信号与系统(第二版)第十章课后习题答案

10.21 解：
（a ）5)(]5[][z z X n n x ZT
=−→←+=δ，
零点：0=z 为5阶零点；极点：∞=z ；收敛域ROC 为整个z 平面，不含无穷远点。

收敛域ROC 包含单位园1=z ，∴其傅里叶变换存在，ωω5)(j j e e X =。

（c ）1,1)1(1)(][)1(][1
1>+=--=
−→←-=--z z
z z X n u n x ZT
n ， 零点：0=z ；极点：1-=z ；收敛域ROC ：1>z 。

收敛域
10.22 解：
（a ）]}5[]4[{)(][21--+=n u n u n x n
，
)
()
2(161221)
()()(
][)(1
4991155441
1512141214
4
2
1--=--=--=
=
=
---------=-+∞
-∞
=-∑∑z z z z z z z z z z
z
n x z X n n
n
n n
][n x 为有限长序列，∴ROC 为整个z 平面，但不含0=z 点。

令：8,,1,0,02
22
1
9
9
==⇒=--k e
z z k j k π
∴零点：8,,2,1,922
1
==k e
z k j k π
；极点：0=z 为4阶极点。

收敛域ROC 包含1=z 单位圆，∴其傅里叶变换存在。

ω
ω
ωω
j j j j e
e e e X ----=
1
5321
4116)(
（
）
]1[)4(]1[)4(]1[)cos(4][3
4
3
4
2
12
14
6
2--+--=--+=--n u e
e
n u e e n u n n x n j j n
j j n
π
π
ππππ
4,411
411
)(1
2
11
2
13
3
<--+--=----z z
e e
z e e
z X j j j j π
π
ππ
)
4)(4()]cos(24)[cos()41)(41()cos(4)cos(3333124
1
11124π
ππππ
πππj j j j e z e z z z z e z e z -------⋅--=--⋅+-= ∴零点：01=z z ，122cos 24π
=z z ；极点：41π
j p e z =，42π
j p e
z -=。

收敛域ROC 包含1=z 单位圆，∴其傅里叶变换存在。

)
4)(4()]cos(24)[cos()(3
3
124
π
π
ω
ω
ωπ
ωπω
j j j j j j j e
e
e e
e e e X ---⋅--=
10.28 解：
（a ）]6[95.0][][--=n n n x δδ
695.01)(--=z z X ，ROC 为整个z 平面，不包含0=z 原点。

（b ）6
695
.0)(z z z X -=
令：5,.1,0,95.0095.06
261
6 =⋅=⇒=-k e
z z k j k π。

∴零点：5,.1,0,95.06261
=⋅=k e z k j k π
；极点：0=z 为6阶极点。

ROC 为整个z 平面，不包含0=z 原点。

（c ）60
6
6)
95
.0(95
.0)(3
6
1z
e
z z
z z X k j k ∏=⋅-=-=π
∴ω
πωω
65
)
95.0()(1
j k j j j e
e
e e X k ∏=⋅-=
，∏⋅-=5
1
95.0)(j j j k e
e e X πωω
在ωπ
πππ,0542=π 10.31 解：
由事实2与事实3，可得)(z X 的表达式形如：)
)(()(212
p p z z z z z K z X --⋅=。

