高中数学教学中的“陷阱” - 奉化市教师进修学校
例谈高中数学解题中的几类“陷阱”问题
例谈高中数学解题中的几类“陷阱”问题在高中数学解题中，有一些“陷阱”问题经常会让学生感到困惑和难以解决。
这些问题通常是因为学生对题目的要求理解不够深刻，或者在解题过程中出现了一些常见的思维误区。
在这里，我将列举几类高中数学解题中常见的“陷阱”问题，并对它们进行解析和讨论。
一、概念混淆在数学解题中，常常会出现一些概念混淆的情况。
在代数中，学生可能会把方程的解和方程组的解概念混为一谈；在几何中，学生可能会把相似三角形和全等三角形混淆；在概率统计中，学生可能会把独立事件和互斥事件混淆等等。
举例来说，对于方程的解和方程组的解概念的混淆，有时学生会在解题时混淆“一个未知数的方程”和“两个未知数的方程组”的解法。
在解决这类问题时，学生需要明确掌握方程和方程组的区别，在进行解题时要注意将问题分解成每种对应的情况，避免概念混淆。
对于相似三角形和全等三角形的混淆，有时学生在解题时会混淆相似三角形的性质和全等三角形的性质，导致解题失误。
在这种情况下，学生需要恶补学习相似三角形和全等三角形的性质，掌握它们的区别和联系，从而能够在解题时正确运用相应的性质。
概念混淆在数学解题中是一个常见的“陷阱”，学生需要通过多维度的学习和练习，加强对概念的理解和区分，以避免在解题过程中受到这类“陷阱”的影响。
二、计算错误另外一个常见的“陷阱”问题是计算错误，这是由于学生在解题过程中对于计算步骤的粗心或不细致所导致的。
在数学解题中，一些题目可能需要进行复杂的计算，包括四则运算、代数运算、几何计算、概率计算等等。
在这些计算过程中，学生可能会因为粗心大意，导致错误的结果，从而难以得出正确答案。
举例来说，常见的计算错误包括：四则运算中的漏项、错项、错位等；代数式的展开和化简中的运算错误；几何计算中对于图形的边长、面积、体积等的误用；概率计算中对于事件的计算处理错误等等。
这些错误可能会使得整个解题的过程出现失误。
解决计算错误的“陷阱”问题，学生需要在解题过程中严谨仔细，每一步计算都要认真细致地进行，避免粗心大意导致的错误。
高中数学解题中的几类“陷阱问题”探讨
高中数学解题中的几类“陷阱问题”探讨发布时间：2021-04-28T12:47:00.173Z 来源：《现代中小学教育》2021年4月上作者：戴凯[导读] 高中数学解题期间，需要学生具有抽象思维、主观思考、一题多解的探索习惯，根据数学命题展开全面、细致的思考。
为了培养学生对“陷阱问题”的理解能力，需要学生正视概念、条件遗漏、结论应用错误等情况，提升学生的解题水平。
基于此，文章就高中数学解题中“陷阱问题”的解决措施进行了探讨。
湖北省水果湖高级中学戴凯 430071摘要：高中数学解题期间，需要学生具有抽象思维、主观思考、一题多解的探索习惯，根据数学命题展开全面、细致的思考。
为了培养学生对“陷阱问题”的理解能力，需要学生正视概念、条件遗漏、结论应用错误等情况，提升学生的解题水平。
基于此，文章就高中数学解题中“陷阱问题”的解决措施进行了探讨。
关键词：高中数学；解题；陷阱问题引言：数学学科的培养重心是开发学生的理解、分析、思维、创新能力。
但是，在数学解题过程中，学生也会面对圆锥曲线、三角函数、方程等方面的陷阱问题，会导致学生解题中频频出错的现象。
为为此，教师应当合理凸显出各类“陷阱问题”的发生场景，指导学生在发现错误的同时解决错误，帮助学生正确认知数学概念的内涵。
一、基于概念中的“陷阱问题”部分题型设置了关于基本概念模型的“陷阱”，若学生解题期间没有注意不同知识点的交叉特点和潜在联系，可能会影响学生的自主判断能力。
因此，在习题解析期间，教师应当侧重的对相同或相近知识点的总结，能够强化学生对问题的判断意识。
概念“陷阱问题”的出现原因正是因为学生对知识点的建模理解不系统，而这一问题也会影响学生的综合学习效率[1]。
例如在《三角函数模型的简单应用》的解题教学期间，首先教师可说明正弦定理和余弦定理的特点，要求学生自行分析出图像特点，尤其是要说明该函数在变化期间，符号、象限的变化特点。
此时，教师可提出以下例题：例1考察了关于三角函数、复数两方面的内容，而纯虚数的定义为实部不为0，若解题期间仅参考了三角函数方面的知识点，没有注意复数的相关定义，就会导致部分限定条件使用不当，造成了解题错误的现象。
例谈高中数学解题中的几类“陷阱”问题
例谈高中数学解题中的几类“陷阱”问题高中数学是学生们学习的一门重要学科，也是考试中的一个必考科目。
在高中数学解题过程中，有一些常见的“陷阱”问题会让学生们感到困惑和难以应对。
这些“陷阱”问题可能是因为学生对数学知识掌握不够扎实，或者是因为解题方法不够灵活，导致在解题过程中出现一些错误。
本文将围绕高中数学解题中的几类“陷阱”问题展开讨论，希望能够对学生们在学习和考试中避免这些“陷阱”起到一定的帮助和指导作用。
一、概念模糊导致的“陷阱”问题在高中数学学习中，有些问题可能会因为概念模糊而导致学生们出现困惑和错误的情况。
在概念模糊方面，学生们可能会在解题过程中把“立方根”和“立方”概念混淆，导致在计算过程中出现错误。
又或者是在解答“函数”的问题时，因为对函数的性质和定义理解不够透彻，导致在解题的推导和计算中出现错误。
这些都是因为概念模糊而导致的“陷阱”问题。
针对这一类问题，我们建议学生们在学习过程中注重对基本概念的理解和掌握，可以通过大量练习和思考，加深对概念理解的深度和广度。
可以多通过教材和相关习题对概念进行梳理和理解，以避免在解题过程中因为概念模糊而出现错误。
二、解题方法不当导致的“陷阱”问题在高中数学解题中，解题方法的选择和运用非常重要，有时候学生们可能会因为解题方法选择不当而导致解题出现错误。
在解三角函数题目时，因为选择了错误的解法或者是运用的公式不正确，导致最后的结果出现偏差。
又或者是在解一元二次方程的题目时，因为运用了错误的解法或者是计算过程出现错误，导致最后的答案不正确。
这些都是因为解题方法不当而导致的“陷阱”问题。
针对这一类问题，我们建议学生们在学习过程中多注重解题方法的选择和运用，可以通过学习教材和课外习题，积累和总结解题的常见方法和技巧。
也可以在课堂和家庭作业中多与同学和老师进行交流和讨论，吸取他人的解题经验和方法，从而提升自己解题的能力和水平。
针对这一类问题，我们建议学生们在解题过程中多加强对计算过程的仔细和谨慎，可以通过多做一些计算量较大的练习题，加强对计算方法和技巧的掌握。
浅谈高中数学趣味教学的误区与对策
浅谈高中数学趣味教学的误区与对策【摘要】高中数学趣味教学是一种受欢迎的教学方法，但在实践中存在一些误区。
首先是过分追求趣味性，可能导致教学内容的表面化。
其次是忽视基础知识，可能造成学生对数学理论的理解不深。
再者是一刀切的教学方式，可能导致学生学习效果不佳。
为了解决这些问题，教师可以合理融入趣味教学，注重基础知识的讲解和巩固，采用多样化的教学手段，以及实施个性化教学。
总结经验教训可以帮助教师改进教学方法，展望未来发展可以推动高中数学教育朝着更加有效和有趣的方向前进。
