2018年数学选修1-1重点题763

2018年数学选修1T重点题
单选题（共5道）
1、观察下面的圆锥曲线，其中离心率最小的是（）
2、已知直线y=kx+l与曲线y二x3+ax+b切于点（1, 3）,则b的值为[]
A3
B - 3
C5
D・5
3、三次函数y二ax3-x在+°°）内是减函数，则（）AaWO
Ba—1
Ca=2
1
Da=3
4、函数 f (x)的导函数为 f' (x)且 2f (x) Vxf' (x) <3f (x)对 xW
5、给出以下四个命题：
① 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平而相交，那 么这条直线和交线平行；
② 如果一条直线和一个半面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于 这个平而；
③ 如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行：
④ 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直； 其中真命题的个数是
[]
A4
B3
C2
D1
简答题（共5道）
6、（本小题满分12-分）
求与双曲线有公共渐近线，且过点^（2-2）的双曲线的标准方程。

.+8 ）恒成立, 若 OVaVb, 则（ Ab2f
(a) <a2f (b), b3f (a) >a3f (b) Bb2f (a) >a2f (b), b3f (a) <a3f (b)
Cb2f (a) >a2f (b), b3f (a) >a3f (b) Db2f (a) <a2f (b). b3f (a) <a3f (b)
)
(0,
7、已知f (x)二ax3+x2+cx是定义在R上的函数，f (x)在［-1, 0］和［4,
5］上是减函数，在［0, 2］上是增函数.
(I)求c的值：
(II)求a的取值范围：
(III)在函数f (x)的图象上是否存在一点M (x0, y0),使得曲线y二f (x) 在点M处的切线的斜率为3,若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
8、己知函数/W的定义域是(0,+巧，广(劝是/(力的导函数，且
对G) - /(x) > 0在@ +巧内恒成立.
(1)求函数弘卄竺的单•调区间；
X
(2)若/(X)= lnx+ar ,求Q的取值范围；
(3)设卞是/(X)的零点，"2®,求证：羔氓<1
9、（本小题满分12•分）
求与双曲线有公共渐近线，且过点^（2-2）的双曲线的标准方程。

■
10、如图，F是抛物线八君心小的焦点，过T轴上的动点se间作直线於
的垂线？.
（I）求证：直线？与抛物线》亠2芦相切：
（II）设直线？与抛物线相切于点过点S作直线」沪的垂线，垂足为求线段SM的长度以及动点时的轨迹方程.
填空题（共5道）
11、设为双曲线的左右焦点，点P在双曲线的左支上，且需的绘小值为滋，则双曲线的离心率的取值范围是.
12、设为双曲线^-^-1的左右焦点，点P在双曲线的左支上，且鬻的最小值为引，则双曲线的离心率的取值范围是.
13、如图1, P是双曲线若“(a>0, b>0, xyHO)上的动点，Fl, F2是双曲线的焦点，M是ZF1PF2的平分线上一点，且某同学用以下方法研究|0M|：延长F2M交PF1,于点N,可知△PNF2为等腰三角形，且M为F2N的中点，得|皿丐㈣|=・・・
=a,类似地，如图2, P是椭圆上的动点，Fl, F2是椭圆的焦点, M是ZF1PF2的平分线上一点，且石齐祁二0,则|0M|的取值范闱是()。

