2017高考理科数学一轮复习课件：第9章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第4讲
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第十六页，编辑于星期六：二十二点 六分。
解：(1)由于事件 C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报 纸”，即事件 A 与事件 C 有可能同时发生，故 A 与 C 不是 互斥事件． (2)事件 B“至少订一种报纸”与事件 D“一种报纸也不 订”是不可能同时发生的，故 B 与 D 是互斥事件．由于事 件 B 不发生可导致事件 D 一定发生，且事件 D 不发生会导 致事件 B 一定发生，故 B 与 D 还是对立事件．
第十页，编辑于星期六：二十二点 六分。
3．甲：A1，A2 是互斥事件；乙：A1，A2 是对立事件，那么 (B ) A．甲是乙的充分但不必要条件
B．甲是乙的必要但不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
解析：两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不一定 成立．
第十一页，编辑于星期六：二十二点 六分。
第三页，编辑于星期六：二十二点 六分。
3．事件的关系与运算
定义
包含 关系
如果事件A___发__生___，则事件 B一_定__发__生___，这时称事件B包含 事件A(或称事件A包含于事件B)
相等 关系
若B⊇A且___A_⊇_B___，那么称事件 A与事件B相等
若某事件发生
并事件 _当_且__仅__当_事__件__A_发__生_或__事__件_B_发__生___
(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%.
(1)确定 x，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均
值；
(2)求一 位顾客 一次 购物的 结算时 间不 超过 2 分钟的概
率．(将频率视为概率)
第二十五页，编辑于星期六：二十二点 六分。
[解](1)由已知得 25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以 x＝15， y＝20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集 的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量 为 100 的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值 可用样本平均数估计，其估计值为 1×15＋1.5×30＋2× 10025＋2.5×20＋3×10＝1.9(分钟)．
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
第4讲 随机事件的概率
第一页，编辑于星期六：二十二点 六分。
1．事件的分类 必然 在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条
确定 事件 件S的必然事件 事件 不可能 在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于
事件 条件S的不可能事件 随机事件 在条件S下，_可_能__发__生_也__可__能_不__发__生______的事
第六页，编辑于星期六：二十二点 六分。
1．辨明两个易误点 (1)易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而 概率是一个常数． (2)对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件 不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
第七页，编辑于星期六：二十二点 六分。
2．集合方法判断互斥事件与对立事件 (1)由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则 事件互斥． (2)事件 A 的对立事件 A 所含的结果组成的集合，是全集中 由事件 A 所含的结果组成的集合的补集．
第十八页，编辑于星期六：二十二点 六分。
考点二 随机事件的频率与概率 (2015·高考 陕西卷 )随 机抽取一 个年份， 对西安市 该年 4 月份的天气情况进行统计，结果如下： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 日期 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 天气 阴 晴 晴 晴 晴 晴 阴 雨 阴 阴 日期 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 天气 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨 (1)在 4 月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率； (2)西安市某学校拟从 4月份的一个晴天开始举行连续 2天的 运动会，估计运动会期间不下雨的概率．
(和事件) ______，则称此事件为事件A与
事件B的并事件(或和事件)
符号表示 __B__⊇_A___ (或__A__⊆_B___)
__A__＝_B___
__A__∪_B___ (或A＋B)
第四页，编辑于星期六：二十二点 六分。
定义
若某事件发生
交事件 _当__且_仅__当__事_件__A_发__生__且__事_件__B_发____
第十五页，编辑于星期六：二十二点 六分。
1.某城市 有甲、 乙两 种报纸 供居 民们订 阅，记 事件 A 为“只订甲报纸”，事件 B 为“至少订一种报纸”， 事件 C 为“至多订一种报纸”，事件 D 为“一种报纸也不 订”．判断下列每对事件是不是 互斥事件；如果是，再判断 它们是不是对立事 件． (1)A 与 C；(2)B 与 D；(3)B 与 C；(4)C 与 D.