通过解决上述误区，可以提升高中数学教学的质量，让学生更好地掌握数学知识，提升他们的学习兴趣和能力。
【关键词】高中数学，趣味教学，误区，对策，基础知识，教学方式，个性化教学，多样化教学手段，经验教训，未来发展。
1. 引言1.1 背景介绍在趣味教学的背景下，高中数学教学也在不断探索新的教学方法和手段，以提高教学效果。
在实践中也暴露出了一些误区，比如过分追求趣味性而忽视了基础知识的讲解和巩固，使用一刀切的教学方式等。
这些误区如果不能及时纠正，可能会影响教学效果，甚至适得其反。
本文将就高中数学趣味教学中的误区与对策进行探讨，希望能够引起广大教师和教育工作者的重视，及时调整教学方法，提高教学质量。
1.2 问题意识高中数学教学一直是备受关注的问题，随着社会的发展和学生的需求不断变化，传统的数学教学方式已经无法完全满足学生的需求。
特别是在高中阶段，数学知识的深度和广度都在逐渐增加，学生对数学教学的态度往往容易出现波动。
如何在高中数学教学中融入趣味元素，激发学生学习兴趣，成为了教师们亟待解决的问题。
目前，一些高中数学教师在趣味教学中存在一些误区，比如过分追求趣味性，导致教学内容松散，基础知识忽视不讲，一刀切的教学方式等。
这些误区不仅影响了学生对数学学习的兴趣和效果，也影响了教师的教学质量和水平。
我们迫切需要探讨高中数学趣味教学中的误区和对策，寻找解决问题的方法，旨在提高数学教学的质量和效果，激发学生对数学学习的兴趣和积极性。
例谈高中数学解题中的几类“陷阱”问题
例谈高中数学解题中的几类“陷阱”问题高中数学解题是学生们的必修课程之一，而解题过程中往往存在着各种“陷阱”问题。
这些“陷阱”问题可能导致学生们在解题过程中陷入误区，影响他们的学习效果。
我们有必要详细了解高中数学解题中的几类“陷阱”问题，以便提高解题的准确性和效率。
高中数学解题中的“陷阱”问题之一是概念理解不清。
在解题过程中，许多学生常常因为对数学概念理解不清而陷入“陷阱”。
对于一些基本概念的理解不清，导致在解题过程中将概念混淆，进而影响到答题的准确性。
学生们在学习数学的时候，应该注重对基本概念的理解和掌握，避免在解题中因为概念理解不清而出现错误。
高中数学解题中的“陷阱”问题之二是解题方法不当。
解题方法的选择和运用在解题过程中至关重要，但很多时候学生们在解题过程中并没有选择合适的解题方法，或者是没有正确地运用解题方法，导致解题过程中出现错误。
在解决一道几何题时，如果学生没有选择合适的几何定理或者方法，就很容易出现解题错误的情况。
学生们需要在学习数学的过程中，认真掌握各种解题方法，灵活选择和运用解题方法，才能有效地避免解题中的“陷阱”。
“陷阱”问题之三是计算错误。
在解题的过程中，计算是必不可少的一个环节，然而很多时候学生们在解题时出现了计算错误，导致了解题结果的错误。
这种计算错误可能是因为粗心大意，也可能是因为计算方法不当，从而导致了解题结果的失准。
为了避免解题中的计算错误，“背书弄潮”的方法是不够的，学生们需要多加练习，提高计算的准确性，确保在解题过程中不会因为计算错误而出现“陷阱”。
高中数学解题中存在着各种“陷阱”问题，需要学生们引起重视。
只有在认真学习数学知识的基础上，注重概念理解，选择和运用合适的解题方法，提高计算准确性，确保对题目的准确理解，才能更好地避免解题中的“陷阱”，提高解题的准确性和效率。
希望学生们能认真对待数学学习，不断提高自己的解题能力，从而取得更好的学习成绩。
例谈高中数学解题中的几类“陷阱”问题
例谈高中数学解题中的几类“陷阱”问题在高中数学解题过程中，经常会遇到一些“陷阱”问题，这些问题可能在表述上或解题思路上存在迷惑性的地方。
以下是一些常见的“陷阱”问题及解决方法。
一类常见的“陷阱”问题是理解题意不清楚。
这种情况下，学生往往对问题的条件和要求理解不准确，导致解题的方向出错。
为了避免这类问题，解题前应仔细阅读题目，理解其意思。
如果遇到问题不明确的地方，可以进行推理和假设，或者通过画图、列式等方式将问题转化为易于理解的形式。
另一类常见的“陷阱”问题是计算错误。
在数学解题过程中，计算是不可或缺的环节，但由于粗心或计算错误，常常会导致答案错误。
要避免这类问题，可以在解题过程中多次检查自己的计算，尤其是在计算比较复杂的题目时，可以逐步将计算结果带入公式或方程进行验证，或者利用近似值进行估算，以观察结果的合理性。
第三类“陷阱”问题是题目给出了多余的信息。
有些题目会在条件中含有冗余、无关的信息，这会给解题者带来干扰。
在解题过程中，应对问题进行分析，找出与解题无关的信息，并排除掉。
在理解题目的要求和条件时，要有针对性地提炼和应用信息，避免冗余的信息干扰解题思路。
第四类“陷阱”问题是缺少必要的中间推导和解释。
在解题过程中，通过逻辑推理和数学推导可以得出正确的结果。
但有时候为了省略步骤或便于计算，解答中可能没有给出必要的中间推导和解释。
这样一来，即使答案正确，但评分时可能会失去一部分分数。
为了避免这种情况，解题时应将推导过程和思路清晰地呈现出来，避免遗漏必要的解题过程。
还有一类“陷阱”问题是陷入固定思维模式。
有时候学生可能对某种解题方法过于依赖，陷入固定的思维模式，导致无法找到其他解题思路。
为了避免这个问题，应该多样化解题方法，充分利用所学的知识和技巧，通过不同的角度和思路进行思考和解题。
在高中数学解题过程中，遇到的“陷阱”问题可以分为理解题意不清楚、计算错误、多余信息、缺乏中间推导和解释以及陷入固定思维模式等几种情况。
浅谈数学课堂教学中设置“陷阱”的类型
、
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谈高中数学教学中巧妙运用“陷阱式”教学法
谈高中数学教学中巧妙运用“陷阱式”教学法作者：曹问信来源：《新校园·学习（中旬刊）》2011年第12期“人孰无过，知错能改，则善莫大焉”，这乃是中国古代先贤的大智慧。
作为教师不利用学生在学习中出现的差错是不能原谅的，没有大量错误作台阶就不能攀上正确结果的宝座。
因此将学生的错误引向正确轨道是每位教师义不容辞的职责，本着对这句话的理解，笔者在日常教学工作中时刻注意抓住学生在学习中出现的错误，进行归类，并且坚持在平时的数学习题课中采用“出题——犯错——寻因——改错——巩固”的“陷井式”教学思路，收到了不错的效果，通过对这几年积累下来的资料和本人自己的课堂教学笔记的总结，提出一些思考，就教于大家。
“陷井式”教学思路在实施过程中应该要依循“出题——犯错——寻因——改错——巩固”的思路，其中尤其以“寻因”和“改错”为重点，他们直接决定了“陷井式”教学思路在一堂习题课中运用的成败，而其它几个环节也不可或缺，相互依存。
一、出题这里所说的“出题”，其实就是设置“陷阱”，它是“陷井式”教学思路存在的前提。
教师应该将学生平时的随堂练习和课外作业中出现的常见错误进行诊断并加以分类，找出错误共性，分析产生错误的原因，挑选出学生容易出错的典型例题（建议采用学生未做过的题目）。
例如在导数的应用习题课中，笔者根据学生对函数在某点处导数的几何意义理解不深刻，认为所给点必为函数图象上某点的潜在假设，设计了一个典型易错题：例1.曲线f（x）=x3+7，过点A（1，3）作曲线f（x）的切线，求曲线经过A点的切线方程。
