上海市初三数学相似三角形经典题型

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上海数学学科九年级相似三角形测试题及答案

相似三角形测试题及答案图形的放缩与比例线段（1）一、填空题（每小题4分,共40分）1、如果,那么＝________。

2、已知：，则＝________。

3、与的比例中项是________。

4、对一段长为20cm的线段进行黄金分割,那么分得的较长线段长为________cm。

（不取近似值)5、如图，DE∥BC，AD＝1，DB＝2，则的值为________。

6、如图，DE∥BC，AB＝12，AC＝16，AE＝10，则AD＝________。

7、如图，线段AB＝10cm，，，则CD＝________cm。

8、已知：线段AB＝10cm，点C是AB的黄金分割点，且AC＞CB，则BC＝________cm。

（不取近似值)9、如图，AD∥EF∥BC,，DF＝4cm,则DC＝________cm。

10、如图，AB∥EF∥DC，AB＝，DC＝,，则EF＝________。

（用式子表示）二、选择题（每小题4分，共16分）1、若,则下列等式中不正确的是（）。

（A）;（B）；（C）;（D）.2、如图，△ABC中，DE∥BC，则下列等式中不成立的是（）。

（A)；（B)；（C）；（D）.3、如图,△ABC中，DE∥BC，AD＝1，EC＝3，则下列等式中成立的是（ )。

（A）；(B);(C）；（D）.4、如图,△ABC中，DE∥BC,AD＝1，DB＝DE＝2，则BC长是（）。

(A）3； (B）4；（C）5；（D）6。

三、（本题8分）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，，FC＝2,AC＝6,求DE和CE长四、（本题8分）如图，△ABC中，AD＝2DC,G是BD中点,AC延长线交BC于E，求的值。

五、（本题8分）如图，△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC于F，AH交DE于G，DE＝10，BC＝15，AG＝12,求线段AH长.六、（本题10分)如图，平行四边形ABCD中,E是AB的中点，G是AC上一点，，连EC延长交AD于F,求的值。

数学初三相似三角形试卷

一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列各组图形中，能够构成相似三角形的是（）A. 两个等腰三角形B. 两个等边三角形C. 两个直角三角形D. 两个锐角三角形2. 已知两个三角形ABC和DEF，若∠A=∠D，∠B=∠E，则下列说法正确的是（）A. 三角形ABC与三角形DEF相似B. 三角形ABC与三角形DEF不一定相似C. 三角形ABC与三角形DEF一定不相似D. 无法判断三角形ABC与三角形DEF是否相似3. 在相似三角形中，对应边的比称为（）A. 相似比B. 对应角C. 相似中心D. 相似轴4. 若一个三角形的边长分别为3、4、5，那么与这个三角形相似的三角形的边长可能是（）A. 6、8、10B. 6、9、12C. 7、10、14D. 8、12、165. 在相似三角形中，若相似比为2：1，则周长比是（）A. 2：1B. 1：2C. 4：1D. 1：4二、填空题（每题4分，共16分）6. 如果两个相似三角形的相似比是3：2，那么它们的面积比是_______。

7. 在相似三角形中，如果相似比是5：3，那么对应高的比是_______。

8. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB=6cm，DE=4cm，那么BC与EF的比是_______。

9. 在相似三角形中，若一个三角形的周长是另一个三角形的3倍，则它们的相似比是_______。

10. 两个相似三角形的相似比为1：2，那么它们的面积比是_______。

三、解答题（每题10分，共30分）11. （10分）已知三角形ABC中，∠A=45°，∠B=90°，∠C=45°，点D、E分别在边AB、BC上，且AD=DE=EC。

求证：三角形ADE与三角形ABC相似。

12. （10分）已知两个相似三角形ABC和DEF，其中∠A=30°，∠D=45°，∠B=∠E=75°。

求证：三角形ABC与三角形DEF相似。

初三数学相似三角形经典题(含答案)

相似三角形经典习题例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2 已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，若是2cm 6=∆AEF S ，求CDF S ∆．例3 如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．例4 以下命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似．（2）所有的等腰三角形都相似．（3）所有的等腰直角三角形都相似．（4）所有的等边三角形都相似．例5 如图，D 点是ABC ∆的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ∆的边上，而且点D 、点E 和ABC ∆的一个极点组成的小三角形与ABC ∆相似．尽可能多地画出知足条件的图形，并说明线段DE 的画法．例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地址，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，假设5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为，请你帮忙小明计算一下楼房的高度（精准到）．例8 格点图中的两个三角形是不是是相似三角形，说明理由．例9 依照以下各组条件，判定ABC ∆和C B A '''∆是不是相似，并说明理由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ．（2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例10 如图，以下每一个图形中，存不存在相似的三角形，若是存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的依照．例11 已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2．例12 已知ABC ∆的三边长别离为五、1二、13，与其相似的C B A '''∆的最大边长为26，求C B A '''∆的面积S ．例13 在一次数学活动课上，教师让同窗们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方式．小芳的测量方式是：拿一根高米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为米，如此即可明白旗杆的高．你以为这种测量方式是不是可行？请说明理由．例14．如图，为了估算河的宽度，咱们能够在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和C ，使BC AB ⊥，然后再选点E ，使BC EC ⊥，确信BC 与AE 的交点为D ，测得120=BD 米，60=DC 米，50=EC 米，你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB 的高度，在D 和F 处树立标杆DC 和FE ，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），而且AB 、CD 和EF 在同一平面内，从标杆DC 退后123步的G 处，可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上，从标杆FE 退后127步的H 处，可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上．求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少？（古代问题）例16 如图，已知△ABC 的边AB ＝32，AC ＝2，BC 边上的高AD ＝3．（1）求BC 的长；（2）若是有一个正方形的边在AB 上，另外两个极点别离在AC ，BC 上，求那个正方形的面积．。

初三数学相似三角形典型例题(附含答案解析)

.2初三数学相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是：1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。

2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。

3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。

4.能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。

本节的难点容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。

相似三角形是平面几何的主要容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。

（二）重要知识点介绍： 1.比例线段的有关概念：在比例式ab c (a ： bc ：d )中， a 、 d 叫外项， d b 、c 叫项，a 、c 叫前项，b 、d 叫后项， d 叫第四比例项，如果 b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。

把线段 AB 分成两条线段AC 和 BC ，使 AC=ABBC ，叫做把线段 AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。

2. 比例性质：①基本性质：a cb d②合比性质：a cb dad bca b c d b d③等比性质：a c⋯ b dm(bd ⋯ nn ≠ 0) ac ⋯m a bd ⋯n b3.平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥ l 2∥l 3 。

AB 则BCDE， AB EF AC DE， BC DF AC EF ，⋯ DF②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

A3沪科版九年级数学上相似三角形典型例题及练习

相似三角形的判定一．知识点讲解 1. 相似三角形的定义（1）相似三角形定义：如果两个三角形的对应角相等、对应边成比例,我们就称这两个三角形相似。

如图所示,ABC ∆与DEF ∆相似，记作“ABC ∆∽DEF ∆”，读作ABC ∆相似于DEF ∆ .（2)相似比：相似三角形对应边长度的比叫做相似比。

（3)注意:①如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等,对应边成比例。

②相似三角形相似比是有顺序的。

③全等三角形是特殊的相似三角形，但相似三角形不一定是全等三角形. ④用字母表示两个三角形相似时，应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

2.平行线截三角形相似的定理(1)平行线截三角形相似的定理:平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交,截得的三角形与原三角形相似. （2）数学表达式： BC DE // ABC ∆∴∽DEF ∆3.相似三角形的判定定理（1)判定定理1:AA 文字语言数学语言图形如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.（简记为：两角分别相等的两个三角形相似。

）//,B B A A ∠=∠∠=∠ABC ∆∴∽///C B A ∆（2)判定定理2：SAS 文字语言数学语言图形如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等,那么这两个三角形相似。

（简记为：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

） /////,A A CA ACB A AB ∠=∠=且ABC ∆∴∽///C B A ∆（3)判定定理3：SSS 文字语言数学语言图形如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。

（简记为：三边成比例的两个三角形相似。

） //////C B BCC A AC B A AB ==ABC ∆∴∽///C B A ∆(4）判定定理4：HL 文字语言数学语言图形如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似.（简记为：三边成比例的两个三角形相似.）//////CB BCC A AC B A AB ==ABC ∆∴∽///C B A ∆4.相似三角形的基本类型相似三角形的基本类型A字型8字型双垂直型一线三等角型一线三等角型是以等腰三角形或者等边三角形为背景,三个等角的顶点在同一直线上，其中321∠=∠=∠，可根据641802,541801∠-∠-=∠∠-∠-=∠，得图中两个阴影部分三角形相似。

初三数学相似三角形典例及练习题含答案

初三数学相似三角形典例及练习题含答案典例典例1已知三角形ABC中，∠B=90°，AC=6cm，BD垂直AC于D点，BD=3cm，求BC的长度。

解析：根据勾股定理可得：BC^2 = AB^2 + AC^2 = BD^2 + AD^2 + AC^2因为∆ABC与∆ABD相似，所以可以得到：\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC}即：AD = \frac{AB^2}{AC}将公式代入原式中，得到：BC^2 = BD^2 + \frac{AB^4}{AC^2} + AC^2因为AC=6，BD=3，所以代入可得：BC^2 = 3^2 + \frac{AB^4}{6^2} + 6^2化简得：BC^2 = AB^4 \cdot \frac{1}{36} + 45AB^4 = 36(BC^2 - 45)因此，我们可以得到：AB = \sqrt[4]{36(BC^2 - 45)}典例2已知两个三角形ABC和DEF，且它们相似，已知AC=20cm，EF=12cm，AB=15cm，计算DE的长度。

解析：由于两个三角形相似，所以可以得到：\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{EF}将已知条件带入即可得到：\frac{15}{DE}=\frac{20}{12}解得：DE = \frac{36}{4} = 9因此，DE的长度为9cm。

典例3已知三角形ABC和DEF相似，且AB=5cm，DE=2.5cm，BC=6cm，计算EF的长度。

解析：由于两个三角形相似，所以可以得到：\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}将已知条件带入即可得到：\frac{5}{2.5}=\frac{6}{EF}解得：EF = 12因此，EF的长度为12cm。

练习题练习题1已知三角形ABC中，∠B=90°，AB=3cm，AC=4cm，D、E、F分别是BC、AC、AB上的点，且∆DEF与∆ABC相似。

九年级数学相似三角形(压轴必刷30题专项训练)(解析版)