A∩B＝∅
A∩B＝∅ 且A∪B＝Ω
第五页，编辑于星期六：二十二点 六分。
4.概率的几个基本性质 (1)概率 的取值范围： __0_≤_P_(_A_)_≤_1___． (2)必然 事件的概率：P(A)＝ ____1____． (3)不可 能事件的概率：P(A)＝ ____0____． (4)概率 的加法公式 如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A∪B)＝P_(_A_)_＋__P_(_B_)___． (5)对立 事件的概率 若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则 A∪B 为必然事件． P(A∪ B)＝ ____1 ____，P(A)＝ ___1_－__P_(_B_)_____．
第二十一页，编辑于星期六：二十二点 六分。
2.某射击运动员在同一条件下进行练习，结果 如表所示：
射击次数 n 10 20 50 100 200 500
击中 10环次数 m 8 19 44 93 178 453
击中
10
环频率m n
0.8 0.95 0.88 0.93
0.89
0.906
(1)计算表中击中 10 环的各个频率； (2)这位射击运动员射击一次，击中 10 环的概率为多少？
7
桃”，则概率 P(A∪B)＝____2_6___(结果用最简分数表示)．
解析：因为 P(A)＝ 1 ，P(B)＝13，且 A 与 B 是互斥事件．所
52
52
以 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝ 1 ＋13＝14＝ 7 . 52 52 52 26
第十三页，编辑于星期六：二十二点 六分。
考点一 随机事件的关系 一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷 1 次，设事件 A 表 示向上的一面出现奇数点，事件 B 表示向上的一面出现的点 数不超过 3，事件 C 表示向上的一面出现的点数不小于 4， 则( D ) A．A 与 B 是互斥而非对立事件
4．(必修 3 P123 习题 3.1A 组 T1 改编)若 A，B 为互斥事件， 则 P(A)＋ P(B)____≤____1( 填 “ ＞ ”、 “ ＜” 、 “≥” 、 “≤”)．
第十二页，编辑于星期六：二十二点 六分。
5．从一副不包括大小王的混合后的扑克牌(52 张)中，随机
抽取 1 张，事件 A 为“抽得红桃 K”，事件 B 为“抽得黑
第十九页，编辑于星期六：二十二点 六分。
[解](1)在容量为 30 的样本中，不下雨的天数是 26，以频率 估计概率，4 月份任选一天，西安市不下雨的概率为3206＝1135. (2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1 日与 2 日，2 日与 3 日等)．这样，在 4 月份中，前一天为晴天的互邻日 期对有 16 个，其中后一天不下雨的有 14 个，所以晴天的次 日不下雨的频率为78.以频率估计概率，运动会期间不下雨的 概率为78.
第十七页，编辑于星期六：二十二点 六分。
(3)事件 B“至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报 纸”“只订乙报纸”“订甲、乙两种报纸”，事件 C“至多 订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订”“只订甲 报纸”“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故 B 与 C 不是互斥事件． (4)由(3)的分析，事件 D“一种报纸也不订”是事件 C 的一 种可能，即事件 C 与事件 D 有可能同时发生，故 C 与 D 不 是互斥事件．
(积事件) _生______，则称此事件为事件A与
事件B的交事件(或积事件)
互斥 事件
若A∩B为_不_可__能____事件，那么 称事件A与事件B互斥
对立 事件
若A∩B为__不__可_能___事件，A∪B 为_必__然__事_件__，那么称事件A与事
件B互为对立事件
符号表示
_A_∩__B____ (或__A_B_____)
第二十二页，编辑于星期六：二十二点 六分。
解：(1)击中 10 环的频率依次为 0.8，0.95，0.88，0.93，0.89， 0.906. (2)这位射击运动员射击一次，击中 10 环的概率约为 0.90.
第二十三页，编辑于星期六：二十二点 六分。
考点三 互斥事件、对立事件的概率(高频考点) 随机事件的概率注重对互斥事件和对立事件的概率的考查， 以选择题、填空题为主，难度不大，属于低档题目． 高考对该部分内容的考查主要有以下两个命题角度： (1)根据互斥事件求概率； (2)利用对立事件求概率．
件叫做相对于条件S的随机事件
第二页，编辑于星期六：二十二点 六分。
2.概率与频率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否 出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的
nA
频数，称事件 A 出现的比例 fn(A)＝_____n___为事件 A 出现 的频率． (2)对于给定的随机事件 A，由于事件 A 发生的频率 fn(A)随 着 试 验 次 数 的 增 加 稳 定 于 概 率 P(A) ， 因 此 可 以 用 __频__率__f_n_(A__) __来估计概率 P(A)．
2．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于 160
cm 的概率为 0.2，该同学的身高在[160，175](单位：cm)内
的概率为 0.5，那么该同学的身高超过 175 cm 的概率为
(B )
A．0.2
B．0.3
C．0.7
D．0.8
解析：因为必然事件发生的概率是 1，所以该同学的身高超
过 175 cm 的概率为 1－0.2－0.5＝0.3，故选 B.
