初三数学相似三角形知识点归纳

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初三数学相似知识点

初三数学相似知识点
1. 相似三角形：相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

相似三角形的对
应边长成比例，对应角度相等。

2. 相似比例：相似三角形的边长比值称为相似比例。

如果两个三角形的对应边长分别
为a:b:c和ka:kb:kc，那么它们的相似比例为a:b:c。

3. 相似三角形定理：包括AAA相似定理、AA相似定理和对应角边比相等定理。

其中，AAA相似定理指出如果两个三角形的对应角度相等，那么它们相似；AA相似定理指出如果两个三角形的两个对应角度相等，那么它们相似；对应角边比相等定理指出如果
两个三角形的两个对应角度相等，并且对应边长之比相等，那么它们相似。

4. 相似三角形的性质：相似三角形的相似比例等于对应边长之比；相似三角形的相似
比例等于对应角度的正弦值、余弦值或正切值；相似三角形的高线、中线等与对应边
长成等比例；相似三角形的面积与边长平方成比例。

5. 相似三角形的应用：相似三角形的定理在解决实际问题中有很多应用，如利用相似
三角形进行测量、解决影子问题、求解高度、求解距离等。

6. 图形的相似：除了三角形，其他图形（如矩形、圆、椭圆等）也有相似的概念和相
似关系，可以利用相似关系解决相关问题。

这些内容是初三数学中关于相似的主要知识点，希望对你有帮助！如有其他问题，请
随时提问。

初三数学相似三角形知识点总结

实用工具:常用数学公式公式分类公式表达式
乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b)
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b|
|a|≤b<=>-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注�韦达定理判别式
与非零向量
a�
平行�那么存在唯一的实数
� m, 使 b
�
ma�
3.单位向量我们把长度为 1 的向量叫做单位向量。设 e� 为单位向量�则 e� � 1 。对于任意非零向量
a� �与它同方向的单位向量记作 a�0 ,则
a� �
�� a a0,a0
�
1 a�
a�
4.线性运算
向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算。如 3a � 2b � a � 2b 、 3(a � 5b) 等�都是向量的线性运算。
ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB
-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB
某些数列前 n 项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

数学初三必考知识点归纳

数学初三必考知识点归纳这里按照五个大类把初三的全部知识点都整理一遍，一共二十八个知识点，如下所示：一、相似三角形（7个考点）考点1：相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小考核要求：（1）理解相似形的概念；（2）掌握相似图形的特点以及相似比的意义，能将已知图形按照要求放大和缩小。

考点2：平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理考核要求：理解并利用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算.注意：被判定平行的一边不可以作为条件中的对应线段成比例使用。

考点3：相似三角形的概念考核要求：以相似三角形的概念为基础，抓住相似三角形的特征，理解相似三角形的定义。

考点4：相似三角形的判定和性质及其应用考核要求：熟练掌握相似三角形的判定定理（包括预备定理、三个判定定理、直角三角形相似的判定定理）和性质，并能较好地应用。

考点5：三角形的重心考核要求：知道重心的定义并初步应用。

考点6：向量的有关概念考点7：向量的加法、减法、实数与向量相乘、向量的线性运算考核要求：掌握实数与向量相乘、向量的线性运算二、锐角三角比（2个考点）考点8：锐角三角比（锐角的正弦、余弦、正切、余切）的概念，30度、45度、60度角的三角比值。

考点9：解直角三角形及其应用考核要求：（1）理解解直角三角形的意义；（2）会用锐角互余、锐角三角比和勾股定理等解直角三角形和解决一些简单的实际问题，尤其应当熟练运用特殊锐角的三角比的值解直角三角形。

三、二次函数（4个考点）考点10：函数以及函数的定义域、函数值等有关概念，函数的表示法，常值函数考核要求：（1）通过实例认识变量、自变量、因变量，知道函数以及函数的定义域、函数值等概念；（2）知道常值函数；（3）知道函数的表示方法，知道符号的意义。