相似三角形(压轴必刷30题专项训练)一．填空题(共9小题)1(2020秋•虹口区校级月考)一张等腰三角形纸片，底边长为15cm ，底边上的高长22.5cm ．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第6张．【分析】设第x 张为正方形，如图，△ADE ∽△ABC ，则DE BC =AM AN，从而计算出x 的值即可．【解答】解：如图，设第x 张为正方形，则DE =3(cm )，AM =(22.5-3x )(cm )，∵△ADE ∽△ABC ，∴DE BC =AM AN ，即315=22.5-3x 22.5，解得x =6．故答案为：6．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质以及正方形的性质，注：相似三角形的对应边之比等于对应边上的高之比．2(2019秋•浦东新区校级月考)如图，在平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果BE BC=23，那么BF FD =23．【分析】由平行四边形的性质可证△BEF ∽△DAF ，再根据相似三角形的性质得BE ：DA =BF ：DF 即可解．【解答】解：ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD ，BC =AD∴△BEF ∽△DAF∴BE ：DA =BF ：DF∵BC =AD∴BF ：DF =BE ：BC =2：3．【点评】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理和性质．3(2017秋•虹口区校级月考)如图，直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AB =10，BC =6，在线段AB上取一点D ，作DF ⊥AB 交AC 于点F ，现将△ADF 沿DF 折叠，使点A 落在线段DB 上，对应点记为A 1；AD 的中点E 的对应点记为E 1，若△E 1FA 1∽△E 1BF ，则AD =165．【分析】利用勾股定理列式求出AC ，设AD =2x ，得到AE =DE =DE 1=A 1E 1=x ，然后求出BE 1，再利用相似三角形对应边成比例列式求出DF ，然后利用勾股定理列式求出E 1F ，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x 的值，从而可得AD 的值．【解答】解：∵∠ACB =90°，AB =10，BC =6，∴AC =AB 2-BC 2=102-62=8，设AD =2x ，∵点E 为AD 的中点，将△ADF 沿DF 折叠，点A 对应点记为A 1，点E 的对应点为E 1，∴AE =DE =DE 1=A 1E 1=x ，∵DF ⊥AB ，∠ACB =90°，∠A =∠A ，∴△ABC ∽△AFD ，∴AD AC =DF BC ，即2x 8=DF 6，解得DF =32x ，在Rt △DE 1F 中，E 1F =DF 2+DE 12=3x 22+x 2=13x 2，又∵BE 1=AB -AE 1=10-3x ，△E 1FA 1∽△E 1BF ，∴E 1F A 1E 1=BE 1E 1F ，∴E 1F 2=A 1E 1•BE 1，即(13x 2)2=x (10-3x )，解得x =85，∴AD 的长为2×85=165．故答案为：165．【点评】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例，综合题，熟记性质并准确识图是解题的关键．4(2021秋•普陀区校级月考)如图，在△ABC 中，4AB =5AC ，AD 为△ABC 的角平分线，点E 在BC 的延长线上，EF ⊥AD 于点F ，点G 在AF 上，FG =FD ，连接EG 交AC 于点H ．若点H 是AC 的中点，则AG FD的值为43．【分析】解题关键是作出辅助线，如解答图所示：第1步：利用角平分线的性质，得到BD =54CD ；第2步：延长AC ，构造一对全等三角形△ABD ≌△AMD ；第3步：过点M 作MN ∥AD ，构造平行四边形DMNG ．由MD =BD =KD =54CD ，得到等腰△DMK ；然后利用角之间关系证明DM ∥GN ，从而推出四边形DMNG 为平行四边形；第4步：由MN ∥AD ，列出比例式，求出AG FD的值．【解答】解：已知AD 为角平分线，则点D 到AB 、AC 的距离相等，设为h ．∵BD CD =S △ABD S △ACD =12AB ⋅h 12AC ⋅h =AB AC =54，∴BD =54CD ．如图，延长AC ，在AC 的延长线上截取AM =AB ，则有AC =4CM ．连接DM ．在△ABD 与△AMD 中，AB =AM ∠BAD =∠MAD AD =AD ∴△ABD ≌△AMD (SAS )，∴MD =BD =54CD ．过点M 作MN ∥AD ，交EG 于点N ，交DE 于点K ．∵MN ∥AD ，∴CK CD =CM AC =14，∴CK =14CD ，∴KD =54CD ．∴MD =KD ，即△DMK 为等腰三角形，∴∠DMK =∠DKM ．由题意，易知△EDG 为等腰三角形，且∠1=∠2；∵MN ∥AD ，∴∠3=∠4=∠1=∠2，又∵∠DKM =∠3(对顶角)∴∠DMK =∠1，∴DM ∥GN ，∴四边形DMNG 为平行四边形，∴MN =DG =2FD ．∵点H 为AC 中点，AC =4CM ，∴AH MH=23．∵MN ∥AD ，∴AG MN =AH MH ，即AG 2FD =23，∴AG FD =43．故答案为：43．方法二：如图，有已知易证△DFE ≌△GFE ，故∠5=∠B +∠1=∠4=∠2+∠3，又∠1=∠2，所以∠3=∠B ，则可证△AGH ∽△ADB设AB =5a ，则AC =4a ，AH =2a ，所以AG /AD =AH /AB =2/5，而AD =AG +GD ，故GD /AD =3/5，所以AG ：GD =2：3，F 是GD 的中点，所以AG ：FD =4：3．【点评】本题是几何综合题，难度较大，正确作出辅助线是解题关键．在解题过程中，需要综合利用各种几何知识，例如相似、全等、平行四边形、等腰三角形、角平分线性质等，对考生能力要求较高．5(2022秋•普陀区校级月考)如图，点A 1，A 2，A 3，A 4在射线OA 上，点B 1，B 2，B 3在射线OB 上，且A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，A 2B 1∥A 3B 2∥A 4B 3．若△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为10.5．【分析】已知△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1，4，且两三角形相似，因此可得出A 2B 2：A 3B 3=1：2，由于△A 2B 2A 3与△B 2A 3B 3是等高不等底的三角形，所以面积之比即为底边之比，因此这两个三角形的面积比为1：2，根据△A 3B 2B 3的面积为4，可求出△A 2B 2A 3的面积，同理可求出△A 3B 3A 4和△A 1B 1A 2的面积．即可求出阴影部分的面积．【解答】解：△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1，4，又∵A 2B 2∥A 3B 3，A 2B 1∥A 3B 2，∴∠OB 2A 2=∠OB 3A 3，∠A 2B 1B 2=∠A 3B 2B 3，∴△B 1B 2A 2∽△B 2B 3A 3，∴B 1B 2B 2B 3=12=A 2B 2A 3B 3，∴A 2A 3A 3A 4=12．∵S △A 2B 2A 3S △B 2A 3B3=12，△A 3B 2B 3的面积是4，∴△A 2B 2A 3的面积为=12×S △A 2B 2B 3=12×4=2(等高的三角形的面积的比等于底边的比)．同理可得：△A 3B 3A 4的面积=2×S △A 3B 2B 3=2×4=8；△A 1B 1A 2的面积=12S △A 2B 1B 2=12×1=0.5．∴三个阴影面积之和=0.5+2+8=10.5．故答案为：10.5．【点评】本题的关键是利用平行线证明三角形相似，再根据已给的面积，求出相似比，从而求阴影部分的面积．6(2017秋•徐汇区校级月考)设△ABC 的面积为1，如图①，将边BC 、AC 分别2等分，BE 1、AD 1相交于点O ，△AOB 的面积记为S 1；如图②将边BC 、AC 分别3等分，BE 1、AD 1相交于点O ，△AOB 的面积记为S 2；⋯，依此类推，则S n 可表示为　12n +1　．(用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)【分析】连接D 1E 1，设AD 1、BE 1交于点M ，先求出S △ABE 1=1n +1，再根据AB D 1E 1=BM ME 1=n +1n 得出S △ABM ：S △ABE 1=(n +1)：(2n +1)，最后根据S △ABM ：1n +1=(n +1)：(2n +1)，即可求出S n ．【解答】解：如图，连接D 1E 1，设AD 1、BE 1交于点M ，∵AE1：AC =1：(n +1)，∴S △ABE 1：S △ABC =1：(n +1)，∴S △ABE 1=1n +1，∵AB D 1E 1=BM ME 1=n +1n ，∴BM BE 1=n +12n +1，∴S △ABM ：S △ABE 1=(n +1)：(2n +1)，∴S △ABM ：1n +1=(n +1)：(2n +1)，∴S n =12n +1．故答案为：12n +1．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、三角形的面积，关键是根据题意作出辅助线，得出相似三角形．7(2018秋•南岗区校级月考)已知菱形ABCD 的边长是6，点E 在直线AD 上，DE =3，连接BE 与对角线AC 相交于点M ，则MC AM的值是　2或23　．【分析】由菱形的性质易证两三角形相似，但是由于点E 的位置未定，需分类讨论．【解答】解：分两种情况：(1)点E 在线段AD 上时，△AEM ∽△CBM ，∴MC AM =BC AE=2；(2)点E在线段AD的延长线上时，△AME∽△CMB，∴MCAM =BCAE=23．【点评】本题考查了相似三角形的性质以及分类讨论的数学思想；其中由相似三角形的性质得出比例式是解题关键．注意：求相似比不仅要认准对应边，还需注意两个三角形的先后次序．8(2020秋•虹口区校级月考)如图，在△ABC中，∠ACB的内、外角平分线分别交BA及其延长线于点D、E，BC=2.5AC，则ABAD+ABAE=5．【分析】根据CD平分∠ACB，可得ABDA=BCAC，根据CE平分∠ACB的外角，可得DEAE=BCAC，进而可得结果．【解答】解：∵CD平分∠ACB，∴AB DA =BC AC，∴BD+DADA =BC+ACAC，∴AB DA =BC+ACAC，①∵CE平分∠ACB的外角，∴DE AE =BC AC，∴BE-AEAE =BC-ACAC，∴AB AE =BC-ACAC，②①+②得，AB AD +ABAE=BC+ACAC+BC-ACAC=2BCAC=2×2.5=5．故答案为：5．【点评】主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用相似三角形的性质来分析、判断、推理或解答．9(2022秋•黄浦区校级月考)如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点P在BA的延长线上，PA=1 4AB，点D在BC边上，PD=PC，则CDBC的值是　34　．【分析】过点P 作PE ∥AC 交DC 延长线于点E ，根据等腰三角形判定与性质，平行线的性质可证PB =PE ，再证△PCE ≌△PDB ，可得BD =CE ，再利用平行线分线段成比例的PA AB=CE BC ，结合线段的等量关系以及比例的性质即可得出结论．【解答】解：如图，过点P 作PE ∥AC 交DC 延长线于点E ，∵AB =AC ，∴∠B =∠ACB ，∵AC ∥PE ，∴∠ACB =∠E ，∴∠B =∠E ，∴PB =PE ，∵PC =PD ，∴∠PDC =∠PCD ，∴∠BPD =∠EPC ，∴在△PCE 和△PDB 中，PC =PD ∠BPD =∠EPC PB =PE，∴△PCE ≌△PDB (SAS )，∴BD =CE ，∵AC ∥PE ，∴PA AB =CE BC ，∵PA =14AB ，∴CE BC =14，∴BD BC =14，∴CD BC =34．故答案为：34．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，以及全等三角形的判定，解决问题的关键是正确作出辅助线，列出比例式．二．解答题(共21小题)10(2017秋•虹口区校级月考)在△ABC 中，∠CAB =90°，AD ⊥BC 于点D ，点E 为AB 的中点，EC 与AD交于点G ，点F 在BC 上．(1)如图1，AC ：AB =1：2，EF ⊥CB ，求证：EF =CD ．(2)如图2，AC ：AB =1：，EF ⊥CE ，求EF ：EG 的值．【分析】(1)根据同角的余角相等得出∠CAD =∠B ，根据AC ：AB =1：2及点E 为AB 的中点，得出AC =BE ，再利用AAS 证明△ACD ≌△BEF ，即可得出EF =CD ；(2)作EH ⊥AD 于H ，EQ ⊥BC 于Q ，先证明四边形EQDH 是矩形，得出∠QEH =90°，则∠FEQ =∠GEH ，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ ∽△EGH ，得出EF ：EG =EQ ：EH ，然后在△BEQ 中，根据正弦函数的定义得出EQ =12BE ，在△AEH 中，根据余弦函数的定义得出EH =32AE ，又BE =AE ，进而求出EF ：EG 的值．【解答】(1)证明：如图1，在△ABC 中，∵∠CAB =90°，AD ⊥BC 于点D ，∴∠CAD =∠B =90°-∠ACB ．∵AC ：AB =1：2，∴AB =2AC ，∵点E 为AB 的中点，∴AB =2BE ，∴AC =BE ．在△ACD 与△BEF 中，∠CAD =∠B ∠ADC =∠BFE =90°AC =BE，∴△ACD ≌△BEF ，∴CD =EF ，即EF =CD ；(2)解：如图2，作EH ⊥AD 于H ，EQ ⊥BC 于Q ，∵EH ⊥AD ，EQ ⊥BC ，AD ⊥BC ，∴四边形EQDH 是矩形，∴∠QEH =90°，∴∠FEQ =∠GEH =90°-∠QEG ，又∵∠EQF =∠EHG =90°，∴△EFQ ∽△EGH ，∴EF ：EG =EQ ：EH ．∵AC ：AB =1：3，∠CAB =90°，∴∠B =30°．在△BEQ 中，∵∠BQE =90°，∴sin B =EQ BE =12，∴EQ =12BE ．在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，∴cos∠AEH=EHAE =32，∴EH=32AE．∵点E为AB的中点，∴BE=AE，∴EF：EG=EQ：EH=12BE：32AE=1：3=3：3=33．