2019年秋九年级数学上册第23章图形的相似小专题8相似三角形的基本类型作业课件新版华东师大版
九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解
九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解相似三角形基本知识放缩与相似图形的放大或缩小称为图形的放缩运动。
当两个图形形状相同时，我们称它们为相似图形，或者简称相似性。
需要注意的是，相似图形强调形状相同，与它们的位置、颜色、大小等因素无关。
相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的。
当两个图形形状和大小都相同时，这时是相似图形的一种特例——全等形。
相似多边形的性质如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
需要注意的是，当两个相似的多边形是全等形时，它们的对应边的长度比值为1.比例线段有关概念及性质比例线段的概念比指同一单位下两条线段的长度比较，若两线段的长度分别为m和n，则它们的比为a:b=m:n（或bn）。
比的前项为a，后项为b。
比例指两个比相等的式子，如比例线段的性质对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即比例线段的基本性质是两外项的积等于两内项积，即acbd=adbc。
比例线段还有反比性质、更比性质、合比性质等。
其中，反比性质指如果注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项、后项之间发生同样的和差变化比例仍成立。
例如：$\frac{b-ad-c}{ac}=\frac{bd}{a-b+c-d}=\frac{a+bc+d}{ac}$。
5.等比性质：若$\frac{a+c+e+\cdots+m}{a\cdot c\cdote\cdots m}=\frac{b+d+f+\cdots+n}{b\cdot d\cdot f\cdots n}$，其中$b+d+f+\cdots+n\neq 0$，则$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\cdots=\frac{m}{n}$。
注意：(1)此性质的证明运用了“设$k$法”，这种方法是比例计算和变形中一种常用方法。
华师版九年级上册数学作业课件 第23章 图形的相似 相似三角形 相似三角形的性质
易错点：用相似三角形的性质时未证三角形相似或将相似三角形的性质混淆 而出错
12．(河南中考)如图，在△ABC 中，AB＝8，AC＝12，D 为 AB 的中点，点 E 为 CD 上一点，若四边形 AGEF 为正方形(其中点 F，G 分别在 AC，AB 上)， 则△BEC 的面积为 18 .
13．(2018·随州)如图，平行于 BC 的直线 DE 把△ABC 分成面积相等的两
应角平分线长为
27 4
.
3．已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝6 cm，A′B′＝10 cm，AE 是△ ABC 的一条高，AE＝4.8 cm，则△A′B′C′中对应高 A′E′的长为 8 cm.
知识点二：相似三角形周长的比等于相似比 4．(2018·绥化)两个相似三角形的最短边分别为 5 cm 和 3 cm，他们的周长 之差为 12 cm，那么大三角形的周长为( D ) A．14 cm B．16 cm C．18 cm D．30 cm
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第23章 图形的相似
23．3.3 相似三角形的性质
知识点一：相似三角形对应线段的比等于相似比
1．(重庆中考)若△ABC∽△DEF，相似比为 3∶2，则对应高的比为( A )
A．3∶2 B．3∶5 C．9∶4 D．4∶9
2．若两个三角形相似，相似比为 8∶9，则它们对应角平分线之比是
8∶9 ，若其中较小三角形的一条角平分线的长为 6 cm，则另一个三角形对
10．(2018·连云港)如图，△ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 上，DE∥ BC，AD∶DB＝1∶2，则△ADE 与△ABC 的面积的比为 1∶9 .