第八页，编辑于星期六：二十二点 六分。
1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”
的互斥事件是( D )
A．至多有一次中靶
B．两次都中靶
C．只有一次中靶
D．两次都不中靶
解析：事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶
两次”两种情况，由互斥事件的定义，可知“两次都不中
靶”与之互斥．
第九页，编辑于星期六：二十二点 六分。
第二十页，编反映了一个随 机事件出现的频繁程度，频率是随机 的， 而概率是一个确定 的值，通常用概率来反映随机事件发生的 可 能性 的大 小， 有时 也用 频率 来作 为随 机事件 概率 的估计 值． (2)随机 事件概率的求法 利 用概 率的 统计 定义 求事 件的 概率 ，即 通过大 量的 重复试 验，事件发生的频率 会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就 是概率．
第二十四页，编辑于星期六：二十二点 六分。
(经典考题)某超市为了解顾客的购物量及结算时
间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位
顾客的相关数据，如表所示．
一次购物 1 至 5 至 9 至 13 至 17 件
量
4 件 8 件 12 件 16 件 及以上
顾客数(人) x
30
25
y
10
结算时间
B．A 与 B 是对立事件
C．B 与 C 是互斥而非对立事件
D．B 与 C 是对立事件
[解析]A∩B＝{出现点数 1 或 3}，事件 A，B 不互斥更不对 立；B∩C＝∅，B∪C＝Ω，故事件 B，C 是对立事件．
第十四页，编辑于星期六：二十二点 六分。
事件间关系的判断方法 对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能 同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进 行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事 件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系.
解：(1)由于事件 C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报 纸”，即事件 A 与事件 C 有可能同时发生，故 A 与 C 不是 互斥事件． (2)事件 B“至少订一种报纸”与事件 D“一种报纸也不 订”是不可能同时发生的，故 B 与 D 是互斥事件．由于事 件 B 不发生可导致事件 D 一定发生，且事件 D 不发生会导 致事件 B 一定发生，故 B 与 D 还是对立事件．
第十页，编辑于星期六：二十二点 六分。
3．甲：A1，A2 是互斥事件；乙：A1，A2 是对立事件，那么 (B ) A．甲是乙的充分但不必要条件
B．甲是乙的必要但不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
解析：两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不一定 成立．
第十一页，编辑于星期六：二十二点 六分。
第三页，编辑于星期六：二十二点 六分。
3．事件的关系与运算
定义
包含 关系
如果事件A___发__生___，则事件 B一_定__发__生___，这时称事件B包含 事件A(或称事件A包含于事件B)
相等 关系
若B⊇A且___A_⊇_B___，那么称事件 A与事件B相等
若某事件发生
并事件 _当_且__仅__当_事__件__A_发__生_或__事__件_B_发__生___
(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%.