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解直角三角形，综合性较强，有一定难度．解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，并且证明四边形EQDH是矩形．11(2021秋•杨浦区校级月考)如图，已知在菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，连接EF、ED、DF，DE交AF于点G，且DE⊥EF．(1)求证：AE2=EG•ED；(2)求证：BC2=2DF•BF．【分析】(1)根据直角三角形的性质得到AE=FE，根据菱形的性质得到AD∥BC，求得∠DAG=∠AFB =90°，然后证明△AEG∽△DEA，即可得到结论；(2)由AE=EF，AE2=EG•ED，得到FE2=EG•ED，推出△FEG∽△DEF，根据相似三角形的性质得到∠EFG=∠EDF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】证明：(1)∵AF⊥BC于点F，∴∠AFB=90°，∵点E是AB的中点，∴AE=FE，∴∠EAF=∠AFE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠DAG=∠AFB=90°，∵DE⊥EF，∴∠FEG=90°，∴∠DAG=∠FEG，∵∠AGD=∠FGE，∴∠EFG=∠ADG，∴∠EAG=∠ADG，∵∠AEG=∠DEA，∴△AEG∽△DEA，∴AE DE =EG AE，∴AE2=EG•ED；(2)∵AE=EF，AE2=EG•ED，∴FE2=EG•ED，∴EF DE =EGEF，∵∠FEG=∠DEF，∴△FEG∽△DEF，∴∠EFG=∠EDF，∴∠BAF=∠EDF，∵∠DEF=∠AFB=90°，∴△ABF∽△DFE，∴AB DF =BF EF，∵四边形ACBD是菱形，∴AB=BC，∵∠AFB=90°，∵点E是AB的中点，∴FE=12AB=12BC，∴BC DF =BF12BC，∴BC2=2DF•BF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．12(2021秋•杨浦区校级月考)如图，已知在平行四边形ABCD中，AE：ED=1：2，点F为DC的中点，连接BE、AF，BE与AF交于点H．(1)求EH：BH的值；(2)若△AEH的面积为1，求平行四边形ABCD的面积．【分析】(1)延长AF，BC交于点G，证明△ADF≌△GCF(AAS)，可得AD=CG=BC，所以BG=2BC，根据AE：ED=1：2，可得AE：AD=1：3，AE：BG=1：6，，证明△AEH∽△GBH，即可解决问题；(2)在△AEH中，设AE=x，AE边上的高为h，△BGH中，BG边上的高为h′，可得平行四边形ABCD的高为h+h′，BC=3x，根据△AEH的面积为1，可得x•h=2，所以h′=6h，进而可以求平行四边形ABCD 的面积．【解答】解：(1)如图，延长AF，BC交于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD =BC ，∴∠D =∠DCG ，∠DAF =∠G ，∵点F 为DC 的中点，∴DF =CF ，在△ADF 和△GCF 中，∠D =∠FCG ∠DAF =∠G DF =CF，∴△ADF ≌△GCF (AAS )，∴AD =CG ，∴AD =CG =BC ，∴BG =2BC ，∵AE ：ED =1：2，∴AE ：AD =1：3，∴AE ：BG =1：6，∵AD ∥BC ，∴△AEH ∽△GBH ，∴EH ：BH =AE ：BG =1：6；(2)在△AEH 中，设AE =x ，AE 边上的高为h ，△BGH 中，BG 边上的高为h ′，∴平行四边形ABCD 的高为h +h ′，BC =3x ，∵△AEH 的面积为1，∴12x •h =1，∴x •h =2∵△AEH ∽△GBH ，∴h ：h ′=1：6，∴h ′=6h ，∴h +h ′=7h ，∴平行四边形ABCD 的面积=BC •(h +h ′)=3x •7h =21xh =42．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平行线分线段成比例等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．13(2021春•徐汇区校级月考)如图，在菱形ABCD 中，点E 在对角线AC 上，点F 在BC 的延长线上，EF =EB ，EF 与CD 相交于点G ；(1)求证：EG •GF=CG •GD ；(2)联结DF ，如果EF ⊥CD ，那么∠FDC 与∠ADC 之间有怎样的数量关系？证明你的结论．【分析】(1)先证明△BCE ≌△DCE ，得∠EDC =∠EBC ；利用此条件再证明∠DGE ∽△FGC ，即可得到EG •GF =CG •GD．(2)利用第(1)题的结论，可证明△DGE ∽△FGC ，再利用三角形内角外角关系，即可得到∠ADC 与∠FDC 的关系．【解答】解：(1)证明：∵点E 在菱形ABCD 的对角线AC 上，∴∠ECB =∠ECD ，∵BC =CD ，CE =CE ，∴△BCE ≌△DCE ，∴∠EDC =∠EBC ，∵EB =EF ，∴∠EBC =∠EFC ；∴∠EDC =∠EFC ；∵∠DGE =∠FGC ，∴△DGE ∽△FGC ；∴EGCG =GD FG∴EG •GF =CG •GD ；(2)∠ADC =2∠FDC ．证明：∵EG CG =GD FG ，∴EG DG =CG FG，又∵∠DGF =∠EGC ，∴△CGE ∽△FGD ，∵EF ⊥CD ，DA =DC ，∴∠DAC =∠DCA =∠DFG =90°-∠FDC ，∴∠ADC =180°-2∠DAC =180°-2(90°-∠FDC )=2∠FDC ．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、菱形的性质等知识点的综合应用，解题时注意：相似三角形的对应角相等，对应边成比例．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．14(2021秋•宝山区校级月考)如图，四边形DEFG 是△ABC 的内接正方形，AB =BC =6cm ，∠B =45°，则正方形DEFG 的面积为多少？【分析】过A 作AH ⊥BC 于H ，交GF 于M ，于是得到△ABH 是等腰直角三角形，求得AH =BH =2222AB =32cm ，由△AGF ∽△ABC ，得到GF BC =AM AH，求得GF =(62-6)cm ，即可得到结论．【解答】解：过A 作AH ⊥BC 于H ，交GF 于M ，∵∠B =45°，∴AH =BH =22AB =32cm ，∵GF ∥BC ，∴△AGF ∽△ABC ，∴GF BC =AM AH，即GF 6=32-GF 32，∴GF =(62-6)cm ，∴正方形DEFG 的面积=GF 2=(62-6)2=(108-722)cm ．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的四条边都相等的性质，利用相似的性质：对应边的比值相等求出正方形的边长是解答本题的关键．15(2021秋•松江区月考)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为边BC 上一点，联结AE 并延长AE 交DC 的延长线于点M ，交BD 于点G ，过点G 作GF ∥BC 交DC 于点F ．求证：DF FC =DM CD．【分析】由GF ∥BC ，根据平行线分线段成比例定理，可得DF FC，又由四边形ABCD 是平行四边形，可得AB =CD ，AB ∥CD ，继而可证得DM AB =DG BG ，则可证得结论．【解答】证明：∵GF ∥BC ，∴DF FC =DG BG，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD ，∴DM AB =DG BG ，∴DF FC =DM CD．【点评】此题考查了平行分线段成比例定理以及平行四边形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16(2021秋•松江区月考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，DE 的延长线与BC 的延长线交于点F ．(1)求证：FD FC =BD DC ；(2)若BC FC =54，求BD DC的值．【分析】(1)根据直角三角形斜边上中线性质求出DE =EC ，推出∠EDC =∠ECD ，求出∠FDC =∠B ，根据∠F =∠F 证△FBD ∽△FDC ，即可；(2)根据已知和三角形面积公式得出S △BDC S △FDC =54，S △BDF S △FDC =94，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出S △BDFS △FDC =BD DC 2=94，即可求出BD DC．【解答】(1)证明：∵CD ⊥AB ，∴∠ADC =90°，∵E 是AC 的中点，∴DE =EC ，∴∠EDC =∠ECD ，∵∠ACB =90°，∠BDC =90°∴∠ECD +∠DCB =90°，∠DCB +∠B =90°，∴∠ECD =∠B ，∴∠FDC =∠B ，∵∠F =∠F ，∴△FBD ∽△FDC ，∴FD FC =BD DC(2)解：∵BC FC =54，∴S △BDCS △FDC =54，∴S △BDFS △FDC =94，∵△FBD ∽△FDC ，∴S △BDF S △FDC =BD DC2=94，∴BD DC=32．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的面积，注意：相似数据线的面积比等于相似比的平方，题目比较好，有一定的难度．17(2021春•黄浦区校级月考)如图，四边形ABCD 是矩形，E 是对角线AC 上的一点，EB =ED 且∠ABE =∠ADE ．(1)求证：四边形ABCD 是正方形；(2)延长DE 交BC 于点F ，交AB 的延长线于点G ，求证：EF •AG =BC •BE ．【分析】(1)根据邻边相等的矩形是正方形即可证明；(2)由AD ∥BC ，推出EF DE =EC EA ，同理DC AG =EC EA，由DE =BE ，四边形ABCD 是正方形，推出BC =DC，可得EFBE =BCAG解决问题；【解答】(1)证明：连接BD．∵EB=ED，∴∠EBD=∠EDB，∵∠ABE=∠ADE，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形．(2)证明：∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC，∴EF DE =EC EA，同理DCAG=ECEA，∵DE=BE，四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∴EF BE =BC AG，∴EF•AG=BC•BE．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、正方形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18(2021秋•浦东新区校级月考)如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，求证：AD2=AF•AB．【分析】由DE∥BC，EF∥CD，可得△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论．【解答】证明：∵DE∥BC，EF∥CD，∴△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，∴AD：AB=AE：AC，AF：AD=AE：AC，∴AD：AB=AF：AD，∴AD2=AF•AB．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意掌握相似三角形的对应边成比例．19(2020秋•浦东新区月考)在△ABC中，D是BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC，与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若DE=3，BC=8，求△FCD的面积．【分析】(1)由DE⊥BC，D是BC的中点，根据线段垂直平分线的性质，可得BE=CE，又由AD=AC，易得∠B=∠DCF，∠FDC=∠ACB，即可证得△ABC∽△FCD；(2)首先过A作AG⊥CD，垂足为G，易得△BDE∽△BGA，可求得AG的长，继而求得△ABC的面积，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得△FCD的面积．【解答】(1)证明：∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴BE=CE，∴∠B=∠DCF，∵AD=AC，∴∠FDC=∠ACB，∴△ABC∽△FCD；(2)解：过A作AG⊥CD，垂足为G．∵AD=AC，∴DG=CG，∴BD：BG=2：3，∵ED⊥BC，∴ED∥AG，∴△BDE∽△BGA，∴ED：AG=BD：BG=2：3，∵DE=3，∴AG=92，∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，∴S△FCDS△ABC=(CDBC)2=14．∵S△ABC=12×BC×AG=12×8×92=18，∴S△FCD=14S△ABC=92．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．20(2021春•静安区校级月考)已知：如图，在菱形ABCD中，点E在边BC上，点F在BA的延长线上，BE=AF，CF∥AE，CF与边AD相交于点G．求证：(1)FD=CG；(2)CG2=FG•FC．【分析】(1)根据菱形的性质得到∠FAD =∠B ，根据全等三角形的性质得到FD =EA ，于是得到结论；(2)根据菱形的性质得到∠DCF =∠BFC ，根据平行线的性质得到∠BAE =∠BFC ，根据全等三角形的性质得到∠BAE =∠FDA ，等量代换得到∠DCF =∠FDA ，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】证明：(1)∵在菱形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠FAD =∠B ，在△ADF 与△BAE 中，AF =BE ∠FAD =∠B AD =BA，∴△ADF ≌△BAE ，∴FD =EA ，∵CF ∥AE ，AG ∥CE ，∴EA =CG ，∴FD =CG ；(2)∵在菱形ABCD 中，CD ∥AB ，∴∠DCF =∠BFC ，∵CF ∥AE ，∴∠BAE =∠BFC ，∴∠DCF =∠BAE ，∵△ADF ≌△BAE ，∴∠BAE =∠FDA ，∴∠DCF =∠FDA ，又∵∠DFG =∠CFD ，∴△FDG ∽△FCD ，∴FD FC=FG FD ，FD 2=FG •FC ，∵FD =CG ，∴CG 2=FG •FC ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．