11．如图，在△ABC 中，DE∥BC，且 S△ADE∶S 四边形 BCED＝1∶2，BC＝2 6. 求 DE 的长．
相似三角形八大模型归纳例题
相似三角形八大模型归纳例题相似三角形，这可是个有趣的话题！大家好，今天我们就来聊聊这八大模型，轻松又幽默地让你了解它们，没问题吧？想象一下你在公园里散步，忽然看到两个小朋友，一个高一个矮，他们在玩搭积木。
高的小朋友把积木堆得高高的，矮的小朋友也不甘示弱，拼命地跟着学。
这不就是相似三角形的真实写照吗？他们的比例相同，但是大小却不一样，这样想就简单多了。
咱们得了解相似三角形的基本概念。
简单来说，相似三角形就像一对亲密无间的兄弟，虽然身高不一样，但长相、比例却是那么相似。
就好比你家猫咪和邻居的猫咪，虽然毛色不同，但总能一眼认出它们是亲戚。
这种相似可不光是外表，连角度都得一样。
没错，角度就像我们的性格，各有千秋但都能和谐共处。
我们来聊聊相似三角形的判定。
首先是AA判定，就是两个三角形的两个角相等，嘿，这简直像是两个人在合唱，和声完美，谁都不敢说不。
这一招，绝对是相似三角形的杀手锏。
然后就是SSS判定，三个边的比例相等，这可不简单，像极了团队合作，每个人都发挥了自己的作用，最终实现了目标。
SAS判定，两个边的比例相等，还有夹角相等。
这就像打麻将，牌虽然不一样，但搭配得当，赢的机会就大大增加了。
咱们再来看看实际应用。
比如，建筑师设计房子的时候，就得用到这些相似三角形的原理，保证建筑的稳定性和美观性。
你想想，如果房子的角度都乱了，那可就麻烦大了！还有航海测量，水手们通过相似三角形来测量距离，别小看这个，关键时刻可关乎生死，真是一不小心就得跳海了。
学习相似三角形不光是为了考试，生活中处处都能见到它的影子。
你去超市买东西，看到两瓶相同品牌的饮料，虽然瓶子大小不一样，但标签和设计却一模一样。
这样一来，你就能轻松判断哪瓶更划算。
这就像购物时遇到的“买一送一”，表面看似优惠，其实是相似三角形的另一种变相体现。
说到这里，可能有人会觉得相似三角形太抽象，不够有趣。
学数学就像是吃大餐，得慢慢品味，才能发现其中的美味。
想象一下，你在烧烤摊，烤肉时得掌握火候，太熟了或者太生了都不好，学数学也是如此，掌握了相似三角形的精髓，才能在考试时游刃有余。
九年级数学上册第23章图形的相似23.3相似三角形第3课时相似三角形的判定定理23作业
15．如图，在△ABC 中，AB＝8，AC＝6，点 D 在 AC 上，且 AD ＝2，如果要在 AB 上找一点 E，使△ADE 与原三角形相似，那么 AE＝ ___32__或__83_____．
第15题图
16．(南京中考)如图，△ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且ACDD ＝CBDD . (1)求证：△ACD∽△CBD； (2)求∠ACB 的大小．
2．(贵阳中考)如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，
要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为( C )
A．P1
B．P2
C．P3
D．P4
第2题图
3．如图，D 是△ABC 的边 AB 上一点，要使△ACD∽△ABC，则它
们必须具备的条件是( D )
A．ACDC ＝ABCD
B．ACDD ＝ABCC
C．CD2＝AD·DB D．AC2＝AD·AB
第3题图
4．如图，BC 平分∠ABD，AB＝6，BD＝8，则当 BC＝_4___3___时，△ ABC∽△CBD.
5．(铜仁中考)如图，已知：∠BAC＝∠EAD，AB＝20.4，AC＝48，AE ＝17，AD＝40.
求证：△ABC∽△AED. 解：∵AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40.∴AABE ＝2107.4 ＝1.2，AADC
③ACDC ＝ABCB ；④AC2＝AD·AB.其中能够单独判定△ABC∽△ACD 的条
件பைடு நூலகம்( C )
A．1 个 B．2 个
C．3 个
D．4 个
第11题图
12．(2019·连云港)在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中， 根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、 “车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”
九年级数学上册 第23章 图形的相似23.3 相似三角形 1相似三角形作业课件
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12/12/2021
第二十七页，共二十七页。
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知识点2：相似(xiānɡ sì)三角形判定的预备定理
5．如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形有(
)
B
Hale Waihona Puke A．4对B．3对C．2对
D．1对
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6．(2018·哈尔滨)如图，在△ABC 中，点 D 在 BC 边上，连结 AD， 点 G 在线段 AD 上，GE∥BD，且交 AB 于点 E，GF∥AC，且交 CD 于点 F，则下列结论一定正确的是( D )
(1)不添加(tiān jiā)辅助线，写出图中的相似三角形．
(2)若AE＝5 cm，CE＝3 cm，BF＝2 cm，求CF的长．
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解：(1)∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC. ∵DF∥AC，∴△DBF∽△ABC， ∴△ADE∽△DBF∽△ABC.