(1)确定 x，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均
值；
(2)求一 位顾客 一次 购物的 结算时 间不 超过 2 分钟的概
率．(将频率视为概率)
第二十五页，编辑于星期六：二十二点 六分。
[解](1)由已知得 25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以 x＝15， y＝20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集 的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量 为 100 的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值 可用样本平均数估计，其估计值为 1×15＋1.5×30＋2× 10025＋2.5×20＋3×10＝1.9(分钟)．
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
第4讲 随机事件的概率
第一页，编辑于星期六：二十二点 六分。
1．事件的分类 必然 在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条
确定 事件 件S的必然事件 事件 不可能 在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于
事件 条件S的不可能事件 随机事件 在条件S下，_可_能__发__生_也__可__能_不__发__生______的事
第六页，编辑于星期六：二十二点 六分。
1．辨明两个易误点 (1)易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而 概率是一个常数． (2)对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件 不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
第七页，编辑于星期六：二十二点 六分。
2．集合方法判断互斥事件与对立事件 (1)由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则 事件互斥． (2)事件 A 的对立事件 A 所含的结果组成的集合，是全集中 由事件 A 所含的结果组成的集合的补集．
第十八页，编辑于星期六：二十二点 六分。
考点二 随机事件的频率与概率 (2015·高考 陕西卷 )随 机抽取一 个年份， 对西安市 该年 4 月份的天气情况进行统计，结果如下： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 日期 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 天气 阴 晴 晴 晴 晴 晴 阴 雨 阴 阴 日期 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 天气 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨 (1)在 4 月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率； (2)西安市某学校拟从 4月份的一个晴天开始举行连续 2天的 运动会，估计运动会期间不下雨的概率．
(和事件) ______，则称此事件为事件A与
事件B的并事件(或和事件)
符号表示 __B__⊇_A___ (或__A__⊆_B___)
__A__＝_B___
__A__∪_B___ (或A＋B)
第四页，编辑于星期六：二十二点 六分。
定义
若某事件发生
交事件 _当__且_仅__当__事_件__A_发__生__且__事_件__B_发____
第十五页，编辑于星期六：二十二点 六分。
1.某城市 有甲、 乙两 种报纸 供居 民们订 阅，记 事件 A 为“只订甲报纸”，事件 B 为“至少订一种报纸”， 事件 C 为“至多订一种报纸”，事件 D 为“一种报纸也不 订”．判断下列每对事件是不是 互斥事件；如果是，再判断 它们是不是对立事 件． (1)A 与 C；(2)B 与 D；(3)B 与 C；(4)C 与 D.
A∩B＝∅
A∩B＝∅ 且A∪B＝Ω
第五页，编辑于星期六：二十二点 六分。
4.概率的几个基本性质 (1)概率 的取值范围： __0_≤_P_(_A_)_≤_1___． (2)必然 事件的概率：P(A)＝ ____1____． (3)不可 能事件的概率：P(A)＝ ____0____． (4)概率 的加法公式 如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A∪B)＝P_(_A_)_＋__P_(_B_)___． (5)对立 事件的概率 若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则 A∪B 为必然事件． P(A∪ B)＝ ____1 ____，P(A)＝ ___1_－__P_(_B_)_____．
第二十一页，编辑于星期六：二十二点 六分。
2.某射击运动员在同一条件下进行练习，结果 如表所示：
射击次数 n 10 20 50 100 200 500
击中 10环次数 m 8 19 44 93 178 453
击中
10
环频率m n
0.8 0.95 0.88 0.93
0.89
0.906
(1)计算表中击中 10 环的各个频率； (2)这位射击运动员射击一次，击中 10 环的概率为多少？
7
桃”，则概率 P(A∪B)＝____2_6___(结果用最简分数表示)．
解析：因为 P(A)＝ 1 ，P(B)＝13，且 A 与 B 是互斥事件．所
52
52
以 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝ 1 ＋13＝14＝ 7 . 52 52 52 26
第十三页，编辑于星期六：二十二点 六分。
考点一 随机事件的关系 一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷 1 次，设事件 A 表 示向上的一面出现奇数点，事件 B 表示向上的一面出现的点 数不超过 3，事件 C 表示向上的一面出现的点数不小于 4， 则( D ) A．A 与 B 是互斥而非对立事件
4．(必修 3 P123 习题 3.1A 组 T1 改编)若 A，B 为互斥事件， 则 P(A)＋ P(B)____≤____1( 填 “ ＞ ”、 “ ＜” 、 “≥” 、 “≤”)．
第十二页，编辑于星期六：二十二点 六分。
5．从一副不包括大小王的混合后的扑克牌(52 张)中，随机
抽取 1 张，事件 A 为“抽得红桃 K”，事件 B 为“抽得黑
第十九页，编辑于星期六：二十二点 六分。
[解](1)在容量为 30 的样本中，不下雨的天数是 26，以频率 估计概率，4 月份任选一天，西安市不下雨的概率为3206＝1135. (2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1 日与 2 日，2 日与 3 日等)．这样，在 4 月份中，前一天为晴天的互邻日 期对有 16 个，其中后一天不下雨的有 14 个，所以晴天的次 日不下雨的频率为78.以频率估计概率，运动会期间不下雨的 概率为78.