21(2021秋•浦东新区校级月考)如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC =2AD ，点E 为边DC 的中点，BE 交AC 于点F ．求：(1)AF ：FC 的值；(2)EF ：BF 的值．【分析】(1)延长BE 交直线AD 于H ，如图，先由AD ∥BC 得到△DEH ∽△CEB ，则有DH BC =DE CE，易得DH =BC ，加上BC =2AD ，所以AH =3AD ，然后证明△AHF ∽△CFB ，再利用相似比可计算出AF ：FC 的值；(2)由△DEH ∽△CEB 得到EH ：BE =DE ：CE =1：1，则BE =EH =12BH ，由△AHF ∽△CFB 得到FH ：BF =AF ：FC =3：2；于是可设BF =2a ，则FH =3a ，BH =BF +FH =5a ，EH =52a ，接着可计算出EF =FH -EH =12a ，然后计算EF ：BF 的值．【解答】解：(1)延长BE 交直线AD 于H ，如图，∵AD ∥BC ，∴△DEH ∽△CEB ，∴DH BC =DE CE，∵点E 为边DC 的中点，∴DE =CE ，∴DH =BC ，而BC =2AD ，∴AH =3AD ，∵AH ∥BC ，∴△AHF ∽△CFB ，∴AF ：FC =AH ：BC =3：2；(2)∵△DEH ∽△CEB ，∴EH ：BE =DE ：CE =1：1，∴BE =EH =12BH ，∵△AHF ∽△CFB ，∴FH ：BF =AF ：FC =3：2；设BF =2a ，则FH =3a ，BH =BF +FH =5a ，∴EH =52a ，∴EF =FH -EH =3a -52a =12a ，∴EF ：BF =12a ：2a =1：4．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系．22(2021秋•浦东新区校级月考)已知：如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，过点D 作DE ∥CB ，交AB 于点E ，AD DC =13，DE =6．(1)求AB 的长；(2)求S △ADE S △BCD．【分析】(1)由∠ABD =∠CBD ，DE ∥BC 可推得∠EDB =∠CBD ，进而推出∠ABD =∠EDB ，由此可得BE =DE =6，由DE ∥BC 可得AE EB =AD DC=13，进而证得AE =2，于是可得结论；(2)△ADE 看成以DE 为底，高为h 1，△BCD 看成以BC 为底，高为h 2，由平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质可得h 1h 2=AD DE =13，DE BC =14，进而证得结论．【解答】解：(1)BD 平∠ABC ，∴∠ABD =∠CBD ，∵DE ∥BC ，∴∠EDB =∠CBD ，∴∠ABD =∠EDB ，∴BE =DE =6，∵DE ∥BC ，∴AE EB =AD DC =13，∴AE 6=13，∴AE =2，∴AB =AE +BE =8；(2)△ADE 看成以DE 为底，高为h 1，△BCD 看成以BC 为底，高为h 2，∵DE ∥CB ，∴△AED ∽△ABC ，∴h 1h 2=AD DE =13，DE BC =14，∴S △ADE S △BCD =12DE ⋅h 112BC ⋅h 2=112．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，三角形的面积等知识，熟练应用平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质是解决问题的关键．23(2022春•长宁区校级月考)已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AC 、DB 交于点E ，点F 在BC 的延长线上，联结EF 、DF ，且∠DEF =∠ADC ．(1)求证：EFBF =AB DB；(2)如果BD 2=2AD •DF ，求证：平行四边形ABCD 是矩形．【分析】(1)由已知条件和平行四边形的性质易证△ADB ∽△EBF ，再由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可证明：EF BF =AB DB；(2)由(1)可得BD 2=2AD •BF ，又因为BD 2=2AD •DF ，所以可证明BF =DF ，再由等腰三角形的性质可得∠DEF =90°，所以∠ADC =∠DEF =90°，进而可证明平行四边形ABCD 是矩形．【解答】解：(1)证明：∵平行四边形ABCD ，∴AD ∥BC ，AB ∥DC∴∠BAD +∠ADC =180°，又∵∠BEF +∠DEF =180°，∴∠BAD +∠ADC =∠BEF +∠DEF ，∵∠DEF =∠ADC ，∴∠BAD =∠BEF ，∵AD ∥BC ，∴∠EBF =∠ADB ，∴△ADB ∽△EBF ，∴EF BF =AB DB；(2)∵△ADB ∽△EBF ，∴AD BD =BE BF，在平行四边形ABCD 中，BE =ED =12BD ，∴AD •BF =BD •BE =12BD 2，∴BD 2=2AD •BF ，又∵BD 2=2AD •DF ，∴BF =DF ，∴△DBF 是等腰三角形，∵BE =DE ，∴FE ⊥BD ，即∠DEF =90°，∴∠ADC =∠DEF =90°，∴平行四边形ABCD 是矩形．【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判断和性质以及矩形的判断，其中(2)小题证明△DBF 是等腰三角形是解题的关键．24(2021秋•宝山区校级月考)已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=6，点P是射线AD上的点，BP交AC于点E，∠CBP的角平分线交AC于点F，且CF=13AC时．求AP+BP的值．【分析】延长BF交射线AP于M，根据AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出AP+BP=AM，再根据AC=13CF求出AE=2CF，然后根据△MAF和△BCF相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：如图，延长BF交射线AP于M，∵AD∥BC，∴∠M=∠CBM，∵BF是∠CBP的平分线，∴∠PBM=∠CBM，∴∠M=∠PBM，∴BP=PM，∴AP+BP=AP+PM=AM，∵CF=13AC，则AF=2CF，由AD∥BC得，△MAF∽△BCF，∴AMBC =AFCF=2，∴AM=2BC=2×6=12，即AP+BP=12．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BF构造出相似三角形，求出AP+BP=AM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．25(2020秋•虹口区校级月考)已知：如图，已知△ABC与△ADE均为等腰三角形，BA=BC，DA= DE．如果点D在BC边上，且∠EDC=∠BAD．点O为AC与DE的交点．(1)求证：△ABC∽△ADE；(2)求证：DA•OC=OD•CE．【分析】(1)根据三角形的外角的性质和角的和差得到∠B=∠ADE，由于BABC=DADE=1，根据得到结论；(2)根据相似三角形的性质得到∠BAC=∠DAE，于是得到∠BAD=∠CAE=∠CDE，证得△COD∽△EOA，根据相似三角形的性质得到OCOE =ODOA，由∠AOD=∠COE，推出△AOD∽△COE，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：(1)∵∠ADC =∠ABC +∠BAD =∠ADE +∠EDC ，∴∠B =∠ADE ，∵BA BC=DA DE =1，∴△ABC ∽△ADE ；(2)∵△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC =∠DAE ，∴∠BAD =∠CAE =∠CDE ，∵∠COD =∠EOA ，∴△COD ∽△EOA ，∴OC OE =OD OA，∵∠AOD =∠COE ，∴△AOD ∽△EOC ，∴DA ：CE =OD ：OC ，即DA •OC =OD •CE ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．26(2021秋•金山区校级月考)已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在边AD 上，CE 与BD 相交于点F ，AD =4，AB =5，BC =BD =6，DE =3．(1)求证：△DFE ∽△DAB ；(2)求线段CF 的长．【分析】(1)AD ∥BC ，DE =3，BC =6，DF FB =DE BC=36=12，DF DA =DE DB ．又∠EDF =∠BDA ，即可证明△DFE ∽△DAB ．(2)由△DFE ∽△DAB ，利用对应边成比例，将已知数值代入即可求得答案．【解答】证明：(1)∵AD ∥BC ，DE =3，BC =6，∴DF FB =DE BC =36=12，∴DF BD =12，∵BD =6，∴DF =2．∵DA =4，∴DF DA =24=12，DE DB =36=12．∴DF DA=DE DB ．又∵∠EDF =∠BDA ，∴△DFE ∽△DAB ．(2)∵△DFE ∽△DAB ，∴EF AB =DE DB ．∵AB =5，∴EF 5=36，∴EF =52=2.5．∵DE ∥BC ，∴CFEF =BC DE ．∴CF 2.5=63，∴CF =5．(或利用△CFB ≌△BAD )．【点评】此题考查学生对梯形和相似三角形的判定与性质的理解和掌握，第(2)问也可利用△CFB ≌△BAD 求得线段CF 的长，不管学生用了哪种方法，只要是正确的，就要积极地给予表扬，以此激发学生的学习兴趣．27(2020秋•宝山区月考)如图，正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，已知△ABC 的边BC =15，高AH =10，求正方形DEFG 的边长和面积．【分析】高AH 交DG 于M ，如图，设正方形DEFG 的边长为x ，则DE =MH =x ，所以AM =10-x ，再证明△ADG ∽△ABC ，则利用相似比得到x 15=10-x 10，然后根据比例的性质求出x ，再计算x 2的值即可．【解答】解：高AH 交DG 于M ，如图，设正方形DEFG 的边长为x ，则DE =MH =x ，∴AM =AH -MH =10-x ，∵DG ∥BC ，∴△ADG ∽△ABC ，∴DG BC =AM AH，即x 15=10-x 10，∴x =6，∴x 2=36．答：正方形DEFG 的边长和面积分别为6，36．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；也考查了正方形的性质．28(2021秋•闵行区校级月考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，M 是CD 上的点，DH ⊥BM 于H ，DH 的延长线交AC 的延长线于E ．求证：(1)△AED ∽△CBM ；(2)AE •CM =AC •CD ．【分析】(1)由于△ABC 是直角三角形，易得∠A +∠ABC =90°，而CD ⊥AB ，易得∠MCB +∠ABC =90°，利用同角的余角相等可得∠A =∠MCB ，同理可证∠1=∠2，而∠ADE =90°+∠1，∠CMB =90°+∠2，易证∠ADE =∠CMB ，从而易证△AED ∽△CBM ；(2)由(1)知△AED ∽△CBM ，那么AE ：AD =CB ：CM ，于是AE •CM =AD •CB ，再根据△ABC 是直角三角形，CD 是AB 上的高，易知△ACD ∽△CBD ，易得AC •CD =AD •CB ，等量代换可证AE •CM =AC •CD ．【解答】证明：(1)∵△ABC 是直角三角形，∴∠A +∠ABC =90°，∵CD ⊥AB ，∴∠CDB =90°，即∠MCB +∠ABC =90°，∴∠A =∠MCB ，∵CD ⊥AB ，∴∠2+∠DMB =90°，∵DH ⊥BM ，∴∠1+∠DMB =90°，∴∠1=∠2，又∵∠ADE =90°+∠1，∠CMB =90°+∠2，∴∠ADE =∠CMB ，∴△AED ∽△CBM ；(2)∵△AED ∽△CBM ，∴AE BC =AD CM，∴AE •CM =AD •CB ，∵△ABC 是直角三角形，CD 是AB 上的高，∴△ACD ∽△CBD ，∴AC ：AD =CB ：CD ，∴AC •CD =AD •CB ，∴AE •CM =AC •CD ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的高所分成的两个三角形与这个直角三角形相似．解题的关键是证明∠A =∠MCB 以及∠ADE =∠CMB ．29(2022秋•徐汇区校级月考)如图，在直角坐标平面内有点A (6，0)，B (0，8)，C (-4，0)，点M 、N 分别为线段AC 和射线AB 上的动点，点M 以2个单位长度/秒的速度自C 向A 方向做匀速运动，点N 以5个单位长度/秒的速度自A 向B 方向做匀速运动，MN 交OB 于点P ．(1)求证：MN ：NP 为定值；(2)若△BNP 与△MNA 相似，求CM 的长；(3)若△BNP 是等腰三角形，求CM 的长．【分析】(1)过点N 作NH ⊥x 轴于点H ，然后分两种情况进行讨论，综合两种情况，求得MN ：NP 为定值53．(2)当△BNP 与△MNA 相似时，当点M 在CO 上时，只可能是∠MNB =∠MNA =90°，所以△BNP ∽△MNA ∽△BOA ，所以AM AN =AB AO ，所以10-2k 5k =106，k =3031，即CM =6031；当点M 在OA 上时，只可能是∠NBP =∠NMA ，所以∠PBA =∠PMO ，根据题意可以判定不成立，所以CM =6031．(3)由于等腰三角形的特殊性质，应分三种情况进行讨论，即BP =BN ，PB =PN ，NB =NP 三种情况进行讨论．【解答】证明：(1)过点N 作NH ⊥x 轴于点H ，设AN =5k ，得：AH =3k ，CM =2k ，①当点M 在CO 上时，点N 在线段AB 上时：∴OH =6-3k ，OM =4-2k ，∴MH =10-5k ，∵PO ∥NH ，∴MN NP =MH OH=10-5k 6-3k =53，②当点M 在OA 上时，点N 在线段AB 的延长线上时：∴OH =3k -6，OM =2k -4，∴MH =5k -10，∵PO ∥NH ，∴MN NP =MH OH=5k -103k -6=53；解：(2)当△BNP 与△MNA 相似时：①当点M 在CO 上时，只可能是∠MNB =∠MNA =90°，∴△BNP ∽△MNA ∽△BOA ，∴AMAN =AB AO，。