14、己知抛物线上上一点P(3, y),则点P到抛物线焦点的距离为▲.
15、 ______________________________________________________ 若直线
y=x是曲线y=x3-3x2+ax-l的切线，则a的值为______________________ •
1-答案：tc
解：因为抛物线的离心率为1,双曲线的离心率大于1,椭圆的离心率小于
1,所以排除选项C, D. 乂因为椭圆的离心率越大，椭圆越扁，所以A中的离心率大
于B中的离心率.故选B.
2-答案:A
3-答案：tc
解：・・•三次函数y=ax3-x在(-«>, +8)内是减函数，：g =3ax2-lW0, •'•aW丄7,而丄;>0, ...aWO,故选：A.
3“
4-答案：tc
厶 A f(x) ■ xf (A :)-2/(X ) 解：令 g (x)=~T ，贝lj g z (x)二 r x (x)>0,・••函数g(x)在(0,+8)上单调递增，3(a) Vg (b),即
爷晋, A f(x) , xf(x)-3f(x) Ab2f (a) <a2f (b)：令 h (x)二匚，则 h‘ (x)二 ~J 2— AC* X <3f (x), :.h f (x) <0, •••函数 h (x)在(0, +8)单调递减，Ah (a) > h (b),
即：b3f (a) >a3f (b),故选：A.
5- 答案：B
1- 答案：设所求双曲线的方程为［宀―从将点^(2-2)代入得Z = -2, 所求双曲线的标准方程为九r 略
2- 答案：(I)对函数 f (x)二ax3+x2+cx 求导数，得，f' (x) =3ax2+2x+cVf (x)在［-1, 0］上是减函数，在［0, 2］上是增函数.••函数f (x)在x=0处有极 小值，・・・f‘ (0) =0,即 3aX02+2X0+c=0/.c=0
(II) Vf (x) =ax3+x2, ・・・f' (x) =3ax2+2x 令 f‘ (x) =0,解得 xl=0, x2=-^Vf (x)在［0, 2］上是增函数，在［4, 5］上是减函数即f‘ (x)在［0, 2］
--2->2
上大于或等于零，在［4, 5］上小于或等于零.-.x2e ［2,4］ B|j{
(III) 假设存在点M (x0, yO)使得曲线y 二f (x)在点M 处的切线的斜率 为 3,则 f‘ (xO) =3,即 3axO2+2xO-3=O,其中△ =4+36aTfWaW 吒 ・・・T2W36aW-6V2f
(x)
<xf r (x)
・・・AVO・・・3axO2+2xO-3=O无实数根・・.厂(x0)=3不成立二不存在点M (xO, yO)使得曲线y二f (x)在点M处的切线的斜率为3.
3-答案：(1) F(兀)的单调区间为(0,+Q： (2) a>^- (3)利用函数的单调性及放缩
法证明试题分析：(1) %)=更迂血，•:对3-fg沁在(0；乜)内
X
恒成立・・・F(X〉> 0在Xu (0,他)内恒成立，・•・F(x)的单调区间为
(0：他) 4分
(2)f\x)> 0), V xf '(X)~ /(X)> 0 在(0,-HX)内恒成立・；
X
出+ 26)丄"在(0；七C)内恒成立，即a>旦字在(0；+兀)内恒成立，设心)=竺二X X X
也2上尹*(0务和(x)>0, *(,.心)，和(x)<0,故函数方(x)在(0,)内单调递增，在(疋他)内单调递减心)昨8 分
(3)TP是/(无)的零点,・・・心=0由(1), F(x)在(0,他)内单调递增，・•・
当xe(O.Xo)时，F(x)<F(xo),即空亠△卫二0, /. xe(0•勺)时f{x) <0 , V m.Ke(O.Xo),:.
x«
f(m) < 0s /(n) < 0 ,且F{m) < F(m + n). F(w) <F(m +n)s即也 < 如仝型 < f^lL m
n zw + n
总堤门14分点评：导数本身是个
解决问题的工具，是高考必考内容之一，高考往往结合函数茯至是实际问题考査导数的应用，求单调、最值、完成证明等，请注意归纳常规方法和常见注意点
4-答案：设所求双曲线的方程为心m,将点^(2,-2)代入得2 = -2, 所求双曲线的
标准方程为:-•； t略
5-答案：(I )证明略；
(II)阴胡动点打的轨迹是以点F为圆心，斗为半径的圆，其轨迹方程是
■
心-仃‘一十p>
2 •?
(I )求证：抛物线八缈卩5的焦点F的坐标是(訐)，°厂芳 =-¥，
・・・？丄FS,・••勾=J・•・直线？的方程是一子讥，代入抛物线方程八莎得iiC
x-v-亦护拧7,其判别式所以，直线?与抛物线八・術相切.
(II )解：直线？与抛物线八”相切于点"由解徐手
代入八”得宀卅,依图示可得点M 的坐标是(弓，訪).所以
直线」毎的方程是点S 到直线」疔的距离 席;穿汽'牌
•・•阿$牛阴，
•J16扩.!？十20・一歹・}・ -5 +型 Z0<F =上S0F = 9沪，・*. = ASOF ,・・・"-"£,二动点打的轨迹是以
■ 点F 为圆心，斗为半径的圆，其轨迹方程是“-即-」=厶"外
■ 占 r
1 ■答案：(I 3] 试题分析：・・•双曲线4-P=i(a>0, b>0)的左右焦点分
a 4- 4*
别为F1,F2,P 为双曲线左支上的任意一点,・・・|PF2卜|PFl|=2a, | PF21 =2a+| PF11, .・•爲= (|PFp 『J 眄+需“孰盘(当且仅当PR|i 时取等号)，所以 |PF2|=2a+|PFl|=4a, V |PF21-|PF11 =2a<2c, |PF11 + |PF21二6aN2c,所以 eW
(1，3]。

点评：本题把双曲线的定义和基本不等式相结合，考査知识点的灵活 应用。

解题时要认真审题，注意基本不等式的合理运用。

2-答案：(I 3] 试题分析：・・•双曲线宁Q 】(a>0, b>0)的左右焦点分 别为 F1,F2,P 为双曲线左支上的任意一点,A|PF2|-|PFl|=2a, | PF21二2a+| PF11, .•需二些尹非和+高"共童(当且仅当PR|i 时取等号)，所以 |PF2|=2a+|PFl|=4a, T | PF2 卜| PF11 =2aV2c, | PF11 + | PF21 二6aM2c,所以 eW
C -25 ・lg 2 P
(1，3]。

点评：本题把双曲线的定义和基本不等式相结合，考查知识点的灵活应用。

解题时要认真市题，注意基本不等式的合理运用。

4-答案：4抛物线.1、壮准线方程为x=-l, y由抛物线定义知，点P到抛物线焦点的距离定于点P到抛物线准线的距离；故点P到抛物线焦点的距离为3-(-1)=4
5-答案：由y二x3-3x2+axT,得：y'二3x2-6x+a・设直线y二x与曲线
y=x3-3x2+axT 切于(xO, x03-3xO2+axOT ), 乂y‘ |x=xO二3x02-6x0+a,所以，
3x02-6x0+a=l①由(xO, x03-3x02+ax0-l )在直线y二x 上，・
・.xO3-3xO2+axO-l=xO® 由①得，a二1+6x0-3x02③把③代入②得：
x03-3x02+(1+6x0-3x02
)•x0-l=x0 整理得：2x03-3x02+1=0,即(xO-1)2(2x0+1) =0,所以，xO=l 或xO=-L 当x0=l 时，a=l+6X 1-3X12=4・当xO二弓时，a二1+6 X (弓
■ ■ ■
)-3 X
)2=l-3-j=—7.所以a的值为4或-#•故答案为4或-¥•。