第十七页，编辑于星期六：二十二点 六分。
(3)事件 B“至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报 纸”“只订乙报纸”“订甲、乙两种报纸”，事件 C“至多 订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订”“只订甲 报纸”“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故 B 与 C 不是互斥事件． (4)由(3)的分析，事件 D“一种报纸也不订”是事件 C 的一 种可能，即事件 C 与事件 D 有可能同时发生，故 C 与 D 不 是互斥事件．
(积事件) _生______，则称此事件为事件A与
事件B的交事件(或积事件)
互斥 事件
若A∩B为_不_可__能____事件，那么 称事件A与事件B互斥
对立 事件
若A∩B为__不__可_能___事件，A∪B 为_必__然__事_件__，那么称事件A与事
件B互为对立事件
符号表示
_A_∩__B____ (或__A_B_____)
第二十二页，编辑于星期六：二十二点 六分。
解：(1)击中 10 环的频率依次为 0.8，0.95，0.88，0.93，0.89， 0.906. (2)这位射击运动员射击一次，击中 10 环的概率约为 0.90.
第二十三页，编辑于星期六：二十二点 六分。
考点三 互斥事件、对立事件的概率(高频考点) 随机事件的概率注重对互斥事件和对立事件的概率的考查， 以选择题、填空题为主，难度不大，属于低档题目． 高考对该部分内容的考查主要有以下两个命题角度： (1)根据互斥事件求概率； (2)利用对立事件求概率．
件叫做相对于条件S的随机事件
第二页，编辑于星期六：二十二点 六分。
2.概率与频率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否 出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的
nA
频数，称事件 A 出现的比例 fn(A)＝_____n___为事件 A 出现 的频率． (2)对于给定的随机事件 A，由于事件 A 发生的频率 fn(A)随 着 试 验 次 数 的 增 加 稳 定 于 概 率 P(A) ， 因 此 可 以 用 __频__率__f_n_(A__) __来估计概率 P(A)．
2．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于 160
cm 的概率为 0.2，该同学的身高在[160，175](单位：cm)内
的概率为 0.5，那么该同学的身高超过 175 cm 的概率为
(B )
A．0.2
B．0.3
C．0.7
D．0.8
解析：因为必然事件发生的概率是 1，所以该同学的身高超
过 175 cm 的概率为 1－0.2－0.5＝0.3，故选 B.
第八页，编辑于星期六：二十二点 六分。
1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”
的互斥事件是( D )
A．至多有一次中靶
B．两次都中靶
C．只有一次中靶
D．两次都不中靶
解析：事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶
两次”两种情况，由互斥事件的定义，可知“两次都不中
靶”与之互斥．
第九页，编辑于星期六：二十二点 六分。
第二十页，编反映了一个随 机事件出现的频繁程度，频率是随机 的， 而概率是一个确定 的值，通常用概率来反映随机事件发生的 可 能性 的大 小， 有时 也用 频率 来作 为随 机事件 概率 的估计 值． (2)随机 事件概率的求法 利 用概 率的 统计 定义 求事 件的 概率 ，即 通过大 量的 重复试 验，事件发生的频率 会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就 是概率．
第二十四页，编辑于星期六：二十二点 六分。
(经典考题)某超市为了解顾客的购物量及结算时
间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位
顾客的相关数据，如表所示．
一次购物 1 至 5 至 9 至 13 至 17 件
量
4 件 8 件 12 件 16 件 及以上
顾客数(人) x
30
25
y
10
结算时间
B．A 与 B 是对立事件
C．B 与 C 是互斥而非对立事件
D．B 与 C 是对立事件
[解析]A∩B＝{出现点数 1 或 3}，事件 A，B 不互斥更不对 立；B∩C＝∅，B∪C＝Ω，故事件 B，C 是对立事件．
第十四页，编辑于星期六：二十二点 六分。
事件间关系的判断方法 对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能 同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进 行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事 件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系.