初三数学相似三角形典型例题(含答案)

初三数学相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是： 1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。

2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。

3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。

4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。

本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。

相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。

（二）重要知识点介绍： 1. 比例线段的有关概念：在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b cda b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。

把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。

2. 比例性质： ①基本性质：a b cdad bc =⇔= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d=⇒= ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b===+++⇒++++++=()03. 平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。

则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF=== ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

上海初三数学相似三角形经典题型

上海初三数学相似三角形经典题型集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-相似三角形的判定练习例题分析：例1：已知如图，在△ABC 中，D 是AB 上的一点，连结CD ，∠ACD=∠B,求证：2 AE AD AC =例2：如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，(1)求证：△ACD ∽△ABC ∽△CBD(2)求证：222(1) (2) (3)AC AD AB CD AD DB BC BD AB ===例3：已知如图，点D 是AB 上的一点，CA ⊥AB,EB ⊥AB,CD ⊥DE,求证：△ACD ∽△BDE 例4：在△ABC 中，AB=6，AC=9，D 为AC 上的一点，AD=3，在AB 上找一点E ，使得△ADE 与△ABC 相似并求出AE 的长。

两个三角形相似的六种图形：1. 如图在△ABC 中，D 是BC 边的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，交AB 于点E ，EC 交AD 于点F ．求证：△ABC ∽△FCD ；2、已知：如图，△ABC 中，∠ACB=900，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 延长线于F 。

求证：CD 2=DE ·DF3. 如图3，△ABC 中，AD 平分∠BAC ， AD 的垂直平分线FE 交BC 的延长线于E ．求证：DE 2＝BE·CE．4.如图，已知△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，CF ∥BA ，BF 交AD 于P 点，交AC 于E 点。

求证：BP 2=PE ·PF 。

A EB D CF5.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB6.如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F．求证：AB DF AC AF．7.已知如图，在平行四边形ABCD中，AC=2AB,求证：△AOB∽△ABC8. 已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:(1)△AEC∽△AFB (2) △AEF∽△ACB 6.如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，G是DC延长线上一点，过B作BE⊥AG，垂足为E，交CD于点F．求证：CD2＝DF·DG．7.如图，△ABC中，点DE在边BC上，且△ADE是等边三角形，∠BAC=120°求证：（1）△ADB∽△CEA;（2）DE2=BD·CE;(3)AB·AC=AD·BC.8．如图，平行四边形ABCD中，E为BA延长线上一点，∠D=∠ECA.求证：AD·EC=AC·EB9.如图，E是平行四边形的边DA延长线上一点，EC交AB于点G,交BD于点F,求证：FC2=FG·EF.10.如图，ABCD为直角梯形，AB∥CD,AB⊥BC,AC⊥BD。

初三数学相似三角形经典题型

初三数学相似三角形经典题型
以下是关于初三数学相似三角形的经典题型：
1. 题目：在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，D是BC上一点，向量AD=x倍的向量AB加上y倍的向量AC，且x+y=1，则AD的长度的最小值为 _______．
2. 题目：在△ABC中，AB = 3，AC = 4，∠BAC = 60°，若 P 是 BC 边上的一个动点，且ΔABP 与∆ABC 相似，则 AP 的最小值为 _______．
3. 题目：在△ABC中，AB = AC，D是BC上一点，∠BAC = 120°，则
AD/AB 的值为 _______．
4. 题目：已知：$A,H,B,C,D,E,F$七点中的每三个点都不在一条直线上，从这七点中选三个点连成三角形．一共可以画出$42$个三角形(当这七点排成一条直线时，可以构成$3$个三角形)，其中有几条与线段BC构成等腰三角形？
5. 题目：在△ABC中，∠BAC = 60°，AB = 2，AC = 1，D是BC上一点，向量AD = x倍的向量AB + y倍的向量AC (x + y = 1)，则向量AD模的最小值为 _______．
以上题目均考察了相似三角形的性质和判定方法。

解决这类问题时，需要灵活运用相似三角形的性质和判定定理。

相似三角形经典例题(练习)

一、如何证明三角形相似例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽ ∽ 。

例2、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BCD例3：已知，如图，D 为△ABC 内一点连结ED 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD求证：△DBE∽△ABC例4、矩形ABCD 中，BC=3AB ，E 、F ，是BC 边的三等分点，连结AE 、AF 、AC ，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。

二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例5、△ABC 中，在AC 上截取AD ，在CB 延长线上截取BE ，使AD=BE ，求证：DF AC=BC FE例6：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900，M 是BC 的中点，DM⊥BC 于点E ，交BA 的延长线于点D 。

例7：如图△ABC 中，AD 为中线，CF 为任一直线，CF 交AD 于E ，交AB 于F ，求证：AE ：ED=2AF ：FB 。

过D 点作DG∥AB 交FC 于G 则△AEF∽△DEG。

（平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得三角形与原三角形相似）（1）∵D 为BC 的中点，且DG∥BF∴G 为FC 的中点则DG 为△CBF 的中位线，（2）将（2）代入（1）得：三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。

边AB 和AD 上的点，且。

求证：例8：已知：如图E 、F 分别是正方形ABCD 的∠AEF=∠FBD例9、在平行四边形ABCD 内，AR 、BR 、CP 、DP 各为四角的平分线，••DG AFDE AE =BF DG 21=FBAF BF AF DE AE 221==31==AD AF AB EB A B C D E FG 1234ABC D AB C D E FK A B CD E FCDRAC E ABCDEFO 123ABCDFGE求证：SQ ∥AB ，RP ∥BC例10、已知A 、C 、E 和B 、F 、D 分别是∠O 的两边上的点，且AB ∥ED ，BC ∥FE ，求证：AF ∥CD例11、直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，BCDE 是正方形，AE 交BC 于F ，FG ∥AC 交AB 于G ，求证：FC=FG例12、Rt △ABC 锐角C 的平分线交AB 于E ，交斜边上的高AD 于O ，过O 引BC 的平行线交AB 于F ，求证：AE=BF（答案）例1分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。

沪教版九年级上册相似三角形经典例题与练习 (含答案) 生本教育强力推荐

沪教版九年级上册相似三角形经典例题与练习 (含答案) 生本教育强力推荐生本教育是一家致力于从“学会”到“会学”的教育引领者。

本次教学是关于九年级上册相似三角形总结与加强与平行向量线性运算的课程，课时数为2小时。

教学目标包括熟练掌握相关定义与定理，熟练应用相似三角形的性质与判定定理，熟悉常见题型和图形，熟练掌握常用解题方法与分析方法。

其中，性质与判定定理的熟练应用是重点难点。

教学内容分为回顾知识要点和知识点讲解及经典例题两部分。

回顾知识要点包括三角形相似判定定理，相似形定义和比例知识。

知识点讲解及经典例题部分介绍了相似三角形的比例线段有关概念，比例性质和平行线分线段成比例定理。

此外，还介绍了相似三角形的判定，包括两角对应相等，两边对应成比例且夹角相等，三边对应成比例，直角三角形相似，平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似，以及直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

在教学中，需要重点强化性质与判定定理的熟练应用。

同时，在讲解知识点和经典例题时，需要注重图形的展示和解题方法的讲解，以帮助学生更好地理解和掌握知识。

如果一个三角形的两边的比等于另一个三角形某两边的比，并且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似。

相似三角形有以下性质：①对应角相等；②对应边成比例；③对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；④周长的比等于相似比；⑤面积的比等于相似比的平方。

一、如何证明三角形相似例1：如图，点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上，AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽△BCF。

例2：已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，证明：△ABC∽△BCD。

例3：已知，如图，D为△ABC内一点，连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠XXX∠ABD，∠XXX∠BAD，证明：△DBE∽△ABC。

例4：矩形ABCD中，BC=3AB，E、F是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，证明：不存在非全等的相似三角形。

