积为 ，概率为 .
故选：B
【点睛】本题主要以数学文化为背景考查几何概型，同时考查学生的逻辑思维能力，属于中档题.
7.设 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可能的是（）
【答案】
【解析】
【分析】分别求出 为真命题， 为真命题时， 的范围，再根据“ 且 ”为假命题，可得 ， 至少有一假，即可求出答案
【详解】解：因为命题 ：函数 在区间 上单调递减，
所以当 为真，对称轴 ，
因为命题 ： 对 恒成立，
所以当 为真， ，解得 ，
因为命题“ 且 ”为假命题，所以 ， 至少有一假，
【答案】
【解析】
【分析】
由题意，当 时， 单调递增，当 时， 单调递增，
则 等价于 或 ，求解即可．
【详解】由题意，当 时， 单调递增，
当 时， 单调递增，
则 等价于 或
即 或 或
解得 或 ．
故不等式 的解集为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查不等式求解，函数的奇偶性，函数的单调性与单调区间，考查运算化简的能力，属于中档题．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用导函数 图象，判断导函数的符号，得到函数的单调性以及函数的极值点，然后判断选项即可．
【详解】解：由题意可知： 和 时， ，函数 是增函数，
时， ，函数 是减函数；
是函数 的极大值点， 是函数 的极小值点；
所以函数 的图象只能是 ．
故选：C．
8.已知函数 若函数 有三个不同的零点，则实数 的取值范围是（）
（2）设 两点所对应的极径分别为 ， ，
将曲线 的极坐标方程代人曲线 的极坐标方程，得 .
于是 ， ，
.
由 ，得 ，两边平方整理得 ，
所以 .
【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，求弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力.
19.已知函数 ．
（1）若 是 的一个极值点，求 值及 的单调区间；（2）当 时，求 在区间 上的最值．
对于 ， ，则 在x=0处的切线斜率为 ，
由图结合题意可知 ，即a得最大值为 ，
故选：C
12.椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点.假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为 ，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程不可能为（）
【答案】（1） ，单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）对函数求导，由极值点的导数值为 求出 值，进一步得出 的单调区间；
（2）当 代入，得函数并求导，得出其单调性，利用单调性可求出其最值．
【小问1详解】
由题设， 且定义域 ，
由 是 一个极值点得 ，解得 ，
此时 ．
所以，当 时 ；当 时 ，
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
【答案】B【解析】
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义求解作答.
【详解】在 中， ，则 ，必有 ，
而 ，满足 ，此时 是直角三角形，不是等腰三角形，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
6.月形是一种特殊的平面图形，指有相同的底，且在底的同一侧的两个弓形所围成的图形.月形中的一种特殊的情形是镰刀形，即由半圆和弓形所围成的图形（如下图），若半圆的半径与弓形所在圆的半径之比为 ，现向半圆内随机取一点，则取到镰刀形中的一点的概率为（）
A. B. C. D. 【答案】C
【解析】
【分析】
列举出所有可能的两位数，从中找出能被 整除的数，根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.
【详解】在 和 两个集合中各取一个数字组成一个两位数 所有事件为13，31，14，41，15，51，23，32，24，42，25，52共12个，其中能被4整除的两位数是24，32，52共3个，所求概率为 .
（2）乙班学习的效果更好，可以从三个不现角度回答.
【详解】（1）从茎叶图中，知甲班学生成绩不低于70分的人数共有10人，乙班学生成绩不低于70分的人数共有16人，且成绩不低于70分者为“成绩优良”.
因此可估计甲班“成绩优良”的概率为 ，
乙两个班“成绩优良”的概率为 .
（2）乙班学习 效果更好.
理由l：乙班样本成绩大多在70分以上，甲班样本成绩70分以下的明显更多.
【答案】（1） 是以 为圆心，5为半径的圆； ；（2） .
【解析】
【分析】（1）消去参数 得到 的普通方程，再利用极坐标公式得到答案.
（2）根据韦达定理得到 ， ，根据 计算得到答案.
【详解】（1）消去参数 得到 的普通方程为 ，
是以 为圆心，5为半径的圆，
将 ， 代人 的普通方程中，
得到 ，
化简整理得到： .
由①，②得 .在直角三角形 中, .
则 ，即 ，所以 .
故选：D
【点睛】本题考查双曲线的对称性和定义，求双曲线的离心率，属于难题.
10.抛物线 的焦点为F，点P是C上一点，若 ，则点P到y轴的距离为（）
A.2B.3C.4D.5
【答案】C
【解析】
【分析】设出 ，由抛物线定义得到方程，求出 ，从而得到答案.
若 假 假，则 ，解得 或 ，
若 真 假，则 ，解得 ，
若 假 真，则 ，解得 ，
综上所述，故 的取值范围为 18.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.在以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ，其中 .
（1）说明 是哪种曲线，并将 的方程化为极坐标方程；
（2）设曲线 和曲线 交于 两点，求 .
③：当 时，显然 成立，但是 不成立，故本结论不一定成立；
④：因为 ，所以 ，由①可知：
，
所以 ，因此本结论一定成立，
故答案为：①④
三、解答题：本题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.设命题 ：函数 在区间 上单调递减；命题 ： 对 恒成立．如果命题“ 且 ”为假命题，求 的取值范围．
（1）分别估计甲、乙两个班“成绩优良” 概率；
（2）根据茎叶图判断哪个班的学习效果更好？并从两个角度来说明理由.