通过此题的“陷井式”教学，不仅让学生脑子里多了一根“先判断所给点是否在所给曲线上”的筋，更让他们获得了一种新的所给点不在曲线上的求切线方程的方法，得到了比单纯练习更多的收获。
二、犯错这个环节教师要做的就是看着学生掉进“陷阱”，人是在错误中长大的，一个从来不犯错的人是永远也不会成熟的。
很多教师在课堂教学中对学生出现的错误不能容忍，常常打断学生的思路，直接给出正确的解答方法或者答案，殊不知在这样的“卵翼”下学生是不可能正真获得知识的。
例谈高中数学解题中的几类“陷阱”问题
例谈高中数学解题中的几类“陷阱”问题高中数学作为学生学习的一门重要学科，对学生的逻辑思维能力和数学运算能力提出了很高的要求。
在解题过程中，经常会遇到一些“陷阱”问题，这些问题常常让学生束手无策，不知所措。
下面就来谈谈高中数学解题中的几类“陷阱”问题。
一、转化思维陷阱有些数学问题可能需要学生通过观察和转化进行解决，但很多学生却陷入了固有的思维模式中，无法及时地进行转化思维。
有时候一个数学问题的计算可以通过转化为另一种形式进行简化，但是很多学生往往因为没有转化的意识而使得解题成为一道难题。
学生在解决数学问题的时候，需要培养自己的观察和转化思维能力，注重学习问题的本质和规律，而不是死记硬背一些固定的计算方法。
二、误解题目陷阱有些数学问题看似简单，但其题意却可能被学生误解，导致出现解题错误。
这种陷阱主要是因为学生没有认真阅读题目，没有理解题目的实质。
有时候，一些没有难度的题目也可能因为学生的粗心大意而导致答案错误。
学生在解题时应该细心阅读题目，明确题目的要求和条件，正确理解题目的含义，避免因为对题目的误解而导致解题错误。
三、计算错误陷阱在数学解题过程中，一些学生由于计算过程中的疏漏和错误而导致整个解题过程出现错误。
这种陷阱可能源自学生对一些基本的数学运算规律和计算技巧的不熟悉，也可能源自学生在解题过程中的粗心大意。
学生在解题时应该注重细节，仔细思考和分析每一步的计算过程，并时刻注意排除可能的计算错误，提高解决问题的准确性。
四、过度依赖记忆陷阱有些数学问题可能通过一些通用的方法进行解决，但是学生却过度依赖记忆而使得解题过程变得僵化。
这种陷阱可能使得学生对问题的本质和规律缺乏深刻的理解，而只是机械地套用一些记忆的方法进行解决。
学生在解题过程中应该灵活运用各种数学知识和方法，注重深入理解问题的本质和规律，而不是过度依赖记忆方法进行解题。
五、盲目猜测陷阱有些数学问题可能看似难以解决，导致学生盲目猜测答案。
这种陷阱可能使得学生在解题过程中浪费大量的时间和精力，而最终得不到正确的解答。
例谈高中数学解题中的几类“陷阱”问题
例谈高中数学解题中的几类“陷阱”问题在高中数学的学习过程中，我们常常会遇到各种各样的问题，其中一些可能会给我们带来困扰和挫折，这些问题就是所谓的“陷阱”问题。
以下将分别讨论一些常见的“陷阱”问题及解决方法。
一、视觉误差视觉误差是指在看题或画图时由于疏忽或误差而导致的错误。
在数学解题中，视觉误差可能会导致我们看错符号、遗漏数字等，因此在解题时一定要注意仔细观察题目中的符号、数字等细节，尤其是类似于正负号、小数点等易被忽视的符号。
二、语言歧义语言歧义是指在解读题目中，由于语言表述不够清晰明确而导致的误解。
解决这类问题，最关键的就是要仔细阅读题目，理解题目作者要表达的意思，善于将抽象的语言转化为符号式的语言，尤其是出现否定词、多义词等时，更需要仔细理解。
三、有意的误导有意的误导是指在题目中故意设置错误的信息，造成受试者困惑和误解。
这类问题的解决需要我们有足够的数学基础和解题经验，并且要提高警惕，认真分析题目中的信息，避免被错误信息所干扰。
无意的误导是指在解题过程中，因为一些细节或计算上的疏忽而造成的误解。
解决无意的误导，最根本的方法是要善于掌握计算技巧和数学思维方法，尤其是在复杂数学问题中更需要我们耐心分析，认真检查每个环节，避免疏漏和错误的发生。
五、题意转换题意转换是指在解题中，由于题目表述不够清晰明了而容易出现解题偏差的情况。
对于这类问题，我们可以通过对题目进行多次读解，通过自己的理解来判断题目的意图以及需要解决的问题，避免出现观点偏差或误解的情况。
综上所述，高中数学解题过程中所遇到的“陷阱”问题有很多，但是只要我们掌握了正确的解题方法和灵活的思维方式，认真理解题目中的信息，细心处理每一个细节，就一定能够顺利地解决问题，顺利地完成数学学习的任务。
例谈高中数学解题中的几类“陷阱”问题
例谈高中数学解题中的几类“陷阱”问题高中数学是许多学生认为最难掌握的学科之一。
在解决数学问题的过程中，学生们经常会遇到各种陷阱问题，这些问题会使他们在解题过程中感到困惑和挫败。
本文将探讨高中数学解题过程中常见的几类“陷阱”问题，并提供相应的解决方法，希望能够帮助学生们更好地应对这些问题。
一、概念理解不清导致的陷阱问题在高中数学中，许多问题都建立在一些基本概念之上。
如果学生对这些概念理解不清或者模糊，就容易在解题过程中陷入误区。
在代数中，学生经常会搞混一元一次方程和一元二次方程，导致在解题时出现错误。
解决这类问题的关键是要通过多做题、多思考、向老师请教等方式，加深对基本概念的理解。
只有对基本概念有透彻的理解，才能在解题中避免陷阱。
另外一类常见的陷阱问题是由于对题目理解偏差导致的。
很多数学问题在表述上存在歧义，学生在理解题目的时候容易出现偏差。
“小明把钱存入银行，每年利息率为5%，存款5年后，利息为多少？”这类问题如果理解不准确，就容易算错利息。
解决这类问题的方法是：在看题目的时候要仔细，看清楚题目中的各个要求和条件，并逐字逐句地理解清楚，确认自己对题目的理解是正确的再着手解题。
培养自己的逻辑思维能力和分析能力，以便更准确地理解题目。
三、计算失误导致的陷阱问题高中数学问题往往需要较复杂的计算过程。
在解题过程中，学生可能会因为疏忽、马虎或者计算错误而出现陷阱问题。
在解决等差数列或等比数列的问题时，很容易因疏忽导致计算错误。
解决这类问题的方法是：在解题过程中，要十分细心，严格按照计算步骤进行计算，避免疏忽或者马虎造成的计算错误。
也可以适当使用计算器进行辅助计算以减少失误。
四、题目转化不当导致的陷阱问题有时候，高中数学问题的解题过程需要将原问题进行适当的转化。
如果学生在转化过程中出现错误或者不当，就容易在解题中陷入陷阱。
在解决极限的问题时，学生要将极限的变量进行适当的转化，如果转化不当，就容易出现错误的结论。
例谈高中数学解题中的几类“陷阱”问题
例谈高中数学解题中的几类“陷阱”问题高中数学作为学生学习的重要科目，涉及到了许多基础概念和解题方法。
在解题过程中，有时候会因为一些特殊的“陷阱”问题而出现错误的答案。
这些“陷阱”问题可能是因为解题的思维误区、知识点的理解不够深入、题目表达不清晰等原因导致的。
本文通过例谈高中数学解题中的几类常见“陷阱”问题，希望能够提醒学生们在解题的过程中注意这些问题，并且加以避免。
一、题目表述不清晰在高中数学解题中，有一类“陷阱”问题是因为题目本身的表述不够清晰导致的。