2020最新沪教版九年级上册相似三角形之比例线段典型题

相似三角形典型题之比例线段一．解答题（共40小题）1．将下列各图形的变换与变换的名称用线连起来：2．已知≠0，且a+2b﹣2c=3，求a的值．3．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足，a+b+c=12，试判断△ABC的形状．4．已知a：b：c=2：3：4，且a+b﹣c=6．求a、b、c的值．5．已知非零实数a，b，c满足==，且a+b=34，求c的值．6．已知：．求k值．7．已知a、b、c均为非零的实数，且满足==，求的值．8．已知==，且3a﹣2b+c=9，求2a+4b﹣3c的值．9．已知：，求a：b：c的值．10．已知a：b：c=2：4：5，且2a﹣b+3c=15，求3a+b﹣2c的值．11．（1）已知=，求的值．（2）已知==，求的值．12．阅读下面的解题过程，然后解题：题目：已知（a、b、c互相不相等），求x+y+z的值．解：设，则x=k（a﹣b），y=k（b﹣c），z=k（c﹣a）于是，x+y+z=k （a﹣b+b﹣c+c﹣a）=k•0=0，依照上述方法解答下列问题：已知：==（x+y+z≠0），求的值．13．（1）已知=，求的值．（2）已知===（b+d+f≠0），求的值．14．已知，（1）求的值；（2）如果，求x的值．15．已知：=，说明：ab+cd是a2+c2和b2+d2的比例中项．16．我们知道：若，且b+d≠0，那么．（1）若b+d=0，那么a、c满足什么关系？（2）若，求t2﹣t﹣2的值．17．如图，四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB=3，AD=6.5，BF=2．（1）求下列各线段的比：，，；（2）指出AB，BC，CF，CD，EF，FB这六条线段中的成比例线段（写一组即可）18．已知线段a=0.3m，b=60cm，c=12dm．（1）求线段a与线段b的比．（2）如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长．（3）b是a和c的比例中项吗？为什么？19．在比例尺1：6000000的地图上，量得甲乙两地距离是6cm，甲乙两地实际距离是多少千米？20．如图：点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，若AC：BC=3：2，且AD=8，求线段AB的长．21．如图，已知=，AD=6.4cm，DB=4.8cm，EC=4.2cm，求AC的长．22．如果一个矩形的宽与长的比值为，则称这个矩形为黄金矩形，如图，将矩形ABCD剪掉一个正方形ADFE后，剩余的矩形BCFE（BC＞BE）是黄金矩形，则原矩形ABCD是否为黄金矩形？请说明理由．23．如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，若AE=BC，则点E是线段AB的黄金分割点吗？说明你的理由．24．已知：如图，线段AB=2，BD⊥AB于点B，且BD=AB，在DA上截取DE=DB．在AB上截取AC=AE．求证：点C是线段AB的黄金分割点．25．（1）我们知道，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，使AP＞PB，点P把线段AB分成两条线段AP和BP，且=，点P就是线段AB的黄金分割点，此时的值为（填一个实数）：（2）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD长为半径画弧交边AB于E．求证：点E是线段AB的黄金分割点．26．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是∠ABC的角平分线．（1）求证：△ABC∽△BDC；（2）求证：点D是线段AC的黄金分割点．27．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1，l2于点A、B、C和点D、E、F，=，AC=10．（1）求AB，BC的长；（2）如果AD=7，CF=12，求BE的长．28．证明平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．已知（如图）l1∥l2∥l3，求证：=．29．（1）已知=，求的值；（2）如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC．如果AB=7，EB=5，FC=4，那么AF的长是多少？30．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点F、E在边AC上，DE∥BC，DF∥BE，求证：．31．如图，l1∥l2∥l3，AB=3，AD=2，DE=4，EF=7.5．求BC、BE的长．32．如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．（1）如果AB=4，BC=8，EF=12，求DE的长．（2）如果DE：EF=2：3，AB=6，求AC的长．33．如图，D是△ABC的边BC的中点，且=．（1）过点A作DE的平行线交BC于G，分别求出和的值；（2）若△CDF的面积为3，求出四边形ABDF的面积．34．如图，已知△ABC中，D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且DE∥BC，EF ∥AB，AD=16cm，DB=8cm，CE=6cm，DE=14cm，求AC、CF的长．35．如图，==，试求和的值．36．如图，已知在△ABC中，点D，E，F分别在BC，AB，AC边上．（1）当点D，E，F分别为BC，AB，AC边的中点时，求证：△BED≌△DFC；（2）若DE∥AC，DF∥AB，且AE=2，BE=3，求的值．37．阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则=．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E．…任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是．38．如图，l1∥l2∥l3，AB=3，AD=2，DE=4，EF=7.5，求BC、BF的长．39．如图，在△ABC中，DE∥BC，△ABC的高AM交DE于点N，BC=15，AM=10，DE=MN，求MN的长．40．如图，DC∥EF∥GH∥AB，AB=12，CD=6，DE：EG：GA=3：4：5．求EF和GH的长．相似三角形典型题之比例线段参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．将下列各图形的变换与变换的名称用线连起来：【分析】旋转的基本特征是图形旋转前后“对应点到旋转中心的距离相等，并且各组对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转的角度”，经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，对应点的排列次序相同；平移和旋转都是在平面内，图形变换前后的图形是全等的，对应线段相等，对应角相等，对应点的排列次序相同；由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫作图形轴对称变换．【解答】解：【点评】本题考查的是对平移变换，相似变换，旋转变换，轴对称变换的认识．根据概念作出回答．2．已知≠0，且a+2b﹣2c=3，求a的值．【分析】设，得出a=6k，b=5k，c=4k，代入a+2b﹣2c=3求出k，再求出a即可．【解答】解：设，则a=6k，b=5k，c=4k，∵a+2b﹣2c=3，∴6k+10k﹣8k=3，解得：，∴a=．【点评】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键．3．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足，a+b+c=12，试判断△ABC的形状．【分析】设=k，表示a、b、c的长，代入a+b+c=12中，计算k的值，可得三边的长，根据勾股定理的逆定理可得结论．【解答】解：△ABC是直角三角形，理由是：设=k，则a=2k﹣2，b=3k﹣4，c=4k﹣9，∵a+b+c=12，∴2k﹣2+3k﹣4+4k﹣9=12，k=3，∴a=4，b=5，c=3，∴a2+c2=42+32=25=b2，∴△ABC是直角三角形．【点评】本题考查了比例的性质、勾股定理的逆定理，设参数表示三边的长是关键，熟练掌握勾股定理的逆定理．4．已知a：b：c=2：3：4，且a+b﹣c=6．求a、b、c的值．【分析】设a=2k，b=3k，c=4k，代入求出k，即可求出答案．【解答】解：由a：b：c=2：3：4可设a=2k、b=3k、c=4k，∵a+b﹣c=6，∴2k+3k﹣4k=6，解得：k=6，∴a=2k=12、b=3k=18、c=4k=24．【点评】本题考查了比例的性质的应用，已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来．5．已知非零实数a，b，c满足==，且a+b=34，求c的值．【分析】设比值为k（k≠0），用k表示出a、b、c，然后代入等式求出k的值，再求解即可．【解答】解：设===k（k≠0），则a=5k，b=12k，c=13k，∵a+b=34，∴5k+12k=34，解得k=2，所以，c=13k=13×2=26．【点评】本题考查了比例的性质，此类题目，利用“设k法”求解更简便．6．已知：．求k值．【分析】当a+b+c=0时容易求得；当a+b+c≠0时，依据等比性质即可求解．【解答】解：当a+b+c=0时，a=﹣（b+c），因而k===﹣1；当a+b+c≠0时，k==．故k的值是﹣1或．【点评】本题主要考查了等比性质，在运用等比性质时，条件是：分母的和不等于0．7．已知a、b、c均为非零的实数，且满足==，求的值．【分析】已知等式利用比例的性质化简表示出a+b，a+c，b+c，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：当a+b+c≠0时，利用比例的性质化简已知等式得：=====1，即a+b﹣c=c，a﹣b+c=b，﹣a+b+c=a，整理得：a+b=2c，a+c=2b，b+c=2a，此时原式==8；当a+b+c=0时，可得：a+b=﹣c，a+c=﹣b，b+c=﹣a，则原式=﹣1．综上可知，的值为8或﹣1．【点评】此题考查了比例的性质，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．已知==，且3a﹣2b+c=9，求2a+4b﹣3c的值．【分析】设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求出k的值，从而得到a、b、c的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：设===k（k≠0），则a=5k，b=7k，c=8k，代入3a﹣2b+c=9得，15k﹣14k+8k=9，解得k=1，所以，a=5，b=7，c=8，所以，2a+4b﹣3c=2×5+4×7﹣3×8=10+28﹣24=14．【点评】本题考查了比例的性质，此类题目，利用“设k法”求解更简便．9．已知：，求a：b：c的值．【分析】设=k，然后得到a+b=10k，b+c=11k，c+a=15k，然后解得a、b、c的值即可，最后再求得比值即可．【解答】解：设=k，则a+b=10k，b+c=11k，c+a=15k，解得：a=7k，b=3k，c=8k．a：b：c=7：3：8．【点评】本题主要考查的是比例的性质，用含k的式子表示出a、b、c的值是解题的关键．10．已知a：b：c=2：4：5，且2a﹣b+3c=15，求3a+b﹣2c的值．【分析】根据比的性质，可得a，b，c，再根据解方程，可得x的值，根据代数式求值，可得答案．【解答】解：由a：b：c=2：4：5，设a=2x，b=4x，c=5x．由2a﹣b+3c=15，得4x﹣4x+15x=15，解得x=1，a=2，b=4，c=5．3a+b﹣2c=3×2+4﹣2×5=0．【点评】本题考查了比例的性质，利用比的性质得出a=2x，b=4x，c=5x是解题关键．11．（1）已知=，求的值．（2）已知==，求的值．【分析】（1）依据比例的性质可得到2b=1.5a，然后代入计算即可；（2）设===k（k≠0），则x=2k，y=3k，z=4k，然后代入计算即可．【解答】解：（1）∵=，∴2b=1.5a，∴==﹣；（2）设===k（k≠0），则x=2k，y=3k，z=4k，∴==．【点评】本题主要考查的是比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．12．阅读下面的解题过程，然后解题：题目：已知（a、b、c互相不相等），求x+y+z的值．解：设，则x=k（a﹣b），y=k（b﹣c），z=k（c﹣a）于是，x+y+z=k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）=k•0=0，依照上述方法解答下列问题：已知：==（x+y+z≠0），求的值．【分析】设===k，根据比例的性质得到x=y=z，计算即可．【解答】解：设===k，则y+z=xk，z+x=yk，x+y=zk，∴2（x+y+z）=k（x+y+z），解得，k=2，∴y+z=2x，z+x=2y，x+y=2z，解得，x=y=z，则=﹣．【点评】本题考查的是比例的性质，正确理解给出的解题过程是解题的关键．13．（1）已知=，求的值．（2）已知===（b+d+f≠0），求的值．【分析】（1）根据比例设y=3k，x=4k（k≠0），然后代入比例式进行计算即可得解；（2）利用等比性质求解即可．【解答】（1）解：∵=，∴设y=3k，x=4k（k≠0），∴=，=，=，所以，的值是；（2）解：∵===（b+d+f≠0），∴=，∴的值是．【点评】本题考查了比例是性质，（1）利用“设k法”求解更简便，（2）主要利用了等比性质，需熟记．14．已知，（1）求的值；（2）如果，求x的值．【分析】（1）令===k，则x=2k，y=3k，z=4k，再代入代数式进行计算即可；（2）把x=2k，y=3k，z=4k代入=y﹣z，求出k的值即可．【解答】解：（1）∵==，∴令===k，则x=2k，y=3k，z=4k，∴===﹣1；（2）∵x=2k，y=3k，z=4k，=y﹣z，∴x+3=（y﹣z）2，即2k+3=（3k﹣4k）2，解得k=﹣1或k=3（舍去），∴x=﹣2．【点评】本题考查的是比例的性质，根据题意得出x=2k，y=3k，z=4k是解答此题的关键．15．已知：=，说明：ab+cd是a2+c2和b2+d2的比例中项．【分析】根据比例的性质，由=可得ad=bc，再根据比例中项的概念计算ab+cd 的平方是否等于a2+c2和b2+d2的乘积作出判断．【解答】解：∵=，∴ad=bc，∵（ab+cd）2=a2b2+2abcd+c2d2，（a2+c2）（b2+d2）=a2b2+a2d2+b2c2+c2d2=a2b2+2abcd+c2d2，∴（ab+cd）2=（a2+c2）（b2+d2），∴ab+cd是a2+c2和b2+d2的比例中项．【点评】本题考查了比例的性质和比例中项的概念．在a，b，c中，若b2=ac，则b是a，c的比例中项．16．我们知道：若，且b+d≠0，那么．（1）若b+d=0，那么a、c满足什么关系？（2）若，求t2﹣t﹣2的值．【分析】（1）根据比例的性质即可得到结果；（2）根据比例的性质求得t的值，把t的值代入代数式即可得到结论．【解答】解：（1）∵，b+d=0，∴a+c=0；（2）①当a+b+c≠0时，==2，∴t2﹣t﹣2=22﹣2﹣2=0，②当a+b+c=0时，b+c=﹣a，a+c=﹣b，a+b=﹣c，∴=﹣1，∴t2﹣t﹣2=0．【点评】本题考查了比例的性质，熟记比例的性质是解题的关键．17．如图，四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB=3，AD=6.5，BF=2．（1）求下列各线段的比：，，；（2）指出AB，BC，CF，CD，EF，FB这六条线段中的成比例线段（写一组即可）【分析】（1）根据矩形的性质和线段的和差关系得到CD，EF，BC，CF，再代入数据即可求得各线段的比；（2）根据成比例线段的定义写一组即可求解．【解答】解：（1）∵四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB=3，AD=6.5，BF=2，∴CD=EF=AB=3，BC=AD=6.5，CF=BC﹣BF=4.5，∴==，==，=；（2）成比例线段有=．【点评】本题考查了矩形的性质，比例线段，解决问题的关键是得到CD，EF，BC，CF的值．18．已知线段a=0.3m，b=60cm，c=12dm．（1）求线段a与线段b的比．（2）如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长．（3）b是a和c的比例中项吗？为什么？【分析】（1）根据a=0.3m=30cm；b=60cm，即可求得a：b的值；（2）根据线段a、b、c、d是成比例线段，可得=，再根据c=12dm=120cm，即可得出线段d的长；（3）根据b2=3600，ac=30×120=3600，可得b2=ac，进而得出b是a和c的比例中项．【解答】解：（1）∵a=0.3m=30cm；b=60cm，∴a：b=30：60=1：2；（2）∵线段a、b、c、d是成比例线段，∴=，∵c=12dm=120cm，∴=，∴d=240cm；（3）是，理由：∵b2=3600，ac=30×120=3600，∴b2=ac，∴b是a和c的比例中项．【点评】本题主要考查了成比例线段，判段四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可；求线段之比时，要先统一线段的长度单位．19．在比例尺1：6000000的地图上，量得甲乙两地距离是6cm，甲乙两地实际距离是多少千米？【分析】图上距离和比例尺已知，依据“实际距离=图上距离÷比例尺”即可求出两地的实际距离．【解答】解：6÷=36000000（厘米），36000000厘米=360（千米）；答：甲乙两地实际距离是360千米．