考点11：用待定系数法求二次函数的解析式考核要求：（1）掌握求函数解析式的方法；（2）在求函数解析式中熟练运用待定系数法。

注意求函数解析式的步骤：一设、二代、三列、四还原。

九年级数学第二十九章相似三角形;三角形相似的条件冀教版知识精讲

初三数学第二十九章相似三角形；三角形相似的条件冀教版【本讲教育信息】一. 教学内容：相似三角形和三角形相似的条件1. 了解相似三角形、相似比的含义．2. 掌握两个三角形相似的判断条件，并能够运用三角形相似的判断方法解决一些简单的问题．二. 知识要点： 1. 相似三角形（1）相似三角形：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．（2）相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比．（3）表示方法：用符号“∽”来表示相似，读作“相似于”．如图所示，△ABC 和△A ’B ’C ’相似，记作“△ABC ∽△A ’B ’C ’”，读作“△ABC 相似于△A ’B ’C ’”．A B CA'C'B'说明：（1）这个定义告诉我们：①如果两个三角形的角对应相等、边对应成比例，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等、对应边成比例．（2）相似比是有顺序的．例如：若△ABC ∽△A ’B ’C ’，相似比为k ，则△A ’B ’C ’∽△ABC ，那么相似比为1k ．2. 三角形相似的条件（1）如果两个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．例如：如图所示，若∠A ＝∠A ’，∠B ＝∠B ’，则△ABC ∽△A ’B ’C ’；若∠A ＝∠A ’，∠C ＝∠C ’，则△ABC ∽△A ’B ’C ’；若∠C ＝∠C ’，∠B ＝∠B ’，则△ABC ∽△A ’B ’C ’．说明：只要有两对角对应相等，这两个三角形就相似．“对应”不一定非得是“A 对A ’，B 对B ’，C 对C ’”．A B A'B'（2）两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．例如：如上图所示，若AB A ’B ’＝BCB ’C ’，∠B ＝∠B ’，则△ABC ∽△A ’B ’C ’；若BC B ’C ’＝CA C ’A ’，∠C ＝∠C ’，则△ABC ∽△A ’B ’C ’；若AB A ’B ’＝AC A ’C ’，∠A ＝∠A ’，则△ABC ∽△A ’B ’C ’．（3）三边对应成比例的两个三角形相似．例如：如上图所示，若AB A ’B ’＝BC B ’C ’＝CAC ’A ’，则△ABC ∽△A ’B ’C ’．三. 重点难点：本讲重点是相似三角形的定义和三角形相似的条件，难点是应用三角形相似的三个条件解决一些问题．【典型例题】例1. 如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的一点，当∠1＝__________，∠2＝__________时，或ACAB＝__________＝__________时，△ADC ∽△ACB ． ABCD12分析：要使△ADC ∽△ACB ，根据相似三角形的定义，三组对应角分别相等，三组对应边成比例，由图可知，∠A 为公共角，∠1的顶点与∠ACB 的顶点重合．∴点A 与点A 对应，点C 与点B 对应，点D 与点C 对应，∴∠1＝∠B ，∠2＝∠ACB ，AC AB ＝AD AC ＝DCCB．解：∠B ，∠ACB ，AD AC ，DCCB评析：在找对应边、对应角时，应先观察图形，找出图形中的条件，如公共角、公共边等，再找出对应顶点、对应边和对应角．在写相似表达式时，应尽量把对应顶点的字母写在对应的位置上．例2. （1）若△AED ∽△ABC ，AD ＝6cm ，AC ＝12cm ，则△AED 与△ABC 的相似比为__________．（2）有一个三角形的三边长为2、3、4，若另一个和它相似的三角形的最短边长为8，则第二个三角形的周长为__________．分析：（1）相似三角形的相似比就是其对应边的比．∵△AED ∽△ABC ，∴边AD 与AC对应．∴相似比为AD AC ＝612＝12．（2）由题意知，要求周长，应知道三边长，两个三角形相似，则对应边成比例，这里的对应指大边对大边，小边对小边，题目中给出的第二个三角形的最短边长是8，因此应找出第一个三角形的最短边与之对应，这条对应边长应为2，所以相似比为28＝14，设另两边长分别为x 、y ，则3x ＝4y ＝14，解得x ＝12，y ＝16，∴第二个三角形的周长为8＋12＋16＝36．解：（1）12（2）36评析：（1）①求相似比时要注意顺序，哪个三角形在前，它的对应边就作为比的前项．②相似比实际上反映的是一个图形的放大或缩小，相似比大于1，说明图形被放大；相似比小于1，说明图形被缩小；相似比等于1，说明两个图形全等．③若△ABC 与△A'B'C'的相似比为k ，则△A'B'C'与△ABC 的相似比为1k ．（2）找两个相似三角形的对应边、对应角的方法有两种：①如果给出相似表达式，就先找对应顶点，再找对应边、对应角．②如果已知对应角，那么对应角所对的边就是对应边；如果已知对应边，那么对应边所对的角就是对应角．找两个相似三角形的对应边还有一个原则：大边对大边，小边对小边．例3. 如图所示，平行四边形ABCD 中，G 是BC 延长线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，则图中相似的三角形共有（） A ．3对 B ．4对 C ．5对 D ．6对ABCDGEF分析：由AD ∥BG ，可得∠DAE ＝∠G ，∠ADB ＝∠DBG ，可推出△AED ∽△GEB ，同理可推出△AFD ∽△GFC ；由AB ∥DC 可得到△AEB ∽△FED 和△ABG ∽△FCG ，由相似图形的传递性，知△GAB ∽△AFD ，又△ABD ∽△CDB ，∴图中共有6对相似三角形，故正确答案为D ．解：D评析：充分利用题目中的条件，如平行、垂直等推出相等的角，如公共角，对顶角等．例4. 如图所示，BC 平分∠ABD ，AB ＝4，BD ＝5，当BC ＝__________时，△ABC ∽△CBD ．AB CD分析：因为BC 平分∠ABD ，所以得到∠ABC ＝∠CBD ，又题目中给出的条件是边，所以要使△ABC ∽△CBD ，只要两边对应成比例且夹角相等即可，所以只需AB BC ＝BC BD ，即BC 2＝AB ·BD ．又AB ＝4，BD ＝5，所以BC 2＝4×5＝20，所以BC ＝25．解：2 5例5. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 是∠ABC 的平分线．（1）△ABC 和△BCD 相似吗？（2）试说明AD 2＝DC ·AC ；（3）若AC ＝5＋1，求BC 的长．AB CD分析：有一个角为36°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD 是底角的平分线，故∠CBD ＝36°，则可推出△ABC ∽△BCD ，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．解：（1）因为∠A ＝36°，AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠C ＝72°．又因为BD 平分∠ABC ，所以∠ABD ＝∠CBD ＝36°．所以AD ＝BD ＝BC ，所以△ABC ∽△BCD ．（2）因为△ABC ∽△BCD ，所以BC AB ＝CDBC，所以BC 2＝AB ·CD ，即AD 2＝AC ·CD ．（3）由AD 2＝AC ·CD ，得D 为线段AC 的黄金分割点，所以AD ＝5－12·AC ＝5－12·（5＋1）＝2，而BC ＝AD ，故BC ＝2．评析：识别三角形相似的思路：①有一对等角，找⎩⎪⎨⎪⎧另一对等角等角的两边对应成比例；②有两边对应成比例，找⎩⎪⎨⎪⎧夹角相等第三边成比例；③直角三角形，找一对锐角相等；④等腰三角形，找⎩⎪⎨⎪⎧顶角相等一对底角相等底和腰成比例．例6. 为了测量校园内一棵不可攀登的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：如图所示，把镜子放在离树（AB ）的点E 处，然后沿着BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE ＝，观察者目高CD ＝，请你计算出树的高度．