【答案】（1）甲班“成绩优良”的概率为 ，乙班“成绩优良”的概率为
（2）乙班学习的效果更好，理由见解析
【解析】
【分析】（1）通过茎叶图的数据分析可得甲班“成绩优良”的概率为 ，乙两个班“成绩优良”的概率为 .
即 在 单调递增；在 单调递减．
所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
【小问2详解】
因为 ，所以 ，
则 ．
所以，当 或 时 ；当 时 ．
所以函数 的单调递增区间为 和 ；单调递减区间为 ，
又 ，所以 在 递减，在 递增，
所以 的最小值 ，
又 ， 及 ，
所以 的最大值为 .
20. “生命重于泰山，疫情就是命令，防控就是责任”.面对疫情，为切实做好防控，落实“停课不停学”，某校高三年级启动线上公益学习活动，助“战”高考.为了解学生的学习效果，李华老师在任教的甲、乙两个班中各随机抽取20名学生进行一次检测，根据他们取得的成绩（单位：分，满分100分）绘制了如下茎叶图，记成绩不低于70分者为“成绩优良”.
则所经过的路程为 .
③若光线从椭圆一个焦点沿非 轴方向出发,
则所经过的路程为 故选:B
【点睛】本题考查椭圆的基本性质,考查椭圆的反光镜问题,考查长半轴与半焦距之间的基本关系,属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.曲线 在点 处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】
理由2：甲班样本成绩的平均分为70.2；乙班样本成绩的平均分为79.05.
理由3：甲班样本成绩的中位数为 ，
班样本成绩的中位数为 .
【点睛】本题考查统计中的茎叶图及其数据特征分析，考查数据处理能力，属于基础题.
21.已知函数 ．
（1）若函数 在区间 上递增，求实数 的取值范围；
（2）求证： ．
【答案】（1） .（2）证明见详解.【解析】
【分析】（1）把问题转化为函数恒成立问题，再利用分离参数法、导数进行处理.
（2）利用（1）中结论、累加法、裂项相消法以及对数的运算性质证明不等式．
【详解】（1）函数 的定义域为 ．
由题有： 在区间 上恒成立，
所以 ， ，又 在区间 上递减，所以 ，
即实数a的取值范围为 ．
【分析】根据导数的几何意义即得.
【详解】因为 ，
所以 ， ,
所以切线方程为 ,即 .
故答案为： .
14.已知圆 ： 与直线 ： 相交于 、 两点，且 ，则实数 ______.
【答案】-7或-1
【解析】
【分析】将圆的一般方程化为标准方程,结合垂径定理和勾股定理表示出圆心到弦 的距离,再由点到直线的距离公式表示出圆心到弦 的距离.解方程即可求得 的值.
【详解】解：由 可得 ，
所以 ，
故选：A
2.已知 ， ，且 ，则 的最小值为（）
A.2B.4C.6D.8
【答案】C
【解析】
【分析】利用均值不等式结合指数幂的运算即可求得答案
【详解】解：因为 ，所以
因为
所以 ，
当且仅当 即 时，取等号，
故 的最小值为6，
故选：C
3.在集合 和 中各取一个数字组成一个两位数，则这个两位数能被4整除的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设双曲线的另一个焦点为 ，则根据双曲线的对称性得 为矩形， ，由条件可得 ，由双曲线的定义 ，再由勾股定理可解得离心率.
【详解】设双曲线的另一个焦点为 ，由 .
根据双曲线的对称性得 为矩形，如图， .
又 的周长为 ，则 …………①.
由双曲线的定义 ………………②
A.2B.4C.6D.8
【答案】B
【解析】
【分析】先根据椭圆的标准方程求出 , ,再根据光线路径分三种情况讨论即可得出结果.
【详解】解:由题意可得 , , ,
所以 , .
①若光线从椭圆一个焦点沿 轴方向出发到长轴端点(较近的)再反射,
则所经过的路程为 ,
②若光线从椭圆一个焦点沿 轴方向出发到长轴端点(较远的)再反射,
衡水中学四川分校·遂中实验校高2023届第五期第一次考试
数学试题（文）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知 是虚数单位，若复数 满足： ，则复数 （）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用 计算得 ，即可得答案
A. B. C. D.
【答案】A【解析】
【分析】 有三个零点，即 的图象与直线 有三个交点，作出图象可得结论．
【详解】由 得 ，作函数 的图象及直线 ，它们有三个交点，则 ，∴ ．
故选：A.
【点睛】本题考查函数的零点，根据零点定义转化为方程的解，再转化函数图象与直线的交点，由函数图象易得结论．
9.已知 为双曲线 的右焦点，过原点 的直线与双曲线交于 ， 两点，若 且 的周长为 ，则该双曲线的离心率为（）
16.已知x， ，满足 ，给出下列四个结论：① ；② ；③ ；④ ．其中一定成立的结论是______（写出所有成立结论的编号）．
【答案】①④
【解析】
【分析】根据基本不等式，结合特殊值法逐一判断即可.【解】①：因为 ，
所以有 ，故本结论一定成立；
②：当 时，显然 成立，但是 不成立，故本结论不一定成立；