【点评】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系，解答时要注意单位的换算．20．如图：点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，若AC：BC=3：2，且AD=8，求线段AB的长．【分析】先设AC=3x，BC=2x，根据AC+CD=8，可得3x+x=8，求得x=2，进而得到线段AB的长．【解答】解：设AC=3x，BC=2x，则CD=x，AB=5x，∵AD=8，∴AC+CD=8，即3x+x=8，∴4x=8，∴x=2，∴AB=5×2=10．【点评】本题主要考查了比例线段以及两点间的距离，解题时注意运用线段中点的意义及线段的和差运算．21．如图，已知=，AD=6.4cm，DB=4.8cm，EC=4.2cm，求AC的长．【分析】根据=，可以先求出AE的长，即可得到AC的长．【解答】解：∵=，∴=，解得：AE=5.6cm．则AC=AE+EC=5.6+4.2=9.8cm．【点评】本题主要考查了比例的基本性质，在比例式中，已知三个就可求得第四个的量．22．如果一个矩形的宽与长的比值为，则称这个矩形为黄金矩形，如图，将矩形ABCD剪掉一个正方形ADFE后，剩余的矩形BCFE（BC＞BE）是黄金矩形，则原矩形ABCD是否为黄金矩形？请说明理由．【分析】根据黄金分割设出矩形BCFE的长和宽，然后表示出矩形ABCD的宽，再求出宽与长的比值即可得证．【解答】解：原矩形ABCD是为黄金矩形．理由如下：设矩形BCFE的长BC为x，∵四边形BCFE为黄金矩形，∴宽FC为x，∵四边形AEFD是正方形，∴AB=x+x=x，则==，∴原矩形ABCD是为黄金矩形．【点评】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键，要熟记黄金分比．23．如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，若AE=BC，则点E是线段AB的黄金分割点吗？说明你的理由．【分析】连接EC，根据线段垂直平分线的性质得到EA=EC，根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理证明△CEB∽△ACB，得到，根据黄金分割的概念证明结论．【解答】解：点E是线段AB的黄金分割点．证明如下：连接EC，∵DE是AC的垂直平分线，∴EA=EC，又∵AE=BC，∴EC=BC，∴∠BEC=∠B，∵AB=AC，∴∠ACB=∠B，∴∠BEC=∠ACB，又∠B=∠B，∴△CEB∽△ACB，∴，即BC2=BE•AB，又∵AE=BC，∴AE2=BE•AB，即点E是线段AB的黄金分割点．【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．24．已知：如图，线段AB=2，BD⊥AB于点B，且BD=AB，在DA上截取DE=DB．在AB上截取AC=AE．求证：点C是线段AB的黄金分割点．【分析】在直角△ABD中根据勾股定理计算出AD=，则AE=AD﹣DE=﹣1，再利用画法得到AC=AE=﹣1，即AC=AB，然后根据黄金分割的定义得到点C就是线段AB的黄金分割点．【解答】证明：∵AB=2，BD=AB，∴BD=1．∵BD⊥AB于点B，∴AD==，∴AE=AD﹣DE=﹣1，∴AC=AE=﹣1，∴AC=AB，∴点C就是线段AB的黄金分割点．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．25．（1）我们知道，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，使AP＞PB，点P把线段AB分成两条线段AP和BP，且=，点P就是线段AB的黄金分割点，此时的值为（填一个实数）：（2）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD长为半径画弧交边AB于E．求证：点E是线段AB的黄金分割点．【分析】（1）根据题意列出一元二次方程，解方程即可；（2）设BC=a，根据题意用a表示出AB、AC，结合图形、根据黄金分割的定义判断即可．【解答】解：（1）设AB长为1，P为线段AB上符合题意的一点，AP=x，则BP=1﹣x，根据题意得，=，解得，（舍去），故，故答案为：；（2）设BC=a，则AB=2a，则AC=a，由题意得，CD=BC=a，∴AE=AD=a﹣a，BE=AB﹣AE=3a﹣a，∴=，=，∴=，即点E是线段AB的黄金分割点．【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握把线段AB分成两条线段AC 和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割是解题的关键．26．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是∠ABC的角平分线．（1）求证：△ABC∽△BDC；（2）求证：点D是线段AC的黄金分割点．【分析】（1）根据等腰三角形的性质、角平分线的定义求出∠A=∠CDB，证明△ABC∽△BDC；（2）根据相似三角形的性质得到BC2=AC•CD，证明BC=AD，根据黄金分割的概念解答即可．【解答】（1）证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBC=36°，∴∠A=∠CDB，又∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC；（2）解：∵△ABC∽△BDC，∴=，∴BC2=AC•CD，∵∠A=∠ABD，∴DA=DB，∵∠C=∠BDC，∴BC=DB，∴BC=AD，∴AD2=AC•CD．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、黄金分割的概念，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、黄金分割的概念是解题的关键．27．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1，l2于点A、B、C和点D、E、F，=，AC=10．（1）求AB，BC的长；（2）如果AD=7，CF=12，求BE的长．【分析】（1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出==，即可求出AB的长，得出BC的长；（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，得出AD=HE=GF=7，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH，即可得出结果．【解答】解：（1）∵AD∥BE∥CF，∴==，∴=，∵AC=10，∴AB=4，∴BC=10﹣4=6；（2）如图所示：过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，又∵AD∥BE∥CF，AD=7，∴AD=HE=GF=7，∵CF=12，∴CG=12﹣7=5，∵BE∥CF，∴=，∴BH=2，∴BE=2+7=9．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH是解决问题的关键．28．证明平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．已知（如图）l1∥l2∥l3，求证：=．【分析】如图作AM∥DF交直线l2于M交直线l1于N．四边形AMED，四边形MNEF都是平行四边形，推出AM=DE，MN=EF，由BM∥CN，推出=，可得=．【解答】证明：如图作AM∥DF交直线l2于M交直线l1于N．∵l1∥l2∥l3，∴四边形AMED，四边形MNEF都是平行四边形，∴AM=DE，MN=EF，∵BM∥CN，∴△ABM∽△ACN，∴=，∴=．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理、平行线的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．29．（1）已知=，求的值；（2）如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC．如果AB=7，EB=5，FC=4，那么AF的长是多少？【分析】（1）根据比例的性质解答即可；（2）根据平行线分线段成比例解答即可．【解答】解：（1）∵=，∴；（2）∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，即，可得：，解得：AF=．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．30．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点F、E在边AC上，DE∥BC，DF∥BE，求证：．【分析】利用平行线分线段成比例定理即可证明；【解答】证明：∵DE∥BC，∴=，∵DF∥BE，∴=，∴=．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．31．如图，l1∥l2∥l3，AB=3，AD=2，DE=4，EF=7.5．求BC、BE的长．【分析】根据平行线分线段成比例定理得==，则可计算出BC=6，BF=BE，然后利用BE+BE=7.5求BE．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴==，即==，∴BC=6，BF=BE，∴BE+BE=7.5，∴BE=5．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．32．如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．（1）如果AB=4，BC=8，EF=12，求DE的长．（2）如果DE：EF=2：3，AB=6，求AC的长．【分析】（1）由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出DE的长；（2）由平行线分线段成比例定理得出比例式，求出BC的长，即可得出AC的长．【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3．∴==，∴DE=EF=6；（2）∵l1∥l2∥l3．∴=，∴BC=AB=×6=9，∴AC=AB+BC=6+9=15．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．33．如图，D是△ABC的边BC的中点，且=．（1）过点A作DE的平行线交BC于G，分别求出和的值；（2）若△CDF的面积为3，求出四边形ABDF的面积．【分析】（1）过点A作AG∥ED交BC于点G，由平行线分线段成比例定理可得出==，结合BD=CD可得出=，再利用平行线分线段成比例定理可得出==；（2）连接BF，由BD=CD可得出S△BDF =S△CDF=3，结合=可得出S△ABF=S△BCF=2，将其代入S四边形ABDF =S△ABF+S△BDF中即可求出四边形ABDF的面积．【解答】解：（1）过点A作AG∥ED交BC于点G，如图1所示．∵AG∥ED，∴==．∵D是△ABC的边BC的中点，∴==，∴==．（2）连接BF，如图2所示．∵BD=CD，∴S△BDF =S△CDF=3．又∵=，∴S△ABF =S△BCF=2，∴S四边形ABDF =S△ABF+S△BDF=2+3=5．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用平行线分线段成比例定理找出和的值；（2）根据三角形的面积公式找出S△BDF 、S△ABF的值．34．如图，已知△ABC中，D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且DE∥BC，EF∥AB，AD=16cm，DB=8cm，CE=6cm，DE=14cm，求AC、CF的长．【分析】由DE∥BC，可得=，，即可得到AE=12（cm），BC=21（cm），再证明四边形BDEF是平行四边形，可得BF=DE=14（cm）即可解决问题．【解答】解：∵DE∥BC，∴=，，∴=，=，∴AE=12（cm），BC=21（cm），∴AC=AE+EC=18（cm），∵DE∥BF，BD∥EF，∴四边形BDEF是平行四边形，∴BF=DE=14（cm），∴CF=BC﹣BF=7（cm）．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．35．如图，==，试求和的值．【分析】利用比例的性质即可解决问题．【解答】解：∵==，∴=，∴=，∴=．【点评】本题考查比例的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．36．如图，已知在△ABC中，点D，E，F分别在BC，AB，AC边上．（1）当点D，E，F分别为BC，AB，AC边的中点时，求证：△BED≌△DFC；（2）若DE∥AC，DF∥AB，且AE=2，BE=3，求的值．【分析】（1）先证明DE和DF为△ABC的中位线得到DE∥AC，DF∥AB，利用平行线的性质得∠BDE=∠C，∠B=∠CDF，然后根据相似三角形的判定方法可得△BED≌△DFC；（2）由于DE∥AC，DF∥AB，根据平行线的性质得∠BDE=∠C，∠B=∠CDF，根据平行四边形的判定方法得到四边形AEDF为平行四边形，所以△BED∽△DFC，DF=AE=2，DE=AF，然后利用相似比和等线段代换即可得到的值．【解答】（1）证明：∵点D，E，F分别为BC，AB，AC边的中点，∴DE和DF为△ABC的中位线，∴DE∥AC，DF∥AB，∴∠BDE=∠C，∠B=∠CDF，∴△BED≌△DFC；（2）解：DE∥AC，DF∥AB，∴∠BDE=∠C，∠B=∠CDF，四边形AEDF为平行四边形，∴△BED∽△DFC，DF=AE=2，DE=AF，∴==，∴=，∴=．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．也考查了三角形中位线性质．37．阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则=．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E．…任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是．【分析】（1）如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E，利用平行线分线段成比例定理得到=，利用平行线的性质得∠2=∠ACE，∠1=∠E，由∠1=∠2得∠ACE=∠E，所以AE=AC，于是有=；（2）先利用勾股定理计算出AC=5，再利用（1）中的结论得到=，即=，则可计算出BD=，然后利用勾股定理计算出AD=，从而可得到△ABD的周长．【解答】（1）证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E，∵CE∥AD，∴=，∠2=∠ACE，∠1=∠E，∵∠1=∠2，∴∠ACE=∠E，∴AE=AC，∴=；（2）解：如图3，∵AB=3，BC=4，∠ABC=90°，∴AC=5，∵AD平分∠BAC，∴=，即=，∴BD=BC=，∴AD===，∴△ABD的周长=+3+=．故答案为．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．38．如图，l1∥l2∥l3，AB=3，AD=2，DE=4，EF=7.5，求BC、BF的长．【分析】由平行线分线段成比例解答即可．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴，∵AB=3，AD=2，DE=4，∴，解得BC=6，∵l1∥l2∥l3，∴，∴，解得BF=2.5．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，解题的关键是由平行得到线段AB与已知条件中的线段之间的关系．39．如图，在△ABC中，DE∥BC，△ABC的高AM交DE于点N，BC=15，AM=10，DE=MN，求MN的长．【分析】设MN=x，则AN=10﹣x，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出MN的长．【解答】解：设MN=x，则AN=10﹣x，∵DE∥BC，∴，即=，即MN的长为6．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质；熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．40．如图，DC∥EF∥GH∥AB，AB=12，CD=6，DE：EG：GA=3：4：5．求EF和GH的长．【分析】过C作CQ∥AD，交GH于N，交EF于M，交AB于Q，则可判断四边形AQCD为平行四边形，所以AQ=CD=6，同理可得EM=EM=CD=6，则BQ=AB ﹣AQ=6，再利用平行线分线段成比例定理得到DE：EG：GA=CF：HF：HB=3：4：5，然后根据平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例得到MF：BQ=CF：CB=3：（3+4+5），NH：BQ=CH：CB=（3+4）：（3+4+5），则可计算出MF和NH，从而得到GH和EF的长【解答】解：过C作CQ∥AD，交GH于N，交EF于M，交AB于Q，如图，∵CD∥AB，∴四边形AQCD为平行四边形，∴AQ=CD=6，同理可得GN=EM=CD=6，∴BQ=AB﹣AQ=6，∵DC∥EF∥GH∥AB，∴DE：EG：GA=CF：HF：HB=3：4：5，∵MF∥NH∥BQ，∴MF：BQ=CF：CB=3：（3+4+5），NH：BQ=CH：CB=（3+4）：（3+4+5），∴MF=×6=1.5，NH=×6=3.5，∴EF=EM+MF=6+1.5=7.5，HG=GN+NH=6+3.5=9.5．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．。