（精确到）ABC D解：因为∠D ＝∠B ＝90°，∠CED ＝∠AEB ，所以△CDE ∽△ABE ，所以CD AB ＝DE BE ．因为CD ＝1.6，DE ＝2.7，BE ＝8.7，所以AB＝，所以AB ≈5.2．答：树的高度约是．评析：光线的入射角和反射角是相等的，故可得∠CED ＝∠AEB ，然后可利用相似三角形的性质解决问题．【方法总结】1. 三角形相似的条件有三个：①两角对应相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似．2. 相似三角形判定方法的作用：①可以用来判定两三角形相似；②间接说明角相等，线段成比例；③间接为计算线段长度及角的大小创造条件．3. 有关三角形相似的基本图形：①如图1所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC ；②如图2所示，若∠ADE ＝∠B ，则△ADE ∽△ABC ；③如图3所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC ．A BC D E ABC D E ABCDE图1图2图3【预习导学案】（相似三角形和相似多边形的性质）一. 预习前知1. 相似三角形的对应边__________，对应角__________．2. 已知△ABC ∽△A ’B ’C ’，AB ＝3，BC ＝4，A ’B ’＝5，∠A ＝80°，∠B ＝30°，求B ’C ’的长与∠C ’的度数．3. 如图所示，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ，点D 是AC 的中点．找出图中的相似三角形（不包括全等三角形），并求出其相似比．A BCD二. 预习导学1. 已知△ABC ∽△A ’B ’C ’，C △ABC ＝12，ABA'B'＝2，求C △A ’B ’C ’． 2. 已知△ABC ∽△A ’B ’C ’，S △ABC ＝12，ABA'B'＝2，求S △A ’B ’C ’．3. 如图所示的两个四边形相似，找出图中的对应角、对应边、并用比例式表示．ABEF4. 两个相似多边形的相似比为2∶3，则它们周长的比为__________，面积的比为__________．反思：（1）相似三角形有什么性质？（2）相似多边形有什么性质？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一. 选择题1. 已知△ABC ∽△A'B'C'，如果∠A ＝75°，∠B ＝25°，则∠C'的度数为（） A ．80° B ．70° C ．60° D ．50°2. 下列说法中正确的个数是（） ①所有的直角三角形都相似；②所有的等腰三角形都相似；③所有的等腰直角三角形都相似；④所有的等边三角形都相似．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3. △ABC ∽△A'B'C'，且相似比为23，△A'B'C'∽△A''B''C''，且相似比为54，则△ABC与△A''B''C''的相似比为（）A ．56B ．65C ．56或65D ．8154. 具备下列各组条件的△ABC 和△A'B'C'，不能判定它们相似的是（） A ．∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B' B ．∠A ＝∠A'，∠B ＝∠C' C ．∠A ＝∠B'，∠B ＝∠C' D ．∠A ＝∠A'，∠B ＝∠A'5. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（）ABCABCD*6. 已知，如图所示，D 、E 是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且△AED ∽△ABC ，∠A ＝35°，∠C ＝85°，则下列结论错误的是（）A ．AD ·AB ＝AE ·AC B ．∠AED ＝60° C ．DE BC ＝AD AC D ．DE BC ＝AD ABA BCDE7. 下列4个三角形中，与右边三角形相似的是（）ABC55555575°30°D5540°**8. 如图，AB ∥CD ，AE ∥FD ，AE 、FD 分别交BC 于点G 、H ，则图中共有相似三角形（） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对A BCD EF G H二. 填空题1. 若两个三角形的相似比是1，则这两个三角形__________．2. 已知△ABC ∽△DEF ，则∠A ＝__________，∠B ＝__________，∠C ＝__________，ABDE ＝__________＝__________．3. △ABC 的各边之比为2∶5∶6，与其相似的另一个△A'B'C'的最大边长为18cm ，那么△A'B'C'的最小边长为__________．4. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ＝1、DE ＝2、BD ＝3，则BC ＝__________．A D EC B5. 如图所示，△ABC ∽△DBE ，且AD ＝12AB ，则△ABC 与△DBE 的相似比为__________．ABCDE6. 如图所示，（1）若AEAB ＝__________，则△AEF ∽△ABC ，理由是__________；（2）若__________∥__________，则△AEF ∽△ABC ．AB CEF*7. 如图所示，AC 、BD 相交于O ，若给出__________＝__________，则可以使△AOB ∽△DOC ，若给出DC 2＝DO ·DB ，则可以使__________∽__________．A BC DO**8. 如图所示，△ABC 中，点D 、E 分别在AC 、AB 边上，要使△ABD ∽△ACE ，已具备的条件是__________，还需要添加的条件是__________或__________或__________．A BCDE三. 解答题1. 依据下列各组条件判定△ABC 与△A ’B ’C ’是否相似，并说明理由．（1）∠A ＝45°，AB ＝12cm ，AC ＝15cm ，∠A ’＝45°，A ’B ’＝16cm ，A ’C ’＝20cm ；（2）∠B ＝80°，AB ＝，BC ＝2cm ，∠B ’＝80°，A ’B ’＝，B ’C ’＝．2. 如图所示，若∠A ＝∠C ，那么△OAB 与△OCD 相似吗？OA ·OD ＝OB ·OC 吗？为什么．ABCDO3. 如图所示，已知△ADE ∽△ABC ，△DBF ∽△ABC ，AD ＝4cm ，BD ＝8cm ，DE ＝5cm ，求BF 的长．A BCDEF*4. 请你制作两个三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，如何选料可使这两个三角形相似？**5. 四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∠1＝∠2，∠3＝∠4，指出图中有哪些相似三角形，并说明理由．如图所示．ABCDEO1234试题答案一. 选择题1. A2. B3. A4. D5. A6. D7. C8. C二. 填空题1. 全等2. ∠D ，∠E ，∠F ，AC DF ，BC EF3. 6cm4. 85. 2∶16.（1）AFAC ；两边对应成比例，且它们的夹角是对顶角（相等）（2）EF ，BC 7. ∠ABO （或∠BAO ），∠BDC （或∠ACD ），△BDC ，△CDO 8. ∠A ＝∠A ，∠ABD ＝∠ACE ，∠ADB ＝∠AEC ，AD AE ＝ABAC三. 解答题1. （1）相似，因为AB A ’B ’＝1216＝34，∠A ＝∠A ’＝45°，AC A ’C ’＝1520＝34．（2）相似，因为AB B ’C ’＝＝57，BC A ’B ’＝2＝57，且它们的夹角∠B ＝∠B ’＝80°，所以△ABC ∽△C ’B ’A ’．（点A 的对应顶点是C ’，点B 的对应顶点是B ’，点C 的对应顶点是A ’）2. ∵∠A ＝∠C ，∠AOB ＝∠COD ，∴△AOB ∽△COD ，∴OA OC ＝OBOD ，∴OA ·OD ＝OB ·OC3. ∵△ADE ∽△ABC ，AD ＝4cm ，BD ＝8cm ，DE ＝5cm ，∴AD AB ＝DE BC ，∴44＋8＝5BC，∴BC ＝15cm 。