这类题目可能会出现模棱两可的描述，让学生产生歧义，进而导致错误答案的产生。
例如：例1：已知一个数x的平方是25，求这个数x的值。
对于这个问题，很容易让学生误解为x的平方根是25，而忽略了x的平方可以是正数或者负数。
正确的解法应该是x的平方根是5或者-5，因此x的值可以是5或者-5。
对于这类题目，学生在解题时需要充分理解题目的含义，不要轻易做出武断的判断，避免因为题目表述不清晰而出现错误答案。
二、计算方法不当在高中数学解题中，计算方法的选取也是一个容易出现“陷阱”问题的地方。
有时候学生在解题过程中可能会选择错误的计算方法，导致最终答案错误。
例如：例2：求不定方程2x+3=7的解。
对于这个问题，有些学生可能会选择错误的计算方法，直接将方程两边都减去3，得到2x=4，再除以2，得到x=2。
然而正确的解法应该是将方程两边都减去3，得到2x=4，再除以2，得到x=2。
正确的解法应该是x=2。
在解决这类问题时，学生需要审题慎思，并且选择正确的计算方法，避免因为计算方法不当而出现错误答案。
三、思维惯性例3：已知直角三角形的两条直角边分别是3和4，求斜边的长。
对于这个问题，有些学生可能会错误地采用勾股定理的计算方法，得到斜边的长是5。
然而正确的解法是考虑到直角三角形的斜边是直角边的平方和的开方，因此斜边的长应该是5。
所以这类问题需要学生在解题时避免思维定势，灵活运用所学的知识解题。
例谈高中数学解题中的几类“陷阱”问题
例谈高中数学解题中的几类“陷阱”问题在高中数学解题过程中，常常会遇到一些“陷阱”问题，这些问题看似简单，却容易使得学生在解答中迷失方向，导致答案错误。
因此在解题过程中，需要特别注意这些“陷阱”，以免影响最终的解答结果。
一、“恒等式”陷阱问题所谓“恒等式”，是指对于数学中的一些式子，无论取什么值都成立的式子。
比如，$\sin^2x+\cos^2x=1$、$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$等等。
这些式子虽然看似简单明了，但在解题过程中，却容易被混淆。
以一个简单例子来说，试解方程$\sqrt{x}+2=3\sqrt{2x-1}$。
首先，我们可以平方得到$x+4\sqrt{x}+4=18x-9$，化简得到$x=\frac{13-4\sqrt{x}}{17}$。
我们发现，这个方程可以通过恒等式$\sqrt{x}=2-\frac{4\sqrt{x}}{17}$进一步简化，得到$x=3$是一个解。
但这个解并不是“恒等式”的导致，而是平方操作得到的一个“虚假”解，因此需要进行验证，才能确保它是正确的。
在解题过程中，往往需要考虑待解方程或者不等式的解集是否属于实数域。
因为有时候，方程或不等式在复数域中也有解，但这些解在实际问题中是不可实现的。
以不等式来说，比如解不等式$\frac{x^2+2x+2}{x+1}\leqslant 0$。
如果直接计算不等式的解集，可以得到$\{x\mid x\in(-1- i\sqrt{3},-1+i\sqrt{3})\}$，但这个解集在实际中是没有意义的，因此需要特别注意。
在解决一些数学问题时，需要进行变形操作，有时这些变形可能会导致信息的缺失或者错误的结果。
以算术平均数和几何平均数为例。
已知两个数的算术平均数等于几何平均数，试求这两个数的值。
可以设这两个数为$a$和$b$，由已知条件可以得到$\frac{a+b}{2}=\sqrt{ab}$，也就是说，$a^2-2ab+b^2=0$，解得$(a-b)^2=0$，即$a=b$。
教师进修学校数学教学中的问题与解决对策
教育新探教师进修学校数学教学中的问题与解决对策■王延豪摘要：进修学校的主要教学目的就是培养学生的教学技术和就业能力，主要是输出有一定专业技术和能力的实用型人才，所有学校开设的专业技能课程和文化课程对学生们的发展都十分重要，如果教师不能将专业课学习透彻，在未来的教学工作和生活当中难免出现问题。
但是当前我们进修学校的文化课教学还存在许多问题。
关键词：教师进修学校；教学现状；问题和解决对策前言：教师进修学校的数学教师要注意提升自身的教学水平，对教学过程当中出现的问题进行深层次的解决，当前教师进修学校面临着学生的起点较低、差距很大、厌学现象严重等情况，并且由于教师进修学校的特殊性，学生们上课的过程中会不自觉地将自己的教学方式和教师的教学方式进行对比，产生抗拒心理，这就导致了进修学校数学教学的质量不让人满意。
1.当前进修学校主要教学问题1.1教材角度当前教材内容和专业的教学知识也不能很好匹配，教学过程当中需要对教材进行适当的调整。
1.2教学内容当前进修学校对学生们的教学内容不够灵活，知识滞后或者是过于超前。
对课时的安排不够合理，甚至达不到基本的教学内容覆盖，教学计划当中的数学课和专业的设置界限太明显，数学课的教学内容自成体系。
如果这些来进修的教师无法保证自身的数学知识的巩固和教学技能的熟练，就无法保证高质量的教学。
1.3教学的实际情况当前数学教学和专业教学严重脱节，导致了学生进行学习的目的性不够明确，对所学的数学知识专业的要求不知有什么样的关系。
2.推进教师进修学校的数学教学2.1改变学生思想观念大部分教师进修的原因都是在日常的教学过程中出现了问题或者是想要进一步提升自己的教学素养，因此进修学校的教师要能够在日常的教学生活当中主动解决他们，找机会来帮助他们找回自信，来转变和优化他们的教学理念，进修学校的教师在日常的教学生活当中需要让学生们从实际出发，对他们出现的问题进行针对性的解决，引导学生们进行思考和鼓励，让他们广泛进行学习，体会到教学成功的喜悦。
构建高中高效数学课堂教学中的若干误区及对策
构建高中高效数学课堂教学中的若干误区及对策赣榆县第一中学游爱玲摘要: 新课程理论认为“改变原有的单纯接受式的学习方式，建立和形成旨在充分调动、发挥学生主体性的学习方式，自然成为这场教学改革的核心任务。
”但是，理论是抽象的，新课程的理念只有在课堂教学实践中才能得以充分体现。
由于课堂教学实践的丰富性和复杂性，加之新课程理念的抽象性，一些教师对新课程标准内涵的理解和把握的层面不同，教学实践中出现了一些值得警惕的新误区。
关键词:新课程理念片面理解误区及对策新课程理论认为“改变原有的单纯接受式的学习方式，建立和形成旨在充分调动、发挥学生主体性的学习方式，自然成为这场教学改革的核心任务。
”因此，把课堂还给学生，让课堂充满活力，教师由教学的“独奏者”过渡到“伴奏者”，让学生由被动地接受知识转化为主动、愉快地学习成为当今教育的必然趋势。
但是，理论是抽象的，新课程的理念只有在课堂教学实践中才能得以充分体现。
由于课堂教学实践的丰富性和复杂性，加之新课程理念的抽象性，一些教师对新课程标准内涵的理解和把握的层面不同，教学实践中出现了一些值得警惕的新误区。
以下笔者结合自己的教学实践和听课交流活动，结合市教研室推出“‘六模块’建构式课堂”教学模式对发现的新误区进行一些思索：一、问题不明确导致思考盲目性《数学课程标准》指出：要为学生留有足够的探索的空间，以利于改变学生的学习方式，可以通过“看一看、想一想、议一议”等引导学生进行探索与交流，在课堂教学中,应该给学生留出更多的时间与空间进行思考。