上海市初三数学相似三角形经典题型

例题分析:例1:已知如图，在△ ABC中，D是AB上的一点，连结CD / ACD2 B,求证：AE2=ADJAC例 2 :如图，在Rt△ ABC中，/ ACB=90 , CDL AB,垂足为D,(1)求证：△ AC3A AB3A CBD⑵求证：⑴AC2二AD AB (2)CD2二AD_DB (3)BC2二BD _AB例3 :已知如图，点D是AB上的一点，CA丄AB,EB丄AB,CD丄DE,求证：△ ACS A BDE例4 :在△ ABC中，AB=6, AC=9 D为AC上的一点，AD=3,在AB上找一点E,使得△ADE与△ ABC相似?相似三角形的判定练习BC,交A卄E,D厶—X型图A并求出AE的长。

AA两个三角形相似的六种图形:BC边的中点△ABCC BB中,1.如求证：A ABCB Dc DAD = AC , DE 点F.EC2 3.如图3, △ABC中，AD平分/ BAC , AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E.求证：DE = BE-CE.A4•如图，已知△ ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线， CF // BA , BF 交AD 于P 点，交 AC 于E 点。

BP 2=pE . PF 。

ACB=90° ,CD 是斜边AB 上的高，G 是DC 延长线上一点，过 B 作BE 丄AG , 求证：CD 7•如求证：二图，△ ABC 中，点DE 在边BC 上，且△ ADE 是等边三角形，/ BAC=120 (1 )△ ADB^A CEA;(2) DE2=BD- CE;(3)AB - AC=AD BC.AEF^A ACBF-DG .6•如图5，在△ABC 中，/垂足为E ,交CD 于点F .10.如图，ABCD为直角梯形，AB// CD,ABL BC,AC丄BD。

AD=BD 过E作EF// AB交AD于F. 是说明：(1) AF=BE;(2)AF 2=AE - EC.&如图，平行四边形ABCD中，E为BA延长线上一点, D=Z ECA.1112 13.如图，已知：在△ ABC 中，/ BAC=900 , AD 丄BC , E 是AC 的中点，ED 交AB 的延长线于 F 。

2024届上海初三一模数学各区填选题(相似三角形)

上海市2024届初三一模数学分类汇编—填选题（相似三角形）【2024届·宝山区·初三一模·第6题】（本题满分4分）1.如图3，在正方形网格中，A 、B 、C 、D 、M 、N 都是格点，从A 、B 、C 、D 四个格点中选取三个构成一个与AMN 相似的三角形，某同学得到两个三角形：①ABC ；②ABD ．关于这两个三角形，下列判断正确．．的是（）.A 只有①是；.B 只有②是；.C ①和②都是；.D ①和②都不是．【20242.如图56BC ，ABC 【2024届·崇明区·初三一模·第1题】（本题满分4分）3.如果两个相似三角形的周长之比为1:4，那么它们对应边之比为（）.A 1:2；.B 1:4；.C 1:8；.D 1:16．第14题图（本题满分4分）4.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，联结BE ，交对角线AC 于点F ，如果19AEF BFC S S ，15AD ，那么AE．【20245.3AP，BP 【20246.如图2E ，边DE 交BC .A 与DEB ．图2（本题满分4分）7.如图4，已知ABC 的周长为15，点E 、F 是边BC 的三等分点，//DE AB ，//DF AC ，那么DEF 的周长是．【20248.如图7EF 把【20249.如图4）.A .B .C .D 图4（本题满分4分）10.一个三角形框架模型的边长分别为3分米、4分米和5分米，木工要以一根长6分米的木条为一边，做与模型相似的三角形，那么做出的三角形中，面积最大的是平方分米．【2024届·黄浦区·初三一模·第1题】（本题满分4分）11.下列命题中，真命题是（）.A 如果一个直角三角形的一个锐角等于另一个直角三角形的锐角，那么这两个三角形相似；.B 如果一个等腰三角形的一个内角等于另一个等腰三角形的内角，那么这两个三角形相似；.C 如果一个直角梯形的一个锐角等于另一个直角梯形的锐角，那么这两个梯形相似；.D 如果一个等腰梯形的一个内角等于另一个等腰梯形的内角，那么这两个梯形相似．【2024届·黄浦区·初三一模·第2题】（本题满分4分）12.已知：111222333A B C A B C A B C ∽∽，如果111A B C 与222A B C 的相似比为2，222A B C 与333A B C 相似比为4，那么111A B C 与333A B C 的相似比为（）.A 2；.B 4；.C 6；.D 8．第12题图第14题图（本题满分4分）13.如图，在ABC 中，90ACB ，3AC ，6BC ，CO 是边AB 上的中线，G 为ABC 的重心，过点G 作//GN BC 交AB 于点N ，那么OGN 的面积是．【2024届·黄浦区·初三一模·第14题】（本题满分4分）14.如图，N 是线段AB 上一点，AC AB ，BD AB ，NM AB ，联结CM 并延长交AB 于点P ，联结DM 并延长交AB 于点Q ．已知4AB ，3AC ，2BD ，1MN ， 1.2PN ，那么QN．【2024届·嘉定区·初三一模·第6题】（本题满分4分）15.下列命题是真命题的是（）.A 有一个角是36 的两个等腰三角形相似；.B 有一个角是45 的两个等腰三角形相似；.C 有一个角是60 的两个等腰三角形相似；.D 有一个角是钝角的两个等腰三角形相似．第6题图（本题满分4分）16.如图2，在ABC 中，点D 、E 分别在边BA 、CA 上，//DE BC ，18DEA BCEDS S 四边形，9BC ，那么DE ．【202417..A 2:1【202418.如图在ABC 联结成格点三角形，其中与ABC 相似的有（）.A 1个；.B 2个；.C 3个；.D 4个．（本题满分4分）19.已知两个相似三角形的相似比为2:3，那么这两个三角形的周长比为．【202420.如图，第14题图【202421.在（本题满分4分）22.下列选项中的两个图形一定相似的是（）.A 两个平行四边形；.B 两个圆；.C 两个菱形；.D 两个等腰三角形．23..A .C 24.如果两个相似三角形对应边上的高之比是4:9，那么它们的周长之比等于．（本题满分4分）25.在ABC 中，5AB AC ，6BC ，将边BC 绕点C 旋转后，点B 落在射线CA 上的点D 处，那么DB的长为．【202426.点D 、那么【202427..A 两个直角三角形一定相似；.B 两个等腰三角形一定相似；.C 两个钝角三角形一定相似；.D 两个等边三角形一定相似．（本题满分4分）28.如图，在ABC 中，点D 在边AC 上，点E 在边BC 上，//DE AB ，:2:3AD AC ，那么DEC ABED S S 四边形的值为．【202429..A 1:4【202430..A .B 如果一个等腰三角形中有两边之比为1:2，那么所有这样的等腰三角形一定相似；.C 如果一个直角三角形中有两个内角的度数之比为1:2，那么所有这样的直角三角形一定相似；.D 如果一个等腰三角形中有两个内角的度数之比为1:2，那么所有这样的等腰三角形一定相似．第12题图第16题图图1（本题满分4分）31.如图，ABC 是边长为3的等边三角形，D 、E 分别是边BC 、AC 上的点，60ADE ，如果1BD ，那么CE ．【202432.、AC 上．已知两【202433.如图1（）.A AC DBC ．图4第3题图（本题满分4分）34.如图4，在ABC 中，90ACB ，CD 是AB 边上的高，如果5AC ，4CD ，那么ACD 与CBD的相似比k ．【2024届·青浦区·初三一模·第1题】（本题满分4分）35.下列图形中，一定相似的是（）.A 两个等腰三角形；.B 两个菱形；.C 两个正方形；.D 两个等腰梯形．【2024届·青浦区·初三一模·第3题】（本题满分4分）36.如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，ADE C ，则下列判断错误．．的是（）.A AED B ；.B DE AC BC AE ；.C AD AB AE AC ；.D 2AED ABC S DE S BC．第5（本题满分4分）37.如果两个相似三角形的周长比为1:3，那么它们的面积比为．【2024届·松江区·初三一模·第5题】（本题满分4分）38.上，顶点G 、）.A 4；.C 1625【202439.与点1A 、点B 的和之比等于k ．对于结论①和②，下列说法正确的是（）.A ①正确，②错误；.B ①错误，②正确；.C ①和②都错误；.D ①和②都正确．第16题图第6题图（本题满分4分）40.如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，点E 是AD 的中点，BE 、CD 的延长线交于点F ，如果:AD BC2:3，那么:EDF AEB S S．【202441..A .C 【202442.AD 、AE 、CE .A CE AE AO BC ．第12题图第18题图（本题满分4分）43.已知ABC DEF ∽，如果它们对应高的比:3AM DN，那么ABC 和DEF 的面积比是．【202444.CD 【202445.如图，135 的长是．第17题图（本题满分4分）46.如图，锐角ABC 中，AB AC BC ，现想在边AB 上找一点D ，在边AC 上找一点E ，使得ADE与C 相等，以下是甲、乙两位同学的作法：（甲）分别过点B 、C 作AC 、AB 的垂线，垂足分别是E 、D ，则D 、E 即所求；（乙）取AC 中点F ，作DF AC ，交AB 于点D ，取AB 中点H ，作EH AB ，交AC 于点E ，则D 、E 即所求．对于甲、乙两位同学的作法，下列判断正确的是（）.A 甲正确乙错误；.B 甲错误乙正确；.C 甲、乙皆正确；.D 甲、乙皆错误．【202447.36，那么S 【202448.如图，CD ，交边AB 于点E ，那么线段AE 的长是．第15题图（本题满分4分）49.已知在ABC 与'''A B C 中，点D 、'D 分别在边BC 、''B C 上（点D 不与点B 、C 重合，点'D 不与点'B 、'C 重合）．如果ADC 与'''A D C 相似，点A 、D 分别对应点'A 、'D ，那么添加下列条件可以证明ABC 与'''A B C 相似的是（）①AD 、''A D 分别是ABC 与'''A B C 的角平分线；②AD 、''A D 分别是ABC 与'''A B C 的中线；③AD 、''A D 分别是ABC 与'''A B C 的高．.A ①②；.B ②③；.C ①③；.D ①②③．【202450.【202451.、G 在边BC 上，顶点E。

初三数学相似三角形典型例题(含答案)

初三数学相似三角形典型例题(含答案)本节复的目标是理解相似三角形的概念和性质，并能应用其定理解决实际问题。

其中包括线段的比、成比例线段的概念，黄金分割，平行线分线段成比例定理等重要知识点。

相似三角形是平面几何的重要内容之一，常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题。

在中考试题中，相似三角形题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右。

相似三角形题目有利于培养学生的综合素质，形成创新与探索型试题。

重要知识点包括比例线段的有关概念、黄金分割、比例性质等。

比例线段的比例式中，a、d叫外项，b、c叫内项，a、c叫前项，b、d叫后项，d叫第四比例项。

黄金分割是把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC=AB·BC，C叫做线段AB的黄金分割点。

比例性质包括基本性质、合比性质和等比性质。

平行线分线段成比例定理是相似三角形中的重要定理。

该定理指出，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

同时，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段也成比例。

如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

相似三角形的判定有五种情况。

其中，两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例、直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例、平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

AEF=45°同理，∠CEA=45°XXX和△XXX都是等腰直角三角形，且∠AEF=∠CEAAEF∽△CEA2）∵四边形ABEG、GEFH、HFCD都是正方形AFB=∠EFG=90°同理，∠ACB=∠DCH=90°AFB+∠ACB=180°又因为四边形ABCD是平行四边形AFB+∠ACB=180°-∠BAC又因为△ABC是等边三角形BAC=60°AFB+∠ACB=180°-60°=120°AFB+∠ACB=45°+75°=120°AFB+∠ACB=45°+∠BAC=120°AFB+∠ACB=45°已知：在△ABC中，D为BC边上的一点，∠CAD=∠B，AD=6，AB=8，BD=7，求DC的长。

初三数学相似三角形典型例题(含答案)

2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。

3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。

4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。

本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。

把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。

则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF=== ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

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