初三数学知识点：相似三角形定理

初三数学知识点：相似三角形定理聪明出于勤奋，天才在于积累。

我们要振作精神，下苦功学习。

编辑了初三数学知识点：相似三角形定理，以备借鉴。

相似三角形定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

相似三角形判定定理1：两角对应相等，两三角形相似。

直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。

相似直角三角形定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。

性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比。

性质定理3：相似三角形面积的比等于相似比的平方。

初三数学知识点：相似三角形定理就是为大家整理的，希望对大家数学成绩的提高有所帮助。

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相似直角三角形定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

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相似的初三知识点总结归纳

相似的初三知识点总结归纳初三学习是中学阶段的重要阶段，也是学生们的过渡期。

这个阶段的学习内容广泛而深入，其中很多知识点之间存在一定的相似性。

下面将对初三学习过程中一些相似的知识点进行总结归纳，旨在帮助同学们更好地理解和掌握这些知识。

一、相似的数学知识点1.1 相似三角形与比例关系相似三角形是初中数学中一个重要的概念，它与比例关系密切相关。

同学们在学习相似三角形时，需要理解相似三角形的定义、性质和判定条件，并能灵活运用比例关系解决相关题目。

1.2 线性方程组与解的判定线性方程组是数学中常见的问题，解线性方程组的方法有很多，其中常用的是消元法和代入法。

同学们需要学会分析问题，选择合适的方法来求解线性方程组，并能判断方程组是否有解、有唯一解还是无穷多解。

二、相似的物理知识点2.1 运动与力学定律初三物理中的运动与力学定律是相似且密切相关的知识点。

在学习运动时，同学们需要理解匀速直线运动、加速直线运动和自由落体运动等基本概念，并掌握牛顿运动定律以及动力学中的力和加速度的关系。

2.2 热学与热力学的基本概念热学与热力学是物理学中的重要分支，它们之间存在着相似性。

同学们需要理解温度、热力学第一定律、热传递等基本概念，并能运用这些知识解决与热学相关的问题。

三、相似的化学知识点3.1 元素周期表与化学反应元素周期表是化学中的基础知识，它与化学反应密切相关。

同学们需要掌握元素周期表的基本组成以及元素的周期性规律，并能运用这些知识预测或解释化学反应中的现象。

3.2 酸碱中和与溶液的性质酸碱中和与溶液的性质是化学中的重要知识点，它们之间存在一定的相似性。

同学们需要理解酸碱中和反应的特点和计算方法，以及溶液的酸碱性质与pH值的关系，并能运用这些知识解决相关问题。

总结：以上仅是初三学习中一部分相似的知识点的总结归纳，这些知识点之间可能存在相似的思维方式、解题方法或者概念框架。

同学们在学习时应该注意将相似的知识点联系起来，进行横向对比和纵向延伸，以帮助更好地理解和掌握这些知识。

初三相似性知识点总结归纳

初三相似性知识点总结归纳相似性是数学中一个重要的概念，它在初中数学中有着广泛的应用。

相似性是指形状、大小、比例等方面的相似性质，通过相似性的理论和定理，我们可以解决各种与形状和比例相关的问题。

本文将总结归纳初三阶段学习的相似性知识点，帮助同学们更好地掌握相似性的概念和应用。

1. 相似三角形相似三角形是初三相似性知识的基础，它是指两个三角形的对应角相等，对应边成比例。

相似三角形的性质有以下几点：1.1 角的相等性质相似三角形的对应角相等，即每个角都有与之对应的角相等。

1.2 边的成比例性质相似三角形的对应边成比例，即两个三角形的相似比例为一个固定的常数。

1.3 对应线段成比例在相似三角形中，如果有一条直线平行于两个三角形的边，则这条直线将两个三角形的对应边分成相等的线段。

2. 相似三角形的判定在初三数学中，我们经常需要判断两个三角形是否相似。

常用的判定方法包括以下几种：2.1 AAA判定法如果两个三角形的对应角相等，则它们相似。

2.2 AA~判定法如果两个三角形的一个角相等，并且两个角的对边成比例，则它们相似。

2.3 SS~判定法如果两个三角形的两边分别成比例，并且对应角相等，则它们相似。

3. 相似三角形的比例性质在相似三角形中，存在着多种比例性质，对于解题非常有帮助。

3.1 对应边的比例在相似三角形中，对应边的比例相等。

即如果两个三角形相似，那么它们的对应边之比相等。

3.2 海伦定理海伦定理是指在一个三角形内部，从一顶点引两条边，使得这两条边分别与另外两个顶点连成的线段比等于这两条边本身。

利用海伦定理可以解决一些关于相似三角形的比例问题。

4. 三角形的相似变换通过对三角形的简单变换可以得到相似的三角形。

常见的变换包括平移、旋转和翻转。

4.1 平移平移是指通过将一个图形的每个点沿着同一方向移动相等的距离，得到一个新的图形。

平移不会改变图形的大小和形状，因此平移可以保持相似性。

4.2 旋转旋转是指将一个图形绕着一个固定的中心点旋转一定角度得到一个新的图形。

【重点梳理】-初三数学-相似三角形的判定

要点诠释：
(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，∽，
则说明点 A 的对应点是 A′，点 B 的对应点是 B′，点 C 的对应点是C′；
(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为 1 时，两个三角形全等.
核心知识点二：相似三角形的判定定理
1．判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.
2．判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
3．判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
要点诠释：
此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
4．判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
要点诠释：
要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
要点三、相似三角形的常见图形及其变换：
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初三数学知识点归纳总结