“‘六模块’建构式课堂”中的模块一就是自学质疑模块, “自学质疑”有助于激发学生潜能和内驱力，促进学生积极有效地学。
但在实际课堂教学中有一部分教师并没有充分调动起学生的积极性，只是一味地让学生看书、做练习，造成很多学生“想学什么就学什么”、“想怎么学就怎么学”、“想怎么说就怎么说”、“学生学到哪儿算哪儿”、“脚踩西瓜皮，滑到哪里算哪里”；也有一部分教师给学生规定好了学习的内容，造成学生只是机械地模仿书上的例题完成书后的习题，而不知道挖掘例题的功能，更不用说知识产生和发展的过程了；还有部分教师提出的问题太笼统,学生不知怎样把问题带到学习中,造成自学的盲目性。
高中数学教学中的陷阱奉化市教师进修学校
WORD 完整版----可编辑----教育资料分享摭谈高考立体几何解答题的若干特点浙江省湖州新世纪外国语学校莲花庄校区 313000 黄加卫立体几何是高中数学的主干内容之一,由于它在培养学生空间想象能力、逻辑推理能力等方面有着独到的作用,因而成为历届高考重点考查的内容.笔者通过对近三年的高考中的立体几何解答题的仔细观察与分析,发现其除了出现一些常规的问题以外,还呈现出以下几个特点,故叙述如下,以供研讨.1“倾倒型几何体”所谓“倾倒型几何体”指的是把棱柱、棱锥以及棱台等常见的多面体或旋转体“推倒”或“倒置”、掌握知识的水平以及模式识别的能力.例1 (2008年四川理科卷)如图1,平面ABEF ⊥平面ABCD ,四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形,90BAD FAB ∠=∠=︒,BC =//12AD ,BE =//12AF .（Ⅰ）证明:C 、D 、F 、E 四点共面；（Ⅱ）设AB BC BE ==,求二面角A ED B --的大小.分析（Ⅰ）如图2,延长DC 交AB 的延长线于点G ,由AD BC 21//=得12GB GC BC GA GD AD ===. 延长FE 交AB 的延长线于'G ,同理可得''''12G E G B BE G F G A AF ===, 故''G B GB G A GA=,即G 与'G 重合.故命题得证. （Ⅱ）设1AB =,则1BC BE ==,2AD =,取AE 中点M ,则BM AE ⊥,又由已知得,AD ⊥平面ABEF ,故AD BM ⊥,所以BM ⊥平面ADE .作MN DE ⊥,垂足为N ,连结BN ,由三垂线定理知BN ED BNM ⊥∠，为二面角A ED B --213223AD AE BM MN DE ⨯==⋅=，.故26tan ==∠MN BM BNM , 所以二面角A ED B --的大小为26arctan. 评注 实际上多面体ADF BCE -是一个“倾倒的三棱台”,如果能够认识这点实质,解决此题便水到渠成了.这就要求考生能够通过对几何体的表面特征的识别,从而还原其本来面目.2006年湖南理科卷、2007福建文科卷、2007四川文科卷等高考卷中的立体几何解答题便属于这种题型. 2 “墙角型几何体”在立体几何问题中,若其中有一条棱(或一个面)与底面垂直的几何体,它的形状就像墙角的一部分,我们就形象地称此几何体为“墙角型几何体”.本类试题主要抓住这条垂直于底面的侧棱(或侧面)展开,解答时既可利用传统的几何方法求解,也可利用空间向量的方法求解.由于“墙角型几何体”中有一条侧棱(或侧面)与底面垂直,为建立空间坐标系提供了很大的便利,所以多数情况下利用空间向量求解会更容易一些,而且可以大大减小思维量,操作简单易行,充分体现了向量的工具性.例2(2008年安徽卷)如图3,在四棱锥O ABCD -中,底面ABCD 为四边长为1的菱形,4ABC π∠=,OA ⊥底面ABCD ,2OA =,M 为OA 的中点,N 为BC 的中点图 1ADBCFE)G ' N M 图 2(0,0,0),(1,0,0),((0,0,2),(0,0,1),(1A B P D O M N,(Ⅰ)2222(1,,1),(0,,2),(2)4422MN OP OD=--=-=--.设平面OCD的法向量为(,,)n x y z=,则0,0n OP n OD⋅=⋅=即20,20,y zx y z-=⎨⎪-=⎪⎩取z=解得(0,4,2)n=,MN n⋅=∵,∴MN‖平面OCD.(Ⅱ)设AB与MD所成的角为θ,(1,0,0),(1)2AB MD==--∵,1cos,2AB MDAB MDθ⋅==⋅∴3πθ=∴,即AB与MD所成角的大小为3π.(Ⅲ)设点B到平面OCD的距离为d,则由(1,0,2)OB=-,得23OB ndn⋅==.即点B到平面OCD的距离为23.评注当然这样的问题仅在2008年的高考中就屡有出现,如全国卷(Ⅱ)、北京卷、湖北卷、江苏卷、湖北卷、辽宁卷与陕西卷等高考试卷中的立体几何解答题均属于这种类型.3“组合型几何体”所谓“组合型几何体”指的是除棱柱、棱锥以及棱台等常见的多面体之外,由若干平面图形或立体图形组合或裁剪而成的其它类型的多面体.这类试题往往具有较强新颖性,考生也经常觉得问题的“面目”比较生疏,对其整体特征或性质把握不准,容易走入歧途.例3 (2008年浙江理科卷)如图5,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,CFBE//,,90︒=∠=∠CEFBCF2,3==EFAD.(Ⅰ)求证://AE平面DCF；(Ⅱ)当AB的长为何值时,二面角CEFA--的大小为︒60?分析如图6,以点C为坐标原点,以CB CF，和CD分别作为x轴,yDA图3轴和z 轴,建立空间直角坐标系C xyz -.设AB a BE b CF c ===，，,则(000)C ，，,)A a ，,0)B ，,0)E b ，,(00)F c ，，.（Ⅰ）由上易得(0)AE b a =-，，,(30)CB =，，,(00)BE b =，，, 所以0CB AE ⋅=,0CB BE ⋅=,从而CB AE ⊥,CB BE ⊥,所以CB ⊥平面ABE .因为CB ⊥平面DCF ,所以平面ABE ∥平面DCF .故AE ∥平面DCF .（Ⅱ）因为(0)EF c b =--，,(30)CE b =，，,而0EF CE =,||2EF =, 故3()02b c b -+-=⎧=，，解得34b c ==，.所以(03)AE a =-，，,(0)EF =-，. 设(1)n y z =，，与平面AEF 垂直,则0n AE ⋅=,0n EF ⋅=,解得(13n a=，，.又因为BA ⊥平面BEFC ,(00)BA a =，，,所以||1|cos |2||||BA n n BA BA n ⋅<>==⋅，,得到92a =.所以当AB 的长为92时,二面角A EF C --的大小为60. 评注 解决此类问题时,考生一般应具备较强的立体几何基础,也能较熟练地运用相关知识去解决类似问题.不过其关键还是在于应抓住问题中的点线面的关系,以不变应万变,这样才能立于不败之地.2006天津卷、2007江西文科卷等高考试卷中的立体几何解答题均属于这种类型. 