(2)∵DE∥BC，∴ACEE＝ABDD. ∵DF∥AC，∴ABDD＝CBFF，∴ACEE＝CBFF，即53＝C2F， 解得 CF＝130(cm)．
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16．如图，点 P 是▱ABCD 对角线 AC 上的一点，连结 DP 并延长 DP 交边 AB 于点 E，连结 BP 并延长 BP 交 AD 于点 F，交 CD 的延长线于点 G，已知DFAF ＝12.
(1)求BFPP的值． (2)若四边形 ABCD 是菱形． ①求证：△APB≌△APD； ②若 DP 的长为 6，求 GF 的长．
C．5.2
D．6
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10．(2018·南充)如图，在△ABC 中，DE∥BC，BF 平分∠ABC，交 DE
九年级数学上册第23章图形的相似23.3相似三角形第1课时相似三角形作业课件新版华东师大版
【综合运用】 18．(14分)如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，DF与AB的延 长线交于点G. (1)求证：△CDF∽△BGF； (2)当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB＝6 cm， EF＝4 cm，求CD的长．
三、解答题(共 40 分)
15．(8 分)如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD＝3，AE＝2，BD＝4，求AACE
的值以及 AC，EC 的长度．
解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴AADB
＝AACE
，即AACE
＝3 3＋4
＝37
，∴
2 AC
＝37
，∴AC＝134
.∴EC＝AC－CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB ＝2，CD＝3，求GH的长．
③GFCF ＝FBDF ；④CF2＝GF·EF.其中正确的是( A )
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②
二、填空题(每小题 4 分，共 12 分) 12．(邓州期中)如图，在▱ ABCD 中，E 为 AD 的三等分点，AE＝23 AD， 连结 BE，交 AC 于点 F，AC＝15，则 AF 为__6__．
第23章 图形的相似
23．3 相似三角形
第1课时 相似三角形
1．相似用符号“___∽___”来表示，读作“__相__似__于______”，△ABC与
△A′B′C′相似，记作_______△__A_B__C_∽__△__A__′B_′_C_′_． 2．相似三角形___对__应__边__的比叫做相似比；当相似比为1时，两个三角
13．已知△ABC 的三边长分别为 2 ， 6 ，2，△A′B′C′的两边长
分别为 1 和 3 .若△ABC∽△A′B′C′，则△A′B′C′的第三边长 为___2____．
九年级数学上册第23章图形的相似23.3相似三角形第1课时相似三角形作业
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开 始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边 CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D， 连结PQ，点P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一 点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t≥0).
AD AC
）
（ ＝
DE BC
）
.
7．(练习2变式)一个三角形的各边之比为2∶8∶9，和它相似的另一个三角 形的最小边长为8，则它的最大边长为____3．6
知识点❸：相似三角形判定预备定理 8．(2019·玉林)如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则相
似三角形共有( C )
A．3对 B．5对 C．6对 D．8对
D．A′B′是AB的2倍
知识点❷：对应边、对应角的识别 4．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝35°，则与△ABC相似的三角形三个
角的度数分别为( D)
A．35°，45°，45° B．45°，105°，35° C．45°，35°，110° D．45°，35°，100°
5．已知△ABC与△DEF相似，且∠A＝50°，∠B＝70°，∠C＝60°，
解：∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴AD∥BC，∴DE∥BC，∴△DEF ∽△BCF，∴DBFF ＝DBCE ＝25 ，即D15F ＝25 ，∴DF＝6 cm
16．如图，已知△ABC∽△AED，AD＝40 cm，AE＝50 cm，EC＝30 cm， BC＝70 cm，∠BAC＝45°，∠ACB＝70°. (1)求∠AED和∠ADE的大小； (2)求DE的长．