初三数学知识点归纳总结一、相似三角形(7个考点)考点1：相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小考核要求：(1)理解相似形的概念;(2)掌握相似图形的特点以及相似比的意义，能将已知图形按照要求放大和缩小.考点2：平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理考核要求：理解并利用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算.注意：被判定平行的一边不可以作为条件中的对应线段成比例使用.考点3：相似三角形的概念考核要求：以相似三角形的概念为基础，抓住相似三角形的特征，理解相似三角形的定义.考点4：相似三角形的判定和性质及其应用考核要求：熟练掌握相似三角形的判定定理(包括预备定理、三个判定定理、直角三角形相似的判定定理)和性质，并能较好地应用.考点5：三角形的重心考核要求：知道重心的定义并初步应用.考点6：向量的有关概念考点7：向量的加法、减法、实数与向量相乘、向量的线性运算考核要求：掌握实数与向量相乘、向量的线性运算二、锐角三角比(2个考点)考点8：锐角三角比(锐角的正弦、余弦、正切、余切)的概念，30度、45度、60度角的三角比值.考点9：解直角三角形及其应用考核要求：(1)理解解直角三角形的意义;(2)会用锐角互余、锐角三角比和勾股定理等解直角三角形和解决一些简单的实际问题，尤其应当熟练运用特殊锐角的三角比的值解直角三角形.三、二次函数(4个考点)考点10：函数以及函数的定义域、函数值等有关概念，函数的表示法，常值函数考核要求：(1)通过实例认识变量、自变量、因变量，知道函数以及函数的定义域、函数值等概念;(2)知道常值函数;(3)知道函数的表示方法，知道符号的意义.考点11：用待定系数法求二次函数的解析式考核要求：(1)掌握求函数解析式的方法;(2)在求函数解析式中熟练运用待定系数法.注意求函数解析式的步骤：一设、二代、三列、四还原.考点12：画二次函数的图像考核要求：(1)知道函数图像的意义，会在平面直角坐标系中用描点法画函数图像;(2)理解二次函数的图像，体会数形结合思想;(3)会画二次函数的大致图像.考点13：二次函数的图像及其基本性质考核要求：(1)借助图像的直观、认识和掌握一次函数的性质，建立一次函数、二元一次方程、直线之间的联系;(2)会用配方法求二次函数的顶点坐标，并说出二次函数的有关性质.注意：(1)解题时要数形结合;(2)二次函数的平移要化成顶点式.四、圆的相关概念(6个考点)考点14：圆心角、弦、弦心距的概念考核要求：清楚地认识圆心角、弦、弦心距的概念，并会用这些概念作出正确的判断.考点15：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系考核要求：认清圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，在理解有关圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的定理及其推论的基础上，运用定理进行初步的几何计算和几何证明.考点16：垂径定理及其推论垂径定理及其推论是圆这一板块中最重要的知识点之一.考点17：直线与圆、圆与圆的位置关系及其相应的数量关系直线与圆的位置关系可从与之间的关系和交点的个数这两个侧面来反映.在圆与圆的位置关系中，常需要分类讨论求解.考点18：正多边形的有关概念和基本性质考核要求：熟悉正多边形的有关概念(如半径、边心距、中心角、外角和)，并能熟练地运用正多边形的基本性质进行推理和计算，在正多边形的计算中，常常利用正多边形的半径、边心距和边长的一半构成的直角三角形，将正多边形的计算问题转化为直角三角形的计算问题.考点19：画正三、四、六边形.考核要求：能用基本作图工具，正确作出正三、四、六边形.五、数据整理和概率统计(9个考点)考点20：确定事件和随机事件考核要求：(1)理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，知道确定事件与必然事件、不可能事件的关系;(2)能区分简单生活事件中的必然事件、不可能事件、随机事件.考点21：事件发生的可能性大小，事件的概率考核要求：(1)知道各种事件发生的可能性大小不同，能判断一些随机事件发生的可能事件的大小并排出大小顺序;(2)知道概率的含义和表示符号，了解必然事件、不可能事件的概率和随机事件概率的取值范围;(3)理解随机事件发生的频率之间的区别和联系，会根据大数次试验所得频率估计事件的概率.注意：(1)在给可能性的大小排序前可先用“一定发生”、“很有可能发生”、“可能发生”、“不太可能发生”、“一定不会发生”等词语来表述事件发生的可能性的大小;(2)事件的概率是确定的常数，而概率是不确定的，可是近似值，与试验的次数的多少有关，只有当试验次数足够大时才能更精确.考点22：等可能试验中事件的概率问题及概率计算本考点的考核要求是(1)理解等可能试验的概念，会用等可能试验中事件概率计算公式来计算简单事件的概率;(2)会用枚举法或画“树形图”方法求等可能事件的概率，会用区域面积之比解决简单的概率问题;(3)形成对概率的初步认识，了解机会与风险、规则公平性与决策合理性等简单概率问题.在求解概率问题中要注意：(1)计算前要先确定是否为可能事件;(2)用枚举法或画“树形图”方法求等可能事件的概率过程中要将所有等可能情况考虑完整.考点23：数据整理与统计图表本考点考核要求是：(1)知道数据整理分析的意义，知道普查和抽样调查这两种收集数据的方法及其区别;(2)结合有关代数、几何的内容，掌握用折线图、扇形图、条形图等整理数据的方法，并能通过图表获取有关信息.考点24：统计的含义本考点的考核要求是：(1)知道统计的意义和一般研究过程;(2)认识个体、总体和样本的区别，了解样本估计总体的思想方法.考点25：平均数、加权平均数的概念和计算本考点的考核要是：(1)理解平均数、加权平均数的概念;(2)掌握平均数、加权平均数的计算公式.注意：在计算平均数、加权平均数时要防止数据漏抄、重抄、错抄等错误现象，提高运算准确率.考点26：中位数、众数、方差、标准差的概念和计算考核要求：(1)知道中位数、众数、方差、标准差的概念;(2)会求一组数据的中位数、众数、方差、标准差，并能用于解决简单的统计问题.注意：当一组数据中出现极值时，中位数比平均数更能反映这组数据的平均水平;(2)求中位数之前必须先将数据排序.考点27：频数、频率的意义，画频数分布直方图和频率分布直方图考核要求：(1)理解频数、频率的概念，掌握频数、频率和总量三者之间的关系式;(2)会画频数分布直方图和频率分布直方图，并能用于解决有关的实际问题.解题时要注意：频数、频率能反映每个对象出现的频繁程度，但也存在差别：在同一个问题中，频数反映的是对象出现频繁程度的绝对数据，所有频数之和是试验的总次数;频率反映的是对象频繁出现的相对数据，所有的频率之和是1.考点28：中位数、众数、方差、标准差、频数、频率的应用本考点的考核要是：(1)了解基本统计量(平均数、众数、中位数、方差、标准差、频数、频率)的意计算及其应用，并掌握其概念和计算方法;(2)正确理解样本数据的特征和数据的代表，能根据计算结果作出判断和预测;(3)能将多个图表结合起来，综合处理图表提供的数据，会利用各种统计量来进行推理和分析，研究解决有关的实际生活中问题，然后作出合理的解决.。