4“常规综合型几何体”所谓“常规综合型几何体”、方程或数列等知识,即使是仅限于立体几何本身的话,也经常把诸多知识点放在一块进行考查.这类试题有时还带有探究的意味.例4(2008年辽宁理科卷)如图7,在棱长为1的正方体ABCD A B C D ''''-中,b BQ AP == )10(<<b ,截面D A PQEF '//,截面D A PQGH '//. (Ⅰ)证明:平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直；(Ⅱ)证明:截面PQEF 和截面PQGH 面积之和是定值,并求出这个值； (Ⅲ)若E D '与平面PQEF 所成的角为45,求E D '与平面PQGH 所成角的正弦值.分析 如图8,以D 为原点,射线D D DC DA ',,分别为z y x ,,轴的正半轴建立空间直角坐标系xyz D -,由已知得1DF b =-,故(100)A ，，,(101)A '，，,(000)D ，，,(001)D '，，,(10)P b ，，,(11)Q b ，，,(110)E b -，，,(100)F b -，，,(11)G b ，，,(01)H b ，，.(Ⅰ)由上可得(010)(0)PQ PF b b ==--，，，，，,(101)PH b b =--，，,(101)AD '=-，，，(101)A D '=--，，. A B C DE FP Q HA 'B 'C 'D 'G图 7因为00AD PQ AD PF ''⋅=⋅=，,所以AD '是平面PQEF 的法向量.同理A D '是平面PQGH 的法向量.又因为0AD A D ''⋅=,所以A D AD ''⊥,所以平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直.（Ⅱ）因为(010)EF =-，，,所以EF PQ EF PQ =∥，,又PF PQ ⊥,所以PQEF 为矩形,同理PQGH 为矩形.在所建立的坐标系中可求得2(1)PH b =-,2PF b =,所以2PHPF +=,又1PQ =,所以截面PQEF 和截面PQGH ,是定值.（Ⅲ）由已知得D E '与D A '成45角,又(111)(101)D E b D A ''=--=-，，，，，可得 2D E D A D E D A''⋅=='',解得12b =.故1112D E ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，，,又(101)A D '=--，，,所以E D '与平面PQGH 所成角的正弦值为|cos |6D E A D ''<>=，评注 上例主要考查空间中的线面平行及垂直、面面垂直、线面角、解三角形以及方程等基础知识,考查空间想象能力与逻辑思维能力.这就要求考生具有一定的综合运用知识的能力,才能对问题进行圆满地分析、解决.2006重庆理科卷、2006年广东卷等高考试卷中的立体几何解答题均属于这种类型.从总体而言,立体几何解答试题往往是中档题,因而对立体几何知识的复习,应当紧扣教材,熟悉教材中每一个概念,掌握教材中各个定理的种种用途,破解画图、读图、识图、用图的层层关口,巩固高中数学的综合性知识,提升解题思维中的空间想象力、逻辑推理论证以及问题转化的能力,这样才能在解题时游刃有余.。
例谈高中数学解题中的几类“陷阱”问题
例谈高中数学解题中的几类“陷阱”问题高中数学解题是一门具有挑战性的学科，需要深入理解概念并熟练掌握各种解题技巧。
然而，在实际解题中，人们往往会遇到很多“陷阱”问题。
这些问题可能在解题过程中导致人们迷失方向、偏离正确思路，甚至最终错失解题机会。
本文将重点分析高中数学解题中的几类“陷阱”问题，以便为解题者提供更为有效的指导。
1. 基础概念混淆问题在高中数学解题中，基础概念是解题的基础和核心。
然而，由于概念的解释和定义有时较为模糊，以及个人理解和记忆的差异，很多解题者可能会混淆概念。
例如，人们可能会将平面上两点的距离和两点的坐标混淆，将等边三角形和等腰三角形混淆，将最大值和最小值混淆等等。
这些混淆不仅会导致解题路线的错误，更会使得整个解题过程出现混乱，从而浪费时间和精力。
应对方法：解决基础概念混淆问题的关键在于打好基础。
解题者需要认真阅读教材，理解并牢记常见概念的定义和解释，以及它们的特征和区别。
例如，在学习距离和坐标相关的概念时，需要注意它们的不同定义和应用范围，同时可以通过练习多元素解题等方法来巩固对这些概念的掌握。
2. 推理推导错误问题在解题中，人们通常需要进行各种推理、推导操作，以便找到问题的关键部分或得到结论。
然而，这些操作往往并不是直接的，需要一些方法和技巧才能完成。
如果解题者在借助这些方法和技巧进行推理推导时出现问题，就会导致解题的错误或不完整。
应对方法：解决推理推导错误问题的关键在于提高数学推理能力。
解题者需要掌握一些推导技巧，例如数学归纳法、反证法、构造法等，同时需要学会以多种方式表达和理解题目，善于寻找和利用规律和特点。
此外，解题者还需要注意推理过程的逻辑性和正确性，避免思维的跳跃和漏洞，对每个步骤进行精细化的验证和分析。
3. 计算失误问题高中数学解题中的大部分题目都需要进行计算，尤其是在代数和几何部分。
然而，人们在进行计算时往往会出现一些失误，例如漏乘漏除、加减错误、代入公式错误等等。
例谈高中数学解题中的几类“陷阱”问题
例谈高中数学解题中的几类“陷阱”问题高中数学作为学生学习生活中的一门重要学科，其解题过程中常常会遇到一些“陷阱”问题，这些问题会让学生很难理解和解决。
本文将对高中数学解题过程中的几类“陷阱”问题进行讨论和分析，希望能够帮助学生们更好地理解和掌握数学知识，提升解题能力。
第一类“陷阱”问题是概念理解不清导致的。
在高中数学中，许多概念都是相互联系的，前面的知识会对后面的内容产生影响。
如果学生在学习时对某个概念没有理解清楚，很可能会在后续的解题过程中出现困难和错误。
对于函数的概念理解不清晰，可能会导致在解题的过程中对函数的性质和特点理解不准确，从而产生错误的结果。
针对这类问题，学生要在学习的过程中注重对概念的理解和掌握，可以通过多做题目、找寻相关应用等方式来加强自己的理解和记忆。
第二类“陷阱”问题是计算错误导致的。
高中数学中的很多问题都需要进行复杂的计算，一旦出现计算错误就很容易导致整个解题的错误。
这类问题可能包括了粗心大意导致的计算错误，也可能是对于某些计算方法不够熟练导致的错误。
对于三角函数的计算或者复杂的代数式计算，学生如果没有掌握好相应的计算方法，很容易在解题的过程中出现错误。
对于这类问题，学生要注重在课下多加练习，熟练掌握各种计算的方法和技巧，提高自己的计算能力。
第三类“陷阱”问题是问题分析不清导致的。
在高中数学中，很多问题都需要进行逻辑分析和推理，只有通过深入分析和理清问题的逻辑关系才能够解决问题。
如果学生在解题的过程中不能够清晰地理解问题的要求和逻辑关系，很容易导致解题的错误。
在解决函数的极值问题时，如果没有正确理解问题的要求和分析清楚函数的性质，很容易得出错误的结论。