由事实1，可得：*21)(p p z z =，且收敛域ROC ：21p p z z z =>。

由事实
4，可得：3/121πj p e
z =
，3/22
1
πj p e z -=。

则：)
)(()(3
/13/12
ππj j e z e z z K z X ---⋅=，21>z 。

由事实5，3
834cos 1)1)(1()1(1
3/2
13/21==
+-=
--=-K K e e K X j j πππ，得2=K 。

∴)
)((2)(3
/213/212
ππj j e z e z z z X ---=，ROC ：21>z 。

10.32 解：
（a ）∑+∞
-∞
=-=
=k k n h k x n h n x n y ][][][*][][，而：
⎩⎨⎧-≤≤=other N k k x ,01
0,1][，][0
,00,][k n u a k n k n a k n h k n k n -=⎩⎨
⎧<-≥-=---，则 当1≠a 时：
][11][111,110,10,0][][1][111
10
1
101010N n u a
a n u a a N n a a a a a N n a a a a a n k n u a a k n u a n y N n n N
n n N k k n n n k k n N k k
n N k k n ---+--=⎪⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎨⎧
->--=-≤≤--=<=-=-⋅=------=---=--=--=-∑∑∑∑
当1=a 时：
]
[)1(][)1(1,11
0,110,0][][11][1
1
010N n u N n n u n N n N N n n n k n u k n u n y N k n k N k N k k
n -+--+=⎪⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎨⎧
->=-≤≤+=<=-=-⋅=∑∑∑∑-==-=-=- （b ）对][n x 、][n h 分别求ZT 变换，得：
)1(111111)(][][][1
11N
N ZT z z
z z z z X N n u n u n x -------=---=−→←--=，ROC ：整个z 平面；
a z az z H n u a n h ZT
n >-=−→←=-,11)(][][1。

a z az
z z z H z X z Y N
>-⋅--=⋅=∴---,11)1(11)()()(1
1。

当1≠a 时：
N N N N
z az
a a z z a az a a z a z az
a a z a az z z z Y ---------------+--+---+--=----+--=-⋅--=1
1111
1111)1(1)1/(11)1(1)1/(1)1](1)1(1)1/(1[11)1(11)(，a z >。

可得
][11][11]
[1][11][1][11][1
1N n u a
a n u a a N n u a a
a N n u a n u a a a n u a n y N n n N
n n ---+--=---+--+--+-=---- 当1=a 时：
()()()N
N z z z z z z Y --------=--=2
121211111)1(11)(，1>z 。

可得
]1[)(][)1(][+---+=N n u N n n u n n y
注：部分分式展开过程。

)
1)(1()()(111111111
1
111---------+-+=-+-=-⋅-az z z B aA B A az B z A az z ，可得
⎩
⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+---a a
a B A B aA B A 111
01， ∴1
1111)
1(1)1/(11111-------+--=-⋅-az
a a z a az z 10.34 解：
（a ）方程两边取ZT 变换，可得
)()()()(121z X z z Y z z Y z z Y ---++=
∴)
)((11)()()(2512512211-+-----=--=--==
z z z
z z z z z z z X z Y z H 。

零点：01=z z ，∞=2z z ；极点：511+=p z ，512-=p z 。

又 系统因果，∴收敛域ROC 为：251+>z 。

（b ）1
511
51515115/115/1)
)(()(---+-+--+
-=
--=
z
z
z z z
z H ，251+>z ，
∴
][)251()251(
51][)251(51][)251(51][n u n u n u n h n n n n ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--+=--+=。

（c ） 系统函数)(z H 的收敛域251+>z 不包含单位圆，∴该系统不稳定。

要满足系统稳定，则)(z H 的收敛域必须包含单位圆，此时)(z H 为：
1
2511
25125125115/115/1)
)(()(---+-+--+
-=
--=z
z
z z z
z H ，2512
5
1++-<<z ，则
]1[)251(5
1][)251(51][---++=
n u n u n h n
n 。

10.37 解：
（a ）由系统方框图，可得
2
9213118911)()
()(----+-==z
z z z X z Y z H ，则系统描述的差分方程为： ]1[][]2[]1[][8992
31--=---+n x n x n y n y n y
（b ）))(()()1)(1(1)(323189
1
2111
89+--=+--=---z z z z z z z
z H ， 又 系统因果，则)(z H 的收敛域为32>z ，包含单位圆，∴系统稳定。

注：本题扩展问题（扩展问题非常重要，请大家仔细思考并完成）。

（c ）求系统的零极点，并画出零极点+ROC 图。

（d ）求系统单位冲激响应][n h 。

（e ）问系统频率响应函数)(ωj e H 存在吗？若存在，请给出)(ωj e H 表达式，并大
致画出频率响应的模和相位特性图；若不存在，请说明理由。

（f ）分别画出实现系统的级联型、并联型的方框图。

（g ）分别画出实现系统的直接型、级联型、并联型的信号流程图。

（h ）当有以下各系统输入][n x 时，分别求取对应的系统输出][n y 。

① ()][][2
1n u n x n
=； ② ][2][n u n x n =； ③ +∞<<∞-=n n x n ,2][；
④
+∞<<∞-=n n n x ),cos(][π。