初三数学相似三角形的性质与判定知识精讲

初三数学相似三角形的性质与判定知识精讲一. 本周教学内容：相似三角形的性质与判定二. 学习重点和难点1. 相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等.（2）相似三角形的对应边的比相等.（3）相似三角形的对应线段成比例.（4）两个相似三角形的周长比等于相似比.（5）两个相似三角形的面积比等于相似比的平方.2. 相似三角形的判定方法：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.基本图形：C推理格式：在△ABC中，∵ DE//BC，∴△ADE∽△ABC.（2）如果两个三角形三组对应边．．．的比相等，那么这两个三角形相似. 基本图形：B推理格式：在△ABC和△'C'B'A中，'A 'C CA 'C 'B BC 'B 'A AB ==， ∴△ABC ∽△'C 'B 'A .（3）如果两个三角形的两组对应边．．．的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.基本图形：B推理格式：在△ABC 和△'C 'B 'A 中，'C 'A AC 'B 'A AB =，∠A=∠'A ABC ∆∴∽△'C 'B 'A . （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应．．相等，那么这两个三角形相似. 基本图形：B推理格式：在△ABC 和△'C 'B 'A 中，∵∠A=∠'A ，∠B=∠'B ，∴△ABC ∽△'C 'B 'A .三. 我们的目标：通过学习进一步理解相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定定理的应用.例1. 如图，BC ⊥AF ，FD ⊥AB ，垂足分别为C 、D ，那么图中有_________对相似三角形.FCEA D B分析：观察图形，我们可以发现，图中有4个∆Rt ，它们是ADF R t ABC R t ∆∆，，E DB Rt ∆，CFE Rt ∆.这四个∆Rt 每两个之间都相似，所以一共有6对三角形相似.△ABC ∽△EBD ，△ABC ∽△AFD ，△ABC ∽△EFC△AFD ∽△EBD ，△AFD ∽△EFC ，△BED ∽△FEC答：6对注意：在复杂图形中辨认相似三角形时，要着重抓住图形的特征.如本题重在找相等的角，然后再判定.例2. 如图，∠ADE=∠B ，则)()()()(AC AE ==.B C分析：∵∠ADE=∠B ，∠A=∠A∴△ADE ∽△ABCABAD BC DE AC AE ==∴ 注意：首先要判断△ADE ∽△ABC ，然后正确找出对应边.例3. 如图，已知DE//BC ，DF 与AC 交于G ，则图中的相似三角形有：△__________∽△__________，△__________∽△__________.答案：△ADE △ABC ，△DEG △FCG. 注意：要抓住DE//BC 的条件，利用基本图形进行判定.例4. 如图，AD=DF=FB ，DE//FG//BC ，则=321S :S :S __________.AD EF GB C 1 2 3答案：1：3：5分析：∵DE//FG//BC ，∴△ADE ∽△AFG ∽△ABC又∵AD=DF=FB∴AD ：AF ：AB=1：2：3.4121S S 2AFG 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴∆ 3:1S :S 21=∴9432S S 2ABC AFG =⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴∆∆ 53S S 32=∴ 5:3:1S :S :S 321=∴注意：要抓住AD=DF=FB ，DE//FG//BC 的条件，利用基本图形进行判定三角形相似，然后利用性质解题.例5. 如图，△ABC 中，D 为AC 上一点，CD=2DA ，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE ⊥BD 于E ，连结AE.（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形，若有请写出来，并说明理由；若没有请说明理由.（3）求△BEC 与△BEA 的面积比.BEC D A解：（1）DE=DA ，EC=EA=EB.证明： ∵∠DEC=90°，∠BDC=60°，∴∠DCE=30°.DA CD 21DE ==∴，即DE=DA. ∴∠DEA=∠DAE.又∵∠EDC=∠DEA+∠DAE=60°，∴∠DAE=∠DEA=30°.又∵∠BAC=45°，∴∠EAB=∠BAC －∠DAE=15°.又∠DEA=∠EAB+∠EBA ，∴∠EBA=∠DEA －∠EAB=15°.∴∠EBA=∠EAB.∴EA=EB.∵∠DCE=∠DAE=30°，∴EC=EA.∴EC=EA=EB.（2）①△ADE ∽△CEA ，或②△BCD ∽△ACB① 理由：△ADE ，△CEA 均为底角为30°的等腰△，∴△ADE ∽△CEA.② 理由：∵∠CBD=∠CAB=45°，∠CDB=∠ABC=60°，∴△BCD ∽△ACB.（3）过点A 作AF ⊥BD ，交BD 延长线于点F ，则∠AFD=∠CED=90°.又∠ADF=∠CDE ，∴△CED ∽△AFD.2ADAD 2AD CD AF CE ===∴， 2AF CE AF BE 21CE BE 21S S BEA BEC ==⋅⋅=∴∆∆. 即2S S BEA BEC =∆∆.（答题时间：60分钟）一、选一选1. 下列四条线段成比例的是（）A. 2，3，2，3B. 3，2，6，4C. 4，5，6，10D. 12，8，11，162. 用一个3倍放大镜照一个△ABC ，下列说法正确的是（）A. △ABC 放大后，∠A 是原来的3倍B. △ABC 放大后，周长是原来的3倍C. △ABC 放大后，面积是原来的3倍D. 以上答案都不正确3. 若23b a =，则ba b +等于（） A. 3：2 B. 2：3 C. 2：5 D. 5：24. 下列两个三角形不一定相似的是（）A. 两个等边三角形B. 两个全等三角形C. 两个直角三角形D. 有一个角是120°的两个等腰三角形5. 如图所示，下列各式能使△ACB ∽△DCA 的是（）A. AB AC BDCD = B.CD AC AC CB = C. BC AC AB AD = D. AB AD AD AC =6. 过三角形一边上一点画直线与另一边相交，且截得的三角形与原三角形相似，那么最多可画这样的直线的条数是（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条7. 如图所示，已知EF//BC ，△AEF 和梯形EBCF 的面积分别为18，80。