对于这类问题，学生要善于思考和分析，学会灵活运用各种解题方法和技巧，以便更好地理解和解决问题。
高中数学解题中常见的“陷阱”问题包括概念理解不清、计算错误、问题分析不清和概念混淆等几类。
针对这些问题，学生要在学习的过程中注重对概念的理解和掌握、提高自己的计算能力、善于思考和分析、加强对概念的区分和理解，以便更好地应用到解题过程中，从而提升自己的解题能力。
高中数学模块设置陷阱教案
高中数学模块设置陷阱教案
教学目标：通过设置陷阱，帮助学生提高数学思维能力，培养他们的解题技巧和逻辑推理能力。
教学内容：高中数学模块（含代数、几何、统计等内容）
教学步骤：
1. 准备工作：在课堂上准备一些看似简单但实则是陷阱的练习题目，并将其分发给学生。
2. 引导学生思考：让学生独立或小组合作解答这些题目，并在解答完后让他们分享自己的答案和解题思路。
3. 揭示陷阱：在学生分享完答案后，揭示其中的陷阱，说明为什么这些答案是错误的，引导学生找出解题时的盲点和逻辑漏洞。
4. 分析解题技巧：让学生分析为什么会掉入陷阱，如何避免类似的错误，强调解题时的细节把握和思维逻辑。
5. 练习巩固：让学生继续练习类似的陷阱题目，巩固他们的解题技巧和思维能力。
6. 总结反思：在课堂结束前，让学生总结本节课的学习收获和体会，反思自己在解题过程中的问题和不足之处。
教学效果：通过设置陷阱教案，可以让学生在解题过程中更加谨慎和细致，提高他们的数学思维能力和解题技巧，培养他们的逻辑推理能力和分析能力。
同时也可以激发学生对数学学习的兴趣和热情，提升他们的学习成绩和思维水平。
【此教案仅作范本，请根据具体教学内容和学生水平进行适度调整。
】。
高中数学趣味教学的误区与对策
式、排列组合，等等。这些不同的数学知识，所适 用的教学方法是不同的。比如不等式，其主要是 数学逻辑关系，立体几何则是空间关系。不等式 教学可以通过案例演示、对比教学等方法，对其中 包含的数学逻辑关系实现深层次揭示。而对于立 体几何，则适宜利用多媒体展示立体化的几何模 型，并且从不同角度对几何图形予以透视，增进学 生的理解。作为数学教师，就要在课堂上根据教 学内容的特点，选择对应的手段实施教学，确保二 者契合。
2. 适度把握引导和自主探究的度，充分保障 实际教学效果
在趣味性教学过程中，教师需要合理把握自 身引导及学生自主探索之间的度，防止整个教学 过程陷入某一极端。也就是说，教师需要做好教 学设计，针对教学过程的预习、课堂及复习阶段进 行合理设计，同时利用问题教学法、情境教学法、 合作教学法等方法，引导学生进行深度探索，激发 其兴趣并展开教学。需要注意的是，引导学生探 究学习需要合理把握“度”，不能太浅也不能太难， 否则会影响具体的效果。所以，在学生进行探究 的过程中，教师要合理把握，确保教学效果达到预 期水平。具体来讲，一方面，教师可以从探究内容 上进行分层设计，也就是根据学生不同的数学水 平，设计不同难度的探究任务。一个班级的学生， 有的学生数学水平高一些，有的学生数学水平低 一些，根据学生的实际水平，设计层次化的探究内 容，在课堂上将其分发给学生，这样就能确保学生 的探究任务与他们自身的水平相符合。另一方 面，在学生进行自主探究学习的过程中教师要对 学生的学习情况加强观察，尤其是对于出现学习 困难的学生，要适时点拨启发，帮助学生战胜困 难，顺利完成探究学习，取得良好的效果。
高中数学趣味教学的误区与对策 陈小鹏
智慧讲坛 ZHIHUI JIANGTAN
数学知识本身较为抽象、复杂，很多学生在学 习时往往难以理解、掌握和有效应用，进而导致实 际教学效果和预期出现较大偏差，因此必须采取 合理措施加以改善，趣味教学便是行之有效的方 式。趣味教学可以充分激发学生探索欲望，简化 教学内容，避繁就简地进行数学思维培养，全面促 进教学质量的提升。不过，在当前的高中数学趣 味教学中还存在一些误区，严重影响了趣味教学 的实施效果。
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摭谈高考立体几何解答题的若干特点浙江省湖州新世纪外国语学校莲花庄校区 313000 黄加卫立体几何是高中数学的主干内容之一,由于它在培养学生空间想象能力、逻辑推理能力等方面有着独到的作用,因而成为历届高考重点考查的内容.笔者通过对近三年的高考中的立体几何解答题的仔细观察与分析,发现其除了出现一些常规的问题以外,还呈现出以下几个特点,故叙述如下,以供研讨. 1“倾倒型几何体”所谓“倾倒型几何体”指的是把棱柱、棱锥以及棱台等常见的多面体或旋转体“推倒”或“倒置”后而形成的几何体.这种几何体能够切实地考查考生的空间想象能力、掌握知识的水平以及模式识别的能力.例1 (2008年四川理科卷)如图1,平面ABEF ⊥平面A B C D ,四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形,90BAD FAB ∠=∠=︒,BC =//12AD ,BE =//12AF .（Ⅰ）证明:C 、D 、F 、E 四点共面；（Ⅱ）设AB BC BE ==,求二面角A ED B --的大小.AD BC 21//=得分析（Ⅰ）如图2,延长DC 交AB 的延长线于点G ,由12GB GC BC GA GD AD ===. 延长FE 交AB 的延长线于'G ,同理可得''''12G E G B BE G F G A AF ===,故''G B GB G A GA=,即G 与'G 重合.故命题得证. （Ⅱ）设1AB =,则1BC BE ==,2AD =,取AE 中点M ,则BM AE ⊥,又由已知得,AD ⊥平面ABEF ,故AD BM ⊥,所以BM ⊥平面A D E .作MN DE ⊥,垂足为N ,连结BN ,由三垂线定理知BN ED BNM ⊥∠，为二面角A ED B --的平面角.而122AD AE BM MN DE ⨯==⋅.故26tan ==∠MN BM BNM , 所以二面角A ED B --的大小为26arctan. 图 1ADBCFE )G 'NM图 2评注 实际上多面体ADF BCE -是一个“倾倒的三棱台”,如果能够认识这点实质,解决此题便水到渠成了.这就要求考生能够通过对几何体的表面特征的识别,从而还原其本来面目.2006年湖南理科卷、2007福建文科卷、2007四川文科卷等高考卷中的立体几何解答题便属于这种题型. 2 “墙角型几何体”在立体几何问题中,若其中有一条棱(或一个面)与底面垂直的几何体,它的形状就像墙角的一部分,我们就形象地称此几何体为“墙角型几何体”.本类试题主要抓住这条垂直于底面的侧棱(或侧面)展开,解答时既可利用传统的几何方法求解,也可利用空间向量的方法求解.由于“墙角型几何体”中有一条侧棱(或侧面)与底面垂直,为建立空间坐标系提供了很大的便利,所以多数情况下利用空间向量求解会更容易一些,而且可以大大减小思维量,操作简单易行,充分体现了向量的工具性.例2(2008年安徽卷)如图3,在四棱锥O ABCD -中,底面ABCD 为四边长为1的菱形,4ABC π∠=,OA ⊥底面ABCD ,2OA =,M 为OA 的中点,N 为BC 的中点(Ⅰ)证明:直线MN ‖平面OCD ；(Ⅱ)求异面直线AB 与M D 所成角的大小； (Ⅲ)求点B 到平面OCD 的距离.