初三数学相似三角形的复习知识精讲浙江版

初三数学相似三角形的复习知识精讲某某版【同步教育信息】一. 本周教学内容：相似三角形的复习二. 知识要点：1. 对应角相等，对应边成比例的两个三角形称为相似的三角形。

2. 相似三角形的相似比等于对应边之比，也等于它们的对应线段之比以及周长比，相似比的平方等于它们的面积比。

3. 常用的判定两个三角形相似的方法是：角角相似，两边夹一角相似以及三边对应成比例相似，“斜边，直角边”相似。

【典型例题】例1. 如图所示，△PQR 是等边三角形，若∠APB=120°，AQ=4，RB=9，求QR 的长。

PA Q R B解析：∵△PQR 是正三角形 ∴∠QPR=60°又∠APB=120° ∴∠APQ+∠BPR=60°但可证∠A+∠APQ=60° ∴∠A=∠BPR同理∠APQ=∠B ∴△QAP ∽△RPB∴BR QP PR AQ =，∴9QPPR 4=∴PR ·QP=36∵PR=QR ，∴QR=6例2. 直角梯形ABCD 中，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB 上是否存在点P 。

使△PAD 与△PBC 相似？若存在，求出所有的AP 的长，若不存在，请说明理由。

B解析：不妨设AP=x ，则（1）当∠ADP=∠CPB 时， ∵△ADP ∽△BPC∴PB BC AD AP =，∴x 732x -= 解方程得x=1或6（2）当∠ADP=∠BCP 时， ∵△ADP ∽△BCP ∴BC PB AD AP =，∴3x 72x -= 解方程得514x =∴由（1）（2）知：在AB 上存在点P ，使AP=1或6或514。

例3. 折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 上的点F 处，已知折痕55AE =，43CF CE =，求矩形ABCD 的周长。

A D解析：显然易证△AFE ≌△ADE ∴∠EFC=∠BAF ，∠B=∠C又Rt △EFC 中，43CF CE = ∴设CE=3k ，CF=4k ，EF=5k ∴DE=5k∴CD=AB=8k又易证△AFB ∽△FEC ∴CF AB FE AF =，∴k4k 8k 5AF =，∴AF=10k ∴在Rt △EFA 中，222AE EF AF =+ ∴解得k=1∴AD=AF=10，AB=8 ∴36C ABCD =四边形例4. 如图所示的两个正方形有共同的对称中心，连结HA ，HC ，若△AHC 是正三角形，AB=2，求EF 的长。

初三数学相似三角形知识点总结

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边对到它于等�离距的点顶个一到心重的形角三�心重做叫点交的线中条三形角三、9
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1 理定 2 理定形 3 理定角三 △tR 似相理定本基似相
论推
理定逆论推理的论推定定 � 判 )理定本基( )理定干骨( 理定例比成论推中△于用应段线分线行平 �套二第。等割分金黄④项外、项内的比�项后、项前的比③ 项中例比②项例比四第①�念概及涉
b n �� d � b n d b � � : 质性比等 � ) 0 � n � � � d � b( � � � a m �� c � a m c a d b � �质性比合 d�c b�a �理定本基例比� d b c a b
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�质性比更
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� �质性关有的例比�套一第理定套两的章本、一 ☆要提容内☆ 。点难是题问的用应际实决解定判质性形角三似相用利、2 �点难是也点重的节本是质性定判的形角三似相、1 �析分点难、点重

初三数学相似三角形常见模型

相似三角形常见模型一【知识清单】【典例剖析】知识点一：A 字型的相似三角形 A 字型、反A 字型（斜A 字型）B（平行）B（不平行）（1）如图，若BC DE ∥，则ABC ADE ∽△△（2）如图，如果B AED ∠=∠，或C ADE ∠=∠，则ACB ADE ∽△△1、如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c a b=+.2、已知在ABC △中，D 是AB 上的点，E 是AC 上的点，连接DE ，可得︒=∠+∠180C BDE ，线段BC DE 21=，AE AD 32=，求ACAB 的值。

变式练习：1、如图，111EE FF MM ∥∥，若AE EF FM MB ===，则111111:::_________AEE EE F F FF M M MM CB S S S S ∆=四边形四边形四边形2、如图，AD EF MN BC ∥∥∥，若9AD =，18BC =，::2:3:4AE EM MB =,则_____EF =，_____MN =3、（2014•乌鲁木齐）如图，AD∥BC，∠D=90°，AD=2，BC=5，DC=8．若在边DC 上有点P ，使△PAD 及△PBC 相似，则这样的点P 有（） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个FE DCBACBDEM 1F 1E 1MEF AB CM N ABCD E F知识点二：8字型相似三角形BCC（蝴蝶型）（平行）（不平行）（1）如图，若CDAB∥，则DOCAOB∽△△（2）如图，若CA∠=∠，则CDJABJ∽△△1、已知，P为平行四边形ABCD对角线，AC上一点，过点P的直线及AD，BC，CD的延长线，AB的延长线分别相交于点E，F，G，H求证：PE PHPF PG=2、如图，设AB BC CAAD DE EA==，求证：12∠=∠变式练习：1、（2010•威海）如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC，△A1B1C1．PHGFED CBAEC D﹙1﹚将△ABC ，△A 1B 1C 1如图②摆放，使点A 1及B 重合，点B 1在AC 边的延长线上，连接CC 1交BB 1于点E ．求证：∠B 1C 1C=∠B 1BC ．﹙2﹚若将△ABC ，△A 1B 1C 1如图③摆放，使点B 1及B 重合，点A 1在AC 边的延长线上，连接CC 1交A 1B 于点F ，试判断∠A 1C 1C 及∠A 1BC 是否相等，并说明理由． ﹙3﹚写出问题﹙2﹚中及△A 1FC 相似的三角形．2、如图，已知线段AB ∥CD ，AD 及B C 相交于点K ，E 是线段AD 上一动点。

初三数学相似三角形解题技巧

初三数学相似三角形解题技巧摘要：1.相似三角形的判定方法2.相似三角形的性质应用3.解题步骤与实例分析正文：相似三角形在初中数学中占有重要地位，掌握相似三角形的判定方法和性质对解决各类题目有很大帮助。

本文将为大家介绍相似三角形的解题技巧，帮助大家更好地运用这一知识点。

一、相似三角形的判定方法1.两角法：如果两个三角形有两个对应角相等，则这两个三角形相似。

2.边比例法：如果两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形相似。

3.面积比例法：如果两个三角形的面积成比例，则这两个三角形相似。

4.角-边-角法：如果两个三角形的一组对应角相等，且夹在这两个角之间的那组对应边成比例，则这两个三角形相似。

二、相似三角形的性质应用1.相似三角形的对应边成比例。

2.相似三角形的对应角相等。

3.相似三角形的面积比等于相似比的平方。

4.相似三角形的高成比例。

5.相似三角形的周长比等于相似比。

三、解题步骤与实例分析1.观察题目，找出已知条件和所求问题。

2.判断三角形是否相似，若相似，利用相似三角形的性质解题。

3.根据题目条件，运用相似三角形的判定方法，确定相似三角形的存在。

4.利用相似三角形的性质，将问题转化为简单的计算或几何问题。

5.进行计算或几何分析，得出最终答案。

实例：已知三角形ABC与三角形DEF相似，AB/DE = 2，BC/EF = 3，求AC/DF。

解：由相似三角形的性质可知，三角形ABC与三角形DEF的对应边成比例。

因此，AC/DF = AB/DE × BC/EF = 2 × 3 = 6。

总之，掌握相似三角形的判定方法和性质，并能灵活运用这些知识解决实际问题，是提高初三数学解题能力的关键。

初三相似三角形知识点以及经典例题

初三相似三角形知识点以及经典例题相似三角形是指形状相同但大小不同的三角形。

它是相似多边形中最简单的一种。

如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就是相似三角形。

相似三角形对应边长度的比叫做相似比或相似系数。

比例线段是指四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，那么这四条线段就是成比例线段，简称比例线段。

需要注意的是，比例线段是有顺序的，而且有比例式的定义。

在比例式中，a、d叫比例外项，b、c叫比例内项，a、c叫比例前项，b、d叫比例后项。

如果b=c，即a：b=c：d，那么b叫做a、d的比例中项，此时有b=ad。

比例有一些基本性质和定理。

比如，a:b=c:d等价于ad=bc；a:b=b:c等价于b=ac/b；同时，比例的分母不能为0.还有更比性质、反比性质、合、分比性质等。

需要注意的是，由一个比例式只能化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如ad=bc，除了可化为a:b=c:d等。

比例线段也有一些相关定理，如三角形中平行线分线段成比例定理和平行线分线段成比例定理。

其中，三角形中平行线分线段成比例定理指的是平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例；而平行线分线段成比例定理指的是三条平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例。

例题1：已知线段a=6 cm，b=2 cm，则a、b、a+b的第四比例项是18 cm，a+b与a-b的比例中项是3 cm。

例题2：若(a+b)/(b+c)=(a-c)/(c-a)，则m=1.相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形。

用符号“∽”表示，读作“相似于”。

对应角和对应边可以通过对应顶点的字母来表示，这样更容易找到相似三角形的对应角和对应边。

相似三角形的对应边的比叫做相似比（或相似系数）。

相似三角形对应角相等，对应边成比例。

相似三角形有三个等价关系：反身性、对称性和传递性。

反身性是指任何三角形都与自己相似。

初三相似三角形知识点以及经典例题

相似三角形知识点以及典例知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）在四条线段中，如果a 和b 的比等于c 和d 的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简,,,a b c d ,,,a b c d 称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说是的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b ,,a d c b =②在比例式中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫(::)a c a b c d b d==比例后项,如果b=c ，即那么b 叫做a 、d 的比例中项，此时有。

a b b d =：：2b ad =知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1）基本性质：①；②．bc ad d c b a =⇔=::2::a b b c b a c =⇔=⋅注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如，除了可化为bc ad =等。

d c b a ::=（2）更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a b c d a c d c b d ba dbc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩（3）反比性质(把比的前项、后项交换)：．a c b d b d a c=⇔=（4）合、分比性质：．a c a b c d b d b d ±±=⇔=典型例题：例题1：已知线段a ＝6 cm ，b ＝2 cm ，则a 、b 、a ＋b 的第四比例项是________cm ，a ＋b 与a －b 的比例中项是_________cm ．例题2：若＝＝＝－m 2，则m ＝______．c b a +a c b +bc a +知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.(相似)2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 知识点5 相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：①对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．知识点6 三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理(1)相似三角形的等价关系：①反身性：对于任一有∽．ABC ∆ABC ∆ABC ∆②对称性：若∽，则∽．ABC ∆'''C B A ∆'''C B A ∆ABC ∆③传递性：若∽，且∽，则∽ABC ∆C B A '∆''C B A '∆''C B A ''''''∆ABC ∆C B A ''''''∆(2) 三角形相似的判定定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：用数学语言表述是：， ∴ ∽．BC DE //Q ADE ∆ABC ∆知识点7 三角形相似的判定方法1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．（射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

初三数学相似三角形

初三数学相似三角形知识精讲一.教学内容：相似三角形(一)相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是:1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。

２. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。

３．能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。

4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。

本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。

相似三角形是平面几何的主要内容之一,在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题,题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在１0%左右,有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。

(二）重要知识点介绍：１. 比例线段的有关概念：在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c da b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c,那么b 叫做a 、d 的比例中项。

把线段AB 分成两条线段ＡC 和BC,使AC 2＝AB ·B Ｃ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。

２. 比例性质:①基本性质：a b cda dbc =⇔=②合比性质：±±a b c d ab b cd d =⇒=③等比性质：……≠……a b c dmnb d n ac m bd n ab===+++⇒++++++=()0 ３. 平行线分线段成比例定理:①定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例,如图:l 1∥l 2∥l ３。

则，，，…A B B C D E E F A B A C D E D F B C A C E F D F=== ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线)所得的对应线段成比例。

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