分析 作AP CD ⊥于点P ,如图4,分别以AO AP AB ,,所在直线为,,x y z 轴建立坐标系,则(0,0,0),(1,0,0),(0,((0,0,2),(0,0,1),(122244A B P D O M N --, (Ⅰ)(11),2),(2)MN OP OD =-=-=- .设平面OCD 的法向量为(,,)n x y z =,则0,0n OP n OD ⋅=⋅=即 20,220,y zx y z -=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩取z =解得n = , 0MN n ⋅=∵,∴MN ‖平面OCD .(Ⅱ)设AB 与MD 所成的角为θ,图 3(1,0,0),(1)22AB MD ==-- ∵,1cos ,2AB MD AB MD θ⋅==⋅ ∴3πθ=∴,即AB 与MD 所成角的大小为3π.(Ⅲ)设点B 到平面OCD 的距离为d ,则由(1,0,2)OB =- ,得23OB n d n⋅==.即点B 到平面OCD 的距离为23. 评注 当然这样的问题仅在2008年的高考中就屡有出现,如全国卷(Ⅱ)、北京卷、湖北卷、江苏卷、湖北卷、辽宁卷与陕西卷等高考试卷中的立体几何解答题均属于这种类型. 3“组合型几何体”所谓“组合型几何体”指的是除棱柱、棱锥以及棱台等常见的多面体之外,由若干平面图形或立体图形组合或裁剪而成的其它类型的多面体.这类试题往往具有较强新颖性,考生也经常觉得问题的“面目”比较生疏,对其整体特征或性质把握不准,容易走入歧途.例3 (2008年浙江理科卷)如图5,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直,CF BE //,,90︒=∠=∠CEF BCF 2,3==EF AD .(Ⅰ)求证://AE 平面DCF ；(Ⅱ)当AB 的长为何值时,二面角C EF A --的大小为︒60?分析 如图6,以点C 为坐标原点,以CB CF ，和CD 分别作为x 轴,y 轴和z 轴,建立空间直角坐标系C xyz -.设AB a BE b CF c ===，，,则(000)C ，，,)A a ，,0)B ，,0)E b ，,(00)F c ，，. （Ⅰ）由上易得(0)AE b a =- ，，,0)CB = ，,(00)BE b =，，, 所以0CB AE ⋅= ,0CB BE ⋅=,从而CB AE ⊥,CB BE ⊥,所以CB ⊥平面ABE .因为CB ⊥平面DCF ,所以平面ABE ∥平面DCF .故AE ∥平面DCF .（Ⅱ）因为(0)EF c b =- ，,0)CE b = ，,而0EF CE =,||2EF =,故3()02b c b -+-=⎧=，，解得34b c ==，.所以D ABE FC图 5(03)AE a =- ，，,(0)EF = ，.设(1)n y z = ，，与平面AEF 垂直,则0n AE ⋅= ,0n EF ⋅= ,解得n = .又因为BA ⊥平面BEFC ,(00)BA a = ，，,所以||1|cos |2||||BA n n BA BA n ⋅<>==⋅，,得到92a =. 所以当AB 的长为92时,二面角A EF C --的大小为60. 评注 解决此类问题时,考生一般应具备较强的立体几何基础,也能较熟练地运用相关知识去解决类似问题.不过其关键还是在于应抓住问题中的点线面的关系,以不变应万变,这样才能立于不败之地.2006天津卷、2007江西文科卷等高考试卷中的立体几何解答题均属于这种类型. 4“常规综合型几何体”所谓“常规综合型几何体”主要指的是对于试题考查的范围和难度而言的.这类相关几何体的问题中往往涉及到函数、方程或数列等知识,即使是仅限于立体几何本身的话,也经常把诸多知识点放在一块进行考查.这类试题有时还带有探究的意味. ABCD A B C D ''''-例4(2008年辽宁理科卷)如图7,在棱长为1的正方体中,b BQ AP == )10(<<b ,截面D A PQEF '//,截面D A PQGH '//. (Ⅰ)证明:平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直； (Ⅱ)证明:截面PQEF 和截面PQGH 面积之和是定值,并求出这个值；(Ⅲ)若E D '与平面PQEF 所成的角为45,求E D '与平面PQGH 所成角的正弦值.分析 如图8,以D 为原点,射线D D DC DA ',,分别为z y x ,,轴的正半轴建立空间直角坐标系xyz D -,由已知得1DF b =-,故(100)A ，，,(101)A '，，,(000)D ，，,(001)D '，，,(10)P b ，，,(11)Q b ，，,(110)E b -，，,(100)F b -，，,(11)G b ，，,(01)H b ，，.(Ⅰ)由上可得(010)(0)PQ PF b b ==--，，，，，,(101)PH b b =-- ，，,(101)AD '=- ，，，(101)A D '=-- ，，. A B CD E FPQ H A 'B 'C 'D ' G图 7量.同理A D '是平因为00AD PQ AD PF ''⋅=⋅= ，,所以AD ' 是平面PQEF 的法向面PQGH 的法向量.又因为0AD A D ''⋅= ,所以A D AD ''⊥ ,所以平面P Q E F 和平面PQGH 互相垂直.PF PQ ⊥,所以（Ⅱ）因为(010)EF =-，，,所以E F P Q E F P Q =∥，,又PQEF 为矩形,同理PQGH 为矩形.在所建立的坐标系中可求得)PH b =-,PF = ,所以PH PF += ,又1PQ =,所以截面PQEF 和截面PQGH是定值.（Ⅲ）由已知得D E ' 与D A ' 成45角,又(111)(101)D E b D A ''=--=- ，，，，，可得D E D A D E D A''⋅=='',解得12b =.故1112D E ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，，,又(101)A D '=--，，,所以E D '与平面PQGH 所成角的正弦值为|cos |D E A D ''<>=，评注 上例主要考查空间中的线面平行及垂直、面面垂直、线面角、解三角形以及方程等基础知识,考查空间想象能力与逻辑思维能力.这就要求考生具有一定的综合运用知识的能力,才能对问题进行圆满地分析、解决.2006重庆理科卷、2006年广东卷等高考试卷中的立体几何解答题均属于这种类型.从总体而言,立体几何解答试题往往是中档题,因而对立体几何知识的复习,应当紧扣教材,熟悉教材中每一个概念,掌握教材中各个定理的种种用途,破解画图、读图、识图、用图的层层关口,巩固高中数学的综合性知识,提升解题思维中的空间想象力、逻辑推理论证以及问题转化的能力,这样才能在解题时游刃有余.。